习题选讲（分治法）

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递归与分治 Rate of Return Binary Tree sicily 1935. 二叉树重建 电路稳定性 Monthly Expense Pie sicily 1028. Hanoi Tower Sequence 1211 商人的宣传 1071 Floors

3 2011-10-20

1017 Rate of Return

解题思路：当利润率在 [0,1]之间，假设投资额和时间不变，则利润率越高，最后的本金和利润总和越大。

因此对利润率进行二分查找，检查在假设的利润率下，比较最后的本金和利润总和与实际值，调整二分上下界，直到达到某个精度。

4 2011-10-20

1017 Rate of Return double find(double left,double right,int m,double x) { double center,s=0; center=(left+right)/2; if (right-left<=0.000000005) return center; for (int i=1;i<=m;i++) s+=a[i]*pow(1.0+center,m+1-i); if (s<x) return find(center,right,m,x); else return find(left,center,m,x); }

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Binary Tree Given a binary tree, every node of which

contains one upper case character (‘A’ to ‘Z’); you just need to print all characters of this tree in pre-order.

Input: 4 C 1 0表示标志符为 4的点，点值为C，其左儿子为标识符为 1的点，没有右孩子。3 4 C 1 3 1 A 0 0 3 B 0 0

Output: CAB2011-12-21

6

二叉树重建题目大意：输入一棵二叉树的先序遍历序列和中序遍历序列，输出它的广度优先遍历序列。

例如，先序 ABCDEF，中序 CBAEDF

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二叉树重建解题思路前序遍历，根节点最先被输出，所以 A是根结点。中序遍历，左子树的全部结点输出后，接着输出根结点，最后输出右子树的全部结点。

例如，先序 ABCDEF，中序 CBAEDFA

BCDE F

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二叉树重建左子树：前序 BC，中序 CB右子树：前序 DEF，中序 EDF

A

BCDE F

A

B

C

DE F

A

B

C

D

E F

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二叉树重建void build(int n, int dep, char* s1, char* s2){ if (n <= 0) return; int p = strchr(s2, s1[0]) - s2; lv[dep][ln[dep]++] = s1[0]; build(p, dep+1, s1+1, s2); build(n-p-1, dep+1, s1+p+1, s2+p+1);}

调用： build(strlen(s1), 0, s1, s2);

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电路稳定性题目大意：给出一个电路，以及各元件断路的概率。求整个电路断路的概率。

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电路稳定性 解题思路： n个元件，若它们的断路概率为 p1,p2,...,pn，则串联断路概率为 1-(1-p1)(1-p2)...(1-pn)，并联断路概率为 p1p2...pn。

问题的关键点是把字符串表示的电路转化为实际电路。

http://222.200.182.58/viewsource.php?sid=87438

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Monthly Expense

题目大意：农夫知道未来 N天每天的花费，他现在需要把这 N天分成连续的M段，使得花费最大的段花费最小。求这个花费。

1 <= N <= 100,000， 1 <= M <= N

13

Monthly Expense

解题思路：二分最高花费，再使用贪心的方法求出在这个花费下是否能把 N天分成M段且每段都不超过这个花费，从而调整二分的上下界。

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Monthly Expense while(min<=max){ mid=(min+max)/2; int t=0;int num=0; for(i=0;i<n;i++){ if(num+N[i]<=mid)num+=N[i]; else {t++; if(t>m)break; num=N[i];} } if(num)t++; if(t<=m){ ans=mid; max=mid-1; } else min=mid+1; }

15

Pie

题目大意：一共有 N个派和 F+1个人，每个人分到一份派，要求每个人分到的派的大小相等，问最大的面积是多少。

1 ≤ N, F ≤ 10 000

16

Pie

解题思路：二分派的大小，再使用贪心的方法求出在这个大小下，是否足够分给所有人，从而调整二分的上下界。

17

Pie

while(max-min>1e-5){ mid=(min+max)/2.0; int sum=0; for(i=0;i<n;i++) sum+=(int)(N[i]/mid); if(sum<f) max=mid; else min=mid; }

18 2011-10-20

1028 Hanoi Tower Sequence

题目大意：定义汉诺塔，共有三个柱子和很多的大小两两不同的盘子放在一个柱子上，要求把它们移到另一个柱子上，每次只能移动一个放在柱子最顶端的盘子，并且每次移动后需保证较小的盘子在较大的盘子上面。给出步数 p，求第 p步移动的盘子的大小。

p<=10^100

19 2011-10-20

1028 Hanoi Tower Sequence

解题思路： n个盘子的汉诺塔问题递归求解：把前 n-1个盘子移到第二根柱子上，把第 n个盘子移到第三根柱子上，把前 n-1个盘子移到第三根柱子上。

从一根柱子到另一根柱子，移动 1个盘子需要f(1)=1步，移动 k(k>1)个盘子需要 f(k)=f(k-1)+1+f(k-1)步。

即得到 f(k)=2^k-1。因此第 2^k步移动的是 k+1个盘子。在移动第 k+1个盘子后，左右对移地移动 k个盘子。

20 2011-10-20

1028 Hanoi Tower Sequence

把 p化成二进制数，假设现在 p里有超过1个位为 1，设最高位为 k，则在 2^k步前和 2^k步后对称，因此第 p步移的盘子与第 p-2^k步移的盘子一样。

直到 p里只有 1个位为 1，设此时p=2^m，则此步移动的是第m+1个盘子。

因此题目转化成二进制数 p，从低位起连续 0的位数，加 1，为答案。

21 2011-10-20

1028 Hanoi Tower Sequence

int cal(int a[],int n) { int cnt=1; while (a[n-1]%2==0) { cnt++; for (int i=0,temp=0;i<n;i++) { temp=temp*10+a[i]; a[i]=temp/2; temp%=2; } } return cnt; }

22 2011-10-20

1211 商人的宣传题目大意：有 n个州，m条单向边，规定天数为 L。共有 q个询问，每个询问为从州 A到州 B刚好为 L步的方案数。

23 2011-10-20

1211 商人的宣传解题思路：第 0天，每个州到自己的方案数为 1。第 n+1天，每个州 A到另一个州 B的方案数为，对所有州 C，第 n天从 A到 C的方案数与一天内从 C到 B的方案数的积，再对所有州求和。（即第 n天通过州 C作中转的方案）

24 2011-10-20

1211 商人的宣传 int cal(int A,int B) { int i,j,k; memset(ans,0,sizeof(ans)); ans[0][A][A]=1; for (k=1;k<=L;k++) { for (i=1;i<=n;i++) for (j=1;j<=n;j++) ans[k][A][i]+=ans[k-1][A][j]*edge[j][i]; return ans[L][A][B]; }

25 2011-10-20

1071 Floors

题目大意：一块长方形地板是由很多长方形瓷砖组成的，每次可以从中选一块，沿着瓷砖的边缘按直线切成两块，直到没有任何块可以继续此操作。求出此时最大的块的面积。

26 2011-10-20

1071 Floors

解题思路：对于每一块，尝试平行于长方形的两边分别切割。对于分出来的小块，递归进行重复操作。

判断是否可切割：按垂直于切割方向对瓷砖进行排序，切割线所切出来的块的面积与所在一侧的瓷砖总面积之和相等，则可切割。

27 2011-10-20

1071 Floors

void cal(int x1,int y1,int x2,int y2,int l,int r) { int s=(x2-x1)*(y2-y1); if (s<=ans) return; if (cutx(x1,y1,x2,y2,l,r)) return; if (cuty(x1,y1,x2,y2,l,r)) return; if (s>ans) ans=s; }

28 2011-10-20

1071 Floors bool cmpx(const rect &a,const rect &b) { return

a.xl<b.xl; } bool cutx(int x1,int y1,int x2,int y2,int l,int r) { sort(a+l,a+r+1,cmpx); int x=x1,s=0; for (i=l;i<r;i++) { s+=a[i].s; if (a[i].xh>x) x=a[i].xh; if (s==(x-x1)*(y2-y1)) { cal(x1,y1,x,y2,l,i); cal(x,y1,x2,y2,i+1,r); return true; } } return false; }

29

谢谢！