Ταλάντωση σε ταλαντευόµενο υπόβαθρο. Η σανίδα του σχήµατος έχει µάζα Μ ενώ ο κύλινδρος µάζα m και ακτίνα R. Ο συντελεστής τριβής µεταξύ σανίδας και κυλίνδρου µας εξασφαλίζει ότι δεν παρατηρείται ολίσθηση. Το δάπεδο είναι λείο. Το ιδανικό ελατήριο έχει αµελητέα µάζα.
Εκτρέπουµε τα σώµατα κατά Α και τα αφήνουµε. ∆είξατε ότι το κάθε ένα εκτελεί αρµονική ταλάντωση. Υπολογίσατε το πλάτος και την κυκλική συχνότητα κάθε ταλάντωσης.
Απάντηση: Κάποια στιγµή η σανίδα κινείται µε επιτάχυνση a
�
, ο κύλινδρος µε επιτάχυνση Ka���
ενώ η
γωνιακή του επιτάχυνση είναι aγ���
.
Επειδή δεν παρατηρείται ολίσθηση µεταξύ κυλίνδρου και σανίδας K Ka a a a a a Rε γ= + ⇒ = +
(1)Ka aa
Rγ
−⇒ =
Κάποια στιγµή το ελατήριο έχει επιµήκυνση x. Τότε:
(2)F T Maελ − =
Για τον κύλινδρο: (3)KT ma= Από τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης έχουµε για τον κύλινδρο:
2
2Ka amR
TR Ia TRRγ
−= ⇒ = (4)
2 2 K
m mT a a⇒ = −
(3), (4)2 2 3K K K
m m ama a a a⇒ = − ⇒ = (5)
3
aT m⇒ =
3(2)
MF T T
mελ⇒ − =3M m
F Tmελ
+⇒ = (6)
3
mT F
m Mελ⇒ =+
Για τη σανίδα 3 31 .
3 3 3
m M MF F T F F k x
m M m M m Mελ ελ ελ = − = − = = − + + +
∑
Ka���
a��
a�
a��
a��
T��
T−��Fελ
����
Το υπόβαθρο εκτελεί αρµονική ταλάντωση µε 3
3
MD k
m M=
+.
Επίσης 3
3
D k
M m Mω = =
+.
Το πλάτος είναι προφανώς Α διότι θέση ισορροπίας είναι η θέση φυσικού µήκους. Για τη σανίδα η εξίσωση θέσης είναι:
.2
x A tπ
ηµ ω = +
Για την επιτάχυνση έχουµε:
2 .2
a A tπ
ω ηµ ω = − +
και επειδή
2
.3 3 2K K
a Aa a t
ω πηµ ω = ⇒ = − +
.
Αυτό φυσικά σηµαίνει ότι ο κύλινδρος εκτελεί αρµονική ταλάντωση ίδιας συχνότητας µε πλάτος το 1
3 του πλάτους της σανίδας. Επειδή ταυτίζονται οι ακραίες θέσεις διαφέρουν οι
θέσεις ισορροπίας. Για την στροφική ταλάντωση του κυλίνδρου:
22.
3 2Ka a A
a tR Rγ
ω πηµ ω
− = = − +
Κατ’ αναλογίαν (ή µε ολοκλήρωση) συµπεραίνουµε για την γωνιακή θέση: 2
.3 2
At
R
πϕ ηµ ω = +
Υποθέτουµε ότι στη θέση ισορροπίας η γωνιακή θέση είναι µηδέν. Την ιδέα πήρα από τον Ηλία Σιτσανλή (Ένα πρόβληµα). http://www.seilias.gr/index.php?option=com_content&task=view&id=105&Itemid=32
Recommended
