«ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ»
учитель :МБОУСОШ №37г. Новокузнецк Кривошеева Любовь Валерьевна
Определение
Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим log
ax b
0a Где 1a , Оно имеет единственное решение
bx a при любом b.
Равносильные уравнения.
Определение 1. Два уравнения с одной переменной и называют равносильными, если множества их корней совпадают. Иными словами, два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни (например и ) или если оба уравнения не имеют корней (например , и )
2х 2 2 4 0x x
5 03x
2 5 10 0x x
Определение 2. Если каждый корень уравнения является в то же время корнем уравнения то второе уравнения называют следствием первого.
f x g x
p x q x
Например, уравнение является следствием уравнения , в то же время уравнение
не является следствием уравнения .
2 4 0x x
2 2 80
x xx
2 0x 5 2 5x x x
Определение 3. Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.
Определение 4. Областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения называют множество тех значений переменной, при которых одновременно имеют смысл выражения и .
f x g x
f x g x
Основные методы решения логарифмических уравнений
1)по определению логарифма;например, уравнение loga х = b (а > 0, а≠ 1, b>0 ) имеет решение х = аb.
2) функционально-графический метод;
3) метод потенцирования;Под потенцированием понимается
переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их:если , loga f(х) = loga g(х), то f(х) = g(х), f(х)>0, g(х)>0 , а > 0, а≠ 1.
4. Метод введение новой переменной.
5. Метод логарифмирования обеих частей уравнения.
6. Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию.
Этапы решения уравнения
•Найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной
•Решить уравнение, выбрав метод решения
•Проверить найденные корни непосредственной подстановкой в исходное уравнение или выяснить, удовлетворяют ли они условиям ОДЗ
Виды простейших логарифмических уравнений и методы их решенияУравнение Решение
1 и 0 ,log а) aabxa
.1 и 0 ,)(log б) aabxfa
.1 и 0
, )(log)(log в)
aa
xgxf aa
bxfxg )(log г) )(
bax baxf )(
).()(
,0)(
,0)(
xgxf
xg
xf
bxgxf
xg
xg
)()(
,1)(
,0)(
Уравнения вида loga f(x) = b, a > 0, a ≠ 1.
Уравнения данного вида решаются по определению логарифма с учётом области определения функции f(x). Уравнение равносильно следующей системе
.)(
,0)(baxf
xf
Уравнения вида logf(x) b = с, b > 0.
Данное уравнение равносильно следующей системе
.)(
,1)(,0)(
,0
bxf
xfxf
b
c
Решить уравнения:
1. log3(5х – 1) = 2.
2. log2(х – 5) + log2(х + 2) = 3.
3. log3 (x2 – 3x – 5) = log3 (7 – 2x).
4. logx–19 = 2.
.4
,2
,2,1
;9)1(
,11,012
x
x
xx
x
xx
5. log6 (x – 1) = 2 – log6 (5x + 3).
Метод потенцирования применяется в том случае, если все логарифмы, входящие в уравнение, имеют одинаковое основание. Для приведения логарифмов к общему основанию используются формулы:
ax
xa log
1log
log2х – 2 logх2 = –1
Решение: ОДЗ: x > 0, х ≠ 1Используя формулу перехода к новому основанию, получим
Обозначим
Решить уравнения:
;7log61log7 xx
3log21log3 xx
.23log)1(log 13 xx
Введение новой переменной
,0)(log)(log2 CxfBxfA aa
где a > 0, a 1, A, В, С – действительные числа. Пусть t = loga f(x), tR. Уравнение
примет вид t2 + Bt + C = 0.Решив его, найдём х из подстановки t = loga
f(x). Учитывая область определения, выберем только те значения x, которые удовлетворяют неравенству f(x) > 0.
Пример 1. Решить уравнение lg 2 x – lg x – 6 = 0.
Решение. Область определения уравнения – интервал (0; ).Введём новую переменную t = lg x, tR.
Уравнение примет вид t 2 – t – 6 = 0. Его корни t1 = –2, t2 = 3.
Вернёмся к первоначальной переменной lg x = –2 или lg x = 3,х = 10 –2 или х = 10 3. Оба значения x удовлетворяют области определения данного уравнения (х > 0).Ответ. х = 0,01; х = 1000.
Пример 2. Решить уравнение
4)(loglog2 23
23 xx
Решение. Найдём область определения уравнения
.0;0
,0
;0
,02
x
x
x
x
x
Применив формулу логарифма степени, получим уравнение
.4)(log||log4 233 xx
Так как х < 0, то | x | = –x и следовательно
.4)(log)(log4 233 xx