Download pptx - 1 геометрические построения на плоскости

Основания конструктивной геометрии

Геометрические построения на плоскости, лекция 1

к.п.н., доц. Пырков Вячеслав Евгеньевич

План1. Из истории конструктивной геометрии

2. Общие аксиомы конструктивной геометрии

3. Инструменты геометрических построений

4. Понятие задачи на построение и её решения

5. Элементарные геометрические задачи на построение

6. Основные этапы решения задачи на построение

7. Примеры решения геометрических задач на построение

Рекомендуемая литература1. Адлер А. Теория геометрических построений. – М.: Учпедгиз, 1940.

2. Аргунов Б.И., Балк М.Б. Геометрические построения на плоскости. – М.: ГУПИ, 1957.

3. Блинков А.Д., Блинков Ю.А. Геометрические задачи на построение. – М.:МЦНМО, 2010.

1. Из истории конструктивной геометрии: древние

Пифагор Евклид Архимед

Аполлоний Папп

Гиппократ

1. Из истории конструктивной геометрии: Новое время

Р. Декарт И. Ньютон Б. Паскаль

Л. Эйлер К.Ф. Гаусс

П. Ферма

Н.Ф. Четверухин (1891-1974)

Д.Д. Мордухай-Болтовской (1876-1952)

1. Из истории конструктивной геометрии: Россия

Приемы циркуля и

линейки, 1709 г.

2. Общие аксиомы конструктивной геометрии

Д/з: Выписать в конспекты следствия из этих аксиом (с док.) [2. С.17-18]

Основная плоскость считается построенной.

Если построены две фигуры, то считается известным, является ли их разность пустым множеством или нет.

Если разность двух фигур не является пустым множеством, то эта разность также считается построенной фигурой.

Если построены две фигуры, пересечение которых не пусто, то можно построить по крайней мере одну точку, принадлежащую этому пересечению



А. Аксиома линейки

Линейка позволяет выполнить следующие геометрические построения:а) построить отрезок, соединяющий две построенные точки;б) построить прямую, проходящую через две построенные точки;в) построить луч, исходящий из построенной точки и проходящий через другую построенную точку.


Б. Аксиома циркуля

Циркуль позволяет выполнить следующие геометрические построения:а) построить окружность, если построены центр окружности и концы отрезка, равного радиусу окружности;б) построить любую из двух дополнительных дуг окружности, если построен центр окружности и концы дуги.

3. Инструменты геометрических построенийВ. Аксиома двусторонней линейки

Двусторонняя линейка позволяет:а) выполнить любое из построений, перечисленных в аксиоме А;б) в каждой из полуплоскостей, определяемых построенной прямой, построить прямую, параллельную данной прямой и проходящую от неё на расстоянии h, где h – фиксированный для данной линейки отрезок;в) если построены две точки А и В, то установить, будет ли АВ больше некоторого фиксированного отрезка, и если АВ>h, то построить две пары параллельных прямых, проходящих соответственно через точки А и В и отстоящих одна от другой на расстоянии h.

3. Инструменты геометрических построенийГ. Аксиома прямого угла

Прямой угол позволяет выполнить следующие построения:а) выполнить любое из построений, перечисленных в аксиоме А;б) через данную точку плоскости провести прямую, перпендикулярную некоторой построенной прямой;в) если построены отрезок АВ и некоторая фигура Ф, то установить, содержит ли фигура Ф точку, из которой отрезок виден под прямым углом, и если такая точка существует, то построить её.


Задача на построение состоит в том, что требуется построить указанным набором инструментов некоторую фигуру, если дана некоторая другая фигура и указаны некоторые соотношения между элементами искомой фигуры и элементами данной фигуры.

Решением задачи на построение является каждая фигура, удовлетворяющая условиям задачи.

Найти решение задачи на построение – значит свести её к конечному числу основных построений, т.е. указать конечную последовательность основных построений, после выполнения которых искомая фигура будет построенной.


Пример: Построить середину отрезка, заданного своими концами А и В.

Решением задачи циркулем и линейкой1. АВ2. w1(А, АВ)3. w2(В, ВА)4. w1∩w2≡ {M, N}5. MN6. AB ∩ MN≡ {O}

O – искомая точка, т.к. АО=ОВ



Решением задачи циркулем1. w(В, ВА)2. w1(А, АВ)3. w∩w1≡ {С}4. w2(С, СА)5. w∩w2≡ {D} (≠{A})6. w3(D, DB)7. w∩w3≡ {E} (≠{C})8. w4(Е, ЕА)9. w1∩w4≡ {M, N}10.w5(М, МА)11.w6(N, NА)12.w5∩w6≡ {X} (≠{A}) X – искомая

точка



Решением задачи двусторонней линейкой1. АВ2. а║АВ3. b ║a4. {C}5. AC, BC6. a∩AC≡ {D}, a∩BC≡ {E}7. AE, BD8. AE∩BD≡ {P}9. CP10.CP∩AB≡ {X}

X – искомая точка



Решением задачи прямым углом1. АВ2. АА’┴АВ, BB’┴АВ3. {C}4. CC’┴AC5. CC’ ∩ BB’ ≡ {D}6. AD, BC7. AD∩BC≡ {P}8. PP’┴АВ9. PP’ ∩AB≡ {X}

X – искомая точка

5. Элементарные задачи на построение1. Деление данного отрезка пополам2. Деление данного угла пополам3. Построение отрезка равного данному4. Построение угла, равного данному5. Построение прямой, проходящей через данную точку

параллельно данной прямой6. Построение прямой, проходящей через данную точку

перпендикулярно к данной прямой7. Деление отрезка в данном отношении8. Построение треугольника по трем данным сторонам9. Построение треугольника по стороне и двум прилежащим

углам10. Построение треугольника по двум сторонам и углу между

ними11. Построение прямой, проходящей через данную точку и

касающейся данной окружности12. Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и

катету.Д/з: выполнить в конспектах эти построения с описанием

6. Основные этапы решения задачи на построение

I• АНАЛИЗ

II• ПОСТРОЕНИЕ

III• ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

IV• ИССЛЕДОВАНИЕ

Д/з: Выписать в конспекты характеристику этапов [2. С.32-39]

7. Примеры решения задач на построение

Задача 1. Построить треугольник по основанию и двум медианам, проведенным к боковым сторонам.


Задача 2. Построить треугольник, зная биссектрису, медиану и высоту, проведенные из одной его вершины.


Задача 3. Построить треугольник по двум высотам hB и hC и медиане mA.