Павлопольська ЗОШ І –ІІІ ступенів

Вчитель математики Чегодаєва Г.Б..

Як ви думаєте, як називаються такі рівняння:

055

,0183

,032x

2

2

2

xx

x

x

Зміст Означення квадратного рівняння Дискримінант квадратного рівняння Формула коренів квадратного рівнян

ня Теорема Вієта Задача Самостійна робота

Означення квадратного рівняння.

Озн. 1. Квадратним рівнянням називається рівняння виду

ах2 + bх + с = 0, де х –змінна, а, b і с - деякі числа, причому а 0.

Числа а, b і с - коеффіцієнти квадратного рівняння. Число а називають першим коеффіцієнтом, b – другим коєфіцієнтом і с – вільним членом.

Якщо в квадратному рівнянні ax2+bx+c=0

хоча б один з коефіцієнтів b або с дорівнює нулю, то таке рівняння

називається неповним квадратним рівнянням

КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

ПОВНІ НЕПОВНІ

Повні квадратні рівняння

Неповні квадратні рівняння

Квадратні рівнянння

а ≠ 0, в ≠ 0, с ≠ 0 а ≠ 0, в = 0, с = 0

х2+5х-7=0

х+х2-3=0

Х2-8х-7=0

25-10х+х2=0

7х2-2х=0

3х +х2=0

12 +5х2=0

9х2-8=0

а) 2х2 – х + 4 = 0

б) 6х - х2 + 7 = 0

в) 7 + 5х2 = 0

г) х – 6х2 = 0

д) - х + 7х2 = 15

а = 2, в = -1, с = 4;

а = -1, в = 16, с = 7;

а = 5, в = 0, с = 7;

а = -6, в =1, с = 0;

а = 7, в =-1, с = -15.

Визначте коєфіцієнти Визначте коєфіцієнти квадратних рівнянь:квадратних рівнянь:

Розвязати рівняння:

1 варіант:

а) 10х + х2= 0

б) 49х2 – 81 = 0

2 варіант:

а) 3х2 – 2х = 0

б) 125 + 5х2 = 0

Дискримінант квадратного рівняння

Озн. 2. Дискримінантом квадратного рівняння ах2 + bх + с = 0 називається вираз b2 – 4ac.Його позначають буквой D, т.б. D= b2 – 4ac.

Можливі три випадки: D 0 D 0 D 0

Якщо D 0

В цьому випадку рівняння ах2 + bх + с = 0 має два дійсних коренів:

.2

и 2

21a

Dbx

aDb

x

Якщо D = 0

В цьому випадку рівняння ах2 + bх + с = 0

має один дійсний корінь:

ab

x

ab

x

2

2

0

Якщо D 0

Рівняння ах2 + bх + с = 0 не має дійсних коренів.

Формула коренів квадратного рівняння

ах2 + bх + с = 0.

.42 ,2

де,21 acx bDa

Db

Розвязати рівняння 3x2- 2x - 16= 0

Тут a = 3, b = -2, c = -16.

Маємо D = b2- 4ac = (-2)2- 43(-16) = 196.

Так як D > 0, то рівняння має два коренів.

Знайдемо їх за формулою ,2a

Dbx

,26

142 и 2-

6

14232

21

xx

Самостійна робота Варіант 1.№1.Розвязати рівняння:а) х2+7х-44=0;б) 9у2+6у+1=0;в) –2t2+8t+2=0;г) а+3а2= -11.№2. При якихзначеннях х рівні значення многочленів:(2-х)(2х+1) і(х-2)(х+2)?

Варіант 2.№1. Розвязати рівняння:а) х2-10х-39=0;б) 4у2-4у+1=0;в) –3t2-12t+6=0;г) 4а2+5= а.№2 При якихзначеннях х рівні значення многочленів. :(1-3х)(х+1) і (х-1)(х+1)?

.

Алгоритм розвязку квадратного рівняння:

Знайти дискримінант квадратного рівняння D=b2-4ac.

якщо D<0, то дане квадратне рівняння не має коренів;

якщо D=0, то дане квадратне рівняння має єдиний

корінь, якийдорівнює                    

2).

                                                   

якщо D>0, то дане квадратне рівняння має

два коренів, які дорівнюють

Розвязати квадратне рівняння.

3Х2 –18Х+24=0D1=к2- ас

92-3•24=72=9>0

23

391

а

DкХ1=

Х2= 43

391

а

DК

Розвяжи рівняння способом Розвяжи рівняння способом виділення квадрата двочлена:виділення квадрата двочлена:

1 варіант: - 6х + х2 – 8 =0

2 варіант: 3х2 -10х + 3 = 0

3 варіант: х2 – 8х + 20= 0

Розвяжи рівнянняРозвяжи рівняння

за допомогою формул :за допомогою формул :1 варіант: а) -7х + 5х2 + 1 =0

б) (х – 1)(х + 1) = 2 (5х – 10,5) в) 6х – 9 = х2

2 варіант: а) 2х2 + 5х -7 = 0

б) –х2 = 5х – 14

в) х2 – 8х + 7 = 0

РОЗВЯЖИ РІВНЯННЯ ГРАФІЧНО:

1 варіант: 3х2 + 7х = - 6

2 варіант: а) х2 + 7х = -6

3 варіант: а) 6х + х2– 3 =0

Історичні відомості:

Квадратні рівнянння вперше зустрічаються в працях індійського математика та астронома Ариабхатти.

Інший індійський вчений Брахмагупта (VII в) виклав загальне правило розвязку квадратних рівнянь , яке практично співпадає з сучасним.

В Древній Індії були поширені публічні змагання з розвязку важких задач. Задачі часто звучали в віршованій формі. ________________________________________________

________________________________________________

Задача Бхаскари: На дві зграї розділившись,

Розважались в гаї мавпи,

Одна восьма їх в квадраті

Гучно разом забавлялись.

Криком радісним дванадцять

Все повітря колихали.

Разом скільки, ти дізнайся,

Мавп було утому гаї?

Розвязок задачи Бхаскары:

Нехай було x мавпочок, тоді в гаї розважалось –

Складаємо рівняння:

2

8

x

+ 12 = х

Відповідь: х1= 16 , х2= 48 мавпочок.

2

8

x

Задачі

Розвязати рівняння 2x2- 5x + 2 = 0.

Розвязати рівняння 2x2- 3x + 5 = 0.

Розвязати рівняння x2- 2x + 1 = 0.

Якщо перший коефіцієнт квадратного рівняння дорівнює 1, то таке рівняння називають зведеним

Наприклад,

03

;04

;012x

2

2

2

xx

x

x

Франсуа Вієт

Теорема Вієта.

Якщо зведене квадратне рівняння x2+px+q=0 має дійсні корені, тоді їх сума дорівнює -p, а добуток дорівнює q, тоді естьx1 + x2 = -p ,x1 x2 = q

(Сумма коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому с протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену).

Х2 – 14Х + 24 = 0

D=b2 – 4ac = 196 – 96 = 100

X1 = 2, X2 = 12

X1 + X2 = 14, X1•X2 = 24

Розвяжіть та перевірте!

Х2 + 3Х – 10 = 0

Х1·Х2 = – 10,

Х1 + Х2 = – 3,

Методом підбору знаходимо корені:

Х1 = – 5, Х2 = 2

Вгадайте корені

х2 – 7х + 12 = 0

х = 3, х = 4

х2 + 18х + 32 = 0

х = - 16, х = -2

х2 – 5х – 14 = 0

х = -2, х = 7

х2 + 5х + 6 = 0

х = -3, х = -2

х2 – 8х + 12 =

0 х = 2, х =

6 х2 + 5х + 4 =

0

х = -4, х = -1

х2 – 5х – 6 = 0 х = -1, х = 6

Розвяжи усно рівняння: