Муниципальное общеобразовательное учреждение «Костерёвская средняя общеобразовательная школа №2»Муниципальное общеобразовательное учреждение «Костерёвская средняя общеобразовательная школа №2» Петушинского района Владимирской области Петушинского района Владимирской области

Тема опытаМатематическое моделирование как средство

формирования ключевых компетенций при изучении математики в 5-7 классах

Автор опытаАвтор опыта Кабанова Галина ФёдоровнаКабанова Галина Фёдоровна

учитель математики МОУ учитель математики МОУ «Костерёвская средняя «Костерёвская средняя

общеобразовательная школа №2» общеобразовательная школа №2» Петушинского района Петушинского района

Владимирской области Владимирской области стаж работы 40 лет стаж работы 40 лет

высшая квалификационная категория высшая квалификационная категория

Петушинский район 2010Петушинский район 2010

Условия возникновения и становления опытаУсловием становления опыта можно считать требования,

предъявляемые учителю современным обществом. Школа должна формировать опыт самостоятельной деятельности и личной ответственности обучающихся, т.е. ключевые компетентности. Цель компетентностей – помочь ребёнку адаптироваться в социальном мире.

Актуальность опыта

Текущий интерес к теме моделирования объясняется тем значением, которое метод моделирования получил в современной науке, в особенности в физики, химии, биологии.

Модель – любой образ, аналог какого-либо объекта, процесса или явления.

Моделированием называется замещение одного объекта другим с целью получения информации об этом объекте путём проведения экспериментов с его моделью.

Ведущая педагогическая идея – это применение математического моделирования для формирования ключевых компетентностей.

Из курса информатики начальной школыИз курса информатики начальной школы

Классификация моделей по области использованияКлассификация моделей по области использования

Модели

Опытные ИгровыеУчебные

Научно-технические

Имитационные

Классификация по способу представленияКлассификация по способу представления

Материальные Информационные

Модели

ВербальныеЗнаковые

Компьютерные Некомпьютерные

Технология опытаТехнология опыта

Целью данного опыта является теоретическое и практическое Целью данного опыта является теоретическое и практическое обоснование необходимости реализации метода математического обоснование необходимости реализации метода математического моделирования для развития ключевых компетенций. моделирования для развития ключевых компетенций.

Задачи:Задачи:

Создать условия для обучения методу математического Создать условия для обучения методу математического моделирования средствами курса математики;моделирования средствами курса математики; определить роль и место математического моделирования – как определить роль и место математического моделирования – как общего способа учебной деятельности;общего способа учебной деятельности; систематизировать виды моделей;систематизировать виды моделей; разработать и апробировать систему заданий, формирующих разработать и апробировать систему заданий, формирующих практическое обучение построению математических моделей и работе практическое обучение построению математических моделей и работе с ними. с ними.

Формирование общего подхода к решению задачФормирование общего подхода к решению задач

Теоретической основой являются следующие этапы математического Теоретической основой являются следующие этапы математического моделирования:моделирования: этап этап II – перевод задачи на математический язык (построение – перевод задачи на математический язык (построение математической модели);математической модели); этап этап IIII – внутримодельное решение; – внутримодельное решение; этап этап III III – перевод полученных на этапе – перевод полученных на этапе IIII результатов на язык результатов на язык задачи.задачи.Пример 1Пример 1Одна сторона прямоугольного участка земли на 3м больше другой его стороны. Площадь участка равна 70 м2. Найти размеры этого участка.Обозначим ширину прямоугольника, выраженную в метрах, через x, тогда его длина равна (x+3) м, а площадь равна x(x+3) м2. Но по условию задачи площадь равна 70 м2. Таким образом, решением задачи является число x, удовлетворяющее равенству:

x (x+3) = 70Это равенство и является математической моделью данной задачи.Напомним, что для построения моделей задач, величины, в которых связаны отношением a=b∙c, удобно использовать таблицу:

Длина Ширина Площадь

(x+3) м x м x(x+3) м2 или 70 м2

Пример 2Пример 2Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава составляет медь в куске Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава составляет медь в куске бронзы, состоящей из 6 кг олова и 34 кг меди.бронзы, состоящей из 6 кг олова и 34 кг меди.II. Перевод задачи на математический язык. Перевод задачи на математический языка) внимательно прочитать задачу;а) внимательно прочитать задачу;б) выяснить, что надо найти: сколько процентов сплава составляет медь (процентное содержание б) выяснить, что надо найти: сколько процентов сплава составляет медь (процентное содержание меди в бронзе);меди в бронзе);в) выяснить, что дано масса олова (6 кг) и масса меди (34 кг)в) выяснить, что дано масса олова (6 кг) и масса меди (34 кг)Построение вспомогательной математической моделиПостроение вспомогательной математической модели

IIII. Внутримодельное решение. Внутримодельное решение1) 6+34+40 (кг) – масса сплава1) 6+34+40 (кг) – масса сплава2) 40:100=0,4 (кг) – сколько кг составляет 1% от куска сплава2) 40:100=0,4 (кг) – сколько кг составляет 1% от куска сплава3) 34:0,4=85% - процентное содержание меди в сплаве3) 34:0,4=85% - процентное содержание меди в сплаве Проверка решения (с помощью решения другим методом – алгебраическим)Проверка решения (с помощью решения другим методом – алгебраическим)IIIIII. Перевод полученных результатов на язык задачи. Перевод полученных результатов на язык задачи

6 кг

Олово Медь Бронза (сплав)

34 кг 40 кг

Пример 3Пример 3

На рисунке представлены случаи движения объектов.

Найти для каждого случая скорость сближения или скорость удаления. На сколько километров изменится расстояние между объектами через 3 ч после начала движения.

Моделирование условий задачМоделирование условий задач

В городе В городе NN живёт 100000 жителей. Среди них 10% детей и живёт 100000 жителей. Среди них 10% детей и подростков. Среди взрослых 35% не работает (пенсионеры, подростков. Среди взрослых 35% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых жителей работает?студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых жителей работает?

N100000 чел

Дети и подростки

10%

Взрослые?

Не работают35%

Работают?

Поиск новых форм моделей решения математических задачПоиск новых форм моделей решения математических задачЗадача ЭйлераЗадача Эйлера

Есть такой город Калининград, раньше он назывался Кенигсберг. Через город протекает река Преголя, она делится на два рукава и огибает остров. В 18 веке в городе было семь мостов, расположенных так, как показано на рисунке сверху. Рассказывают, что однажды житель города спросил у своего знакомого, сможет ли он пройти по всем мостам так, чтобы на каждом из них побывать только один раз и вернуться к тому месту, откуда началась прогулка? Многие горожане заинтересовались этой задачей. Однако, придумать решение никто не смог. Потом этот вопрос привлек внимание ученых разных стран. Разрешить проблему удалось знаменитому математику Леонарду Эйлеру. Причем, он решил не только эту конкретную задачу, но придумал общий метод решения подобных задач.

При решении задачи о Кенигсбергских мостах Эйлер поступил следующим образом: он "сжал" сушу в точки, а мосты "вытянул" в линии. Такую фигуру, состоящую из точек и линий, связывающих эти точки, называют ГРАФОМ. Точки А, В, С, D называют ВЕРШИНАМИ графа, а линии, которые соединяют вершины, - РЕБРАМИ графа. Решая задачу про Кенигсбергские мосты, Эйлер установил, СВОЙСТВА графа. В задаче о семи Кенигсбергских мостах все четыре вершины соответствующего графа - нечетные, т.е. нельзя пройти по всем мостам ровно один раз и закончить путь там, где он был начат.

Моделирование в электронных таблицахМоделирование в электронных таблицахЭтапы моделирования:1. Постановка задачи2. Разработка модели3. Компьютерный эксперимент4. Анализ результатовЗанимательная задача «Хитрая лиса»:В первую минуту лиса выбросила с воза 1 рыбку, во вторую минуту – 2 рыбки, в третью минуту В первую минуту лиса выбросила с воза 1 рыбку, во вторую минуту – 2 рыбки, в третью минуту – 4 рыбки, а в четвёртую минуту – 8 рыбок и т.д. Сколько всего рыбок выбросила лиса за 10 – 4 рыбки, а в четвёртую минуту – 8 рыбок и т.д. Сколько всего рыбок выбросила лиса за 10 минут?минут?

Решение в электронных таблицах:

А В

1 Номер минуты Количество рыбок

2 1 1

3 =А2+1 2

4 =А3*2

5

6

7

8

9

10

11

12 Количество рыбок за 10 минут

=СУММ (B2:B11)

Уровни заданийУровни заданий

Предметное содержание

Интегрированное содержание

Внепредметное содержание

Информированность

Осознанность

Функциональная грамотность

Частично-поисковая деятельность

Исследовательская деятельность

Оценочная деятельность

1. Если x – собственная скорость катера, а y – скорость течения реки, то чему равна скорость катера по течению?

A. x+y B. x-y C. y-x D. 2 (x+y)

2. Некий человек взял в долг у ростовщика 100 рублей. Между ними было заключено соглашение о том, что должник обязан вернуть деньги ровно через год, доплатив ещё 80% суммы долга, но через 6 месяцев должник решил вернуть долг. Сколько рублей он вернёт ростовщику?

3. Некоторый товар поступил в продажу по цене 800 руб. В соответствии с принятыми в магазине правилами цена нормализованного товара каждый месяц снижается на 10%. Сколько будет стоить товар на 50-й день, если не будет куплен?

A. 720 р B. 648 р C. 640 р D. 880 р

4. 1 киловатт-час электроэнергии стоит 1 рубль 80 копеек. Счётчик электроэнергии 1 ноября показывал 12 625 киловатт-часов, а 1 декабря 12 802 киловатт-часа. Сколько рублей нужно заплатить за электроэнергию за ноябрь.

5. Маша и Коля ходят в одну и ту же школу. Маша живёт в 3 км от неё, а коля в 5 км. На каком расстоянии живут друг от друга Маша и Коля?

Примеры компетентностно-ориентированных заданийПримеры компетентностно-ориентированных заданий

Диагностика компетентностейДиагностика компетентностей

Коммуникативная Информационная Компетентность решения проблем Способность к самообучению

Какое утверждение объясняет смену Какое утверждение объясняет смену дня и ночи на Земле?дня и ночи на Земле?

а) Земля вращается вокруг своей оси;б) Солнце вращается вокруг своей оси;в) Ось Землиг) Земля вращается вокруг Солнца.

Коммуникативная компетентность

1. Терминологическая грамотность

2. Обоснованность

3. Самостоятельность

4. Оригинальность

Информационная компетентность

Однажды в царстве минералов был объявлен конкурс красоты. В назначенный день в большой пещере со всех концов света собрались четыре тысячи лучших представителей населения минерального мира. Судьёй единодушно выбрали кварц. Он слыл справедливым и беспристрастным. Долго молчал Кварц, потрясённый всем увиденным. Наконец в тишине раздался его голос:

«Нет на земле ничего прекраснее минералов. Звёзды украшают небо, а минералы украшают Землю. Все хороши по своему. Ваши внутренние сокровища неисчерпаемы и поражают гармонией всякого, кто способен их увидеть. В этом конкурсе нет победителей, потому что победил каждый»

Выпишите слова, Выпишите слова, выражающие отношения выражающие отношения рассказчика к рассказчика к происходящемупроисходящему

Выявлять основной смысл (тему, идею) в содержании текста. Находить информацию в тексте. Интерпретировать текст.

Компетентность решения проблем

В некотором государстве национальный бюджет на оборону в 1980 году составил 30 млн долларов, а весь бюджет 500 млн долларов. В следующем 1981 году бюджет на оборону 35 млн долларов, а бюджет страны 605 млн долларов. Инфляция 10%.

а) Вас пригласили читать лекцию в обществе пацифистов. Вы намерены объяснить, что военный бюджет уменьшился. Как вы это сделаете?

б) Вас пригласили в военную академию. Вы намерены объяснить, что военный бюджет увеличился. Как вы это сделаете?

Понимание проблемы

Характеристика проблемы

Рефлексия результата решения проблемы

Презентация результата

С целью оценки результативности опыта предлагаю следующие данные качества знаний учащихся:

Положительная динамика качества знаний по математике за 3 года, где преподавание осуществляется с использованием методики внедрения математического моделирования.

МатематикаМатематика 2008 г.2008 г. 2009 г.2009 г. 2010 г.2010 г.

КлассКласс Качество Качество знанийзнаний

КлассКласс Качество Качество знанийзнаний

КлассКласс Качество Качество знанийзнаний

55 40%40% 66 45%45% 77 50%50%

Результативность опытаРезультативность опыта

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

2008 2009 2010

качество (%)

техническиевузыгуманитарныевузыколледжы

ПТУ

Об эффективности использования опыта свидетельствует и то, что в 2010 г. два выпускника получили медали (золотую и серебряную), успешно самореализовались все выпускники.

В технических В технических вузахвузах

В гуманитарных вузахВ гуманитарных вузах В колледжахВ колледжах В ПТУВ ПТУ

6 учеников6 учеников 6 учеников6 учеников 1 ученик1 ученик 1 ученик1 ученик