Zbyneˇk Sˇ ı´r - Univerzita Karlovasir/modelovani/gm03hermite.pdf · Polynomia´lnı´ rovinne´ kˇivky Rovinna´ polynomia´lnı´ kˇivka je zobrazenı´ z omezene´ho intervalu

Geometricke modelovanı

Zbynek Sır

Matematicky ustav UKMatematicko-fyzikalnı fakulta

Hermitovska interpolace

15. listopadu 2017

Zbynek Sır (MU UK) - Geometricke modelovanı 15. listopadu 2017 1 / 23

Hermiteovska interpolace

Jedna z moznych zakladnıch konstrukcnıch uloh je sestrojit krivku,ktera inerpoluje hranicnı data

c(0),c′(0), {c′′(0)} c(1),c′(1), {c′′(1)}

Dostatecna ke konverzi obecne zadanych krivek.

–2

–1

0

1

2

0.5 1 1.5 2 2.5 3




c(0),c′(0), {c′′(0)} c(1),c′(1), {c′′(1)}


–2

–1

0

1

2

0.5 1 1.5 2 2.5 3




c(0),c′(0), {c′′(0)} c(1),c′(1), {c′′(1)}


–2

–1

0

1

2

0.5 1 1.5 2 2.5 3




c(0),c′(0), {c′′(0)} c(1),c′(1), {c′′(1)}


–2

–1

0

1

2

0.5 1 1.5 2 2.5 3




c(0),c′(0), {c′′(0)} c(1),c′(1), {c′′(1)}


–2

–1

0

1

2

0.5 1 1.5 2 2.5 3


Biarcs

U0

U1

P0

P1


Biarcs

U0

U1

P0

P1


Biarcs

U0

U1

P0

P1


Biarcs

U0

U1

P0

P1


Biarcs

U0

U1

P0

P1


Biarcs

U0

U1

P0

P1


Vyber vhodneho biarcu

Equal chords Parallel tangent New method








Asymptoticke zlepsovanı chyby

Error Ratio Error Ratio

1 4.972 2.23 2.233 256 3.32 10−5 5.5524 3.98 10−1 5.594 512 4.32 10−6 7.6998 1.89 10−1 2.110 1024 5.45 10−7 7.92816 4.02 10−2 4.697 2048 6.82 10−8 7.98832 5.93 10−3 6.780 4096 8.57 10−9 7.95664 1.03 10−3 5.767 8192 1.07 10−9 7.979128 1.85 10−4 5.568 16384 1.34 10−10 8.009

Aproximacnı stupen 3 nemuze byt vylepsen.


Polynomialnı rovinne krivky

Rovinna polynomialnı krivka je zobrazenı z omezeneho intervaluc : I → R

2 tvaru c(t) = [px(t),py (t)], kde px , py jsou polynomy v t .

Stupen c(t) definujeme jako maximum stupnu px , py .

Krivky stupne 0 jsou body, stupne 1 usecky a stupne 2 castiparabol.Krivky stupne 3 jsou pro aplikace nejdulezitejsı:

Mohou mıt inflexe.Mohou to byt prave 3d krivky s nenulovou torzı(pri zobrazenı do R

3).Mohou resit tzv. Hermitovskou C1 interpolaci.


Reparametrizace polynomalnıch krivek.

Uvazujme krivku

[1 + 3s − 3s2 + 3s3,1 − 6s2 + 6s3]

na intervalu s ∈ [−1,2] a reparametrizujme jı na standartnı intervalJ = [0,1]. Co zustane stejne, co se zmenı?

Dostavame

[−8 + 54t − 108t2 + 81t3,−11 + 90t − 216t2 + 162t3]

pro t ∈ [0,1].


Baze kubickych polynomu

Monomialnı baze M = (1, t , t2, t3), v te je vlastne krivka[−8 + 54t − 108t2 + 81t3,−11 + 90t − 216t2 + 162t3] vyjadrena.

Muzeme ovsem upravit jako[−8,−11] + [54,90]t + [108,−216]t2 + [81,162]t3.

Jakou jinou bazi muzeme zvolit, aby se neco zjednodusilo nebozlepsilo?

Bernsteinova kubicka baze B = (B30(t),B

31(t),B

32(t),B

33(t)), kde

Bni (t) =

(ni

)

t i(1 − t)n−i .

Fergusonova interepolacnı baze (definovana pozdeji).


Fergusonova kubika

Resıme Hermitovskou interpolaci, mame predepsano

c(0) = P0, c(1) = P1, c′(0) = V0, c′(1) = V1

.

Pozor na reparametrizaci, vhodne upravit delku vektoru V0 a V1

tak, aby byla priblizne rovna ||P1 − P0||.

Jak vypada hledanı kubicke c(t) v bazıch M a B? Jaka soustavarovnic se zde musı vyresit?

Existuje takova baze F = (f0(t), f1(t), f2(t), f3(t)), ve ktere budemıt problem jako resenı

c(t) = P0f0(t) + P1f1(t) + V1f2(t) + V2f3(t)?

Jinymi slovy, odpovıdajıcı soustava linearnıch rovnic majednotkovou matici?


Nekolik odpovedı

V monomialnı bazi M napıseme krivku jako

c(t) = A0 + A1t + A2t2 + A3t3

a koeficienty (A0,A1,A2,A3) pak dostaneme jako resenı soustavy

1 0 0 01 1 1 10 1 0 00 1 2 3

A0

A1

A2

A3

=

P0

P1

V0

V1

.

Tato matice je ve zaroven maticı prechodu [id ]MF

, protoze analogickauloha v bazi F ma mıt z definice jednotkovou matici. Z toho duvodumame

[id ]FM =

1 0 0 01 1 1 10 1 0 00 1 2 3

−1

=

1 0 0 00 0 1 0−3 3 −2 −12 −2 1 1

.


Nekolik odpovedı

A tedy Fergusonova baze F ma tvar

f0(t) = 1 − 3t2 + 2t3

f1(t) = 3t2 − 2t3

f2(t) = t − 2t2 + t3

f3(t) = −t2 + t3.


Novy DU

Danou prostorovou parametrickou krivku aproximujte pomocı nekolikakubik. Postupujte tak, ze z krivky odectete v (n + 1) bodechHermitovska data (polohu bodu a vektor prvnı derivace) a sousednıdata vzdy interpolujte kubikou. Pouzijte k tomu Bernsteinovu bazi.


Bezierova krivka - ideal geometrickeho modelovanı

Vse je zalozeno na Bernsteinove bazi polynomu stupne nejvyse n

Bn = (Bn0(t),B

n1(t), · · · ,B

nn(t)) ,

kde Bni (t) =

(ni

)

t i(1 − t)(n−i). Krivku potom parametrizujeme jako

c(t) =i=0∑

n

PiBni (t),

kde Pi ∈ RN jsou kontrolnı body.

http://cagd-applets.webarchiv.kit.edu/mocca/html/noplugin/inhalt.html


http://cagd-applets.webarchiv.kit.edu/mocca/html/noplugin/inhalt.html

Vyhody Bernsteinovy baze

Vznikla jako pravdepodobnostnı funkce pri konstrukcnım dukazuWeierstrassovy vety.

Nezapornost, symetrie a rozloznı extremu poskytujı idealnımodelarsky zaklad.

Rozklad jednotky poskytuje convex hall a variation diminishingvlastnosti.

Algebraicke vlastnosti Baze poskytujı jednoduche algoritmy DeCasteljau, degree elevation a pro derivovanı.

Nejstabilnejsı baze na intervalu [0,1].

Tema je standardnı - viz doplnkove materialy na webu.


Bernsteinovy polynomy

Definuji i-ty Bernsteinuv polynom stupne n jako

Bni (t) =

(

ni

)

t i(1 − t)(n−i).

Tento vyraz udava pravdepodobnost, ze pri n opakovanınahododneho jevu, ktery ma pravdepodobnost t , tento jevnastane prave i-krat.Bn =

(

Bn0(t),B

n1(t), · · · ,B

nn(t)

)

je baze polynomu stupne nejvyse n.Bn je rozklad jednotky, Bn

i (t) je nazaporny na [0,1] a ma jedinemaximum v bode t = i/n.Pro kazdou funkci f (t) spojitou na intervalu [0,1] definuji

fn(t) =i=0∑

n

f (in)Bn

i (t).

Pak platı fn ⇒ f (Bernstein 1912).


Bernsteinovy polynomy

Platı

Symetrie Bni (t) = Bn

n−i(1 − t)

RekurenceBn

i (t) = (1 − t)Bn−1i (t) + tBn−1

i−1 (t)

DerivaceBn

i (t)′ = n

(

Bn−1i−1 (t)− Bn−1

i (t))

Vnorenı prostoru Pn−1(t) < Pn(t)

Bn−1i (t) =

n − in

Bni (t) +

i + 1n

Bni+1(t)

Jaka je matice prechodu mezi monomialnı bazı Mn a Bn?


Bezierovy krivky

Definice: Mejme posloupnost n + 1 bodu Pi ∈ RN , kde

i = 0, . . . ,n. Tyto body nazyvame rıdıcı body a lomenou caru,ktera je postupne spojuje nazyvame rıdıcı polygon. Pakdefinujeme Bezierovu krivku

c(t) =i=0∑

n

PiBni (t).

Jak pro danou polynomialnı krivku nalezneme rıdıcı body?

Jak to je z pohledu afinnı geometrie (konvexnı kombinace bodu,afinnı zobrazenı)?


Hodograph (tecny vektor)

Pro derivaci (hodograph) krivky c(t) s rıdıcımi body Pi ∈ RN , kde

i = 0, . . . ,n platı

c′(t) =n−1∑

i=0

QiBn−1i (t),

kde Qi = n(Pi+1 − Pi).

Jak vypada Hermitovska interpolace pomocı Bezierovych kubik?


DeCasteljau algoritmus

Mejme rıdıcı body Pi ∈ RN , kde i = 0, . . . ,n a odpovıdajıcı

Bezierovu krivku c(t). Zafixujme pevne u ∈ [0,1] a definujemesystem bodu Pi,j indexovany dvema indexy i = 0, . . . ,n aj = 0, . . . , (n − i) takto:

P0,j := Pj

Pi,j := (1 − u)Pi−1,j + uPi−1,j+1 pro i > 0

Potom bod Pn,0 = c(u) a usecka Pn−1,0Pn−1,1 je tecnou v tomtobode.

Prımym dusledkem je, ze krivka lezı v konvexnım obalu rıdıcıhopolygonu.


Subdivision

Body Pi,0, i = 0, . . . ,n jsou rıdıcımi body casti krivky na intervalu[0,u].

Body Pi,n−i , i = 0, . . . ,n jsou rıdıcımi body casti krivky na intervalu[u,1].

Obe casti jsou napojeny se spojitosı G1 a pri reparametrizaci naspravne intevaly [0,u] a [u,1] se spojitostı C1.


Degree elevation

Krivky c(t) s rıdıcımi body Pi ∈ RN , kde i = 0, . . . ,n lze take

vyjadrit jako krivku s rıdıcımi body Qi ∈ RN , kde i = 0, . . . ,n + 1 a

Qi =i

n + 1Pi−1 + (1 −

in + 1

)Pi

DU naimplementujte DeCasteljau algoritmus.


Documents

Zbyneˇk Sˇ ı´r - Univerzita Karlovasir/modelovani/gm03hermite.pdf · Polynomia´lnı´ rovinne´ kˇivky Rovinna´ polynomia´lnı´ kˇivka je zobrazenı´ z omezene´ho intervalu