Sveuilite u Zagrebu Fakultet elektrotehnike i raunarstva

Zavod za telekomunikacije

TRANSMISIJSKI SUSTAVI

ZBIRKA ZADATAKA Inkret Lackovi - Ljolje

Zagreb, 2004.

2

1 Prijenosne tehnologije 1. Koja su osnovna ogranienja primjene

a) elektrikog prijenosa, odnosno

b) elektronike komutacije u transmisijskoj mrei?

Rjeenje

a) veliki porast priguenja signala s porastom brzine prijenosa

b) ograniena frekvencija rada elektronikih sklopova

2. U emu je osnovna prednost primjene digitalnih prijenosnih sustava u odnosu na analogne?

Rjeenje

Manja cijena po kanalu

3. Osnovna obiljeja elektrikog digitalnog prijenosa su (zaokruite tone odgovore):

Rjeenje

Potpuna regeneracija signala, veliko guenje snage signala (a ~ f ) te ograniena

frekvencija rada elektronikih sklopova

4. U Europi se koristi telekomunikacijski standard koji specificira 4 razine u hijerarhiji sa

sljedeim brojem kanala kapaciteta 64 kb/s:

32, 128, 512, 2048

Nije tono, 5 razina, 30, 120, 480, 1920, 7680

30, 120, 480, 1920

24, 96, 672, 4032

30, 96, 480, 4032

3

2 Obiljeja signala 5. Primljeni signal sastavljen je od dvije komponente signala i uma:

( ) ( ) ( )= +r t s t n t . Signal se moe smatrati trajektorijom sluajnog procesa, s obzirom da su amplitude ignala

odreene turbulencijama u zraku. Autokorelacija procesa signala iznosi

( ) = 2s

R e .

um je trajektorija sluajnog procesa autokorelacije

( ) = 2n

R e .

Poznato je da oba procesa imaju srednju vrijednost 0 i da su meusobno neovisni. Pronaite

autokorelaciju i ukupnu snagu signala r(t).

Rjeenje:

( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( ){ }

( ) ( ){ } ( ) ( ){ }( ) ( ){ } ( ) ( ){ }

= + =

= + + + + =

= + + + +

+ + + + +

r

R E r t r t

E s t n t s t n t

E x t x t E s t n t

E x t n t E s t n t

( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ } + = + = 0E s t n t E s t E n t ( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ } + = + = 0E s t n t E s t E n t

( ) ( ) ( ) = + = + 22 2s nR R R e e ( ) =0 3r

R W

6. Aproksimirajte ulazni signal

( ) ( )= coss t t konstantom, odabranom tako da se minimizira pogreka. Pogreka je definirana kao kvadrat razlike

ulaznog signala i odabrane konstante. Izraunajte najbolju vrijednost konstante. NAPUTAK: Koristite

aproksimaciju funkcije redom te njezin prikaz ograniite na jednu dimenziju (ortogonalni vektorski

prostori).

Rjeenje

( ) =

2

2

cose t t C

( ){ }

=

/2

2

2

/2

1

cos

T

avg

t

e t t C dt

T

( ) ( ) ( )

+

=

= + +

+

1

1

1 1

2 2

cos2

2 1 2 1

n n

n

s t nt

n n

=

2

C

7. Izraunajte Fourierovu transformaciju periodike funkcije koju ini niz jedininih impulsa:

( ) ( )

=

=

n

s t t nT

Rjeenje

Funkcija ( )s t je periodika. Stoga, njen frekvencijski spektar je diskretan te se moe napisat u obliku:

4

( ) ( )

=

=

0n

n

S f c f nf

Potrebno je odrediti koeficijente n

c na slijedei nain (Fourier-ova transformacija): =0

1

f

T

( )

=

0

/2

2

/2

1

T

jn f t

n

T

c t e dt

T

Diracov-a delta funkcija ima slijedee svojstvo:

( ) ( ) ( )

=

0t f t dt f

Na osnovu prethodnog svojstva, dobivamo da je:

( )

= = =

0 0

/2

2 2 0

/2

1 1 1

T

jn f t jn f

n

T

c t e dt e

T T T

Prema tome, spektar signala je:

( ) ( )

=

=

0

1

n

S f f nf

T

=0

1

f

T

8. Amplituda ulaznog signala jednoliko je raspodijeljena izmeu 1V i 3V. Izraunajte

vjerojatnost da amplituda ulaznog signala bude u intervalu V.

Rjeenje

0.25

1 2 3

P

1,5[ ]

x V

( )

X

f x

A

( )

3

1

2

1,5

1,

1,

1

2

1 1 1

0.25

2 2 2

X

f x dx

Adx

A

P dx

=

=

=

= = =

5

3 Kodovi 9. Da bi se prilagodio signal za prijenos preko transmisijske linije potrebno je informaciju

kodirati HDB3 kodom. Ako se na ulaz HDB3 kodera dovede sekvenca bitova na slici, na izlazu

iz kodera se dobije kodna sekvenca:

6

4 PCM 10. U PCM prijenosnom sustavu prve razine (E1, 2.048 Mb/s) prvi bit u MFAS-u (Multi Frame

Alignment Signal) se koristi za prijenos poruka. Kolika je maksimalna brzina prijenosa u

takovom kanalu:

Rjeenje

U sluaju da nema pogreaka MFAS se pojavljuje svakih 2 ms (svaki 16 kanal 0-tog okvira),

pa je rjeenje:

= =

1

0.5 /

2

bit

C kbit s

ms

11. U standardnom PCM sustavu brzine prijenosa 2048 kbit/s, prvi bit vremenskog intervala u

kojem se prenosi sinkrokombinacija okvira moe posluiti za prijenos podataka. Kolika bi u

tom sluaju bila brzina prijenosa podataka?

Rjeenje

15 16 17 29 30 310 1 2

Si 0 0 1 1 0 1 1

Si 1* A Sa4 Sa5 Sa6 Sa7 Sa8

125 s

3.9 s

Kodirani govorni signaliili podatkovni siganli

Kodirani govorni signaliili podatkovni siganli

Signalnainformacija

FAS -Frame AlignmentSignal - u parnim okvirima(0,2,4,...)

NFAS -Not FrameAlignment Signal - uneparnim okvirima(1,3,5,...)

488 ns

Sinkrokombinacija okvira (FAS) se pojavljuje u svakom parnom okviru tj. svakih 250 s, pa je brzina prijenosa podataka:

= =

1

4 /

250

bit

C kbit s

s

12. Ako bi u sklopu za uzimanja uzoraka kod standardnog PCM sustava brzine prijenosa 2048

kbit/s izostavili ulazni filter, te na ulaz doveli ispitni sinusoidalni signal frekvencije 5.5 kHz,

koju e frekvenciju imati signal na izlazu PCM prijenosnog sustava, nakon rekonstrukcije PAM

uzoraka.

Rjeenje

= 2.5f kHz

[ ]

f kHz

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Ulazni filter naprijemnoj strani

( )

F f Ulaznisignal

Uzorkovnani signal ...

5,52,5 13,5

13. Da li je kvantizacijsko izoblienje linearno ili nelinearno izoblienje? Zbog ega?

7

Rjeenje

Nelinearno. Zato jer se generiraju nove frekvencije, sadrane u kvantizacijskom umu. 14. U PCM prijenosnom sustavu se 5 bitova jednog govornog kanala koristi za prijenos podataka, a

preostali bitovi se koriste kao zatita. Kolika je brzina prijenosa takvog podatkovnog kanala?

Rjeenje

5*8 kbit/s = 40kb/s 15. Koliko iznosi odnos signal/kvantizacijski um za sinusni signal ija je snaga 55 dB ispod

maksimalne razine snage, u sustavu nejednolikog kvantiziranja s 13-segmentnim A-zakonom?

Rjeenje

Maska Snagaulaznogsignala(dBm0)

0 2-6-12-18-24-30-36-42-48-54-60

S/Q

(dB)

0

10

20

30

40

50

60

70

Uniform

ni kvan

tizator

s 12

bita

A-zakon (8 bita)

kx

e

( )

X

f x

t

( )

x t

0

a

1

a

2

a

3

a

A/Dkonverzija

0101011

0101011

D/Akonverzija

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

e t x t y t

Q t e t

=

=

( )

= + + = + + =

max

12

10log 20log 1.5 20log 55 1,76 72,2472 19.0072 dB

2 12

s

s

P

S

N

Q

P

N jednoliko kvantiziranje s bita

16. Zadan je PCM transmisijski sustav u kojem se na putu od predajnika i prijemnika nalazi N=5

regeneratora. Svaki regenerator i prijemnik s vjerojatnou p

1

=0.08 vre invertiranje binarnog

simbola. Kolika je vjerojatnost da je binarni simbol pogrean nakon prolaska kroz promatrani

sustav? Kolika iznosi ta vjerojatnost ako je broj regeneratora jako velik?

Rjeenje

( ) ++ = =

=

=

=

1

1 1

1

1 1 2

2

5

0,324351

0,5

N

error N

errror

error

p p p

N

p

Za N

p

17. PCM sustav s 32 kanala koristi 7 bitni jednoliki kvantizator. Brzina na izlazu iz sustava je 50

Mbit/s. Odredite maksimalnu irinu frekvencijskog pojasa koju moe imati ulazni signal za

koju bi sustav ispravno funkcionirao.

Rjeenje

8

= =

= =

= =max

50 /

1,5625 /

32

223,214

7

111,607

2

kanal

kanal

u

u

s

Mbit s

B Mbit s

B

f kHz

bit

f

f kHz

18. U PCM prijenosnom sustavu se bitovi brze (2 bita) i spore (1 bit) signalizacije za sve govorne

kanale koriste za prijenos podataka. Odredite brzinu prijenosa tako dobivenog podatkovnog

kanala.

Rjeenje:

30*(1 kbps+0.5 kbps) = 45 kbps

19. U 16 kanalu 0-tog okvira u multiokviru nalazi se ...

Rjeenje

Sinkrokombinacija multiokvira

20. Pretpostavimo da je u trenutku t

0

PCM30 prijenosni sustav izgubio sinkronizaciju zbog

poveanog broja pogreaka bita (zbog ega se na mjestu FAS-a nalazi neka druga sekvenca).

Nakon 150 s sustav primi lani FAS. Uz pretpostavku da sustav dalje nee zaprimiti niti jedan lani FAS i NFAS, koliko e ukupno vremena, gledano od trenutka gubitka sinkronizacije,

protei kako bi se ponovno uspostavio sinkronizam?

Rjeenje

750 s

Sustav u normalnom reimu svakih 250 s oekuje FAS, odnosno 125 s iza FAS-a NFAS. Sustav je izgubio sinkronizam jer je trei uzastopce FAS bio izoblien (vidi sliku). Potom se 150 s iza pojavljuje lani FAS, nakon ega sustav 125 s iza oekuje NFAS

Izoblieni

FAS

NFAS

lani

FAS

FAS NFAS

nije

NFAS

FAS NFAS FAS

125 s

150 s 125 s

Sustav ulazi u bit

scanning mode.

Trai se prvo

pojavljivanje FAS

kombinacije

Detektiran

FAS

Detektiran

NFAS

Detektiran 2.

FAS:

Sinkronizacija

uspostavljena

125 s

125 s

125 s 125 s

6*125 s

125 s

9

5 SNR 21. Na slikama je prikazan ulazni signal u pojasno propusni filtar. Razdvojene su komponente

signala i uma. Prikazana je i prijenosna funkcija filtra. Izraunajte poboljanje SNR u

decibelima nakon prolaska kroz filtar.

Gs(f)

f90 210

Gn(f)

f500

10

1

spektralna snagasignala

spektralna snagauma 100 200

f

H(f)A

prijenosnafunkcija filtra

Rjeenje

Prijenosna karakteristika filtra ( )h t je jednaka izlaznoj funkciji ako se na njegov ulaz dovede Dirac-ova delta funkcija. Ako se dovede bilo koja druga funkcija tada je izlaz jedak

konvoluciji ulaznog signala i prijenosne karakteristike. Ukoliko se radi o frekvencijskoj

domeni, tada je spektar signala na izlazu jednak produktu sprektralnih funkcija ulaznog

signala i prijenosne karakteristike. Slino vrijedi i za sprektrlanu gustou snage signala koja

je na izlazu jednaka produktu spektralne gustoe ulaznog signala i kvadrata frekvencijskog

spektra prijenosne funkcije filtra.

Filtar( )

t

( )

h t

Filtar

( )

x t

( ) ( )

x t h t

( )

X f

( ) ( )

X f H f

( )

x

G f

( ) ( )

2

x

G f H f

Openito, snaga signala ( )f t je jednaka:

( )

=

2

2

2

1

lim ,

a

def

x

a

a

P x t dt

a

s ogranienjem da funkcija ( )x t mora biti integrabilna. Ako se radi o periodikim ( )=a T funkcijama, tada tog ogranienja nema. Autokorelacijska funkcija od ( )x t je definirana kao vremenski srednja vrijednost:

( ) ( ) ( )

= +

2

2

1

lim ,

a

def

x

a

a

R x t x t dt

a

Ukoliko traimo vrijednost autokorelacijske funkcije za trenutak = 0 , dobivamo snagu

signala

x

P . Definirajmo spektralnu gustou snage ( )G f na nain:

( )

=

.

x x

P G f df

Prema tome, ( )G f je Fourier-ova transformacija autokorelacijske funkcije ( )x

R :

( ) ( )

=

2

.

def

j f

x x

G f R e d

10

Kada se signal proputa kroz linearni sustav prijenosne karakteristike ( )H f , tada svaka komponenta u spektru snage biva mnoena s ( ) 2H f . Prema tome, spektralana gustoa snage na izlazu iz filtra je:

( ) ( ) ( )= 2 .y x

G f G f H f

Sada se vratimo zadatku. Snaga signala i uma te S N iznose:

( )

= =

= =

=

210

90

500

0

10 1200 ,

1 500 ,

2.4 3.8

S

N

S

N

P df W

P df W

P

dB

P

Nakon prolaska kroz filtar spektralne gustoe snaga signala i uma su:

Gs0(f)

f100 200

Gn0(f)

f200

10A2 A2

100

Sada snaga signala i uma te S N iznose:

( )

= =

= =

=

200

2 2

100

200

2 2

100

10 1000 ,

1 100 ,

10 10

S

N

S

N

P A df A W

P A df A W

P

dB

P

Poboljanje SNR-a je:

( ) = =10 4.17 6.22.4

SNR dB

22. Na slici se nalazi sustav u kojem relativni nivo iznosi -10 dBr. Koliko iznosi snaga signala u

toki 1 te pojaanje pojaala G?

G MUXMUX

P1= 5 dBm0 P2= 10 dBm0 P4= 20 dBm0

1 2 3 4

P3 = 0 dBm0

Rjeenje

Odnos izmeu jedinica su:

= +0dBm dBm dBr

Pa je:

= =

= =

1

1

5 0 10 5

0.31622 , 20

P dBm dBr dBm

P mW G dB

23. Razmotrite ulazni audio signal zadan kao

11

( ) ( )= 3cos 500s t t . Izraunajte odnos signala i uma kvantizacije ako se koristi 10-bitni PCM (jednolika kvantizacija).

Rjeenje

= = 10 3

veliina intervala 6/2 5.86 10

= =2

srednja snaga signala 3 /2 4.5

( )

= =

6

2

3

12 4.5

1.57 10

5.86 10

SNR

( )= =610log 1.57 10 62SNR dB 24. Koliki je odnos signal kvantizacijski um za razinu signala P

s

= 55 dB ispod maksimalne

razine, ako se primjenjuje nejednoliko kvantiziranje s 13-segmentnim

A-zakonom, a mjerenje se provodi sa sinusnim signalom.

Rjeenje

Q = 10 log (Ps / (Ps)max) + 1,76 + 20 log N = = 55 + 1,76 + 20 log 4.096 = = 55 + 1,76 + 72.25 = = 19 dB 25. Signal ( )y t ije se amplitude ravnaju po eksponencijalnoj razdiobi ( ) = 2yY

f y e (slika b) se

dovodi na ulaz jednolikog kvantizatora ija prijenosna karakteristika je dana na slici a. Na

izlazu iz kvantizatora

S

Q

iznosi:

1 2-1-2 0

ye

2

( )yfY

[ ]Vy[ ]Vsignal

ulazni

[ ]Vsignalizlazni

(a) (b)

Rjeenje

[ ]

( )[ ]

= =

= =

= = = =

=

= =

2 2

0

2

2

2 2

0

max

2 0.5

2 0.08187

12

2 4 1

12

12 3

0.027269

10log 17.4

y

y

y

Q

Q

y

Q

P y e dy W

P e dy

A

L

L

P W

P

S

dB

Q P

26. Dan je signal ( ) ( ) ( ) = +20 cos 100 17cos 500s t t t . S koliko je bita potrebno jednoliko kvantizirati signal da bi odnos signal/kvatizacijski um za dani signal bio vei od 50 dB?

12

Rjeenje

= + = + = + =

= + =

=

=

= =

2 2 2 2

1 2

1 2

max

2

2

2 5

Snaga signala:

20 17

334.5

2 2 2 2

20 17 37

Odnos :

12

10log 2 50 ,

4

12

2 10 8.507

4

9

max

s

N

N

max

A A

P P P W

U

S Q

Ps

S Q dB

U

Ps

N

U

N N bita

27. Ulazni je signal zadan u obliku ( ) ( ) ( )= +r t s t n t , gdje je ( ) ( ) ( ) = +5cos 2 1000 10cos 2 1100s t t t , a n(t) je bijeli um snage N

0

= 0.05 W/Hz. Signal prolazi kroz idealni pojasno propusni filtar pojasa

proputanja 990-1110 Hz. Odredite SNR na izlasku iz filtra.

Rjeenje

= + =25 100

62.5

2 2

izlazna snaga signala W

( )= = =

1110

990

2 6

n n

izlazna snaga uma P G f df W

= = =/ 62.5/6 10.4 10.17S N dB

13

6 Sinkronizacija 28. Sustav sinkronizacije okvira implementiran je na nain prikazan na slici. Okvir ine 250

informacijskih bitova i m bitova sinkrorijei i alje se svake sekunde. Prijelaz iz jednog moda

u drugi deava se ako je C T gdje je C korelacijski faktor a T prag odluke (korelacijski faktor je broj koji se dobije korelacijom svakih m sukcesivnih bita s referentnom sinkrorijei,

0 ,T C m ). BER je zadan s funkcijom = /25000.5 0.5 fe

P e gdje je f brzina prijenosa.

SC T CC T

LC TSC T