Глава 1 История возникновения теории вероятностейrobert-mayer-1921.narod.ru/olderfiles/1/Glavy_1_8.pdf · История возникновения

Глава 1. История возникновения и развития теории вероятностей

5


1.1. Предыстория науки о случайном. С глубокой древности были из-

вестны события, относительно которых нельзя было с определённостью

заявить, произойдут они или нет при очередном наблюдении. Например,

кто родится в семье – мальчик или девочка? Доживёт ли лицо А, которому

исполнилось 35 лет, до 70 лет? Дойдёт ли торговый корабль из Пирея в

Александрию благополучно, не попав в бурю? Подобных вопросов возни-

кало много, но они не становились предметом точного количественного

изучения, а обсуждались лишь в чисто качественном, философском смыс-

ле. Впрочем, некоторые выводы, весьма общего характера, всё же были

сделаны и нашли отражение в письменных памятниках той эпохи. Напри-

мер, было подмечено, что если в отдельной семье колебание числа маль-

чиков и девочек среди детей может быть очень большим, то в общине, где

количество детей исчисляется десятками и сотнями, происходит выравни-

вание – число мальчиков и девочек примерно одинаково. Констатация это-

го факта имеется, например, в материалах переписи населения Китая 2232

года до нашей эры, связанных с формированием воинских контингентов во

времена правления императора Яо.

Свою долю в развитии интереса к случайным явлениям внесли и

азартные игры. Более того, они послужили и некоторой базой для выра-

ботки первичных понятий теории вероятностей. Сейчас трудно установить,

кто впервые поставил вопрос, пусть и в весьма несовершенной форме, об

измерении самой возможности появления случайного события. Несомнен-

но, что это относится к очень древним временам. В литературных произве-

дениях, таких как «Божественная комедия» Данте, неоднократно встреча-

ются замечания об «игре в кости» и даже попытки подсчитать число бла-

гоприятствующих возможностей той или иной комбинации.

Более определенные вопросы, связанные со случайными событиями,

впервые встречаются в одном из первых математических сочинений нача-

ла итальянского Возрождения, написанном Лукой Пачоли (1445–1514), но-


6

сившее называние «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям

и пропорциональности». Существенное продвижение в решении простей-

ших задач теории вероятностей связано с именем итальянского врача, ма-

тематика и философа Дж. Кардано (1501–1576). В рукописи «Книга об иг-

ре в кости», датированной самим Кардано 1526 годом, но изданной лишь в

1663 году, были решены многие задачи, связанные с бросанием игральных

костей и выпадением на них того или иного числа очков. Он правильно

подсчитал числа различных случаев, которые могут произойти при броса-

нии двух и трех костей. Однако до понятия вероятности и формулировки

закона больших чисел, даже в самой несовершенной форме, Кардано ещё

не дошёл. Он интересовался лишь задачами комбинаторного характера и

достаточно далеко продвинулся в их решении.

Таким образом, уже в XVI веке возникали задачи чисто вероятностно-

го характера и упорно разыскивались подходы к их решению. Это неиз-

бежно приводило к необходимости развития, с одной стороны, комбина-

торных методов, а с другой – к поиску тех понятий, в терминах которых

можно было бы описывать возникающие вопросы. Ошибки, допущенные

одним исследователем, подмечались другими. Эти другие предлагали свои

способы, которые, в свою очередь, подвергались критическим замечаниям.

Постепенно вырабатывались подходы, которые позднее становились осно-

вой новой теории.

Заслуживает внимания вклад в это развитие известного естествоиспы-

тателя Галилео Галилея (1564–1642). Его работа «О выходе очков при игре

в кости», которая увидела свет только в 1718 году, была посвящена под-

счёту числа возможных исходов при бросании трёх костей. Числа всех

возможных случаев Галилей подсчитал самым простым и естественным

путём – он возвёл 6 (число различных возможностей при бросании одной

кости) в третью степень и получил 21663 . Далее Галилей подсчитал чис-

ло различных способов, которыми может быть получено то или другое

значение суммы числа выпавших очков. Ясно, что эта сумма может при-


7

нимать любое значение от 3 до 18. При подсчёте Галилей пользовался по-

лезной идеей – кости нумеровались и возможные исходы записывались в

виде троек чисел, причём на соответствующем месте стояло число очков,

выпавшее на кости с данным номером. Эта простая идея для своего време-

ни была новой и весьма полезной. Заметим, что у Галилея имеется лишь

подсчёт числа возможных случаев для каждого интересующего нас слу-

чайного события, но не было нигде понятия вероятности.

Большой вклад в формирование теории вероятностей внесли два ве-

ликих математика XVII века – Блез Паскаль (1623–1662) и Пьер Ферма

(1601–1665). Толчком к появлению интереса Паскаля к задачам теории ве-

роятностей послужили его встречи и беседы с одним из придворных фран-

цузского королевского двора – шевалье де Мере – азартным игроком, ин-

тересовавшимся философией, литературой и неплохо знавшим математику

своего времени. О последнем свидетельствуют теоретические вопросы, ко-

торые он предложил Паскалю. Вот эти вопросы.

Вопрос 1. Сколько раз надо подбросить две кости, чтобы число случа-

ев, благоприятствующих выпадению хотя бы раз сразу двух шестёрок, бы-

ло больше, чем число случаев, когда ни при одном бросании не появляют-

ся две шестёрки одновременно?

Вопрос 2. Как нужно разделить ставку между игроками, когда они

прекратили игру, не набрав необходимого для выигрыша числа очков?

К решению этих задач Б. Паскаль привлек жившего на юге Франции

П. Ферма. От писем, посвященных этим задачам, сохранились лишь три

письма Паскаля и четыре письма Ферма. Основное содержание писем Пас-

каля и Ферма посвящено разделу ставки. Хотя оба учёных исходили из од-

ной и той же идеи – делить ставку пропорционально вероятности выигры-

ша всей игры, но поскольку само понятие вероятности еще не было сфор-

мировано, они не заметили тождества своих исходных позиций. Но и это

было серьёзным шагом к зарождению основ теории вероятностей. В пред-

ложенных ими решениях можно увидеть начатки использования понятия


8

«математическое ожидание» и в весьма несовершенной форме «теорем о

сложении и умножении вероятностей». Точнее сказать, не вероятностей –

это понятие еще не было введено, а количеств случаев, благоприятствую-

щих тому или иному событию.

Заметим, что Б. Паскаль существенно продвинул развитие комбинато-

рики, указав на её значение для науки о случайном.

Перепиской Паскаля и Ферма и их решением задач, поставленных

де Мере, заинтересовался известный голландский ученый Х. Гюйгенс. Раз-

мышляя над аналогичными задачами, Гюйгенс в 1656 году опубликовал

специальное сочинение по этой проблеме. Как бы извиняясь за несерьёз-

ность решаемых задач, Х. Гюйгенс пишет: «...при внимательном изучении

предмета читатель заметит, что имеет дело не только с игрой, но что здесь

закладываются основы очень интересной и глубокой теории».

1.2. История науки о случайном. По существу, теория вероятностей

как наука начинается с работы Якоба Бернулли (1654–1705) «Искусство

предположений», опубликованной в 1716 году. В этом произведении уже

введено и широко использовано понятие вероятности случайного события,

доказаны некоторые общие теоремы и сделаны полезные примечания к ра-

боте Х. Гюйгенса.

Книга Я. Бернулли состоит из четырёх частей. Первая ее часть посвя-

щена изложению работы Х. Гюйгенса и примечаниям к её содержанию.

Эти примечания, как правило, имеют большой самостоятельный интерес.

В частности в одном из них установлена известная формула Я. Бернулли

для вероятности того, что при n независимых испытаниях событие А поя-

вится m раз с вероятностью, равной mnmmnn qpCmP )( )...,,1,0( nm , если в

каждом из испытаний событие А наступает с вероятностью p и не насту-

пает с вероятностью pq 1 .

Вторая часть «Учение о перестановках и сочетаниях» представляет

собой обзор того, что во времена Бернулли было известно о комбинатори-

ке, включая его собственные результаты.


9

Третья часть работы Бернулли «Применение учения о сочетаниях к

различным случайным играм и играм в кости» содержит 24 задачи с под-

робными решениями.

Четвёртая часть книги, носящая название «Применение предыдущего

учения к гражданским, моральным и экономическим вопросам», не может

считаться завершённой. В ней Бернулли рассмотрел большое число общих

вопросов, связанных с теорией вероятностей. Он очень чётко определяет

свои философские позиции, сводящиеся к полному детерминизму, полу-

чившему позднее наименование лапласовского. Как ни интересны фило-

софские взгляды Я. Бернулли, всё же не они составляют основное содер-

жание четвёртой части его книги, не они принесли неувядаемую славу её

автору. Центром всей книги и основным её результатом следует считать ту

теорему, на которой заканчивается изложение, и которая получила впо-

следствии название закона больших чисел в форме Бернулли. Заключалась

она в обосновании, подмеченного, по-видимому, на азартных играх сбли-

жения относительной частоты наступления случайного события с его ве-

роятностью при возрастании числа испытаний. Характер такого сближения

совсем не прост. С использованием современной символики этот закон

может быть сформулирован следующим образом: в последовательности

независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления

некоторого случайного события А имеет одно и то же значение p ,

10 p , верно соотношение: при любом 0 и n ,

0

pn

p n ,

где n частота, а n

n относительная частота появлений события А в

первых n испытаниях.

Теорема Бернулли явилась тем звеном, которое связало статистиче-

ские наблюдения с теорией вероятностей. Его рассуждения, связанные с

обоснованием этой теоремы, достаточно определённо показывают, что


10

Я. Бернулли отчётливо понимал, как можно использовать результаты на-

блюдений для оценки неизвестной вероятности случайного события.

Работа Я. Бернулли открыла перед теорией вероятностей новый путь

развития и переводила её в разряд математических дисциплин, имеющих

свою своеобразную тематику, связанную с изучением общих условий, при

которых совместное действие случайных факторов приводит к результату,

почти не зависящему от случая.

Первым, кто дал серьёзное продолжение результата Я. Бернулли, был

Абрахам де Муавр (1667–1754). В области теории вероятностей особого

внимания заслуживают три его работы: «О мере случая» (1711 год), книга

«Доктрина шансов» (1718 год) и «Аналитические этюды» (1730 год).

В последней работе Муавр открыл свои замечательные предельные

(локальную и интегральную) теоремы для случая 5,0 qp . Это был сле-

дующий за открытием теоремы Бернулли решающий шаг в развитии тео-

рии вероятностей, вызвавший многочисленные позднейшие исследования

и приведший к созданию обширной и бурно развивающейся и в XX веке

теории предельных теорем.

В 1768 году Т. Байес (1702–1761) опубликовал важную работу, в ко-

торой ввел понятия несовместимости случайных событий, их независимо-

сти, а также чётко сформулировал теоремы сложения и умножения вероят-

ностей.

Огромный вклад в развитие теории вероятностей внёс П. Лаплас. Он

первым дал определение вероятности, которое теперь известно как класси-

ческое, ввёл во всеобщее употребление теоремы Муавра для произвольно-

го p )10( p , ввёл в широкое употребление методы математического ана-

лиза.

Несмотря на стремительно растущую роль понятия вероятности слу-

чайного события, вскоре выяснилось, что даже для решения простейших

жизненно важных задач в области случайного одного этого понятия недос-

таточно. В демографии, практике страхования, при рассмотрении разного


11

рода модельных задач неизбежно встречались не только случайные собы-

тия, но и такие явления, которые мы теперь называем случайными величи-

нами. В частности, для страхования необходимы были таблицы разного

назначения: таблицы смертности, на дожитие и другие – прообразы таблиц

распределения случайных величин. В теоретических исследованиях поня-

тие случайной величины, правда, в неявном виде, стали использовать ещё

на начальных стадиях формирования науки о случайном.

Большую роль в формировании понятий случайной величины и её

распределения сыграли исследования результатов измерений.

Очередным толчком в соединении вероятностных и статистических

мотивов стал анализ измерения непрерывных величин. Когда стало оче-

видным, что измерить непрерывную величину абсолютно точно невоз-

можно, а можно только указать два числа, между которыми лежит изме-

ряемая величина, начались поиски средств уменьшения этого расстояния.

Считалось, что повысить ее можно только совершенствуя инструменты

измерения. Однако вычислители, в основном астрономы, разработали при-

ем, позволяющий повысить точность, не меняя инструмента измерения.

Пользуясь данными инструментами, они производили не одно, а несколько

измерений, после чего находили их среднее арифметическое, которое и

принимали за значение измеряемой величины. В начале XVII века к этой

проблеме обращался Г. Галилей. В своих записях он отметил следующие

характерные особенности случайных ошибок измерений. Во-первых, ма-

лые ошибки встречаются чаще, чем большие, во-вторых, положительные

ошибки встречаются так же часто, как и отрицательные. Отсюда Галилей

сделал вывод: «Среди возможных мест истинное местонахождение, надо

думать, будет то, вокруг которого группируется наибольшее число рас-

стояний». Поиском закономерностей, которым подчинены результаты из-

мерений, занимались многие математики, особенно математики XVIII ве-

ка. Построение теории ошибок наблюдений в основном было завершено в

самом начале XIX века почти одновременно математиками А.М. Лежан-


12

дром (1752–1833) и К.Ф. Гауссом (1777–1855). В результате их исследова-

ний большое значение приобрело нормальное распределение. Его значение

усилилось, когда в результате исследований, посвящённых, с одной сторо-

ны, артиллерийским, а с другой – биологическим проблемам, сложилось

впечатление, что случайные величины с нормальным распределением ок-

ружают нас повсюду и что именно нормальное распределение является за-

коном природы.

Начались поиски условий, в которых должно появляться нормальное

распределение. Руководящей идеей, у истоков которой стоял П. Лаплас и

ряд астрономов того времени, было мнение, что если случайная величина

является суммой большого числа независимых случайных величин, каждая

из которых мала по сравнению с суммой остальных, то суммарная величи-

на должна быть распределена нормально. Исследования нашего времени

показали, что эта гипотеза в чистом виде неверна, и для появления нор-

мального распределения необходимо выполнение дополнительных усло-

вий. Однако эти условия носят также весьма общий характер.

Так постепенно в науку входило новое важное понятие, которое са-

мим ходом развития знаний становилось необходимым. Следует сказать,

что уже к началу XIX века основное направление исследований в теории

вероятностей сместилось в сторону изучения случайных величин и связан-

ных с ними закономерностей. Развитие понятия случайной величины и её

функции распределения продолжалось длительное время, и многие деся-

тилетия его широко использовали без того, чтобы придать ему достаточно

определённый смысл. Чётких определений не было, а были лишь смутные

интуитивные представления, которые и служили путеводной нитью в тео-

ретических и прикладных работах.

Вторая половина XIX века прошла под знаком интенсивного развития

молекулярных представлений о строении материи. Роль теории вероятно-

стей при этом быстро возрастала. Появились новые вопросы, связанные со

статистической физикой, возросла роль классической проблемы о сходи-


13

мости распределения нормированных и центрированных сумм к нормаль-

ному распределению при неограниченном увеличении числа слагаемых.

Этой задачей занимались в разных планах П. Лаплас, С. Пуассон, О. Коши

(1789–1856), П.Л. Чебышев.

Чёткое определение функции распределения случайной величины, не-

зависимо от того, какое – конечное счётное или континуальное множество

значений она способна принять, впервые встречается только в работе

А.М. Ляпунова «Об одном предложении теории вероятностей» (1900).

В XX веке оказалось, что очень много весьма важных вопросов есте-

ствознания и инженерного дела требуют для своего полноценного рас-

смотрения привлечения идей и методов теории вероятностей, в том числе

и понятия случайной величины во всей его широте. Первоначально упот-

реблявшееся на чисто интуитивной основе, даже без попытки дать хотя бы

приблизительное определение, оно нашло серьёзное применение в физике

и потребовало обобщения на многомерный случай.

Когда же понятие случайной величины стало одним из основных, оно

нашло буквально неограниченное применение в естествознании, технике,

экономике, организации производства, возникла насущная необходимость

в его формализации, определении на базе общих идей, объединяющих всю

математику в единое целое. Основным средством такого объединения в

XX веке стала аксиоматизация. Наверное, впервые об этом чётко было ска-

зано Д. Гильбертом (1862–1943) в его докладе на Втором Международном

конгрессе математиков в 1900 году. Шестая проблема как раз и состояла в

построении аксиоматических основ теории вероятностей. Попытки по-

строения такой аксиоматической системы предпринимали многие матема-

тики: С.Н. Бернштейн (1880–1968), А. Ломницкий (1881-1941), Э. Борель

(1871–1956), Р. Мизеса (1883–1958). Однако наиболее успешной оказалась

система, разработанная А.Н. Колмогоровым, в которой было дано изложе-

ние основных понятий теории вероятностей на базе современной теории

множеств и теории меры. С этих позиций ему удалось построить единый


14

подход не только к понятиям случайного события и случайной величины,

но и подготовить базу для построения теории случайных процессов. Свою

систему А.Н. Колмогоров опубликовал в небольшой, но необычайно со-

держательной книге «Основные понятия теории вероятностей», изданной

первоначально в 1933 году в Германии в знаменитой серии издательства

Шпрингера. Через три года (1936) она появилась и в русском переводе.

Двадцатый век внес в развитие теории вероятностей принципиальные

изменения. Математики уже не могли удовлетворяться тем идейным на-

следием, которое им было получено от прошлого. В то время как физиков,

биологов, инженеров интересовал процесс, т.е. изменение изучаемого яв-

ления во времени, теория вероятностей предлагала им в качестве матема-

тического аппарата лишь средства, позволяющие изучать вероятности слу-

чайных событий и случайных величин. Для исследования изменений во

времени теория вероятностей конца XIX – начала XX века не имела ни со-

ответствующих понятий, ни общих приёмов, ни разработанных частных

схем. А необходимость их разработки ощущалась все острее. Естественно,

что в конце концов они были созданы, и ведущим среди них стало понятие

случайного процесса. Соответствующая теория была создана усилиями

многих математиков и связана прежде всего с именами А.Н. Колмогорова,

А.Я. Хинчина, Е.Е. Слуцкого, Н. Винера (1894–1964). Это понятие в наши

дни является одним из центральных и широко используется в самых раз-

нообразных областях естествознания, инженерного дела, экономики, орга-

низации производства. Теория случайных процессов принадлежит к одним

из самых быстроразвивающихся математических дисциплин. Несомненно,

что в значительной мере это определяется её глубокими связями с практи-

кой.

Глава 2. Включение элементов статистики и теории вероятностей в школьный курс математики

15

Глава 2. Включение элементов статистики и теории вероятно-

стей в школьный курс математики

Попытки включения элементов теории вероятностей и статистики в

программы различных учебных заведений предпринимались в России не-

однократно, начиная с первой половины XIX века. В частности известно,

что они некоторое время преподавались в Царскосельском лицее. Перио-

дически появляясь, а затем вновь исчезая, они во второй половине XIX ве-

ка утвердились в реальных и кадетских училищах России. Вскоре после

четвертого Международного математического конгресса (1908 год), на ко-

тором под руководством Ф. Клейна обсуждалась модернизация школьного

математического образования, элементы теории вероятностей были вве-

дены в массовую школу развитых стран Европы, США и Японии. Вызвано

это было, разумеется, не только призывами Ф. Клейна. Большую роль сыг-

рало понимание общественностью этих стран того, что в демократических

странах с рыночной экономикой и массовым производством не только

предприниматели и производители товаров, но и потребители должны раз-

бираться в законах распределения случайных величин, различать «чест-

ные» и «нечестные» сделки, особенности системы страхования и т.д.

Определенные шаги в том же направлении были предприняты и в

России, о чем определенно говорилось на I и II Всероссийских съездах

преподавателей математики (1911 и 1913 годы). Выступивший на съезде

П.А. Некрасов, говоря о необходимости включения элементов теории ве-

роятностей и законов больших чисел в программы всех школ (в разных

объемах), предложил за основу взять программы, действовавшие в те годы

в школах Англии. В соответствии с этими программами там изучались

теория соединений, вероятность, теорема Бернулли, теоремы сложения и

умножения вероятностей, математическое ожидание, теорема Чебышева о

средних, формулы Байеса, задача о разорении игроков, страхование жизни.

Начавшаяся мировая война, а затем пролетарская революция и последо-

вавшая за ней гражданская война помешали реализации идей съездов. Од-


16

нако сразу после завершения гражданской войны попытки введения эле-

ментов теории вероятностей в школьную математику возобновились. На

необходимость изучения в школе статистики обращали внимание В.И. Ле-

нин и Н.К. Крупская. В программы рабочих факультетов физико-

технического и биологического направлений были включены разделы, в

которых содержались вопросы теории вероятностей и статистики. Однако

школа того времени по ряду объективных причин (нехватка учебников, от-

сутствие методических пособий, необязательность выполнения программ,

несовершенство методов преподавания, отсутствие оценок и экзаменов) не

могла обеспечить необходимых знаний. Через два года советская школа

вступила в полосу многолетних педагогических экспериментов, отрица-

тельно сказавшихся на математической подготовке учащихся. Только в

1933 году школа вновь вернулась к предметной системе обучения, были

введены новые учебные планы и программы, но вопросам теории вероят-

ностей и статистики места в них не нашлось.

К середине XX века роль теории вероятностей в решении научных и

практических проблем резко возросла. Расширилась практика применения

вероятностных законов к изучению больших совокупностей, что разру-

шало концепцию жестко детерминированного мироустройства. Успешное

применение статистических методов в физике, биологии, инженерной

практике привело к установлению новой, вероятностно-статистической

концепции устройства мира, в корне меняющей все научное мировоззре-

ние. Под влиянием этих процессов в научной среде стал постепенно ме-

няться взгляд на цели изучения в школе элементов статистики и теории ве-

роятностей. Представители естественных наук стали все активнее выра-

жать обеспокоенность тем, что школа упорно продолжает формировать в

сознании учащихся идеи жесткой детерминации, тогда как в современной

им науке все большую роль начинают играть вероятностно-статистические

модели.


17

Хотя в Советском Союзе в те годы работало много крупнейших спе-

циалистов с мировым именем в области теории вероятностей и математи-

ческой статистики, в практику школьного преподавания элементы теории

вероятностей так и не были включены. Даже когда в конце шестидесятых

годов в нашей стране под руководством А.Н. Колмогорова была осуществ-

лена радикальная реформа школьного математического образования, в но-

вых программах элементам теории вероятностей и статистики так и не на-

шлось места. Сказывалось отсутствие экспериментально проверенных ме-

тодик, учебно-методической литературы. Пугало и смутное предчувствие

трудностей, с которыми из-за необычности материала неизбежно столкну-

лись бы учителя и школьники.

И все же некоторые подвижки произошли. Было принято решение о

включении элементов теории вероятностей и статистики в перечень реко-

мендуемых факультативных занятий, а также о возможности (по усмотре-

нию учителя) включения этих вопросов в программу школ с углубленным

изучением математики. Характерно, что программы этих школ предусмат-

ривали изучение теоретико-вероятностного материала практически без

связи со статистикой и без упоминаний о возможных приложениях.

В семидесятые-восьмидесятые годы была опубликована серия статей,

в которых обсуждался опыт факультативных занятий по теории вероятно-

стей и статистике. В частности, обсуждался вопрос, на какой основе целе-

сообразнее строить факультатив – на основе статистического или класси-

ческого определения вероятности. Судя по опубликованным материалам,

большинство факультативов, а также курсов теории вероятностей в шко-

лах с математическим уклоном строилось на основе классического опреде-

ления вероятностей, что обеспечивало этим курсам необходимую с точки

зрения учителей логическую чистоту и обоснованность. В эти же годы бы-

ло опубликовано много популярных, посвященных школьникам книг по

теории вероятностей и математической статистике.


18

Большой вклад в разработку проблем изучения в школе элементов

теории вероятностей и статистики внес академик Б.В. Гнеденко. Выражая

озабоченность представителей естественных наук отсутствием в програм-

мах общеобразовательных школ Советского Союза элементов теории ве-

роятностей и статистики, а также недооценкой педагогической обществен-

ностью важности формирования у школьников нового мировоззрения,

Б.В. Гнеденко ввел понятие статистического мышления, приписав ему

многие качества, свойственные новому мировоззрению. Характерными

чертами статистического мышления он считал:

– понимание того, что в мире случайного есть свои закономерности;

– умение, пользуясь простейшими из этих закономерностей модели-

ровать случайные явления и прогнозировать их исходы;

– умение и привычка за обобщающими вероятностными понятиями

видеть их статистическую природу;

– умение анализировать большие совокупности с помощью вероятно-

стно-статистических законов и содержательно интерпретировать получен-

ные результаты.

При этом Гнеденко считал что, «восприятие новых идей, означающих

перестройку взглядов на природу и на управляющие ее явлениями законы,

требует длительного времени и поэтому изложение этих концепций долж-

но происходить постепенно на протяжении нескольких лет обучения» [1].

В начале 90-х годов ряд школ России в порядке эксперимента был пе-

реведен на работу по новой модели «Экология и диалектика» (автор и на-

учный руководитель проекта академик Л.В. Тарасов). В соответствии с

идеологией проекта в учебные планы этих школ в качестве самостоятель-

ной учебной дисциплины был включен особый, изучавшийся за пределами

курса математики предмет «Закономерности окружающего мира», посвя-

щенный прежде всего элементам теории вероятностей.

Научно-методическим проблемам, связанным с изучением в школе

элементов теории вероятностей и математической статистики, был посвя-


19

щен ряд теоретических и экспериментальных исследований. Однако ре-

зультаты этих исследований не были реализованы в практике обучения

школьников. Возникшие на этом пути трудности были проанализированы

в докторской диссертации Д.В. Маневича. Характерно, что одной из ос-

новных задач своего исследования Д.В. Маневич по-прежнему (и это в

1991 году) считал задачу «доказать необходимость изучения теории веро-

ятностей и математической статистики в школе». Один из важнейших ре-

зультатов этого анализа – тезис о том, что для усвоения начал теории веро-

ятностей необходим предварительный запас идей, представлений, привы-

чек, коренным образом отличающихся от тех, которые развиваются у

школьников при традиционном обучении в рамках ознакомления с зако-

номерностями строго детерминированных явлений.

К концу советского периода многие исследователи, прежде всего

В.Д. Селютин, пришли к выводу, что статистика и вероятность должны

вводиться в школьное обучение не отдельными, изолированными курсами,

а в виде сквозной содержательно-методической линии, которая обеспечи-

вала бы формирование и развитие представлений о статистической приро-

де явлений окружающего мира.

Только в самом конце XX века был принят ряд решений, означавших,

что в ближайшие годы в школьные программы наконец-то будут включе-

ны элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Об этом

решении педагогическая общественность узнала из приложения «Матема-

тика» к газете «Первое сентября» № 31 за 1998 год. В нем главный специа-

лист Управления Министерства образования Российской Федерации

Г.М. Кузнецова, отвечая на вопрос корреспондента, сообщила: «Да, кор-

рективы предполагаются. И в первую очередь это связано с необходимо-

стью включения в ядро школьного образования блока вероятностно-

статистических вопросов (так называемой линии анализа данных)».

Следующим шагом в этом направлении было включение в проект ба-

зового уровня образовательного стандарта среднего (полного) общего об-


20

разования по математике (опубликован в 2002 году) обязательного мини-

мума содержания блока вероятностно-статистических вопросов (линии

анализа данных). В соответствующем разделе этого документа следующим

образом обозначены методологические и практические цели изучения это-

го блока. Выпускник старшей школы должен иметь элементарные пред-

ставления о существовании вероятностно-статистических закономерностей

в окружающем мире, о детерминированных и случайных событиях, уметь

применять классическую модель вероятности для оценки справедливости

случайных игр и для взвешивания личных шансов в таких играх, прогно-

зировать наступление событий на основе статистики и вероятности. Уче-

ник должен уметь принимать решения в условиях неполной и избыточной,

точной и вероятностной информации, обоснованно решать вопрос об уча-

стии в лотереях, азартных играх и финансовых пирамидах. Он должен по-

нимать вероятностную сущность страховой и банковской деятельности,

понимать, что реальный мир подчиняется не только детерминированным,

но и статистическим закономерностям, и уметь использовать их для реше-

ния задач повседневной жизни.

Реализация указанных целей и формирование названных компетент-

ностей достигаются в результате освоения следующего содержания обра-

зования. «Элементы комбинаторики, статистики и вероятность. Случайные

события. Достоверное и невозможное события. Статистический экспери-

мент. Частота события в статистическом эксперименте. Частота и вероят-

ность. Классическая модель вероятности. Поле событий, элементарные и

сложные события в классической модели вероятности. Вероятность слож-

ного события. Условная вероятность. Независимые события. Геометриче-

ская вероятность. Парадокс Бюффона. Статистические исследования. Уро-

вень достоверности. Генеральная совокупность. Выдвижение и проверка

статистических гипотез. Выборка, репрезентативная выборка. Применение

статистических методов в естественных и гуманитарных науках».


21

Как видим, последний раздел проекта определенным образом свиде-

тельствует о намерении программного отдела министерства хотя бы час-

тично реализовать прикладные возможности вероятностно-статистических

методов и на этой основе сформировать статистическое мышление и новое

мировоззрение. При этом было проигнорировано мнение Гнеденко, что

знакомить учащихся с применением статистических методов в естествен-

ных и гуманитарных науках следует общими усилиями прежде всего учи-

телей естественнонаучного цикла дисциплин. Учителей математики успо-

каивали тем, что со временем применение статистических методов в есте-

ственных и гуманитарных науках, демонстрируемые на уроках математи-

ки, можно будет передать для рассмотрения другим учебным предметам.

Учителя, не получившие необходимой для реализации этих целей

подготовки, отнеслись к этим нововведениям с большой долей пессимиз-

ма. Большинство из них выполнить подобную программу без серьезной

дополнительной работы не могли.

После принятия на министерском уровне решения о включении в

школьный курс математики элементов теории вероятностей и статистики

резко возросло количество работ, посвященных вопросам методики препо-

давания стохастики в школе.

Последним шагом в цепи многократных попыток включения в школь-

ное преподавание вероятностно-статистических вопросов стало включение

в принятые в 2004 году новые Государственные стандарты школьного об-

разования [2] специального блока «Элементы логики, комбинаторики, ста-

тистики и теории вероятностей».

В соответствии с новой структурой образовательных стандартов и

программ в этом документе уже ничего не говорится о целях включения в

школьные программы вероятностно-статистических вопросов. Вместо это-

го содержательная часть программы пополнена перечнем теоретических и

прикладных умений, которыми должны овладеть школьники соответст-

вующего уровня обучения.


22

Содержательная часть Новой программы основного общего образо-

вания включает следующие вопросы, касающиеся комбинаторики, стати-

стики и теории вероятностей:

– Примеры решения комбинаторных задач: перебор вариантов, прави-

ло умножения.

– Статистические данные. Представление данных в виде таблиц, диа-

грамм, графиков. Средние результатов измерения. Понятие о статистиче-

ском выводе на основе выборки. Понятие и примеры случайных событий.

– Вероятность. Частота события, вероятность. Равновозможные и под-

счет их вероятности. Представление о геометрической вероятности.

В стандарт среднего (полного) общего образования по математике

включены следующие вопросы:

– Табличное и графическое представление данных. Числовые харак-

теристики рядов данных.

– Поочередный и одновременный выбор нескольких элементов из ко-

нечного множества. Формула числа перестановок, сочетаний, размещений.

Решение комбинаторных задач. Формула бинома Ньютона. Свойство би-

номиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.

– Элементарные и сложные события. Рассмотрение случаев и вероят-

ность суммы несовместных событий, вероятность противоположного со-

бытия. Понятие о независимости событий. Вероятность и относительная

частота наступления события. Решение практических задач с применением

вероятностных методов.

Практически те же вопросы включены в стандарт среднего (полного)

профильного образования по математике.

При сопоставлении новой программы с той, которая содержалась в

Проекте 2002 года, обращает на себя внимание то, что приведенная в Про-

екте 2002 года развернутая формулировка «Статистические исследования.

Уровень достоверности. Генеральная совокупность. Выдвижение и про-

верка статистических гипотез. Выборка, репрезентативная выборка. При-


23

менение статистических методов в естественных и гуманитарных науках»

заменена одним лаконичным предложением «Понятие о статистическом

выводе на основе выборки». С одной стороны, этот пункт программы вро-

де бы соответствует ставившимся ранее целям, так как утверждает необхо-

димость знакомства учащихся с выборочным методом исследования боль-

ших совокупностей, а следовательно, и со всеми его атрибутами (понятия-

ми генеральной совокупности, репрезентативной выборки, уровня досто-

верности и т.д.), но, с другой стороны, как бы ориентирует учителя на по-

верхностное изложение соответствующего материала, не оговорив необхо-

димость вероятностной оценки, неизбежно возникающей при использова-

нии выборочного метода ошибки репрезентативности. Однако такой под-

ход может породить у школьников крамольную мысль о возможности без

всяких оговорок по части судить о целом.

Чем могли быть вызваны такие изменения? Скорее всего, желанием

максимально облегчить учителям вхождение в новую для многих из них

область психолого-педагогических и методических задач. К сожалению,

при таком поверхностном знакомстве с выборочным методом исследова-

ния больших совокупностей познакомить школьников с новым научным

мировоззрением и практикой вряд ли возможно. Известно, что переворот в

мировоззрении, во всей научной и прикладной практике произошел не то-

гда, когда было введено понятие вероятности и решены многие задачи иг-

ровой практики, включая финансовые, а тогда, когда научились на задан-

ном уровне надежности оценивать случайные ошибки, возникающие при

распространении результатов анализа выборки на всю генеральную сово-

купность. Поэтому упомянутый выше пункт Новой программы «Понятие о

статистическом выводе на основе выборки» следует рассматривать в каче-

стве заявки на будущее, более развернутое и полноценное изложение соот-

ветствующего материала. Решение этой проблемы усложняется тем, что

среди учителей мало тех, кто смог со студенческих лет сохранить знания

соответствующего материала. Проблема усугубляется тем, что в педагоги-


24

ческих вузах этот вопрос, завершающий курс теории вероятностей и ма-

тематической статистики, как правило, остается без соответствующей про-

работки в системе задач. Поэтому прежде чем обсуждать проблемы, свя-

занные с возможным изучением в школе выборочного метода, необходимо

напомнить читателям, хотя бы в сжатом виде, о сути этого метода.

Необходимо также уточнить смысл такого широко используемого при

обсуждении рассматриваемых вопросов понятия, как новое вероятностно-

статистическое мировоззрение.

Соответствующий материал содержится в главе третьей нашего посо-

бия.

Глава 3. Теория вероятностей и новое научное мировоззрение

25


Прежде чем переходить к конкретным проблемам преподавания в

школе элементов теории вероятностей и статистики, рассмотрим смысл

таких понятий, как новое научное мировоззрение, вероятностно-статисти-

ческая концепция мира и статистическое мышление. Это тем более важно,

так как, с одной стороны, именно эти понятия чаще всего используются

при формулировании целей введения в школьный курс математики эле-

ментов теории вероятностей и статистики, а с другой – своей неопределен-

ностью и неконкретностью больше всего пугают учителей.

3.1. Вопрос о случайном и закономерном и связи между ними волно-

вали многих ученых и философов. По этому поводу разгорались ожесто-

ченные споры, являвшиеся прежде всего следствием различного понима-

ния связи случайности с причинностью. Детерминисты, считавшие, что все

должно иметь причину, понимали случайность как явление, причина кото-

рого неизвестна; когда же причина познается, «мнимая» случайность исче-

зает и все оказывается необходимым. Родоначальником такой точки зре-

ния был древнегреческий философ Демокрит. В Новое время ее разделяли

Спиноза, Гольдбах, Л. Бюхнер и другие.

От метафизического противопоставления случайности и необходимо-

сти первым в истории философии отказался Гегель. По его мнению, нечто

становится случайным не в силу беспричинности, а потому, что оно не

может быть объяснено из самого себя. В необходимом процессе причина

есть нечто внутреннее, а в случайном – нечто внешнее по отношению к

нему. Поскольку каждое реальное явление порождается как внутренними,

так и внешними причинами, оно не может быть ни «абсолютно чистой»

необходимостью, ни «абсолютно чистой» случайностью. Отсюда вытекала

относительность противопоставления случайности и необходимости: то,

что случайно в одном отношении, в одном ряду причин, оказывается необ-

ходимым в другом отношении, в другой причинной цепи. Г.В. Плеханов


26

писал: «Случайность, есть нечто относительное. Она является лишь в точ-

ке пересечения необходимых процессов».

Для иллюстрации этой мысли рассмотрим две цепи событий. Первая

из них заключается в том, что под действием лучей весеннего солнца ско-

пившийся на краю крыши снег, подтаивая, сдвигается к краю и падает

вниз. Вторая – в том, что мимо данного дома проходит спешащий на рабо-

ту человек. Каждая из этих двух цепей событий протекает закономерно и

имеет свои внутренние причины. Однако то, что снег упал именно в тот

момент, когда мимо проходил человек, является событием случайным.

В соответствии с точкой зрения Гегеля для снятия статуса случайно-

сти с пересечения рассмотренных выше последовательностей событий их

надо объединить в общий временной поток и выстроить объединяющую их

цепь причинно-следственных событий. Как правило, справиться с такой

задачей из-за огромности числа элементов подобной цепи оказывается

практически невозможным.

Обратимся теперь к мнению ученых – математиков и физиков. В связи

с этим заметим, что вся классическая физика и обслуживающая ее матема-

тика строились в рамках детерминистских представлений. Их определяю-

щей чертой являлась жесткая детерминированность (причинная обуслов-

ленность) и строго однозначный характер всех без исключения связей и

зависимостей. В негативной формулировке это означает: там, где нет стро-

гой однозначности в связях, нельзя говорить и о соответствующих законо-

мерностях.

Среди окружающих людей процессов особый интерес мыслителей вы-

зывали явления с различными случайными исходами, при повторении ко-

торых наблюдалось нечто постоянное, устойчивое, что впоследствии по-

лучило название вероятности. Выделяя подобные процессы среди других

случайных явлений, их иногда называют вероятностными. Введение поня-

тия вероятности как некой устойчивой характеристики случайного процес-

са, в некотором смысле аналогичного понятию математического ожидания


27

случайной величины, не решило вопроса о природе вероятностных про-

цессов.

Ученые XVII–XVIII веков, стоящие у истоков теории вероятностей,

приложили немало усилий, чтобы увязать основные представления о слу-

чайном с укоренившимися представлениями о жесткой детерминации. В

этом отношении характерны мысли Якоба Бернулли, высказанные им в

четвертой части его книги «Искусства предположений».

«Совершенно несомненно, – писал он, – что при данном положении

(игральной) кости, скорости и расстояния от доски в тот момент, когда

кость оставляет руку бросающего, она не может падать иначе, чем падает

на самом деле.

Равным образом при данном составе воздуха и данных массах, поло-

жениях, направлениях, скоростях ветров, паров и облаков, а также механи-

ческих законах, по которым все это взаимодействует, завтрашняя погода

не может быть иной, чем та, которая на самом деле должна быть. Так что

эти явления из своих ближайших причин следуют с неменьшей необходи-

мостью, чем затмения из движения светил. И, однако, обычно только за-

тмения причисляются к явлениям необходимым, падение же кости и бу-

дущая погода – к случайным. Причина этого исключительно та, что пред-

полагаемое данным на самом деле в природе нам недостаточно известно. И

если бы даже это было известно, то недостаточно развиты математические

и физические знания, чтобы, исходя из данных причин, подвергнуть такие

явления вычислению, подобно тому, как из совершенных принципов ас-

трономии могут быть предвычисляемы и предсказываемы затмения». И

далее, завершая свою мысль, Я. Бернулли пишет: «Случайность главным

образом зависит от нашего знания».

Почти через сто лет аналогичные мысли были высказаны П. Лапласом

в известном его сочинении «Опыты философии теории вероятностей», яв-

лявшемся обширным введением к курсу лекций по теории вероятностей,

прочитанному Лапласом в Нормальной школе в 1795 году. Позднее оно


28

вышло в свет в 1812 году в качестве введения к известной монографии Ла-

пласа «Аналитическая теория вероятностей».

Ниже приведена довольно большая выдержка из этого сочинения,

чтобы показать, как созвучны мысли Лапласа идеям Я. Бернулли.

«Все явления, даже те, которые по своей незначительности как будто

не зависят от великих законов природы, суть следствия столь же неизбеж-

ные этих законов, как обращение Солнца. Не зная уз, соединяющих их с

системой мира в целом, их приписывают конечным причинам или случаю,

в зависимости от того, происходили ли, следовали ли они одно за другим с

известной правильностью или же без видимого порядка; но эти мнимые

причины отбрасывались по мере того, как расширялись границы нашего

знания и совершенно исчезали перед здравой философией, которая видит в

них лишь проявление неведения, истинная причина которого – мы сами».

И далее: «Ум, которому были бы известны для какого-либо данного мо-

мента все силы, одушевляющие природу, и относительное положение ее

составных частей, если бы вдобавок он оказался достаточно обширным,

чтобы подчинить эти данные анализу, обнял бы в одной формуле движе-

ния величайших тел вселенной наравне с движением легчайших атомов; не

осталось бы ничего, что было бы для нас недостоверно, и будущее, так же,

как и прошедшее, предстало бы перед его взором. Ум человеческий в со-

вершенстве, которое он сумел придать астрономии, дает нам представле-

ние о слабом наброске того разума».

Таким образом, признавалось, что все процессы природы причинно

связаны и однозначны и, следовательно, детерминированы. В теоретиче-

ских рассуждениях процесс признавали детерминированным, если удава-

лось построить однозначную причинно-следственную модель этого про-

цесса. Если построить такую модель не удавалось, то его результат, а ино-

гда и сам процесс называли случайным. Такому взгляду на явления приро-

ды и средства их описания соответствовал двузначный характер Аристоте-

левой логики, в которой всякое высказывание признается либо истинным,


29

либо ложным. Но постепенно, с развитием аппарата теории вероятностей,

последний стал все чаще применяться к решению прикладных задач. Хотя

такое включение в ткань строго детерминированной математики вероят-

ностных переходов разрушало однозначный характер процесса и его ре-

зультата, но зато позволяло хотя бы вероятностно оценить их. Такие про-

цессы и соответствующие им математические модели иногда называют ве-

роятностно-детерминированными. Их применение в конце концов приве-

ло к существенному изменению облика всей математики и применяемой в

ней логики. Наряду с высказываниями типа «из A следует B» стали исполь-

зоваться высказывания типа «из A с вероятностью p следует B», Более то-

го, стало возможным вообще ограничиться высказываниями второго типа,

так как высказывание «из A следует B» равносильно высказыванию «из A

достоверно следует B». Использование таких моделей является основным,

что дало математике новое научное мировоззрение. Нам представляется,

что главный вклад, который учитель математики может внести в дело

формирования нового научного мировоззрения, – научить школьников ве-

роятностно-детерминированному моделированию с использованием де-

ревьев логических возможностей с заданными на них вероятностными

мерами. В дальнейшем ради удобства, это качество будем называть «веро-

ятностное моделирование».

3.2. Успешное использование вероятностно-детерминированных мо-

делей без особых проблем уживалось с невыясненностью природы слу-

чайного. Это мирное сосуществование было поколеблено создателями

квантовой механики. В результате их научных исследований было уста-

новлено, что вероятность существенно необходима для описания различ-

ных атомных процессов. В частности оказалось, что при определении по-

ложения частицы и ее скорости всегда существует некоторая неопреде-

ленность точки .x

Для описания местоположения частицы можно ввести плотность ве-

роятности )(1 xp , так что xxp )(1 будет вероятностью того, что частица


30

находится где-то между x и xx . Такое же положение и со скоростью

частицы: она тоже неизвестна нам точно. С некоторой вероятностью

vvp )(2 частица может двигаться со скоростью, находящейся в интервале

между v и v .

Один из основных результатов квантовой механики состоит в том, что

эти две плотности )(1 xp и )(2 vp не могут быть выбраны независимо в том

смысле, что они обе не могут быть сколь угодно узкими. Если мы возьмем

«полуширины» кривых )(1 xp и )(2 vp и обозначим их соответственно ][ x

и ][ v , то природа требует, чтобы произведение этих двух полуширин бы-

ло не меньше величины mh , где m – масса частицы, а h – некоторая фун-

даментальная физическая постоянная, называемая постоянной Планка. Это

соотношение записывается следующим образом:

mhvx ]][[ (1)

и называется принципом неопределенности Гейзенберга.

«Чтобы это соотношение выполнялось, – пишет известный физик-

теоретик Ричард Фейнман, частица должна себя вести очень курьезно. Вы

видите, что правая часть соотношения (1) постоянна, а это означает, что

если мы попытаемся «приколоть» частицу в каком-то определенном месте,

то эта попытка окончится тем, что мы не сможем угадать, куда она летит и

с какой скоростью. Точно так же, если мы попытаемся заставить частицу

двигаться очень медленно или с какой-то определенной скоростью, то она

будет «расплываться», и мы не сможем точно указать, где она находится».

Далее Фейнман пишет: «Принцип неопределенности выражает ту неяс-

ность, которая должна существовать при любой попытке описания приро-

ды. Наиболее точное и полное описание природы должно быть только ве-

роятностным». И несколько далее: «В своем стремлении узнать о природе

вещей как можно больше современная физика обнаружила, что существу-

ют вещи, познать которые точно ей никогда не удастся. Многому из зна-


31

ний суждено навсегда остаться неопределенным. Нам дано знать только

вероятности».

Сделанные физиками открытия свидетельствуют, что вероятностно-

детерминированная схема изучения мира выражает его самые глубинные

свойства и ведут к новой концепции мироустройства, к новому мировоз-

зрению.

3.3. Развитие аппарата теории вероятностей инициировалось также

проблемами статистики, возникающими с увеличением объемов исследуе-

мых совокупностей, стремительно повышающим стоимость их проведе-

ния. В процессе решения возникшей проблемы был разработан прием, по-

служивший началом создания так называемой математической стати-

стики. Прием этот заключался в том, что при трудностях или невозможно-

сти исследовать всю совокупность исследовали некоторую ее часть (вы-

борку), «похожую» на всю исследуемую совокупность, которую стали на-

зывать генеральной. Свойства, установленные при исследовании выборки,

переносили на генеральную совокупность. При использовании этого мето-

да учитывались два обстоятельства. Во-первых, выборку надо формиро-

вать случайным образом, т.е. так, чтобы все элементы генеральной сово-

купности имели равные шансы попасть в выборку. Во-вторых, при перено-

се установленных по выборке свойств на всю генеральную совокупность

неизбежно возникают искажения, оценить которые удается только вероят-

ностными методами, позволяющими с заданной надежностью оценивать

вероятности возможных ошибок.

Математическая статистика дает возможность с помощью сопостав-

ления экспериментальных данных с результатами, вытекающими из веро-

ятностных моделей (идеализированных ситуаций), вынести суждение о со-

ответствии эксперимента существующим научным теориям; при этом вы-

сказывания, естественно, должны носить вероятностный характер и сооб-

щать практикам информацию, необходимую для принятия решения.


32

Это обстоятельство является основой одного из современных опре-

делений статистики, которое было предложено Абрахамом Вальдом в пер-

вой половине XX века: статистика – совокупность методов, которые дают

нам возможность принимать оптимальные решения в условиях неопреде-

ленности.

Основными задачами статистической науки являются: описание,

оценивание, решение. Ученый, который открыл некоторые новые явления,

зависимости, тенденции, эффекты и на их основе построил рабочую гипо-

тезу, защищает ее от предположения, что все эти явления и эффекты обу-

словлены случаем. На вопрос, можно ли наблюдаемые явления рассматри-

вать только как случайные или они являются закономерными, отвечает ма-

тематическая статистика, методы которой становятся характерными для

современной науки.

Возвращаясь к выборочному методу, напомним его обоснование,

обычно приводимое в вузовских курсах теории вероятностей и математи-

ческой статистики.

С этой целью там вводилось понятие выборочного распределения.

Пусть каждому элементу заданной генеральной совокупности приписано

некоторое числовое значение. Их среднее арифметическое, называемое ма-

тематическим ожиданием, обозначим . Из этой совокупности случайным

образом извлекаются выборки одного и того же объема n и подсчитывают-

ся их средние арифметические, обозначаемые x . Если таких извлечений

бесконечно много и по ним построено распределение частот, то его назы-

вают выборочным распределением среднего арифметического.

Вид соответствующей кривой определяется с помощью централь-

ной предельной теоремы теории вероятностей, в которой утверждается,

что если выборки объёма n случайным образом извлекаются из бесконеч-

но большой совокупности с параметрами и , где – математическое

ожидание генеральной совокупности, а – стандартное отклонение ее

элементов от математического ожидания, то выборочное распределение


33

средних арифметических будет близким к нормальному распределению.

При этом среднее значение всех выборочных средних, обозначим как

][xM и будет равно , а стандартное отклонение обозначим как ][x бу-

дет равно n

.

Теперь остается вспомнить одно из свойств нормального распределе-

ния, а именно: если от математического ожидания отнять и прибавить два

(точнее 1,96) стандартных отклонения, то вероятность того, что x случай-

ной выборки попадет в образовавшуюся окрестность равна 0,95. Если же

прибавить и отнять два с половиной стандартных отклонений (точнее

2,58), то вероятность того, что x случайной выборки попадет в образовав-

шуюся окрестность будет равна 0,99.

На основании этих понятий и фактов формулируется выборочный ме-

тод.

Пусть из генеральной совокупности с заданной на ней случайной ве-

личиной, математическое ожидание которой равно , а стандартное от-

клонение – , извлечена случайным образом выборка, содержащая n эле-

ментов. Тогда вероятность того, что среднее арифметическое x этой вы-

борки будет удовлетворять двойному неравенству n

xn

22

равна 0,95. В этом случае говорят о 95 процентной надежности попадания

x в заданную окрестность математического ожидания.

Аналогично, вероятность того, что x случайной выборки будет удов-

летворять двойному неравенству n

xn

5,25,2 равна 0,99.

В более общем случае это правило выражают следующим образом.


личиной, математическое ожидание которой равно , а стандартное от-

клонение – , извлечена случайным образом выборка, содержащая n эле-


34

ментов. Тогда задавшись определенным уровнем надежности P можно с

помощью двойного неравенства

nzx

nz

(2)

оценить среднее арифметическое x значений, попавших в выборку эле-

ментов генеральной совокупности.

В приведенном двойном неравенстве коэффициент z определяется

стандартизированным нормальным распределением и зависит только от

принятого уровня надежности P. Его значения для уровней 0,95, 0,99 и

0,999 приведены в таблице 3.1.

Таблица 3.1

Значения коэффициента z для трех уровней надёжности оценки сред-

них арифметических выборки Обычная Повышенная Высокая

Надежность P 0,95 0,99 0,999 Коэффициент z 1,960 2,576 3,291

Величину n

m называют ошибкой репрезентативности,

nZ – предельной ошибкой выборки,

интервал

n

zn

z ; – доверительным интервалом.

Более важным представляется правило, позволяющее, пользуясь вы-

боркой, оценить математическое ожидание генеральной совокупности.


личиной, математическое ожидание и стандартное отклонение которой не-

известны, извлечена случайным образом выборка, содержащая n элемен-

тов. Если вычислены среднее арифметическое x и стандартное отклонение

s значений элементов выборки, то математическое ожидание генераль-

ной совокупности можно оценить с помощью двойного неравенства (3), в


35

котором коэффициент t определяется распределением Стьюдента и зависит

не только от принятого уровня надежности P, но и от объема выборки n.

n

stxn

stx , (3)

Его значения для уровней надежности P, равных 0,95 и 0,99 и нескольких

значений n, приведены в таблице 3.2.

Таблица 3.2

Значения коэффициента t для двух уровней надежности (0,95 и 0,99).

В первой строке таблицы число степеней свободы, которое в случае при-

менения распределения Стьюдента на единицу меньше объема выборка,

т.е. n–1.

n-1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,95 4,303 3,182 2,776 2,571 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228 0,99 9,925 5,841 4,604 4,032 3,707 3,499 3,355 3,250 3,169

n-1 11 12 14 15 16 17 18 19 20 0,95 2,201 2,179 2,145 2,131 2,120 2,110 2,101 2,093 2,086 0,99 3,106 3,055 2,977 2,947 2,921 2,898 2,878 2,861 2,845

n-1 25 30 40 50 60 80 100 200 0,95 2,060 2,042 2.021 2,009 2,000 1,990 1,984 1,972 1,960 0,99 2,787 2,750 2,704 2,678 2,660 2,639 2,636 2,601 2,576

В заключение главы заметим, что так как характерными чертами но-

вого научного мировоззрения являются вероятностное моделирование и

особый подход к статистическому исследованию больших совокупностей,

то в дальнейшем будем его называть новым вероятностно-статистическим

мировоззрением.

Глава 4. Содержание курса, ориентированного на формирование вероятностно-статистического миро-воззрения. Уровень основного общего образования – девятилетняя школа

36

Глава 4. Содержание курса, ориентированного на формирование

вероятностно-статистического мировоззрения. Уровень основного

общего образования – девятилетняя школа

Существуют две в некотором смысле противоположные системы изу-

чения в школе элементов статистики и теории вероятностей.

В первой из них основное внимание уделяется классическому опреде-

лению вероятности и правилам ее вычисления, без углубления в проблемы,

связанные с вероятностным моделированием и экспериментальным нахо-

ждением вероятности. В статистике же – построению таблиц, диаграмм и

графиков без введения понятий случайной величины, выборки и ее пара-

метров, а главное, без знакомства с выборочным методом и вероятностным

оцениванием возникающих при его использовании ошибок репрезентатив-

ности. Ясно, что никакого нового мировоззрения на этом материале сфор-

мировать невозможно. Это будет просто еще один раздел школьной мате-

матики с традиционным набором воспитательных возможностей.

Во второй – элементы теории вероятностей и статистики вводятся в

школу прежде всего с целью сформировать новое вероятностно-статисти-

ческое мировоззрение, создать условия для научной трактовки явлений

физики, химии, биологии и ряда других естественнонаучных и гуманитар-

ных наук. И не только для этого. Всякая, даже непроизвольная деятель-

ность человека и человеческих коллективов, чревата возможностью небла-

гоприятных исходов. В простейших случаях опыт, житейская мудрость и

интуиция позволяют примерно оценить вероятность таких исходов и при-

нять меры к тому, чтобы если не минимизировать, то хотя бы уменьшить

эту вероятность. В более ответственных ситуациях, связанных с целена-

правленной деятельностью людей, одного опыта и интуиции недостаточно

и нужны расчеты, основанные на правилах теории вероятностей и матема-

тической статистики.

В этом случае придется сосредоточиться на проблемах, связанных с

вероятностно-детерминированным моделированием и статистическим ис-


37

следованием больших совокупностей и прежде всего на проблемах выбо-

рочного метода. В этом случае при изучении вероятностно-статистиче-

ского материала потребуются многие необычные для традиционного

школьного курса математики методы, формы и средства обучения.

Познакомившись с понятием нового вероятностно-статистического

мировоззрения и его главными, с точки зрения задач математической под-

готовки школьников, компонентами: вероятностном моделировании и вы-

борочном методе (см. главу 3), можно более конкретно, с пониманием ко-

нечной (максимально возможной) цели обсудить содержание программы.

Такая программа, даже в урезанном виде, в каком она представлена в Но-

вом стандарте, должна оставаться нацеленной на формирование нового

мировоззрения. В связи с этим, в ней должна быть обеспечена органиче-

ская связь вероятностной и статистической линий курса. С одной стороны,

изучаемые вероятностные понятия должны получить статистическое ис-

толкование, а с другой – ошибки репрезентативности, неизбежные при ис-

пользовании выборочного метода, – подвергаться вероятностной оценке.

Завершающим этапом должно стать решение задач, в которых по ос-

новным статистикам выборки (среднему арифметическому и стандартному

отклонению) оценивается математическое ожидание генеральной совокуп-

ности и, аналогично, по относительной частоте некоторой серии испыта-

ний случайного события оценивается его вероятность.

Приведем возможное содержание такой программы, нацеленной на

формирование нового вероятностно-статистического мировоззрения.

В любом случае знакомство с ней будет, по нашему мнению, полезно

учителю, преподающему или собирающемуся преподавать в школе эле-

менты теории вероятностей и статистики.

Первый этап изучения вероятностно-статистического материала.

Уровень основного общего образования – девятилетняя школа

1.1. Табличное и графическое представление данных.


38

1.2. Случайные события и случайные величины. Статистический экс-

перимент и запись его результатов с помощью конечных числовых рядов.

1.3. Конечный числовой ряд и его интервальное распределение. Час-

тота и относительная частота. Графическое изображение интервального

распределения числового ряда.

1.4. Среднее арифметическое и стандартное отклонение. Их истолко-

вание на содержательных примерах. Статистический анализ небольших по

численности реальных совокупностей. Статистическое распределение их

элементов. Гистограмма как статистический портрет совокупности.

1.5. Классическое определение вероятности. Использование простей-

ших правил комбинаторики. Представление о геометрической вероятно-

сти. Простейшие приемы вычисления вероятностей.

1.6. Вероятностное моделирование с использованием деревьев логиче-

ских возможностей с заданными на них вероятностными мерами.

1.7. Статистическое исследование связи между вероятностью случай-

ного события и его относительной частотой. Закон больших чисел.

Второй этап изучения вероятностно-статистического материала.

Уровень среднего (полного) общего образования (10-11 классы).

2.1. Выборочный метод исследования больших и бесконечных сово-

купностей. Генеральная совокупность, выборка, построение репрезента-

тивной выборки.

2.2. Ошибка репрезентативности. Закон корня квадратного из n.

2.3. Применение выборочного метода к оценке среднего арифметиче-

ского произвольно взятой выборки.

2.4. Применение выборочного метода к оценке математического ожи-

дания.

2.5. Применение выборочного метода к оценке вероятности случайно-

го события.

Прокомментируем отдельные пункты первой части программы.

1.1. Табличное и графическое представление данных.


39

Этот традиционный пункт программы несет в себе большую пропе-

девтическую нагрузку. Надо научить учащихся выделять из данной сово-

купности подмножество элементов, обладающих заданным свойством и

количественно оценивать отношение выделенной части ко всей совокуп-

ности. Сформировать понятия доли, частоты и относительной частоты

элементов, обладающих заданным свойством. Затем учащихся следует

научить классифицировать элементы совокупности по несовместным при-

знакам, составлять таблицы распределения элементов совокупности по

этим признакам с указанием частоты и относительной частоты каждой

группы. Например, распределение учащихся по полу, оценкам, получен-

ным за четверть по математике, месяцам рождения учащихся и т.д.

1.2. Случайные события и случайные величины. Статистический экс-

перимент и запись его результатов с помощью конечных числовых рядов.

Понятие случайной величины как прообраза математической случай-

ной величины введено нами по ряду причин, и прежде всего потому, что

без него невозможно ввести понятие выборочного метода. В то же время,

если не увлекаться вопросами задания случайной величины, то введение

самого этого понятия не вызывает трудностей и выглядит вполне естест-

венным. Действительно, в опыте людей прообразы случайных событий и

случайных величин, тесно переплетены. Придя, например, на рынок, поку-

патель может интересоваться как наличием нужного ему товара (случай-

ное событие), так и его ценой (случайная величина). Наконец, введя поня-

тие случайной величины, можно полнее раскрыть связь между вероятност-

ными и статистическими явлениями. В частности, записав результаты ста-

тистического эксперимента со случайным событием в виде конечного чи-

слового ряда, составленного из нулей и единиц (1, если событие произош-

ло и 0 – если не произошло), можно показать, что относительная частота

рассматриваемого случайного события является в то же время средним

арифметическим соответствующего числового ряда из нулей и единиц.


40

1.3. Конечный числовой ряд и его интервальное распределение. Час-

тота и относительная частота. Графическое изображение интервального

распределения числового ряда.

Предполагается, что весь этот материал будет излагаться с опорой на

эксперименты и экспериментальные данные. Например, распределение

выпавших очков при заданном числе бросаний игральной кости или цифр,

обозначенных на шарах, извлекаемых из урны, или, наконец, числа баллов,

набранных учащимися класса по результатам выполнения тестового зада-

ния. Таблицы распределений случайных величин и событий, при надле-

жащем их использовании, могут оказать определенное обобщающее и сис-

тематизирующее влияние на усвоение материала. В этих таблицах каждо-

му значению случайной величины ставится в соответствие его частота и

относительная частота, что при желании в дальнейшем, после введения

статистического определения вероятности может быть использовано для

математического задания случайной величины. Введение относительных

частот мотивируется необходимостью сопоставления распределений сово-

купностей разной численности, например, при сопоставлении результатов

тестирования разных по численности групп учащихся. Введение на этом

этапе понятия относительной частоты значения случайной величины

должно помочь учащимся в лучшем понимании смысла относительной

частоты случайного события.

1.4. Среднее арифметическое и стандартное отклонение. Их истолко-

вание на содержательных примерах. Статистический анализ небольших по

численности реальных совокупностей. Статистическое распределение их

элементов. Гистограмма как статистический портрет совокупности

Мы не случайно обошли молчанием дисперсию. Дело в том, что дис-

персию, являющуюся важным инструментом теоретических построений,

труднее, чем стандартное отклонение, интерпретировать в качестве эле-

мента распределения. Заметим, что по той же причине во всех приложени-


41

ях естественным и целесообразным считается применение стандартного

отклонения и его сложения «по теореме Пифагора».

Тренировать учащихся в вычислениях среднего арифметического и

стандартного отклонения надо на конкретных примерах однородных вели-

чин и по возможности завершать вычисления изображением на числовой

оси среднего арифметического и его окрестности, которые получают, от-

кладывая влево и вправо от среднего арифметического отрезки, равные

найденному стандартному отклонению.

Учащиеся должны понимать, что среднее арифметическое и стандарт-

ное отклонение, подсчитанные для однородных совокупностей, часто ха-

рактеризуют важные свойства этой совокупности. Например, для метеоро-

логов важно знать температуру воздуха не только в отдельные моменты

времени, но и среднемесячную, среднегодовую и особенно средневековую

температуру, колебания которой минимальны и подвержены своим важ-

ным закономерностям. Аналогично, если говорить в целом о деятельности

предприятия, то средняя производительность труда лучше характеризует

его, чем производительность отдельных рабочих. Средняя энергия движе-

ния молекул газа характеризует его температуру и т.д.

Именно здесь предоставляется удобный случай объяснить учащимся,

почему при необходимости измерить непрерывную величину с точностью,

превышающей возможности измерительного инструмента, величину под-

вергают многократным измерениям и вычисляют среднее арифметическое

полученных результатов. Стандартное же отклонение в этом случае позво-

ляет судить о точности полученного результата.

После того как учащиеся овладеют техникой вычисления «вручную»

среднего арифметического и стандартного отклонения, надо научить их

использовать в этих целях программу Excel.

При рассмотрении этой темы надо напомнить учащимся, что, говоря о

статистическом анализе совокупности, имеют в виду не просто элементы

этой совокупности, а элементы, обладающие в той или иной мере некото-


42

рым важным для исследователя свойством (или свойствами). Важной ста-

тистической характеристикой такой совокупности является распределение

ее элементов в соответствии со значениями рассматриваемого свойства,

выраженного интервальной таблицей или гистограммой. Последняя явля-

ется своеобразным статистическим «портретом» совокупности.

1.5. Классическое определение вероятности. Использование простей-

ших правил комбинаторики. Представление о геометрической вероятно-

сти. Простейшие приемы вычисления вероятностей.

Знакомясь с классическим определением вероятности, учащиеся

должны понять, что данную им схему вычисления можно применять толь-

ко в случае, если рассматриваемое событие можно представить в виде объ-

единения конечного числа несовместных и равновозможных событий, ко-

торые в этом случае иногда называют элементарными. Так как самые рас-

пространенные предметы, манипулируя которыми школьники получали

простейшие случайные события, например монеты и игральные кости,

симметричны, то и всякое другое случайное событие, которое удавалось

представить в виде объединения конечного числа несовместных и равно-

возможных событий, например «выемку шаров из урны, с возвращением»,

стали называть «симметричным». Организуя специальные игры, учитель

должен обратить внимание учащихся, на то, что чем больше вероятность

события, на которое они делали ставку в игре, тем больше у них шансов на

выигрыш. По мере необходимости привлекаются простейшие понятия и

методы комбинаторики, не требующие на данном уровне знакомства с ма-

териалом заучивания терминов и формул, а также элементы геометриче-

ской вероятности, позволяющие в наглядной форме выразить многие соот-

ношения между событиями и результаты алгебраических действий над

ними.

Принципиальным является вопрос о равновозможности событий, ко-

торый в условиях школьного обучения, как правило, обосновывается прав-

доподобными рассуждениями об идеальных объектах. Если же аппарат


43

теории вероятностей хотят применить к реальным объектам, то равновоз-

можность должна проверяться в эксперименте. Разумеется, точность оцен-

ки будет зависеть от числа испытаний и всегда оставаться лишь при-

ближенной.

По поводу использования урны с шарами в качестве средства модели-

рования случайных событий заметим, что она является наиболее гибкой из

применяемых в школьной практике технических моделей, с помощью ко-

торых, по существу механически, генерируются случайные события. При

ее использовании учащиеся должны различать и каждый раз особо огова-

ривать условия выемки шаров: «выемка с возвращением» и «выемка без

возвращения». Их не должно затруднять моделирование с помощью урны

с шарами таких случайных событий, как выпадение герба при бросании

монеты или выпадение, например пяти очков, при бросании игральной

кости.

1.6. Вероятностное моделирование с использованием деревьев логи-

ческих возможностей с заданными на них вероятностными мерами.

Умение вычислять вероятность, пользуясь ее классическим определе-

нием, является базовым в любой системе изучения в школе элементов тео-

рии вероятностей. Однако такое вычисление не выводит учащегося за пре-

делы жестко детерминированной, классической математики и двузначной

Аристотелевой логики. Другое дело, когда решаются задачи, использую-

щие хотя бы простейшие правила алгебры событий и правила вычисления

вероятности суммы несовместных событий и произведения независимых

событий. При этом возникают и используются столь характерные для но-

вого научного мировоззрения высказывания типа «из A с вероятностью p

следует B». Эффективность использования таких задач можно существен-

но повысить, сопровождая решение некоторых из них построением де-

ревьев логических возможностей, с приписанными их ветвям вероятностя-

ми. Так как каждое такое дерево изображает описанную в задаче ситуацию

в целом, создавая необходимый для ее решения контекст, то для опреде-


44

ленной части учащихся его построение может облегчить поиск решения

задачи или хотя бы помочь понять решение, найденное другими. Наконец,

что немаловажно, наличие такого дерева наталкивает учащихся на поста-

новку по тексту задачи других вопросов.

Заметим также, что с построения таких деревьев начинается решение

многих прикладных задач, некоторые из которых приведены в главах 6, 7

настоящего пособия, например при рассмотрении диффузии, броуновского

движения и генной теории. Строить такие деревья в целях наглядности по-

лезно и в случае несложных задач. В процессе их построения и использо-

вания в целях анализа задачи и поиска решения формируются и закрепля-

ются представления об операциях над событиями и их вероятностями, а

также некоторых искусственных приемах, например, переходе к противо-

положным событиям.

1.7. Статистическое исследование связи между вероятностью случай-

ного события и его относительной частотой. Закон больших чисел.

После того как школьники овладеют понятием вероятности в его

классической форме, следует, опираясь на эксперименты с монетами, иг-

ральными костями и особенно шарами в урне, закрепить понятие относи-

тельной частоты случайного события. Кроме того, важно, чтобы учащиеся

в ходе эксперимента убедились, что относительная частота является вели-

чиной случайной, неопределяемой ни вероятностью события, ни числом

испытаний. Важно также, чтобы совокупность результатов испытаний уча-

щиеся стали воспринимать как случайную выборку, а относительную час-

тоту – как среднее арифметическое значений случайной величины, равной

1, если при очередном испытании событие произошло, и 0 – в противном

случае. Полезно на примере той же модели из единиц и нулей показать,

что в такой модели стандартное отклонение выборочных значений равно

pps 1 , где p – среднее арифметическое рассматриваемой выборки.

Ниже (для учителя) приводится вывод этой формулы.


45

ppppppN

NpNpNpps

11101 2222

.

Основным на этом этапе должно стать экспериментальное исследова-

ние поведения относительной частоты при существенном увеличении чис-

ла испытаний. К сожалению, для получения убедительных выводов нужны

длинные ряды испытаний, реализовать которые в условиях реального экс-

перимента трудно, так как это отнимает слишком много учебного времени.

Поэтому на рассматриваемом уровне обучения от выполняемых «вруч-

ную», экспериментов приходится переходить к их электронному эквива-

ленту. Современный учитель в этих целях может использовать имеющиеся

в продаже мультимедийные компакт-диски, в частности диск «Математика

5–11», разработанный издательством «Дрофа», или диск «Математика

5–11», разработанный фирмой «1С».

Заметим, что использование готовых компьютерных программ поро-

ждает у некоторой части учащихся вопросы, отвечая на которые, учителю

приходится хотя бы в общих чертах рассказать, как на компьютере можно

моделировать случайные события. Заметим, что эффект от использования

компьютерных программ, моделирующих случайные явления, существен-

но повышается, если необходимая программа будет написана учениками

совместно с учителем.

Исследуя изменение относительной частоты случайного события с

увеличением числа испытаний, нетрудно подвести учащихся к принятию

закона больших чисел в формулировке Якоба Бернулли: если случайное

событие А имеет вероятность , вычисленную по классической схеме, то

относительная частота p появления исследуемого события при неограни-

ченном повторении опыта будет неограниченно (по вероятности) прибли-

жаться к числу p, т.е. к вероятности события А.

Сразу заметим, что такая сравнительная простота формулировки об-

манчива. На самом деле характер приближения относительной частоты к

вероятности более замысловат и скрывается за помещенными в скобки


46

словами «по вероятности». Будучи уверенными в ненужности этих уточ-

нений для учащихся, мы считаем необходимым напомнить о них учителям.

В достаточно строгом виде закон больших чисел может быть сформу-

лирован следующим образом:

Теорема Бернулли. Пусть производится n независимых опытов, в каж-

дом из которых с вероятностью р может наступить некоторое событие А.

Рассмотрим случайную величину Vn – число наступлений события А в n

опытах. Каково бы ни было положительное число , вероятность события

pn

Vn , стремится к единице, при n .

Из закона больших чисел можно сделать два важных вывода. Во-пер-

вых, каждый результат вычисления вероятности, выполненный в соответ-

ствии с классической схемой, может быть статистически проверен на

правдоподобие, для чего, проведя достаточно длинную серию испытаний и

вычислив относительную частоту появления рассматриваемого события,

сравнить его с проверяемым значением вероятности.

Во-вторых, появляется возможность распространить понятие вероят-

ности на некоторые события, не обладающие свойством «симметрично-

сти». Это можно сделать в отношении тех случайных событий, относи-

тельная частота которых неограниченно (по вероятности) приближается к

какому-либо числу. Именно оно может быть принято в качестве вероятно-

сти рассматриваемого случайного события.

Глава 5. Содержание курса, ориентированного на формирование вероятностно-статистического миро-воззрения. Уровень среднего (полного) общего образования (10–11 классы)

47

Глава 5. Содержание курса, ориентированного на формирование

вероятностно-статистического мировоззрения. Уровень среднего

(полного) общего образования (10–11 классы).

Комментарии ко второй части программы, содержащейся в главе 4.

2.1. Выборочный метод исследования больших и бесконечных сово-

купностей. Генеральная совокупность, выборка, построение репрезента-

тивной выборки.

В ряде случаев подвергнуть всех членов совокупности измерению,

необходимому для вычисления тех или иных параметров (прежде всего

среднего арифметического и стандартного отклонения), не удается. Чаще

всего это происходит при большом объеме совокупности или чрезмерной

территориальной разбросанности ее членов. В этом случае используют так

называемый выборочный метод, в соответствии с которым, отобрав неко-

торую часть членов исследуемой совокупности, выполняют над ними те

операции, которые следовало, но не удалось выполнить над членами всей

совокупности. Например, выполнив необходимые измерения, вычислить

среднее арифметическое и стандартное отклонение полученных числовых

значений (элементов) выборки и с их помощью, оценить среднее арифме-

тическое всей совокупности. В подобных случаях исследуемую совокуп-

ность называют генеральной, а совокупность отобранных членов – выбор-

кой. В дальнейшем, говоря о генеральной совокупности или выборке, чаще

всего имеют в виду не членов совокупностей, носителей исследуемых

свойств, а числовые значения, полученные в результате их измерения. Эти

числовые значения будем называть элементами генеральной совокупности

или выборки.

В выборочном методе одним из наиболее ответственных моментов

является формирование выборки. Она должна, по определенным показате-

лям, интересующим исследователя, быть похожа на генеральную сово-

купность или, как говорят в этом случае, должно выполнятся условие


48

представительности (в статистике говорят о репрезентативности) выбор-

ки. Для получения такой выборки ее члены отбираются из генеральной со-

вокупности поштучно, так называемым случайным образом, требующим

чтобы все члены генеральной совокупности имели одинаковый шанс по-

пасть в выборку. Для такого отбора нужно прежде всего занумеровать все

члены генеральной совокупности и отобрать из них случайным образом

необходимое количество номеров. Для такого отбора можно использовать

датчик случайных чисел, содержащийся в любом программном обеспече-

нии, например, в общедоступной программе Excel. Загрузив ее, обращают-

ся к функции СлЧис(), которая «возвращает» случайные числа x , 10 x .

Умножив каждое полученное случайное число на число элементов гене-

ральной совокупности, округляют полученные произведения до целых чи-

сел. При появлении нуля или повторных значений их исключают из рас-

смотрения. Процесс завершают, набрав необходимое для построения вы-

борки число номеров. По этим номерам и отбираются члены выборки.

Образовавшуюся совокупность называют случайной выборкой. Осо-

бый случай представляют бесконечные совокупности, элементы которых

возникают в ходе некоторого бесконечного процесса, например, множест-

ва цифр от 1 до 6, которые выпадают при бесконечном подбрасывании иг-

ральной кости или при бесконечной случайной (с возвращением) выемке

шаров из урны, содержащей шесть неразличимых на ощупь шаров, поме-

ченных цифрами от 1 до 6. В дальнейшем такие совокупности будем назы-

вать виртуальными. Случайные n-мерные выборки из таких совокупностей

строятся совсем просто. Для этого достаточно повторить испытание n раз,

например, n раз подбросить игральную кость или n раз извлечь с возвра-

щением шар из урны и зафиксировать полученные результаты.

Следует иметь в виду, что случайный отбор членов выборки не гаран-

тирует «похожесть» каждой отдельно взятой выборки на генеральную со-

вокупность. Более того, в силу поштучного и случайного отбора, в множе-


49

стве всех n-мерных выборок, должны оказаться выборки совсем не похо-

жие в интересуемом исследователя смысле на генеральную совокупность

Обратимся теперь к проблеме перенесения свойств, установленных по

выборке на всю генеральную совокупность. Ясно, что это должны быть

свойства, характеризующие всю генеральную совокупность, а не отдель-

ные ее члены. К ним прежде всего относятся основные параметры гене-

ральной совокупности, например, математическое ожидание «мю» ,

являющееся средним арифметическим значений всех ее элементов и их

стандартное отклонение «сигма» от математического ожидания, или до-

ля членов совокупности, обладающих заданным свойством.

Если в качестве генеральной совокупности взять рассмотренное выше

виртуальное множество, возникающее при бесконечном подбрасывании

игральной кости или при бесконечной случайной (с возвращением) выемке

шаров из урны, содержащей шесть неразличимых на ощупь шаров, поме-

ченных цифрами от 1 до 6, то, как легко подсчитать, ее математическое

ожидание будет равно 5,36654321 , а стандартное отклоне-

ние 708,165,36...5,325,31 222 .

Заметим, что среднее арифметическое значений элементов выборки

обозначают той же буквой, что и саму переменную, но с чертой над ней,

например, x или y и т.д., а стандартное отклонение – буквой s, и называ-

ют их не параметрами, а статистиками выборки.

Хотя существует много других параметров генеральной совокупно-

сти, эти два – математическое ожидание и стандартное отклонение – явля-

ются основными. Отмечая этот факт, известный специалист в области тео-

рии вероятностей и математической статистики Г. Фройденталь писал:

«Те, кто применяет теорию вероятностей в статистике или в естествозна-

нии, знают, что эти параметры содержат всю полезную и даже вообще всю

существенную информацию о характере распределения». И далее: «Я люб-


50

лю подчеркивать математическое ожидание и меру рассеивания, и я огра-

ничиваюсь, насколько возможно, этими двумя инструментами».

2.2. Ошибка репрезентативности. Закон корня квадратного из n.

В дальнейшем в качестве генеральных совокупностей будем рассмат-

ривать только очень большие или бесконечные множества, элементы кото-

рых на числовой оси располагаются, хотя бы примерно, симметрично от-

носительно математического ожидания, а их стандартное отклонение от

математического ожидания не очень велико.

Рассмотрим одну из таких генеральных совокупностей. Пусть ее ма-

тематическое ожидание равно , а стандартное отклонение – . Предпо-

ложим, что из нее выделено множество всех n - мерных, т.е. содержащих n

элементов, выборок и каждой из них приписано значение среднего ариф-

метического x ее элементов. Тогда, как это доказывается в теории веро-

ятностей, среднее арифметическое приписанных выборкам средних ариф-

метических, будет равно математическому ожиданию генеральной сово-

купности, а их межгрупповое стандартное отклонение xs равно отноше-

нию стандартного отклонения генеральной совокупности к корню квад-

ратному из n, т.е. n

sx

. Эту величину называют ошибкой репрезента-

тивности и обозначают m (в условиях школьного обучения лучше ис-

пользовать термин ошибка представительности), а равенство n

m .

выражающее свойство, согласно которому с увеличением объема выборок

в n раз, ошибка репрезентативности уменьшается в корень квадратный из n

раз, называют законом корня квадратного из n.

Замечание. Не имея возможности условиях школы доказать сформу-

лированное выше утверждение о равенстве межгруппового стандартного

отклонения средних арифметических всех возможных n - мерных выборок


51

xs и n желательно убедиться в его справедливости на конкретном, мак-

симально простом примере, рассмотрение которого может многое прояс-

нить о сущности понятия «ошибки репрезентативности».

Пусть множество состоит из трех цифр: 1, 2, 3. Их среднее арифмети-

ческое 23:321 , а 323:232221 222 , от-

куда n 3

1 .

С другой стороны, прежде чем вычислять межгрупповое стандартное

отклонение средних арифметических двумерных выборок, заметим, что из

данной совокупности поштучным (с возвращением) отбором можно сфор-

мировать 9 двумерных выборок, изображенных во второй и третьей стро-

ках таблицы 5.1

Таблица 5.1.

Расчет межгруппового стандартного отклонения средних арифметиче-

ских двумерных выборок 1 2 3 4 5 6 7 8 9 сумма средн 1-ый элемент 1 1 1 2 2 2 3 3 3 2-ое элемент 1 2 3 1 2 3 1 2 3 Среднее 1 1,5 2 1,5 2 2,5 2 2,5 3 18 2 Отклонение от средн. -1 -0,5 0 -0,5 0 0,5 0 0,5 1 0 0 Квадраты отклонений 1 0,25 0 0,25 0 0,25 0 0,25 1 3 31

Для получения значения стандартного отклонения xs остается из по-

лученного значения 31 извлечь квадратный корень, следовательно

31xs . Учитывая, что то же значение имеет и 2 , получаем равенст-

во 2xs , являющееся частным случаем общего правила n

m .

Ошибка репрезентативности n

m играет в выборочном методе

большую, если не решающую роль. В частности доказывается, что если от

математического ожидания отнять и к математическому ожиданию приба-


52

вить ошибку репрезентативности, то в полученный интервал

mm ; , попадут средние арифметические 68 % всех n - мерных

выборок. Иначе говоря, вероятность того, что среднее арифметическое

произвольно взятой n - мерной выборки попадет в построенный интервал,

будет равна 0,68.

Эта роль ошибки репрезентативности m была обобщена и усилена в

общем правиле, из которого в частности следовало, что 95 процентов n -

мерных выборок будет иметь средние арифметические, попадающие в ин-

тервал mm 2;2 . Иначе говоря, вероятность того, что среднее

арифметическое произвольно взятой выборки окажется внутри этого ин-

тервала, равна 0,95.

Аналогично, 99 % n - мерных выборок будет иметь средние арифме-

тические, попадающие в интервал mm 56,2;56,2 . Иначе говоря,

вероятность того, что среднее арифметическое произвольно взятой выбор-

ки, окажется внутри этого интервала, равна 0,99.

В математической статистике рассмотренные выше интервалы назы-

вают доверительными.

Каждый такой интервал может рассматриваться как оценка соответст-

вующего параметра. То, что в этом случае параметр оценивается не одним,

а двумя числами – границами доверительного интервала, не должно удив-

лять учащихся. Как отмечалась в предыдущей главе, необходимость в та-

кой интервальной оценке возникает каждый раз, когда требуется измерить

реальную непрерывную величину. Новым для них является зависимость

размеров этих интервалов от заданного уровня надежности. Это явление

характерно для нового мировоззрения.

Заметим, что если среднее арифметическое x случайно взятой выбор-

ки попадает в доверительный интервал, например mm 2;2 , то

оно, (т.е. x ) отклоняется от математического ожидания на величину

меньшую удвоенного значения ошибки репрезентативности, т.е. меньшую


53

m2 и наоборот. Это обстоятельство позволяет каждое из приведенных

выше правил сформулировать с использованием понятия отклонения.

Примером такой формулировки служит утверждение: вероятность того,

что в случайно взятой выборке отклонение среднего арифметического от

математического ожидания будет меньше удвоенной ошибки репрезента-

тивности, равна 0,95. Заметим также, что существуют таблицы, позволяю-

щие строить доверительные интервалы и для других значений надежности.

Однако на практике в основном употребляются два их уровня – 95 и 99

процентов.

2.3. Применение выборочного метода к оценке среднего арифметиче-

ского произвольно взятой выборки.

В рассмотренных выше правилах, по известному математическому

ожиданию и стандартному отклонению генеральной совокупности оцени-

вается среднее арифметическое произвольно взятой n - мерной выборки,

для чего по заданной надежности определяется доверительный интервал,

содержащий это среднее арифметическое. Пусть например требуется най-

ти доверительный интервал, который с надежностью 68 процентов будет

содержать среднее арифметическое двумерной выборки, произвольно взя-

той из виртуальной совокупности, состоящей из цифр, выпадающих на иг-

ральной кости. Как было установлено выше, ее математическое ожидание

равно 3,5, а стандартное отклонение 1,708.

Вычислим ошибку репрезентативности m , которая в этом случае бу-

дет равна 208,14142,1708,1

2708,1

m .

В приведенных выше правилах было указано, что для обеспечения 68

процентной надежности нужно от математического ожидания отнять и к

математическому ожиданию прибавить ошибку репрезентативности m .

Подставив в соответствующий интервал mm ; значения, 5,3

и 208,1m , получим искомый доверительный интервал в виде


54

708,4;292,2 . Отсюда следует, что из любых 100 двумерных выборок рас-

сматриваемой генеральной совокупности примерно у 68 среднее арифме-

тическое будет принадлежать построенному доверительному интервалу.

Сопоставим полученный результат с экспериментальными данными,

приведенными в таблице 5.2 для 10 двумерных выборок. В первой строке

таблицы указаны номера выборок, во второй – суммарное число очков,

выпавших при двукратном подбрасывании кости, в третьей среднее ариф-

метическое очков, выпавших в каждой выборке.

Таблица 5.2 Средние арифметические выборок, образованных в результате двух

испытаний Номера выборок 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Общее число очков 9 8 8 6 6 11 12 6 2 4 Среднее арифметическое 4,5 4 4 3 3 5,5 6 3 1 2

В этом случае в соответствии с теорией от 6 до 7 выборок должны

иметь среднее арифметическое, попадающее в доверительный интервал

708,4;292,2 . Фактически таких выборок 6.

Если брать не двумерные, а пятимерные выборки, то т.к. ошибка ре-

презентативности будет равна 764,05

708,1m , доверительный интервал

будет иметь вид 264,4;736,2764,05,3;764,05,3 . При сопоставлении

полученного интервала с предыдущим обнаруживается, что новый интер-

вал сузился.

Результаты соответствующего эксперимента приведены в таблице 5.3.

Таблица 5.3 Отклонения средних арифметических от математического ожидания, равного 3,5, в случае, когда каждая выборка образована в результате

пяти испытаний Номера выборок 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Общее число очков 15 21 16 11 11 23 21 22 25 16 Среднее арифметическое 3 4,2 3,2 2,2 2,2 4,6 4,2 4,4 5 3,2


55

Как видим, в этом случае только у пяти выборок среднее арифметиче-

ское попадает в доверительный интервал 264,4;736,2 . Объясняется это

прежде всего вероятностным характером сформулированных выше правил:

каждое из них проявляется точнее, чем больше выборок используется в

эксперименте.

Заметим, что, лучше было бы в рассмотренном примере рассмотреть

случай, соответствующий надежности 95 %. Однако в этом случае для со-

поставления теоретических результатов с опытными данными, пришлось

бы рассмотреть значительно большее число выборок.

Желательно, чтобы учащиеся на уроке повторили эксперимент для де-

сятимерных выборок.

Рассмотренный метод можно использовать для проверки правильно-

сти игральной кости на заданном, например 95 процентном уровне надеж-

ности. Для проверки используем одну 100 - мерную выборку. Так как в

этом случае ошибка репрезентативности равна 171,0100708,1

, то доверитель-

ный интервал будет иметь вид 842,3;158,3171,025,3;171,025,3 .

Подбросив кость 100 раз и найдя среднее арифметическое получен-

ных значений, выясним, попадает или нет это среднее в доверительный

интервал. Если не попадает, то с надежностью 95 % можно утверждать,

что кость неправильная. Если же попадает, то вопрос остается открытым.

2.4. Применение выборочного метода к оценке математического ожи-

дания.

Более важной является задача, в которой по среднему арифметиче-

скому x и стандартному отклонению s произвольно взятой n - мерной

выборки требуется оценить математическое ожидание генеральной со-

вокупности.

В этом случае используется правило, примененное в пункте 2.3. Пре-

жде всего вычисляется показатель n

smx , аналогичный ошибке репре-


56

зентативности. Далее строится интервал xx mxmx 2;2 , в который с

надежность 95 % попадает математическое ожидание генеральной сово-

купности. Иначе говоря, вероятность того, что математическое ожидание

окажется внутри этого интервала, равна 0,95.

Если рассмотреть интервал xx mxmx 56,2;56,2 , то вероятность

того, что математическое ожидание попадает в него, равна 0,99, т.е. на-

дежность составляет 99 %.

В этих случаях такие интервалы называют доверительными.

Замечание для учителя. Естественно, что деликатный вопрос о зави-

симости коэффициентов при xm от объема выборки в условиях школьного

обучения мы не рассматриваем.

Пример 1. Пусть в урне содержится 600 шаров, помеченных цифрами

от 0 до 9. Сколько шаров, какой цифрой – неизвестно. Надо оценить мате-

матическое ожидание генеральной совокупности с надежностью 95 %. Для

этого отберем из урны случайным образом с возвращением 50 шаров и

найдем среднее арифметическое написанных на них цифр и их стандарт-

ное отклонение. Пусть, например, 3,4x , а стандартное отклонение

12,1s . Тогда 158,05012,1

xm , а соответствующий доверительный ин-

тервал xx mxmx 2;2 примет вид (3,984; 4,616). Таким образом, с на-

дежностью 95 % можно утверждать, что искомое математическое ожида-

ние заключено между значениями 3,984 и 4,616.

Пример 2. Предположим, что органы народного образования города

хотят узнать уровень подготовленности выпускников школ к выполнению

тестовых заданий ЕГЭ. Однако у них нет возможности охватить этой про-

веркой всех выпускников школ. Решено воспользоваться выборочным ме-

тодом, отобрав случайным образом из всех 11 классов 25 человек и про-

вести среди них соответствующий тест. Уровень надежности – 95 %.


57

Предположим, что в результате проведенных испытаний средний

балл, набранный 25 учениками, оказался равным 2,43x . Вычисленное

стандартное отклонение составило 1,17s балла. Для нахождения оценоч-

ных значений математического ожидания генеральной совокупности вы-

числим xm : 42,35

1,1725

1,17

nSmx , следовательно, доверительный

интервал, содержащий неизвестное математическое ожидание имеет вид

04,50;36,3642,322,43;42,322,432;2 xx mxmx . Несколько

расширив его границы и тем самым, повысив уровень надежности, полу-

чим доверительный интервал 51 36; . Таким образом, с надежностью 95 %

можно утверждать, что средний балл, который могли бы получить все уче-

ники при выполнении тестов, будет заключен между 36 и 51 баллами.

2.5. Применение выборочного метода к оценке вероятности случайно-

го события.

Выборочный метод может быть применен и к оценке вероятности

случайного события. С этой целью, подвергнув это событие многократным

испытаниям, получим последовательность n значений, которые обозначим

системой единиц и нулей (1 – если событие произошло и 0, – в противном

случае). Как отмечалось ранее (см. главу 4, комментарий к пункту 1.7 про-

граммы), среднее арифметическое этих значений будет совпадать с отно-

сительной частотой p события n , а стандартное отклонение pps 1 .

В соответствии с рассмотренным выше материалом вероятность рассмат-

риваемого события, которая в данной модели совпадает с математическим

ожиданием на уровне 95 % надежности, будет принадлежать доверитель-

ному интервалу

nsp

nsp 2;2 . Аналогично, на уровне 99 % надеж-

ности этот интервал будет иметь вид

nsp

nsp 56,2;56,2 .


58

Пример. Рассмотрим урну, содержащую некоторую совокупность не-

различимых на ощупь шаров, часть из которых – черные, а остальные – бе-

лые. Из урны случайным образом с возвращением извлекаются шары.

Нужно определить вероятность того, что вынутый шар окажется черным.

После выемки случайным образом 20 шаров оказалось, что 4 из них – чер-

ные, остальные – белые.

Требуется с 95 процентной надежностью оценить вероятность появ-

ления черного шара. Так как в этом случае относительная частота появле-

ния черного шара 2,0204 p и 4,02,012,0 s , то доверительный

интервала будет иметь вид 379,0;021,0204,022,0;

204,022,0

.

Откуда следует, что искомая вероятность содержится в этом довери-

тельном интервале.

Если бы мы хотели получить более узкий доверительный интервал,

нам потребовалось бы большее число испытаний. Если бы общее число

шаров в урне было известно, например 100, то можно оценить число чер-

ных шаров в урне. Для этого умножить это количество на найденные оцен-

ки вероятности. В результате мы получили бы от 11 до 29 черных шаров.

Пользуясь той же формулой можно, зная вероятность события, оце-

нить относительную частоту его появления при n испытаниях, в частности,

если его вероятность равна , то доверительный интервал, который с 95

процентной надежностью будет содержать относительную частоту при n

испытаниях будет равен

ns

ns 2;2 , где 1s .

Пример. Предположим, что вас попросили проверить, действительно

ли используемая в игре монета симметрична, следовательно, вероятность

выпадения «герба» равна 0,5. Проверку просят сделать на 95 процентном

уровне надежности, т.е. чтобы вероятность ошибки не превзошла 0,05.

Решив ограничиться четырьмястами испытаниями (ведь их надо про-

вести на реальной монете, а не ее компьютерной модели), и предположив


59

монету правильной, найдем доверительный интервал. Он будет иметь вид

ns

ns 25,0;25,0 . т.к. 5,0515,0 s , а 400n , то получим до-

верительный интервал 55,0;45,0 .

Таким образом, чтобы на уровне 95 процентной надежности признать

монету фальшивой, надо, чтобы экспериментальная частота оказалась вне

этого доверительного интервала. В пересчете на общее число испытаний

(400) получим, что число выпавших гербов, следовательно, и цифр, долж-

но отклонятся от 200 более чем на 20.

После этого можно приступить к эксперименту и вычислению отно-

сительной частоты появления герба (решки). Если эта частота выйдет за

пределы доверительного интервала, то с надежностью 95 % можно утвер-

ждать, что монета фальшивая. Если же частота попадет внутрь довери-

тельного интервала, то вопрос о фальшивости монеты остается открытым.

Предположим, что значение относительной частоты оказалось равным

0,35, следовательно, монета должна быть признана (на уровне 95 % надеж-

ности) фальшивой. Возникает вопрос, а какова истинная вероятность вы-

падения «орла» у этой монеты? В этом случае мы возвращаемся к рассмот-

ренному выше примеру с шарами, в котором по относительной частоте

оценивается вероятность события. В данном случае, учитывая, что

35,0p , а число испытаний 400n , 477,035,0135,0 s получим,

что доверительный интервал вероятности будет равен 398,0;302,0 .

Задачи на применение выборочного метода, дополняющие материал

пунктов 2.3, 2.4 и 2.5 можно найти в любом задачнике по теории вероятно-

стей.

Глава 6. Марковские цепи

60


В предшествующих главах неоднократно отмечалось, что для форми-

рования вероятностно-статического мировоззрения учащихся следует зна-

комить с применением вероятностно-статистических методов в естествен-

ных науках. Хотя этим, должны быть озабочены учителя естественно-

научных дисциплин, но и учителям математики следует быть в курсе таких

применений. Одним из разделов теории вероятностей, в котором форма та-

кого применения наиболее прозрачна и доступна пониманию школьников,

является так называемая теория марковских цепей, с первичными поня-

тиями которой мы и собираемся познакомить вас в этой главе. В следую-

щей главе мы познакомим вас с применением теории марковских цепей в

физике и биологии.

Понятие марковской цепи, как следует из самого названия, появилось

впервые в исследованиях известного российского математика, академика

Андрея Андреевича Маркова (1856–1922), посвященных изучению после-

довательностей зависимых испытаний. Оно послужило началом создания

теории марковских процессов, представляющих специальный класс слу-

чайных процессов без последствий, имеющих большое значение в различ-

ных разделах естествознания и техники.

6.1. Конечные стохастические процессы. Деревья, веса путей и веса

ветвей. Конечным стохастическим (случайным или вероятностным) про-

цессом называют пошаговый процесс изменения состояния системы в со-

ответствии с некоторыми вероятностными закономерностями (стохастиче-

ский от греческого – умеющий угадывать, проницательный).

Рассмотрим некоторую последовательность опытов, в которой воз-

можные исходы каждого эксперимента зависят от исходов предыдущих

экспериментов.

Пример 1. Имеются две урны. Первая содержит два белых и один чер-

ный шар. Вторая – один белый и один черный шар. Кроме того, имеется


61

еще одна вспомогательная урна, с помощью которой определяют, с какой

из двух основных урн начинать процесс последовательной выемки шаров.

В ней по условию задачи содержатся два белых и один черный шар. Начи-

ная эксперимент, из вспомогательной урны вынимают один шар, если он

оказался белым, то процесс начинают с первой урны, если черным, то со

второй.

Только после этого начинается счет шагов. На каждом шаге (экспери-

мента) шар вынимают из первой урны, если в предыдущем опыте шар был

белым или из второй, если он был черным. После каждого очередного ша-

га (эксперимента), зафиксировав цвет вынутого шара, его кладут назад и

тщательно перемешивают содержащиеся в этой урне шары.

Этот процесс можно изобразить графически с помощью так называе-

мого дерева логических возможностей (рис. 6.1). Каждой конкретной по-

следовательности возможных исходов этих опытов соответствует опреде-

ленный путь на дереве. Так если шар, извлеченный на начальном (нуле-

вом) этапе, оказался белым, на первом шаге – черным, на втором – вновь

белым, то получим путь IБЧБ, отмеченный на рисунке 6.1 жирной линией.

Отрезки, составляющие путь, называются ветвями. Дерево начинает-

ся из начальной точки I, а ветви, выходящие из нее, образуют нулевой ряд

31 31

3232

32

31

I

Рис. 6.1

32

3121

21 212121

21 2121 21 32

3121 21 2121 21

Черный шар (Ч) Белый шар (Б)

* 21

27/83/23/23/2P БББI

27/43/13/23/2P ББЧI

9/12/13/13/2P БЧБI

9/12/13/13/2P БЧЧI

9/13/22/13/1P ЧББI

18/13/12/13/1P ЧБЧI 12/12/12/13/1P ЧЧБI

.12/12/12/13/1P ЧЧЧI


62

дерева. Конец каждой из этих двух ветвей отвечает одному из возможных

начальных состояний системы, и обозначаются, соответственно, буквами Б

или Ч.

Из каждого такого конца выходит новое множество ветвей, концы ко-

торых, в свою очередь, отвечают возможным исходам первого шага. Эти

ветви образуют первый не нулевой ряд дерева. Таким способом можно

строить дерево ряд за рядом до тех пор, пока не будут исчерпаны все экс-

перименты в рассматриваемой последовательности.

Точки, в которых берут начало ветви, называются точками ветвления.

Каждую точку ветвления задают последовательностью ведущих к ней ис-

ходов. Так, например, точку ветвления, отмеченную на рис. 6.1 звездочкой,

можно обозначить последовательностью IЧБ. Каждую конкретную ветвь

будем обозначать последовательностью исходов, ведущей к ее началу, и

исходом, к которому эта ветвь ведет. Например, ветвь, заканчивающуюся

белым шаром со звездочкой, можно обозначить IЧ,Б, где IЧ – начало, Б –

конец ветви.

В нашем примере исход каждого отдельного эксперимента носит эле-

мент случайности. Для того чтобы прогнозировать ход процесса в целом,

ему надо приписать некоторую вероятностную меру. С этой целью, ис-

пользуя информацию о процессе, ветвям приписывают веса (в нашем слу-

чае – вероятности перехода из предыдущего состояния). Естественно, что

сумма весов всех ветвей, выходящих из любой точки ветвления, должна

быть равна единице.

На рис. 6.1 выполнено приписывание весов ветвям нулевого и первых

двух экспериментов (шагов) нашего примера. В частности, вес ветви IЧ,Б

принят равным 1/2, т.к. шар вынимают из второй урны (в предшествую-

щем эксперименте шар был черным), в которой один белый и один черный

шар и потому вероятность вынуть белый шар равна 1/2.

Обращает на себя внимание, то, что из всех узловых точек, соответст-

вующих появлению белого шара и помеченных буквой Б, выходят две вет-


63

ви, одна из которых с вероятностью 2/3 ведет к узловой точке Б, а вторая –

с вероятностью 1/3 – к узловой точке Ч. В то же время из всех узловых то-

чек, соответствующих появлению черного шара и помеченных буквой Ч,

выходят две ветви, одна из которых с вероятностью 1/2 ведет к узловой

точке Б, а другая, с такой же вероятностью 1/2, к узловой точке Ч.

Совершенно иную картину получим, если не будем возвращать в ур-

ны вынимаемые шары. Соответствующее дерево и мера на нем изображена

на рис. 6.2.

Как видно из рис. 6.2, здесь уже нет такого единообразия: в одних

случаях из узловой точки Б выходят две ветви с одинаковой вероятностью

1/2, а в других – одна с вероятностью 1. То же и с узловыми точками, соот-

ветствующими выемке черного шара.

Вернемся снова к процессу, характеризуемому деревом, изображен-

ным на рис. 6.1.

Рассмотрим теперь высказывания, связанные со всей последователь-

ностью экспериментов, для чего нужно построить вероятностную меру на

множестве путей данного дерева. Так как вероятности, приписываемые

ветвям в соответствии с характером эксперимента, независимы, то каждо-

31

32

21

21

21

21

211

121

21

21

1

1

1 11

1

1

161

61

61

61

61

61

Рис. 6.2


64

му пути естественно приписать вероятность (вес), равную произведению

вероятностей (весов), приписанных ветвям, составляющим этот путь.

Например, вероятность того, что в рассмотренном выше примере про-

цесс будет развиваться по пути IБЧБ, равна 91

21

31

32P БЧБI .

Всего на нашем дереве имеется восемь путей. Соответствующие им

вероятности обозначены в последней колонке рис. 6.1. Если сложить все

эти вероятности, то так как этими путями исчерпываются все возможно-

сти, их сумма должна быть равна единице.

Вычислим теперь вероятность того, что шар, вынутый из основных

урн вторым, будет белым. К этому исходу ведут четыре пути: IБББ, IБЧБ,

IЧББ, IЧЧБ. Как следует из приведенных выше расчетов, их веса равны со-

ответственно: 27/8P БББI , 9/1P БЧБI , 9/1P ЧББI , 12/1P ЧЧБI . На рис. 6.1 эти

значения проставлены у соответствующих исходов. Сумма этих вероятно-

стей равна 108/65 . Таким образом, вероятность того, что шар, вынутый

вторым, будет белым, равна примерно 0,602. Аналогично можно подсчи-

тать вероятность того, что шар, вынутый вторым, будет черным

108/4312/118/19/127/4Р , или примерно 0,398.

В этом случае говорят, что в результате двух шагов система из со-

стояния 313/2

ЧБ перешла в состояние 108/43108/65

ЧБ .

При продолжении эксперимента размеры дерева быстро увеличива-

ются. Чтобы эту трудность преодолеть, можно уже построенную часть де-

рева ужать, представив ее одним (первым) рядом ветвей, выводящих на

два заключительных состояния Б и Ч с соответствующими вероятностями

65/108 и 43/108, или в десятичной записи, приблизительно 0,602 и 0,398.

Выполнив в качестве продолжения четвертый и пятый шаг, получим дере-

во, изображенное на рис. 6.3.

Расчеты, аналогичные расчетам, приведенным выше, позволяют ут-

верждать, что на пятом шаге вероятность вынуть белый шар равна


65

600,0099,0133,0100,0268,0 , а черный – 0,3990,0990,0660,1000,134 .

Повторяя эту процедуру надлежащее число раз, можно вычислить вероят-

ности появления белого и черного шаров на любом шаге эксперимента.

6.2. Цепи Маркова. Конечный стохастический (случайный) процесс

называется цепью Маркова, если исход каждого опыта зависит только от

исхода предшествующего опыта, более того, характер этой зависимости

одинаков для всех этапов последовательности опытов.

Пусть Sk},S2,{S1,U есть множество всех возможных состояний не-

которой системы, которая в каждый момент времени характеризуется од-

ним и только одним из этих состояний. В первом примере таких состояний

всего два: Б и Ч. С течением времени она переходит последовательно из

одного состояния iS в другое jS . Каждый такой переход – шаг процесса.

Если процесс является марковской цепью, то вероятность такого перехода

(обозначим ее ijp ) зависит только от состояния iS .

Легко проверить, что процесс, описанный в первом из двух рассмот-

ренных выше примеров, когда каждый вынутый шар возвращается в урну,

как раз и обладает таким свойством и потому можно сказать, что он обра-

зует цепь Маркова. В то же время процесс, описанный во втором примере,

398,0

602,0

32

31

I

Рис. 6.3

32

31

21

21

21

21 21 32

21

21

268,03232602,0

100,02131602,0

100,02131602,0

133,03221398,0

066,03121398,0

099,02121398,0

099,02121398,0

134,03132602,0

31


66

когда вынимаемые шары не возвращаются в урну, уже не является цепью

Маркова.

Марковская цепь считается заданной если указаны значения ijp для

всех пар значений i и j. Кроме этих значений должно быть задано исходное

состояние, в котором по предположению находится система в начальный

момент времени. Обычно все значения ijp располагают в виде квадратной

таблицы, которую называют вероятностной матрицей перехода:

kkkk

k

k

ppp

pppppp

М

...............

...

...

21

22221

11211

.

В такой матрице сумма вероятностей, стоящих в каждой из строк,

должна быть равна единице, например, 1...21 ikii ppp , так как пред-

ставляет сумму вероятностей переходов из состояния Si во все другие со-

стояния системы Sk},S2,{S1,U . На основе этих данных можно постро-

ить для любого (конечного) числа шагов марковской цепи дерево логиче-

ских возможностей и вероятностную меру на нем.

В первом из двух рассмотренных выше процессов, который, как мы

установили, является цепью Маркова, вероятностная матрица перехода

имеет вид: ЧБ

М

ЧБ

2/12/13/13/2 .

Числа в первой строке данной матрицы представляют собой вероятно-

сти появления белого и черного шаров, после того, как был вынут белый

шар. Их сумма равна единице: 2/3+1/3=1. Числа во второй строке те же ве-

роятности после того, как вынут черный шар, их сумма также равна еди-

нице: 1/2+1/2=1.

Задавая марковскую цепь матрицей, а главное, используя ее для пред-

сказаний, необходимо еще знать, с какого состояния системы начинается

процесс. В примере 6.1 для этого использовалась вспомогательная урна.

Если вынутый из нее шар оказывался белым, то начинать марковский про-


67

цесс надо было с первой урны, если шар оказывался черным, то со второй

урны. На дереве логических возможностей эта часть процедуры изображе-

на буквой I и двумя выходящими из нее отрезками с черным и белым ша-

рами на концах. Меняя во вспомогательной урне соотношение белых и

черных шаров, можно регулировать начало процесса и дальнейший его

ход. На дереве логических возможностей при этом изменились бы только

вероятности, приписанные двум отрезкам первого ряда.

При задании марковской цепи матрицей такой выбор начального со-

стояния задается вектором, компонентами которого служат вероятности,

которые на дереве логических возможностей приписаны ветвям, идущим

из точки, обозначенной буквой I. Такой вектор называют вероятностным

вектором состояний системы. В первом примере такой вектор имеет вид:

3/13/2 )0( P

ЧБ .

Очевидно, что у вероятностного вектора, определяющего начальное

состояния системы, сумма компонент всегда должна быть равна единице,

т.к. они являются вероятностями всех состояний системы.

Чтобы найти вероятностный вектор состояний системы после первого

шага, надо вероятностный вектор, характеризующий состояния системы на

начало процесса )0(P умножить на матрицу перехода M:

21213132

3132)1(P .

Для того чтобы умножить вектор-строку на квадратную матрицу того

же порядка, надо элементы вектора умножить почленно на элементы пер-

вого столбца матрицы, после чего полученные произведения сложить, по-

лученная сумма будет первой компонентой вектора – произведения. Ана-

логично вычисляется и вторая компонента, только элементы множимого

вектора надо умножить на элементы не первого, а второго столбца матри-

цы. В результате получим вектор 21313132;21313232)1( P .


68

Выполнив арифметические вычисления, получим вероятностный век-

тор 389,0;611,0Ч 1871811)1(

БP , характеризующий состояния системы по-

сле первого шага, а именно: вероятность того, что вынутый шар окажется

белым, равна 1811` , а черного – 187̀ .

Для определения состояния системы после второго шага надо полу-

ченный вероятностный вектор )1(P еще раз умножить на матрицу перехода

М:

1084310865

21213132

1871811 Ч

04,060,0Б

.

Легко проверить, что начав с какого-либо другого состояния, мы по-

лучим последовательность состояний, сходящуюся вновь к вероятностно-

му вектору (0,60; 0,40). Например, если в качестве начального состояния

взять вероятностный вектор 8,0;2,054;51)0( q , то 467,0;533,0)1( q ,

411,0;589,0)2( q , 402,0;598,0)3( q , 40,0;60,0)4( q , 40,0;60,0)5( q .

6.3. Неподвижный вероятностный вектор преобразования. Сопостав-

ляя состояния системы после первого, второго, третьего и т.д. шага, можно

предположить, что рассматриваемый процесс стабилизируется, т.е. состоя-

ние системы прекращает изменяться. В теории марковских цепей доказы-

вается, что в подобных случаях существует вероятностный вектор, харак-

теризующий состояния системы, который не меняется при умножении его

на матрицу преобразования.

Такой вероятностный вектор называют неподвижным вектором пре-

образования. В дальнейшем такой вектор будем обозначать буквой t.

Для того чтобы его найти, решают матричное уравнение:

yxyx

21213132 .

В результате получим равенство векторов: .;2131;2132 yxyxyx

Из равенства векторов следует равенство соответственных компонент:

xyx 2132 , yyx 2131 . Так как эти уравнения эквивалентны, то прихо-


69

дится использовать еще одно условие, а именно то, что у вероятностного

вектора сумма компонент всегда равна единице, поэтому 1 yx .

6.4. Среднее число шагов, необходимых для перехода из одного со-

стояния марковской цепи в другое. Среднее здесь понимается в том смыс-

ле, который придается выражению «среднее значение» в теории вероятно-

стей. Пусть 1p означает вероятность того, что процесс перейдет впервые в

состояние aj за один шаг, 2p – за два шага и т.д.; тогда среднее значение

числа шагов равно nppp n21 21

В качестве примера обратимся вновь к рассмотренному в начале гла-

вы процессу выемки шаров с возвращением из двух урн. Требуется найти

среднее число шагов, необходимых для того, чтобы после выемки белого

шара вновь оказался вынутым белый шар. В соответствии с данным выше

определением среднего значения найдем вероятность того, что белый шар

появится уже в результате первого шага. Для этого обратимся к соответст-

вующей матрице перехода

ЧБ

М

ЧБ

2/12/13/13/2 .

Из нее следует, что искомая вероятность равна 2/3. Для нахождения

вероятности того, что переход от белого шара к белому совершится не за

один, а за два шага, заметим, что это может произойти только в том случае,

если после первой выемки появится черный шар, а после второй выемки –

белый шар. Так как вероятность первого события равна 1/3, а второго – 1/2,

то в целом вероятность такого двухшагового перехода от белого шара к

белому будет равна 1/6. Вероятность трехшагового перехода от белого ша-

ра к белому (Б-Ч-Ч-Б) равняется 121212131 . Вероятность четырехша-

гового перехода (Б-Ч-Ч-Ч-Б) равна 241 .

Обрывая на этом процесс вычислений и пользуясь определением

среднего значения, можно написать, что среднее число шагов, обеспечи-

вающих переход от белого шара к белому m(сред), равно приблизительно


70

12516141313242413121261132 . Однако пользоваться

такой частичной суммой для вычисления среднего значения числа шагов

нельзя. Слишком мало для этого слагаемых.

В теории марковских цепей доказывается, что для нахождения сред-

него числа шагов, необходимых для перехода от белого шара к белому или

от черного шара к черному, надо найти неподвижный вектор преобразова-

ния, который в нашем случае равен (3/5, 2/5), и заменить его компоненты

обратными величинами. Компоненты полученного в результате такой за-

мены вектора 25,35 означают, что для перехода от белого шара до бело-

го требуется в среднем 321 шага, от черного до черного – 212 шага.

6.5. Регулярные марковские цепи

Определение. Марковская цепь называется регулярной, если в модели-

руемом ею процессе можно через конечное число шагов оказаться в любом

из состояний этой цепи независимо от начального состояния процесса.

Для того чтобы марковская цепь была регулярной, достаточно, чтобы

существовала степень ее матрицы перехода, не содержащая нулевых эле-

ментов. Действительно, если такая матрица существует и ее n-я степень не

содержит нулей, то как минимум через n шагов можно попасть в любое со-

стояние, независимо от того, в каком состоянии была система в начале

процесса.

Легко видеть, что процесс, рассмотренный нами в первом примере,

регулярен, т.е. описывается регулярной марковской цепью. Действительно,

задающая его матрица не содержит нулей.

Легко убедиться, что далеко не всякая марковская цепь является регу-

лярной. В качестве примера можно рассмотреть, например, цепь с матри-

цей перехода

2/12/1

01P .

Для того чтобы убедиться в том, что любая ее степень содержит нуле-

вой элемент, нет необходимости вычислять истинные значения всех ее


71

элементов. Вместо этого, обозначив каждый ее неравный нулю элемент

буквой x, а остальные, нулем, получим:

xxx 0P . Тогда, как показывают

вычисления, все ее степени будут содержать в правом верхнем углу нуль.

Действительно,

xxx 02P ·

xx

x 0

xxx 0

и

xxx 023 PP

xx

x 0 .

С нерегулярными марковскими цепями мы встретимся в главе 8, рас-

сматривая применение марковских цепей при изучении генетики.

Введенное понятие регулярной марковской цепи позволяет сформу-

лировать важную для теории марковских цепей теорему.

Теорема. Пусть P есть матрица вероятностей перехода регулярной

марковской цепи. Тогда:

(1) последовательность степеней этой матрицы (Р1, Р2,…,Рn,…) схо-

дится к некоторой матрице Т, т.е. каждый элемент матрицы Рn

с увеличением номера n стремится к соответствующему элемен-

ту матрицы Т;

(2) строки матрицы Т одинаковы, образуют одинаковый вероятно-

стный вектор t;

(3) все компоненты вектора t положительны (т.е. среди них нет ну-

левых);

(4) вектор t является неподвижным вектором преобразования.

Для иллюстрации теоремы обратимся к марковской цепи, заданной

матрицей ЧБ

М

ЧБ

2/12/13/13/2 и моделирующей процесс последовательного

извлечения с возвращением шаров и вычислим несколько ее последова-

тельных степеней:

2/12/13/13/2

M ,

12/512/718/718/112M ,

72/2972/43108/43108/653M ,

403,0597,0398,0601,03M .


72

Как видим, теорема явно выполняется: матрица Мn с увеличением

значений n стремится к матрице

400,0600,0400,0600,0

T , строки которой образу-

ют одинаковый вероятностный вектор, все компоненты которого положи-

тельны: 4,0;6,0t .

Как мы видели в предыдущем пункте, этот вектор является непод-

вижным вектором преобразования, заданного матрицей М.

Выясним теперь, какой содержательный смысл с точки зрения рас-

сматриваемой процедуры выемки шаров имеет каждый пункт этой теоре-

мы.

Так как элемент )(nijp матрицы Pn есть вероятность того, что процесс

окажется в состоянии ja после n шагов, исходя из начального состояния

ia , то в (1) утверждается, что для больших значений n долгосрочный про-

гноз может быть дан раз и навсегда независимо от значений n. Другими

словами, )(nijp приблизительно равно ijt для всех больших n.

В (2) утверждается, что этот долгосрочный прогноз не зависит и от

начального состояния. Иными словами, jij tt зависит только от рассмат-

риваемого состояния ja , а не от начального состояния. Поэтому вероят-

ность оказаться в состоянии ja после большого числа шагов приблизи-

тельно равна jt независимо от начального состояния.

Наконец, в (3) утверждается, что в этом процессе все состояния дос-

тижимы, а в (4), что вектор t является неподвижным вектором преобразо-

вания.

Глава 7. Применение марковских цепей в физике

73


Успех молекулярной физики XIX и XX веков связан не с появлением

представлений о молекулах (эти представления встречались еще в глубо-

кой древности), а с тем, что к их изучению стала применяться математиче-

ская теория расчета вероятностей различных состояний. Качественные

представления о молекулярном строении материи относятся еще к време-

нам Демокрита. В известном философском произведении древнеримского

поэта, философа, материалиста Тита Лукреция Кара «О природе вещей»

имеются яркие описания значения «первочастиц» для понимания явлений

природы. Из этих первочастиц, по его мнению, построены все вещи мира,

и ими определяются все его явления.

Как не важны подобные представления, современный школьник дол-

жен знать, что математическое описание указанного явления природы по-

зволяет сделать следующий более важный шаг в изучении законов окру-

жающего нас мира. Но для этого уже недостаточно классических ветвей

математики – арифметики, алгебры, геометрии и начал анализа, необходи-

мо знание теории вероятностей – математического метода изучения зако-

номерностей случайных явлений.

Как утверждал А.Н. Колмогоров, современная физика учит нас тому,

что все её законы носят статистический характер.

Сразу заметим, что подобные вероятностные модели необходимы при

решении многих прикладных задач. Рассмотрим теперь два примера на ис-

пользование цепей Маркова в решении естественнонаучных вопросов.

7.1. Остановимся на явлении диффузии газов.

Диффузия – в простейшем случае – самопроизвольное выравнивание

концентрации в системе; в общем случае – процесс установления внутри

фаз равновесного распределения концентраций, возникающий в результате

беспорядочных блужданий элементов системы. Блуждания обусловлены

тепловым движением атомов и молекул (молекулярная диффузия), а также

более крупных частиц, взвешенных в газе или жидкости (броуновское


74

движение). Для понимания закона диффузии газов можно рассмотреть та-

кой простейший опыт.

Урна разделена перегородкой на две части. В левой половине урны –

два черных шара, в правой – два белых. Шары не различимы на ощупь.

Процесс заключается в следующем: на каждом шаге из каждой половины

урны берут по одному шару и меняют их местами.

Состояния системы будем характеризовать числом черных шаров в

левой половине урны. Таких состояний будет три: 0; 1; 2. Эти состояния

изображены в приведенной ниже таблице.

Таблица 7.1

Начальные состояния системы 0 1 2

Левая Правая Левая Правая Левая Правая Б Ч Ч Б Ч Б Б Ч Б Ч Ч Б

Если система находится в состоянии (0), то каких бы два шара (один

из левой, другой из правой части урны) мы ни поменяли местами, получим

состояние системы (1). Поэтому в первой строке матрицы с вероятностью

1 предусмотрен всего один переход из состояния (0) в состояние (1). Ана-

логичная ситуация складывается, если исходить из состояния (2). Поменяв

местами любых два шара, получаем состояние (1), поэтому в третьей стро-

ке матрицы предусмотрен всего один переход с вероятностью 1 из состоя-

ния (2) в состояние (1).

Наконец, если исходить из состояния (1), то окажется, что из четырех

возможных вариантов перекладывания шаров один раз система окажется в

состоянии (0), два раза в состоянии (1) и один раз в состоянии (2). Соот-

ветствующие вероятности приведены во второй строке матрицы.

В соответствии со сказанным матрица перехода D имеет вид:

0104/12/14/1

010

210

210

D .


75

В соответствии с условием начальное состояние системы характери-

зуем вероятностным вектором 1;0;0P(0) , означающим, что в левой поло-

вине оба шара черные. Умножая его последовательно на матрицу перехода

D, получим, что после первого шага состояние системы будет характери-

зоваться вероятностным вектором 0;1;0P(1) , означающим, что в левой

половине один черный и один белый шар.

После второго шага состояние системы характеризуется вероятност-

ным вектором 41;21;41P(2) , означающим, что с вероятностью 41 в ле-

вой части урны может не оказаться ни одного черного шара, с вероятно-

стью 21 – один черный и один белый шар, наконец, с вероятностью 41 –

два черных шара.

После третьего шага состояние системы будет характеризоваться ве-

роятностным вектором 81;43;81P(3) . Аналогично 163;85;163P(4) .

Этот четырехшаговый процесс изобразим деревом логических воз-

можностей (рис. 7.1).

Для нахождения неподвижного вектора рассматриваемого преобразо-

вания, решим матричное уравнение:

zyxzyx ,,0104/12/14/1

010,,

.

Выполнив умножение вектора на матрицу (см. глава 6), получим век-

торное равенство zyxyzyxy ;;41,21,41 . Приравнивая соответст-

I

Рис. 7.1

21

1

41

21

2

0

41

1

1

1

1

1 1

2

2

0

1 1

41

41


76

вующие компоненты, получим систему трех линейных уравнений.

xy 41 , yzyx 21 , zy 41 . Кроме того, 1 zyx .

Решив систему, получим 61x 32y 61z , и, следовательно, не-

подвижный вектор преобразования будет иметь вид: 61,32,61t , можно

сделать вывод, что при многократном повторении операции обмена шаров

равновесное состояние, когда и левая и правая части урны содержат по од-

ному черному и одному белому шару, будет встречаться в 4 раза чаще ка-

ждого из двух других состояний, при которых в одной половине все шары

черные, а в другой – белые.

Увеличив общее число шаров до шести, по три в каждой половине, и

предположив, что в начале процесса три шара в левой половине черные, а

в правой белые, повторим примененный в предыдущем случае прием пе-

рекладывания шаров.

Состояние системы, как и прежде, характеризуем числом черных ша-

ров в левой половине урны. Теперь этих состояний четыре: 0; 1; 2; 3.

Таблица 7.2

Начальные состояния системы 0 1 2 3

Левая Правая Левая Правая Левая Правая Левая Правая Б Ч Ч Б Ч Б Ч Б Б Ч Б Ч Ч Б Ч Б Б Ч Б Ч Б Ч Ч Б

Соответствующая матрица перехода будет иметь вид:

3 2 1 0

01009194940

09494910010

3210

D .

В соответствии с условием, начальное состояние системы характери-

зуем вероятностным вектором 1;0;0;0P(0) , означающим, что в левой

половине все три шара черные.


77

Для нахождения неподвижного вектора этого преобразования надо

решить матричное уравнение uzyxuzyx ;;;

01009194940

09494910010

;;;

.

Выполнив умножение вектора на матрицу (см. глава 6), получим век-

торное равенство uzyxzuzyzyxy ;;;94,9494,9494,91 .

Приравнивая соответствующие компоненты, получим систему четырех

линейных уравнений xy 91 , yzyx 9494 , zuzy 9494 , uz 91 .

Кроме того, 1 zyx .

Решив систему, получим: 201x 209y 209z 201t , и, следова-

тельно, неподвижный вектор преобразования будет иметь вид:

201,209,209,201t

Как видим в этом случае вероятность, что при длительном продолже-

нии процесса в одной половине соберутся все черные шары, а во второй, –

все белые, существенно уменьшилась (с 1/6 до 1/20).

Увеличивая число шаров в урнах и производя соответствующие рас-

четы, можно заметить, что в результате стихийного (случайного) переме-

шивания возрастает вероятность того, что доли черных и белых шаров в

обеих половинах будут выравниваться. Это свойство и объясняет на моле-

кулярном уровне явление диффузии.

7.3. В главе 6 было введено понятие регулярной марковской цепи, как

цепи, в которой можно через конечное число шагов оказаться в любом из

ее состояний, независимо от начального состояния процесса. Для того что-

бы марковская цепь была регулярной, достаточно, чтобы существовала

степень ее матрицы перехода, не содержащая нулевых элементов.

Легко видеть, что процесс последовательного перекладывания двух

шаров регулярен, т.к. уже третья степень ее матрицы перехода не содержит

нулей.


78

Обращаясь к сформулированной в главе 6 теореме о регулярных мар-

ковских процессах, рассмотрим марковскую цепь, заданную матрицей D, и

моделирующей процесс последовательного перекладывания двух шаров, и

вычислим несколько ее последовательных степеней:

3 2 1 0

01009194940

09494910010

3210

D

11,045,044,0005,050,040,005,005,040,050,005,0044,045,011,0

2D

05,050,040,005,006,045,045,004,004,045,045,006,005,040,050,005,0

3D

06,045,045,004,005,046,044,005,005,044,046,005,004,045,045,006,0

4D

05,046,044,005,005,045,045,005,005,045,045,005,005,044,046,005,0

5D

Как видим, в соответствии с утверждением теоремы матрица Dn с уве-

личением значений n стремится к матрице

05,045,045,005,005,045,045,005,005,045,045,005,005,045,045,005,0

T ,

строки которой образуют одинаковый вероятностный вектор, все компо-

ненты которого положительны: 05,045,0;45,0;05,0t .


вижным вектором преобразования, заданного матрицей D.

В соответствии с первым пунктом теоремы для больших значений n

долгосрочный прогноз может быть дан раз и навсегда независимо от зна-

чений n.


79

В соответствии с пунктом вторым этой теоремы этот долгосрочный

прогноз не зависит и от начального состояния системы.

Наконец, в соответствии с третьим и четвертым пунктами теоремы в

этом процессе все состояния достижимы, а вектор t является неподвижным

вектором преобразования.

7.4. В главе 6 введено понятие среднего числа шагов, необходимых

для перехода из одного состояния марковской цепи в другое, и показано

как оно вычисляется. Применительно к рассматриваемому в этой главе ма-

териалу этот вопрос может выглядеть следующим образом. В процессе по-

следовательного перекладывания двух шаров вычислить среднее число

шагов, необходимых для того, чтобы в процессе последовательного пере-

кладывания двух шаров найти среднее число шагов, необходимых для того

чтобы после того, как в левой части урны все шары оказались черными, эта

ситуация повторилась вновь. В соответствии с введенным в главе 6 мето-

дом надо прежде всего построить неподвижный вектор рассматриваемого

преобразования. В нашем случае он равен 201;209;209;201t . Заменяя его

компоненты обратными величинами, получим вектор 20;922;922;20 t ,

компоненты которого означают, что для перехода от одних белых шаров в

левой половине урны к повторению той же ситуации требуется в среднем

20 шагов, то же в случае появления одних черных шаров. Значительно

меньше шагов надо сделать для того, чтобы перейти от случая, когда в ле-

вой половине – один черный и два белых шара к такой же ситуации, в

этом случае потребуется 2 и 92 шага. Аналогично и в случае повторения

ситуации, при которой в левой части два черных и один белый шар.

Глава 8. Применение марковских цепей в генетике

80


Генетика (от греческого – происхождение) – наука о наследственно-

сти и изменчивости организмов. Генетика изучает причины и закономер-

ности изменения признаков организмов, материальные основы передачи

признаков потомству, сущность и закономерности реализации наследст-

венной основы организма.

8.1. У растений и животных наследование признаков имеет простей-

ший характер в том случае, когда признак определяется одной парой генов,

каждый член которой может быть одного из двух типов, скажем G и g.

Теоретически в этом случае каждый индивидуум может обладать генами в

одной из четырех возможных комбинаций GG, gg, Gg и gG. Однако с точ-

ки зрения генетики Gg эквивалентно gG и поэтому говорят не о четырех, а

о трех возможных комбинациях GG, gg и Gg. Очень часто комбинации GG

и Gg внешне неразличимы и тогда говорят, что ген G доминирует над ге-

ном g. В этом случае индивидуум с генами GG называется доминантным,

индивидуум с генами gg называется рецессивным, а индивидуум с генами

Gg – гибридом.

При скрещивании двух растений или животных их потомство насле-

дует по одному гену каждого из родителей и в основу генетики кладется

предположение о том, что эти гены выбираются случайным независимым

друг от друга образом. Это предположение определяет вероятность появ-

ления потомства каждого типа. Так потомство двух доминантных родите-

лей (GG и GG) с необходимостью должно быть доминантным, потомство

двух рецессивных родителей (gg и gg) – рецессивным, а потомство одного

доминантного и одного рецессивного родителя (GG и gg) – гибридом.

При скрещивании доминантного животного и гибрида (GG и Gg) тео-

ретически возможны четыре комбинации, две из которых имеют вид GG, и

две – вид Gg. Следовательно, в этом случае их потомок может c вероятно-

стью 1/2 оказаться доминантной особью и с такой же вероятностью 1/2


81

гибридной особью. Аналогично, при скрещивании рецессивного родителя

с гибридом (gg и Gg) две из четырех возможных комбинаций будут иметь

вид gg и две – вид Gg. Откуда следует, что в этом случае их потомок с ве-

роятностью 1/2 может оказаться рецессивной особью или с такой же веро-

ятностью – гибридной.

Наконец, при скрещивании двух гибридов (Gg и Gg) две комбинации

из четырех будут иметь вид Gg, одна – вид GG и еще одна – вид gg. Откуда

следует, что при скрещивании двух гибридов их потомок с вероятностью

1/2 может оказаться гибридной особью, с вероятностью 1/4 – доминантной

особью и с той же вероятностью 1/4 – рецессивной особью.

Рассмотрим теперь процесс последовательного скрещивания. В каче-

стве одного из родителей в самом начале процесса возьмем индивидуум с

неизвестным генетическим признаком, а в качестве второго – гибрид. По-

томка этой пары вновь скрестим с гибридом и т.д. Образующийся процесс

является марковской цепью. Его состояниями являются доминантные, ре-

цессивные и гибридные особи, что мы и будем обозначать буквами Д, Р и

Г. В соответствии с проведенными выше расчетами вероятностная матрица

перехода в данном случае будет иметь вид:

,2/12/104/12/14/1

02/12/1

РГД

М

Р Г Д

где символы Д, Г, Р, расположенные перед матрицей по вертикали, обо-

значают возможные генетические виды первого (неизвестного) родителя.

Те же символы, расположенные над матрицей, означают возможные гене-

тические виды потомка. Вторым родителем, в соответствии с условием,

является гибридная особь.

В первой строке матрицы записаны вероятности того, что потомок,

полученный при скрещивании доминантной особи с гибридной, будет до-

минантной (1/2) или гибридной (1/2) особью. Во второй строке записаны


82

вероятности того, что потомок, полученный при скрещивании гибридной

особи с гибридной, будет доминантной (1/4), гибридной (1/2) или рецес-

сивной (1/4) особью. В третьей строке записаны вероятности того, что по-

томок, полученный при скрещивании рецессивной особи с гибридной, бу-

дет гибридной (1/2) или рецессивной (1/2) особью.

До сих пор при построении марковской цепи мы считали известным

начальное состояние системы, например, известно, к какой из трех катего-

рий Д, Г или Р принадлежит первая особь, с которой производятся после-

дующие скрещивания. Однако в ряде случаев известна только вероятность

принадлежности этой особи к каждой из этих категорий. Например, из-

вестно, что она с вероятностью 0,6 является доминантной, с вероятностью

0,3 – гибридной и с вероятностью 0,1 – рецессивной. Такая ситуация мо-

жет сложиться, если первая особь случайным образом извлекается из сово-

купности особей, среди которых 60 % доминантных, 30 % гибридных и

10 % рецессивных. Предположим, что такая особь 1,0;3,0;6,0 и ее потомки

последовательно скрещиваются с гибридными особями. Для того чтобы в

этом случае вычислить вероятность появления в первом, втором, третьем и

т.д. поколениях доминантной, гибридной и рецессивной особи, построим

Д 0,6 ∙ 1/2 = 0,300

Г 0,6 ∙ 1/2 = 0,300

Д 0,3 ∙ 1/4 = 0,075

Г 0,3 ∙ 1/2 = 0,150

Р 0,3 ∙ 1/4 = 0,075

Г 0,1 ∙ 1/2 = 0,050

Р 0,1 ∙ 1/2 = 0,050

Д

Г

Р

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

0,1

0,3

0,6

Рис. 8.1

1/4

1/4


83

дерево логических возможностей (рис. 8.1).

Пользуясь результатами, обозначенными на рисунке, легко подсчи-

тать, что вероятность того, что особь, полученная в первом поколении, бу-

дет доминантной, равна 0,300+0,075=0,375. Аналогично, вероятность по-

лучения в первом поколении гибридной особи будет равна

0,300+0,150+0,050=0,500, а рецессивной 0,075+0,050=0,125.

Обратимся теперь к заданию такой марковской цепи матрицами. Для

этого помимо матрицы вероятностей перехода при скрещивании с гибрид-

ной особью введем вектор 1,0;3,0;6,0 , характеризующий начальное со-

стояние системы. Умножив его на выписанную выше вероятностную мат-

рицу перехода, получим: 1,0;3,0;06

2/12/104/12/14/1

02/12/1= 125,0;500,0;375,0 .

Приведенную матричную запись можно истолковать, не прибегая к ве-

роятностной терминологии. Например, можно предположить, что речь

идет об опылении гороха, произрастающего на одной делянке пыльцой,

собранной с гибридных особей, произрастающих на соседней делянке. Ес-

ли на первой делянке 60 % доминантных, 30 % гибридных и 10 % рецес-

сивных особей, то, посеяв собранные с этой делянки семена, мы получим

среди всходов 37,5 % доминантных, 50 % гибридных и 12,5 % рецессивных

особей.

Возникает вопрос, а какое распределение особей гороха по признакам

Д, Г и Р мы получим, опылив пыльцой гибридных семян вновь полученное

потомство. Ответ можно получить либо продолжив построенный на ри-

сунке 8.1 граф, либо помножив вектор 125,0;500,0;375,0 на основную веро-

ятностную матрицу перехода М:

125,0;500,0;375,0

2/12/104/12/14/1

02/12/1= 1875,0;5,0;3125,0 .

Очевидно, если нас не интересует промежуточный результат, а только

окончательное распределение после двукратного опыления, то его можно


84

вычислить, умножая начальное распределение на квадрат основной матри-

цы перехода, т.е. на матрицу MMM2 :

1,0;3,0;06

2/12/104/12/14/1

02/12/1

2/12/104/12/14/1

02/12/1 1,0;3,0;06

8/32/18/14/12/14/18/12/18/3

=

8/31,04/13,08/16,0;2/11,02/13,02/16,0;8/11,04/13,08/36,0

1875,0;5,0;3125,0 .

Как и следовало ожидать, результат получился тот же: 31,25 % особей

второго поколения будут доминантными, 50 % гибридными и 18,75 % ре-

цессивными.

Как отмечалось в 6 главе, вектор, характеризующий состояния систе-

мы, называют вероятностным. Сумма его компонент равна единице. Ве-

роятностный вектор, характеризующий начальные состояния системы,

обозначают .P(0) В нашем случае 1,0;3,0;6,0P(0) . Умножив его на матрицу

вероятностей перехода М, получим вектор (1)P , характеризующий вероят-

ностное распределение признаков (исходов) в первом потомстве. В нашем

случае 125,0;500,0;375,0P(1) . Умножая вектор (1)P на матрицу М, получим

вероятностный вектор (2)P распределения признаков во втором потомстве,

который в нашем случае равен 1875,0;5,0;3125,0 или приближенно

19,0;50,0;31,0P(2) , аналогично, умножая сначала (2)P , а затем и (3)P на М,

получим сначала 22,0;50,0;28,0P (3) , а затем 23,0;50,0;27,0P (4) .

8.2. Неподвижный вектор преобразования. Стационарный марковский

процесс в генетике.

Анализируя изменения, происходящие в распределении потомства по

признакам Д, Г и Р, легко заметить, что в то время как доля гибридных

особей в этом процессе не меняется, оставаясь равной 0,5, доля доминант-

ных особей уменьшается, а рецессивных увеличивается. Похоже, что эти

доли в ходе последовательного скрещивания потомства с гибридными осо-

бями будут сближаться, приближаясь каждая к 0,25, следовательно, сам


85

вероятностный вектор состояний системы будет приближаться к вектору

25,0;50,0;25,0 .

Выясним теперь, как будет развиваться процесс скрещивания с гиб-

ридными особями, если первоначальное распределение характеризуется

вероятностным вектором 25,0;50,0;25,0 . Для этого, умножим вектор

25,0;50,0;25,0t на матрицу М:

(0,25; 0,50; 0,25)·

2/12/104/12/14/1

02/12/1=(0,25; 0,50; 0,25).

В соответствии с определением, данным в главе 6, такой вероятност-

ный вектор t называется неподвижным вектором преобразования.

В главе 6 показано, как, располагая матрицей преобразования, найти

его неподвижный вектор, не прибегая ни к каким промежуточным поиско-

вым действиям. Для этого достаточно решить матричное уравнение tPt .

В данном случае это уравнение будет иметь вид:

zyxzyx

2/12/104/12/14/1

02/12/1.

Решив соответствующую этому матричному уравнению систему трех

линейных уравнений

,21410,212121

,04121

zzyxyzyx

xzyx

и учитывая, что 1 zyx , найдем этот неподвижный вектор:

25,0;50,0;25,0t .

Если этот вектор t принять в качестве вероятностного вектора началь-

ных состояний системы, то на всех ступенях (этапах) процесса распреде-

ление особей по видам Д, Г, Р будет оставаться одним и тем же, в нашем

случае 25,0;50,0;25,0 . Такой процесс называется стационарным марков-

ским процессом.


86

В соответствии с теоремой о марковских цепях, приведенной в главе

6, можно утверждать, что с какого бы начального состояния )0()0()0( ;; zyx

мы не начали процесс скрещивания потомства с гибридными особями,

вектор )()()( ;; nnn zyx , характеризующий распределение вероятностей со-

стояний потомства, будет сходиться к неподвижному вектору преобразо-

вания (матрицы).

8.3. В главе 6 было введено понятие регулярной марковской цепи, под

которой понимают процесс, в котором можно через конечное число шагов

оказаться в любом из состояний этой цепи независимо от начального со-

стояния процесса. Там же было показано, что для того, чтобы марковская

цепь была регулярной достаточно, чтобы существовала степень ее матри-

цы перехода, не содержащая нулевых элементов.

Легко видеть, что процесс последовательного скрещивания потомства

с гибридными особями регулярен, т.е. описывается регулярной марковской

цепью. Действительно, хотя не все элементы вероятностной матрицы пе-

рехода М положительны, квадрат этой матрицы уже не содержит нулевых

элементов:

2/12/104/12/14/1

02/12/1M2

2/12/104/12/14/1

02/12/1=

8/32/18/14/12/14/18/12/18/3

.

Полученный результат означает, что какой бы ни была первая особь

при ее двукратном скрещивании с гибридной особью, может получиться

особь любого из трех рассматриваемых видов: Д, Г или Р.

В той же главе было показано, что далеко не всякая марковская цепь

является регулярной.

Нерегулярной является в частности марковская цепь, описывающая

процесс последовательного скрещивания потомства с доминантными осо-

бями. Для того чтобы в этом убедиться, напишем соответствующую этому

процессу вероятностную матрицу перехода. Так как при скрещивании до-

минантной особи с доминантной особью может получиться только доми-

нантная особь, то в первой строке матрицы будет одна единица и два нуля.


87

При скрещивании гибридной особи с доминантной (Gg и GG) в двух слу-

чаях из четырех в потомстве будет получаться доминантная, а в двух дру-

гих – гибридная особь. Наконец, при скрещивании рецессивной особи с

доминантной (gg и GG) во всех четырех случаях (комбинациях) будет по-

лучаться гибридная особь. В результате матрица перехода примет вид:

РГД

L =РГД

01002/12/1001

Для того чтобы убедиться в том, что любая ее степень будет содер-

жать элементы, равные нулю, обозначим каждый ее неравный нулю эле-

мент через x, а остальные, равные нулю, через 0. Тогда матрица L примет

вид: L=

00000

xxx

x.

Возводя эту матрицу последовательно во вторую и третью степень,

мы получим:

00000

L2

xxx

x

00000

xxx

x=

0000

xxxx

x;

0000

L3

xxxx

x

00000

xxx

x=

0000

xxxx

x.

Откуда следует, что все остальные степени матрицы L будут иметь вид:

0000

Lxxxx

xn , следовательно, содержать нули.

Обращаясь к сформулированной в главе 6 теореме о регулярных мар-

ковких процессах, обратимся к марковской цепи, заданной матрицей М, и

моделирующей процесс последовательного скрещивания потомства с гиб-

ридными особями, и вычислим несколько ее последовательных степеней:

2/12/104/12/14/1

02/12/1M ,

8/32/18/14/12/14/18/12/18/3

M2 ,

16/52/116/34/12/14/116/32/116/5

M3 .


88

Как видим, меняются только угловые элементы матрицы, при этом

дело явно идет к выравниванию их значений. Это лучше видно, если пе-

рейти к десятичной записи их элементов (с точностью до одной сотой).

5,05,0025,05,025,005,05,0

M ,

37,05,013,025,05,025,013,05,037,0

M2 ,

31,05,019,025,05,025,019,05,031,0

M3 .

Продолжая этот процесс, получим:

28,05,022,025,05,025,022,05,028,0

M4 ,

27,05,023,025,05,025,023,05,027,0

M5 ,

26,05,024,025,05,025,024,05,026,0

M6 .

Как видим, в соответствии с утверждением теоремы матрица Мn с

увеличением значений n стремится к матрице

25,05,025,025,05,025,025,05,025,0

T ,

все строки которой образуют одинаковый вектор, все компоненты которо-

го положительны: 25,0;50,0;25,0t .


вижным вектором преобразования, заданного матрицей М.

В соответствии с пунктом первым этой теоремы для больших значе-

ний n долгосрочный прогноз может быть дан раз и навсегда независимо от

значений n.

В соответствии с пунктом вторым этой теоремы этот долгосрочный

прогноз не зависит и от начального состояния системы.

Наконец, в соответствии с третьим и четвертым пунктами теоремы в

этом процессе все состояния достижимы, а вектор t является неподвижным

вектором преобразования.

Хотя марковский процесс последовательного скрещивания с доми-

нантными особями, задаваемый матрицей

РГД

L=РГД

01002/12/1001

,


89

и не является регулярным, поэтому к нему нельзя в полной мере применять

сформулированную в главе 6 теорему, для него можно найти неподвижный

вектор преобразования: zyx ,,

01002/12/1001

= zyx ,,

Решив систему

,000,12/10,02/11

zzyxyzyxxzyx

и учитывая, что 1 zyx , най-

дем, что неподвижный вектор матрицы L равен (1,0,0), откуда следует, что

независимо от начальных условий (состава популяции) по мере увеличе-

ния числа скрещиваний доля гибридных и рецессивных особей в потомст-

ве стремится к нулю.

Так, например, если в начале вся популяция состояла из одних рецес-

сивных особей, то после первого скрещивания с доминантными особями в

потомстве будут одни гибридные особи, действительно,

1,0,0

01002/12/1001

0,1,0 .

После скрещивания полученного потомства с доминантными особями

получим 0,1,0 ·

01002/12/1001

0,2/1,2/1 , т.е. одна половина очередного

потомства будет доминантной, а другая – гибридной. После третьего

скрещивания получим 0,4/1,4/3 , а после четвертого – 0,8/1,8/7 . Таким

образом, рецессивные особи исчезают уже после первого скрещивания, а

доля гибридных после каждого скрещивания сокращается в два раза.

8.4. В главе 6 введено понятие среднего числа шагов, необходимых

для перехода из одного состояния марковской цепи в другое, и показано,

как оно вычисляется. Применительно к рассматриваемому в этой главе ма-

териалу этот вопрос может выглядеть следующим образом: в процессе по-

следовательного скрещивания потомства с гибридными особями вычис-


90

лить среднее число шагов, необходимых для того, чтобы в процессе после-

довательного скрещивания доминантной особи и ее потомков с гибрид-

ными особями найти среднее число шагов, необходимых для того, чтобы в

потомстве вновь появилась доминантная особь. В соответствии с введен-

ным в главе 6 методом для этого надо прежде всего построить неподвиж-

ный вектор рассматриваемого преобразования. В нашем случае он равен

4/1,2/1,4/1 . Заменяя его компоненты обратными величинами, получим

вектор (4, 2, 4), компоненты которого означают, что для перехода от доми-

нантной особи до доминантной требуется в среднем четыре шага, от гиб-

ридной до гибридной – два и от рецессивной до рецессивной – снова четы-

ре.

8.5. Более интересным, но также и более сложным оказывается про-

цесс, при котором особи данной популяции скрещиваются между собой,

затем скрещиваются между собой их потомки и т.д. Расчеты показывают,

что при достаточно большой популяции распределение типов в ней на

протяжении многих поколений остается приблизительно таким, каким оно

было в потомстве первого поколения. Однако надо иметь в виду, что со-

стояния равновесия процесс достигает лишь в очень больших популяциях.

Этот результат очень интересен с точки зрения генетики. Он показы-

вает, что если в популяции не происходит ни отбора, ни мутаций, то вся

«эволюция» завершается за одно поколение.

Documents

Глава 1 История возникновения теории вероятностейrobert-mayer-1921.narod.ru/olderfiles/1/Glavy_1_8.pdf · История возникновения