В современном мире поведение всех индивидов подвержено действию

суммы социокультурных и информационных факторов, совокупность которых

можно назвать социальным шумом. Наша работа посвящена двум кризисным ко-

личественным проявлениям поведения общества: валютные кризисы и демогра-

фическая ситуация. И в той и в другой областях количественная картина проис-

ходящего выглядит как раздувание пузыря с последующим его разрушением [1].

Устоявшиеся термины: «биржевой пузырь» и «демографический взрыв» служат

для обозначения явлений, определяемых поведением социума. Эти явления лишь

происходящие на фоне процессов, описываемых экономическими моделями и

законами демографии, которые интерпретируют плавное течение процессов и

бессильны предсказать кризисные явления.

Как заметил А. Эйнштейн: «Весь предшествующий опыт убеждает нас в

том, что природа представляет собой реализацию простейших математически

мыслимых элементов» [2]. Поэтому будем пытаться применить различные мате-

матические модели, используемые в аналогичных случаях в физике.

Кинематический аналог поведения игроков.

Существует слой экономически активных членов общества, чьё поведение

легко количественно характеризуется и поэтому интересно для применения ма-

тематических методов анализа. Речь идёт об участниках валютного рынка. Кур-

сы валют и их колебания не только и не столько являются отражением экономи-

ческой реальности, как это было в эпоху «золотого стандарта», сколько являются

проявлением настроений в той части социума, которая участвует в игре на кур-

сах валют. Значительный интерес в этом отношении представляет прогнозирова-

ние курса европейской валюты по отношению к доллару США.

При анализе поведения курсовых соотношений на валютном рынке исполь-

зуются такие понятия, как линия поддержки и линия сопротивления [3]. Значе-

ния курсов, соответствующие этим уровням, считаются на рынке “психологиче-

ски важными”, при выходе валютного курса за пределы, обозначенные этими

линиями, характер развития ситуации резко меняется. Спокойное и предсказуе-

мое изменение валютного курса сменяется на его резкий рост или падение. Так

продолжается до тех пор, пока ситуация не придёт к новому состоянию равнове-

сия.

В исходных данных по динамике валютного курса [4] привлекают внима-

ние участки, на которых просматривается явная тенденция изменения обменного

курса по параболическому закону. Изменение по параболическому закону соот-

ветствует равноускоренному или равнозамедленному движению [5].

Нами была использована модель параболического роста, предусматриваю-

щая изменение курса )(y по следующему квадратичному закону относительно

времени )(x :

γβα +⋅+⋅= xxy 2.

Коэффициенты α, β, γ мы находили по методу наименьших квадратов, ре-

шая в среде электронных таблиц матричное уравнение. Черта сверху обозначает

усреднение.

4 3 2 2

3 2

2 1

x x x x y

x x x x y

yx x

αβγ

⋅ = ⋅

Скорость изменения курса (первая производная по x) выражается форму-

лой:

βα +⋅=′ xy 2 .

Ускорение при параболическом законе изменения постоянно:

α2=′′y .

Нами были проанализированы четыре случая параболической динамики.

Нисходящая и восходящие ветви параболы ветвями вниз ( )0<α , нисходящая

ветвь параболы ветвями вверх ( )0>α .

Анализировалась история изменения мнения социума валютных спекулян-

тов о значении курса евро относительно доллара за период с 01 января 2001 года

по 31 августа 2008 года. За этот период нами было отмечено следующее количе-

ство участков с определённой параболической динамикой.

ВЕТВИ ПАРАБОЛЫ ЧАСТЬ ПАРАБОЛЫ КОЛ-ВО УЧАСТКОВ (N)

Вниз Нисходящий 8

Вниз Восходящий 7

Вверх Нисходящий 9

Вверх Восходящий 23

Табл. 1. Количество участков с параболической динамикой в динамике валютной пары евро/доллар.

В случае использования параболического приближения остаточное среднее

квадратичное отклонение экспериментальных данных от теоретической зависи-

мости составляло порядка нескольких тысячных доллара за евро (то есть не-

сколько десятых цента за евро).

Рано или поздно тенденция прекращала действовать. При этом параболиче-

ская зависимость явно разрушалась. Мы решили исследовать зависимость скоро-

сти изменения курса, при которой происходит разрушение параболической ди-

намики (скорости «срыва»). Усреднение проводилось со статистическим весом,

равным обратной величине остаточной дисперсии. В таблице для каждой вели-

чины указана вариация (отношение среднего квадратичного отклонения к сред-

нему значению) ( )α2 .

Ветви Вниз Вниз Вверх Вверх

Участок параболы Нисхо-

дящий

Восхо-

дящий

Нисхо-

дящий

Восходя-

щий

N 8 7 9 23

Среднее значение ус-

корения ( )α2

2

0,001цент

евро сутки

⋅ ⋅

-1,5 -6,6 1.3 1,20

Коэффициент вариа-

ции ускорения (%) 145 125 101 377

Скорость «срыва»

цент

евро сутки

⋅

-0,26 0,18 -0,067 0,35

Коэффициент вариа-

ции скорости «срыва»

(%)

101 49 60 7,4

Табл. 2. Параметры параболической модели динамики валютной пары евро/доллар.

Обратим внимание на то, что вариация величины α2 составляет не менее

100%, да и значение скорости, при которой происходит срыв процесса, тоже оп-

ределено весьма расплывчато (вариация не менее 50%) во всех случаях, кроме

одного. Параболический рост, происходящий с постоянным положительным ус-

корением (восходящий участок параболы ветвями вверх) заканчивался всегда в

рассматриваемый период истории валютного рынка евро-доллар при величине

скорости 0,35цент

евро сутки⋅ Эта величина имеет вариацию около 7,4%, то есть она

определена с точностью 0,026цент

евро сутки⋅ . Учитывая, что величина ускорения из-

меняется в широких пределах до 0,0322

цент

евро сутки

⋅

, можно прийти к выводу, что

предсказание момента изменения тенденции поведения социума валютных спе-

кулянтов, занимающихся игрой на повышение курса евро, может быть осуществ-

лено с точностью порядка нескольких суток. Для предсказания достаточно, най-

дя параметры квадратичной регрессии, определить момент, когда скорость изме-

нения валютного курса, то есть производная 2y xα β′ = ⋅ + достигнет значения

около 0,35 цент

евро сутки

⋅

. При среднем значении ускорения 0,0012 это соответству-

ет разбросу времени max

3

0,02621,7

2 1,2 10

Vx

α −∆

∆ = = =⋅ суток, то есть три недели. При

продолжительности роста до полугода, эта погрешность не превышает 10%. Если

ускорение достигает значения 0,032, то max 0,026

12 0,032

Vx

α∆

∆ = = ≈ сутки.

Качественная модель причин демографического взрыва и депопуляции.

Справедливо полагают, что наблюдающийся на протяжении последних ве-

ков рост населения земного шара принял в последней четверти XX века – начале

XXI столетия катастрофический характер [6]. Динамика численности населения

должна претерпеть радикальные изменения. Это событие принято называть де-

мографическим переходом. Дата демографического перехода относится к первой

четверти XXI века.

Британский учёный XIX века Мальтус [6] указал на очевидную вещь – ог-

раниченность ресурсов нашей планеты и её неизбежное перенаселение в случае

непрекращающегося экспоненциального роста численности населения. Этим на-

поминанием о смерти он заслужил всеобщее осуждение и неодобрение. Менее

известен другой исторический факт. Мальтус первым пришёл к выводу о цик-

личности развития экономики при капитализме [6]. Это было воспринято буржу-

азными экономистами крайне негативно, но первый же мировой кризис перепро-

изводства, случившийся в первой половине XIX века, заставил замолчать его

критиков.

Есть смысл напомнить о том, что в современную эпоху кризисы капита-

лизма сопровождаются раздуванием экономического “пузыря”[1]. Происходит

рост стоимости промышленных активов, ценных бумаг и недвижимости. Разду-

ванием этого “пузыря” (строительством недвижимости, созданием новых произ-

водственных мощностей) занята значительная часть общественных производи-

тельных сил. В период роста “пузыря” каждый занят своим делом и востребован

на рынке труда.

Демографический переход напоминает такой мировой экономический кри-

зис. Увеличивается численность рабочей силы, расширяются возможности вос-

производства. Но скорость роста становится чрезмерной.

Очевидно, что мировые кризисы – явление отнюдь не однородное в мас-

штабах мировой экономики. Например, “Великая депрессия” конца двадцатых

годов XX века не отразилась губительно на замкнутой экономике СССР. Оче-

видно, нельзя упускать из вида то обстоятельство, что демографический переход

в планетарных масштабах не может быть гомогенен (однороден). Это явно гете-

рогенный (неоднородный) процесс. В странах Западной культуры рождаемость

снизилась так сильно, что в некоторых из них происходит депопуляция [6]. Рос-

сия являет тому яркий пример. В тоже время есть на планете страны, где в сред-

нем на одну женщину до сих пор приходится восемь рождений.

В бурно развивающихся в численном отношении обществах детская жизнь

стоит недорого [6]. Рождений-то много. Зато авторитетом, уважением и эконо-

мической властью пользуются люди преклонного возраста.

В нашей работе мы рассмотрели именно эту ситуацию. Сделаем оценку

экономической нагрузки на трудоспособное население, связанную с содержани-

ем молодого поколения и лиц преклонного возраста.

Наша модель построена на основе таблиц смертности Э. Галлея [6]. Будем

полагать, что расходы на одного молодого человека во столько раз меньше, чем

расходы на содержание трудящегося, во сколько раз расходы на лиц преклонного

возраста – патриархов патриархального общества – превышают расходы на тру-

доспособного члена.

Население было разделено на возрастные группы по десять лет от (0-10) до

(>80). Вероятности смерти в течение интервалов для лиц, достигших нижней

границы возрастного интервала, были заданы согласно данным, приведенным в

таблице 3.

Возраст (лет) Вероятность смерти

0-10 0,05

10-20 0,05

20-30 0,1

30-40 0,15

40-50 0,2

50-60 0,3

60-70 0,6

>70 1

Табл. 3. Исходные данные демографической модели

Варьировались следующие показатели. Во-первых, коэффициент роста ро-

ждаемости за 10 лет от 0,9 до 1,3. Во-вторых, отношение затрат на содержание

патриарха (лица старше 60 лет) и работоспособного члена общества (от 0,5 до 5).

Назовём этот коэффициент коэффициентом патриархальности. Будем считать,

что на содержание лица моложе 20 лет общество затрачивает во столько же раз

меньше (от 0,5 до 5), чем на работоспособного.

Нами была проведена оценка нагрузки на одного трудоспособного (М) че-

ловека, показывающая, сколько он должен отдать на содержание патриархов и

молодёжи по сравнению с долей продукта, которую он расходует на себя. Ре-

зультаты вычислений сведены в таблицу. В ней дано относительное значение со-

циальной нагрузки по сравнению с моделью нулевого прироста населения, при

котором рождаемость стабильна (Кр=1).

Коэффициент патри-

архальности

Значения коэффициента роста рождаемости за 10 лет

0,9 1 1,1 1,2 1,3

0,5 1,03 1,40 1,88 2,49 3,22

1 0,75 0,89 1,10 1,38 1,72

2 0,85 0,84 0,88 0,96 1,10

3 1,09 0,99 0,94 0,95 0,99

4 1,37 1,19 1,09 1,03 1,02

5 1,66 1,42 1,26 1,15 1,09

Табл. 4. Результаты моделирования.

Проанализировав таблицу, можно сделать следующие выводы о качествен-

ных результатах модельных расчётов: чем больше неравенство в разделении об-

щественного продукта, тем целесообразнее становится повышение рождаемо-

сти. Это выражается в снижении нагрузки на работоспособных членов общест-

ва. Так, при коэффициенте патриархальности 5, с увеличением коэффициента

роста рождаемости с 0,9 до 1,3 нагрузка снижается в полтора раза. Большая ро-

ждаемость относительно выгодна, она делает распределение доходов более

справедливым.

При достойном содержании пенсионеров и детей (значение коэффициента

патриархальности – единица) рост рождаемости менее единицы (режим депопу-

ляции) становится выгоднее примерно на 15%, чем сохранение стабильной чис-

ленности населения (коэффициент роста рождаемости – 1). При пренебрежи-

тельном отношении к пенсионерам, когда их доходы меньше, чем доходы рабо-

тающего населения, а детям родители стараются обеспечить счастливое детство

(коэффициент патриархальности – 0,5) депопуляция выгоднее для работающего

человека примерно на одну треть.

Модель, построенная на основе самых общих соображений привела нас к

следующему выводу. С ростом свободы общества от патриархальных предрас-

судков и со снижением материального состояния лиц преклонного возраста

становится экономически нецелесообразным поддержание положительной ди-

намики численности народонаселения. Возможно, невидимая рука экономиче-

ских законов заставит увеличить рождаемость при повышении социальных рас-

ходов на лиц преклонного возраста и снижении расходов на детей и молодёжь.