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El electrón y el fotón

Partícula cargada responsable de la mayoría de los fenómenos observados por ser el componente más externo del átomo• determina las propiedades químicas de los materiales debido a que es responsable de los enlaces átomicos (moléculas, sólidos, etc)• puede saltar de un átomo a otro generando corrientes eléctricas

Características

me=9.11x 10-31 [kg] → mec2=0.511 [MeV]e=-1.6x 10-19 [C]Las cargas observadas en la naturaleza son siempre múltiplos de esta cantidad. Q= e.n (n=0, ±1, ±2, ....)

Que fuerzas actúan sobre el electrón?

+N

e-r Fuerza eléctrica FE= k e.qN / r2

Fuerza gravitatoria FG= G me.mN / r2

FG G me.mN / r2

FE k e.qN / r2= ∼ G me.mN

k e2∼ 6x 10-11x 10-30x 10-27

9x 109x (1.6x 10-19)2 ∼ 10-40

La fuerza gravitatoria es despreciable frente a la eléctrica !!!

El electrón

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Como sacar los electrones de un material?Electrones en un material conductor (por ejemplo un metal sólido)

Material Exterior

+ + + +

+ + + +

+ + + +

• Los electrones internos son atraídos por fuerzas eléctricas de todas direcciones y pueden desplazarse• En cambio los electrones que salen son atraídos hacia el interior del material ⇒ hay que entregarles energía para sacarlos, solos no salen del material

Diagrama de energía de un electrón en un sólido

Epdentro< Epfuera ⇒e ligado

Además los electrones tienen energía cinética Ek

El electrón con mayor energía dentro del material necesita una energía (eΦ) para sacarlo del materialeΦ: función de trabajo (de unos pocos eV para metales) 2

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Para sacar los electrones del material hay que:• entregarle al menos una energía eΦ a los electrones• o hay que modificar la energía potencial (por ejemplo agregando un campo eléctrico externo E), atrayendo a los electrones desde fuera.

Métodos para sacar un electrón de un material1) Agregando campo externo E

Se puede pero se requieren campos eléctricos muy grandes: Φ∼1V y ∆x∼ 1A=10-10 m, entonces se requieren campos del orden de1010 V/m (campo enorme!!!)

E

dEp/dx=Eext

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2) Calentando el material (Emisión termoiónica)

Al aumentar la temperatura del metal se aumenta la energía cinética de los electrones del material.Para ver cómo es la energía cinética de los electrones en función de la temperatura podemos modelar a los electrones del sólido como si fueran un gas de electrones libres. Esto no es exacto pero nos permite hacer una estimación de la energías cinéticasEntonces si los electrones se comportan como un gas de electrones libres, satisfacen una distribución de energías cinéticas del tipo Maxwell-Boltzmann

T=300 K

T=1000 K

eΦ

n(E k)

Ek

Si T=300 K, n(Ek=eΦ) ∼ N0.10-40

Muy pocos electrones

Si T=1000 K, n(Ek=eΦ) ∼ N0.10-1

Una fracción considerable de electrones

N0: número de electrones del gasK: constante de BoltzmannNúmero de electrones con

energías entre Ek y Ek+dEk

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Entonces: calentando el material es posibles extraerlealgunos electrones

Ejemplo: Tubo de rayos catódicos (Televisor)

El cátodo se calienta (resistencia) y emite electrones

Electrones que son acelerados en dirección al ánodo lo atraviesan

Con campos eléctricos y magnéticos es posible deflectar el haz de electrrones

La pantalla fluorescente emite luz al recibir el impacto de los electrones

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3) Emisión secundaria

Un electrón de alta energía penetra en el material y entrega su energía a otros electrones que pueden escapar del material

Ejemplo: tubo amplificador: * fotomultiplicador (incide luz)* electromultiplicador (incide un e-)

La luz también puede arrancar electrones de un material!!!

Luz o electrones inciden en el cátodo y arrancan más electrones

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4) Efecto fotoeléctrico (emisión de electrones con luz)

observaciones del efecto:• Sólo algunos materiales (eΦ < 1eV) emiten con luz visible, aunque todos emiten calentándolos!• Si la luz tiene una frecuencia menor que una cierta frecuencia umbral fc el material no emite (Si f <fc)• Si f > fc la emisión de electrones es inmediata, independiente de la intensidad de la luz• La energía cinética Ek con que salen los electrones dependen dela frecuencia f de la luz y no de su intensidad• La corriente de electrones que salen es independiente de la frecuencia f y aumenta con la intensidad

Pero la teoría clásica (ondulatoria) de la luz predice algo distinto:• La energía cinética de los electrones debería depender primordialmente de la intensidad de la luz (la energía se va entregando continuamente) y no de la frecuencia f• Si el haz es de baja intensidad, la energía se va acumulando hasta que al final algún electrón logre salir

Cual es el motivo de esta discrepancia ?

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Explicación cuántica del efecto fotoeléctricoEl fotón

Inspirado en la explicación de Planck de la radiación de cuerpo negro, Einstein propuso (Premio Nobel en 1921 por esto) que la luz se transfiere en cuantos (paquetes) de energía bien definidaproporcional a la frecuencia de la luz. Estos “cuantos” se denominan fotones y la luz se comporta como si fuera un flujo defotones

E=hνh=6.63 x 10-34 [J.s] contante de Planckν =frecuencia de la luz

Energía de un fotón

Entonces el efecto fotoeléctrico se explica de la siguiente manera:

γ hν

Ek

e-

Si el fotón tiene suficiente energía saca al electrón del material y si no, no saca ningún electrón. No hay acumulación.

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hν = Ekmax + eΦ

La frecuencia umbral es cuando le entrega la energía justa para escapar del material y sale con energía cinética Ek=0hνc = eΦ

Ek

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hν = Ekmax + eΦ

hν = eV + eΦ

ν = (e/h)V + (e/h)Φν

V

νcPendiente=e/h Como e lo conozco de otro

experimento (Millikan) puedo obtener h y Φ

Se puede medir h y Φ con el siguiente experimento

El V inverso tiende a frenar a los electrones que salen, sólo van a producir corriente aquellos electrones que salgan con Ek >eVEntonces podemos medir Ekmax ajustando V hasta que la corriente del circuito se haga cero y repetir para varias frecuencias ν de la luz incidente

V

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Si repito el experimento con otros materiales obtengo otros valores de Φ pero el mismo valor de h, h está asociado al cuanto de luz y no al material.

Conclusión

La luz es una onda electromagnética pero su energía aparece en paquetes o cuantos bien definidos llamados fotones

El fotón tiene una energía E=hν donde ν es la frecuencia de la onda electromagnética y viaja con la velocidad de la luz.

mfotón=0 ⇒ E=pcv=c

p= E/c = hν/c = h/λ

p=h/λ=(h/2π) k

El momentum de la onda también está cuantizado

Entonces en que quedamos? la luz es una onda o son partículas ?

Es ambas cosas a la vez (dualidad onda-partícula) se transporta como una onda (interferencia y difracción) pero entrega su energía como si se tratara de un flujo de partículas (fotones). Pero lo mismo le ocurre a las partículas de materia como los electrones (lo veremos más adelante)

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La intensidad de la onda es proporcional al flujo de fotonesI=(hν).(densidad de flujo de fotones)

Resumiendo el efecto fotoeléctrico se explica así:

• un solo fotón entrega su energía (hν) a un solo electrón, si es mayor que eΦ el electrón logra escapar del material• La corriente de electrones que se obtiene ∼ flujo de electrones ∼ flujo de fotones ∼ Intensidad de la luz

Otro proceso similar (fotoionización)Este proceso ocurre cuando la luz incide en átomos libres (gas)

+e-hν

+

Que energía debe tener ahora el fotón? En el caso del átomo de hidrógeno debo entregarle 13.6 eV al electrón para que escape del núcleo.

ν=13.6 eV/h =3.28 1015 Hz (λ=91 nm → radiación ultravioleta)

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Tipos de interacción de fotones con la materia (electrones)

1) Efecto fotoeléctrico : electrones arrancado de un metal al incidir luz. El fotón es absorbido por un electrón que escapa del material venciendo a la función trabajo. Este proceso sólo ocurre en electrones en materiales, no en electrones libres.

2) Efecto Compton: (Arthur Compton 1923, Nobel en 1927) ocurre con fotones muy energéticos

Como la energía del fotón es mucho mayor que la energía de enlace del electrón, el fotón “ve” al electrón como si estuviera libre en el choque.El resultado que se obtiene de este proceso es que el fotón dispersado tiene una frecuencia menor que la del fotón original (esto sería imposible con la teoría clásica de la radiación) Clásicamente si uno incide con una onda de frecuencia ν,debido a los campos el electrón oscila con frecuencia ν, entonces la radiación emitida por el electrón también tendrá frecuencia ν

Colisión libre γ+e- → γ+e-

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Conservación de energía y momentum

p=h/λmomentum del fotón

Introduciendo pe2 en

la fórmula anterior

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(h/me.c)=longitud de onda de Compton=λc ≈ 2.4 x 10-12 mSi λ >>λc, ∆λ se hace muy pequeño comparado con λ y el efecto Compton no se distingue

Fuente de rayos X

Electrón del gas

Haz dispersadoHaz incidente

Detalle del experimento y resultado

Se observa la longitud de onda de la radiación dispersada un ángulo θ

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3) Producción de pares partícula-antipartícula

Ocurre en presencia de un material o átomo pesado. El fotón se convierte en un par electrón-positrón

e-

e+

hν

El balance energético del proceso es el siguiente:

Eγ = Ee++ Ee-

La mínima energía que debe tener el fotón para poder crear un electrón y un positrón es la energía de reposo de ambas partículas o sea 2.me.c2 = 1.02 MeV (λ=0.012 A=radiación gamma)

Cámara de burbuja: Los espirales corresponden a las trayectorias de un electrón creados en un punto

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4) Aniquilación de paresEs el proceso inverso al anterior, un electrón y un positrón danlugar a fotones

e- + e+ → 2γ

Es necesario que se generen dos fotones para que se conserve el momentum del proceso

5) Bremsstrahlung (radiación de frenado)Si el electrón se frena bruscamente al chocar en un material la aceleración genera radiación electromagnética Ejemplo: Máquina para generar rayos X

Clásicamente uno debería obtener un espectro de radiación continuo en todas las longitudes de onda λ

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En realidad existe una longitud de onda mínima λmin (o una frecuencia máxima νmax) que depende de la energía de los electrones que chocan

Ek’-Ek = hνLa frecuencia máxima será si la energía cinética final Ek’ es cero

hνmax =Ek ⇒ νmax=Ek/h ⇒ λmin=c/νmax

λ (A)

Intensidad de la radiación para distintas energías de los electrones incidentes

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Absorción de fotones en un material

Cuando un haz de fotones penetra en un material el haz se vaatenuando debido a la interacción de los fotones con los electrones del material fundamentalmente y con los núcleos

Los choques y absorciones de fotones son debidos principalementes a tres procesos:

a) Efecto fotoeléctrico (más importante a bajas energías del fotón)

b) Efecto Compton (más importante a energías intermedias)c) Producción de pares (cuando la energía del fotón es muy

alta)

Sea la sección eficaz de choque σ : área promedio de blanco que presenta un electrón que va a chocar con el fotón

σ

Si el fotón cruza el área σ hay choqueSi pasa fuera del área σ no hay choque

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Sea n el número de átomos por unidad de volumen (densidad atómica)

A

dx

En un trozo de área A y espesor dx hay en promedio n.A.dx átomos

El área total ofrecida como blanco a través del área A es:σ.(n.A.dx)La fracción del área A que es ofrecida como blanco es:σ.(n.A.dx)/A=σ.n.dx

Si hay N fotones incidiendo en el área A, los que logran chocar en el tramo dx son: N.(σ.n.dx), entonces del otro lado de los N fotones originales van a pasar: N- N.(σ.n.dx)

Entonces: N(x+dx)=N(x)-N(x). σ.n.dx

⇒

Como la intensidad del haz es proporcional al número de fotones Entonces:

A l=1/ σ.n se le denomina longitud de atenuación o camino libre medio

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l=1/ σ.n

Si l=10 cm significa que la intensidad inicial del haz se atenúahasta I0/e al recorrer 10 cm

l depende depende de la densidad átomica del material y de la sección eficaz σ. Si la densidad n del material es mayor, menor será l, entonces el material será más absorbedor de la radiación.

plomo

σ

Sección eficaz σ para el átomo de plomo

σS = efecto ComptonσPE= efecto fotoeléctricoσPR = producción de pares

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1/l=σn

Inverso de la longitud de atenuación l

1/l=σn, mientras mayor sea 1/l más absorbedor es el material

En general los átomos más pesados tienen los electrones más concentrados (más electrones en más o menos el mismo tamaño atómico) y tienen secciones eficaces mayores y por lo tanto son más absorbedores de la radiación

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Ejemplo: radiografías de rayos X. El hueso contiene calcio (Ca) y absorbe más rayos X que la carne (C,N,H,O). Entonces cuando uno hace pasar rayos X por el cuerpo se ve la sombra de los huesos en la placa fotográfica. En el esquema el anillo de oro absorbe aún más que el hueso.

La energía de los rayos X varía de 1 keV hasta 10 keV

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