1

1

Eksperimentalne metode

Analiza stanja naprezanja i deformacija

14. dio

2

3

1. Analitike metode• Analitike metodeivanje naprezanja i

deformacija koristimo pri analizi naprezanja samo najjednostavnijih problema – ravni štap konstantnog poprenog presjeka.

• Morali smo uvoditi pretpostavke o nainu deformiranja i raspodjeli naprezanja.

• Rješavanje ravninskih i prostornih problema, temelji se na rješavanju diferencijalnih jednadžbi.

• Veliki broj kompleksnih problema ne može riješiti analitiki.

4

Kružni otvor – Kirschovo rješenje:

ϑ⋅

−+=τ

ϑ⋅

+++=σ

ϑ⋅

+−+−=σ

2sinra3

ra2

12p

2cosra3

1ra

12p

2cosra3

ra4

1ra

12p

4

4

2

2v

rt

4

4

2

2v

t

4

4

2

2

2

2v

r

Polarni koordinatni sustav

5

Eliptini otvor Theodor Poeschl

• Funkcija naprezanja:

• Maxwelova diferencijalna jednadžba:

• Rubni uvjeti:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 2cos122cos22 2cos28

00 20

222

αηξξξαξαξ ξξξ −⋅⋅−−+⋅+−⋅−−⋅=Φ −− echcheshbap

0 = Φ∇4

vzhy p = p = =

0 =

σσξσσξξ ξηξξ

∞

== 00

6

• Naprezanje: ηηξξησ ξξ ∂

Φ∂∂∂−

∂Φ∂

∂∂+

∂Φ∂=

1

11332

2

2

hh

hhh

ηηξξξσηη ∂

Φ∂∂∂+

∂Φ∂

∂∂−

∂Φ∂= h

hh

hh 332

2

2

111

ηξξηηξτ ξη ∂

Φ∂∂∂+

∂Φ∂

∂∂+

∂∂Φ∂=

1

1

133

2

2

hh

hhh

( ) ( )[ ] ( )

( )

( )

( ) ( )

( )( )[ ]

( ) 2sin

2ch1e2cos2ch

2sin

2cos2ch2c

4

4cp

2

2c

2cose2sh

2ch2cosecos2+ch2

4pc

2

2c

2cos2ch2c

4

2cos2ch2sh

2cos2ch1e 2

pc

2cos2chc2

02

33

2

20

-2-2

33

02

2

2

0

0

0

0

α−η⋅

⋅ξ−ξ−⋅⋅η−ξ

ξ⋅η−ξ

⋅⋅−

−

α−η⋅ξ−ξ+

+ξ−α−⋅αξ⋅⋅⋅

η−ξ⋅

⋅η−ξ

ξ+α−η⋅ξ−ξ−⋅⋅⋅η−ξ

=σ

ξ

ξ

ξξ

ξξξ

2

7

Naprezanje:

( )( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )( )[ ] ( )

-sin2 -ch2-1 e 4

pc

cos2-ch2sin2

2

2c

2cos2ch2c

4

2cose2sh2cos

2checos2+ch2

2cos2ch2shpc

2

2c

2cos2ch2c

1

2cose2checos2+sh2e2

pc

2cos2chc2

02

2

33

20

0-2-2

33

20

-2-22

2

0

0

0

000

αη⋅ξξ⋅⋅ηξ

η⋅⋅η−ξ

+

α−η⋅ξ−ξ+ξ−

−ξ−⋅αξη−ξ

ξ⋅⋅⋅η−ξ

−

−α−η⋅ξ−ξ+⋅αξ⋅⋅⋅η−ξ

=σ

ξ

ξ

ξξ

ξξξξηη

ηηξξξσ ηη ∂

Φ∂∂∂+

∂Φ∂

∂∂−

∂Φ∂= h

hh

hh 332

2

2

111

8

• Naprezanje: ηξξηηξτ ξη ∂

Φ∂∂∂+

∂Φ∂

∂∂+

∂∂Φ∂=

1

1

133

2

2

hh

hhh

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( )( )[ ] ( ) 2sin2ch1e

2cos2ch2sh

4

pc

22c

2cos2ch2c

4

2cose2sh2cos2checos2+ch2 2cos2ch

2sin

4pc

2

2c

2cos2ch2c

42sh2sine

2pc

2cos2chc

2

02

2

33

200

-2-

2

3302

2

2

0

00

0

α−η⋅ξ−ξ−⋅η−ξ

ξ⋅⋅⋅η−ξ

+

+α−η⋅ξ−ξ+α+ξ−⋅αξ⋅η−ξ

η

⋅⋅η−ξ

+ξ−ξ⋅α−η⋅⋅η−ξ

=τ

ξ

ξξξ

ξξη

9

2. Numerike metode

• Numerike metode koristimo za rješavanje vrlo složenih problema.

• Razlikujemo slijedee numerike metode:a) metoda konanih razlika MKR, b) metodu konanih elemenata MKE ic) metodu rubnih elemenata MRE.

10

Primjena numerikih metoda temelje se na diskretizacijiravninskog/prostornog problema.

Sustav diferencijalnih jednadžbi zamjenjuju se sustavomalgebarskih jednadžbi što iziskuje uporabu raunala velikih kapacitete.

11

MKE MRE

12

Važnije eksperimentalne metode su:• fotoelasticimetrija• tenzometrija• metoda krhkih lakova• optike metode: holografija,interferometrija ..• metoda analogije• metoda akustike emisije• metoda rendgenskog zraenja.

3. Eksperimentalne metode

3

13

Povijesni razvoj teorije savijanja štapovaKonzola:

hblF

6

6hb

M

WM

22A

y

Aekst ⋅

⋅⋅=⋅

==σ

14

a) Galileo Galilei – eno

• Pretpostavio je jednolikuraspodjelu vlanih naprezanja po visini presjeka

2hb

M

hblF

2

hbF 02h

FlF

lFM 0M

2A

2maks

maks11

AA

⋅=

⋅⋅=σ

⋅⋅σ==⋅−⋅

⋅==

15

b) Mariotte - eksperimentalno nije potvreno

• Pretpostavio je trokutnuraspodjelu vlanih naprezanja po visini presjeka

3hb

M

hblF

3

hb21

F 03h2

FlF

lFM 0M

2A

2maks

maks11

AA

⋅=

⋅⋅=σ

⋅⋅σ==⋅⋅−⋅

⋅==

16

c) Coulomb• Pretpostavio je da

se u presjeku štapa javljaju i vlana i tlana naprezanja.

WM

6hb

M

hblF

6

hb41

FF 03h2

FlF

lFM 0M

y

A2

A2maks

maks211

AA

=⋅

=⋅⋅=σ

⋅⋅σ===⋅⋅−⋅

⋅==

17

• Neke od metoda primjenjuju se na modelima jersu pogodne za laboratorijska ispitivanja, dok se druge primjenjuju na izvedenim konstrukcijamana terenu.

• Naprezanja i deformacije ne možemo mjeriti.

• Umjesto njih mjerimo:a) promjenu indeksa loma - fotoelasticimetrija ili b) promjenu elektrinog otpora – tenzometrija.

• koje ovise o naprezanju, odnosno o deformaciji, pa zatim raunski dolazimo do veliine naprezanja i deformacija.

18

• O promjeni indeksa loma ovise naprezanjakod fotoelasticimetrije, a do njih dolazimo zatim raunskim putem.

• O promjeni elektrinog otpora kod tenzometrije ovise deformacije, a do veliine deformacija dolazimo raunski.

• Fotoelasticimetrija – optika metoda• Tenzometrija – elektrina metoda

4

19

a) Fotoelasticimetrija• Fotoelasticimetrija je optika metoda za

odreivanje naprezanja u tehnikim konstrukcijama, osnovana na injenici da neki prozirni materijali u napregnutom stanju postaju dvolomni.

• Vrijednost dvoloma ovisi o iznosu i rasporedu naprezanja.

• Ispitivanja se obavljaju u polariskopupomou polariziranog svjetla.

20

Polariskopi:1. Polarizator (P)

2. Model

3. Analizator (A)

1. Polarizator (P)

2. etvrtvalna ploa

3. Model

4. etvrtvalna ploa

5. Analizator (A)

21

Prirodno svijetlo

• Svijetlo je vidljivi dio elektromagnetskog zraenja.

• Dnevno, bijelo ili polikromatsko svijetlo sadrži valove razliitih valnih duljina:

22

Polaroidni filtarPolaroidni filtar je optiki element koji imasvojstvo da nepolarizirano svjetlo pretvara upolarizirano:a) ravninski polarizirano - vrhovi svjetla

opisuju sinusoidu i leže u jednoj ravninib) kružno polarizirano - vrhovi

svjetla opisuju kružnu zavojnicu

• Polarizator (P)• Analizator (A)

23

a) Ravninski polarizirano svjetlob) Kružno polarizirano svjetlo

E – vektor svjetla

Nepolarizirano svjetlo – titra u svim smjerovimaokomito na smjer širenja.

24

Lom svijetlaSvjetlo kao i svi elektromagnetski valovi širi se kroz vakuum brzinom c = 300 000 km/s.

U gušem sredstvu (voda, staklo) - optiki izotropnommaterijalu - val se širi sporije, brzinom venom izrazom:

γα=

−=

sinsin

n

:svjetlosti loma Zakon

loma indeksn nc

v

5

25

b) Dvolomni – anizotropni materijal• Kod optiki anizotropnih - dvolomnih

materijala pri upadu svaka zraka se rastavlja u dvijeusobno okomite ravninski polarizirane komponente:– spora zraka (kut γ1 –

ordinarna zraka) i– brza zraka (kut γ2 –

ekstraordinarna zraka).

26

21

2

2

22

1

1

1121

21

vv

sinsin

c

sinsin

cnc

v

sinsin

c

sinsin

cnc

v sinsin

<

γ⋅α

=

γα==

γ⋅α

=

γα==γ<γ

γ<γ

Jedan od smjerova (γi) identian je sa smjerom optike osi dvolomnog materijala.

27

Zaostajanje ili retardacija R spore komponente u odnosu na brzu iznosi:

i može se mijenjati promjenom debljine ploe h.

Ploa koja ima takvu debljinu h da se dvije komponente na izlazu iz nje u fazi razlikuju za ¼ valne duljine (R=λλλλ/4) je tzv. etvrtvalna ploa (samo za monokromatsko svijetlo).

( )21 nnhR −⋅=

28

Zaostajanje ili retardacija R proporcionalna je razlici glavnih naprezanja:

Cσσσσ – optika konstanta naprezanjah - debljine ploe modela

( ) hCR 21 ⋅σ−σ⋅= σ

29

Izokrome su linije istih boja.Jednadžba izokrome:

• N – red izokrome

• fσ – fotoelastina konstanta naprezanja σ

σλ=

Cf

hfN

21σ⋅=σ−σ

30

Prosta greda:

Sila F u polovini raspona

Dvije sile F na jednakom razmaku od oslonaca A i B –sluaj istog savijanja

6

31 32

Produljenje ∆l neke duljine l možemo mjeriti:

a) direktno mehaniki ili

b) indirektno mjerenjem neke druge veliine.

b) Tenzometrija

33

Razlikujemo slijedee tipove tenzometara:

• mehanike• elektrine: elektrootpornike

elektrokapacitivneelektroinduktivne

• akustike• optike.

b) Tenzometrija

34

Mehaniki tenzometri• Na velikim izvedenim konstrukcijama

(zgradama; mostovima i slino) upotrebljavaju se mehaniki tenzometri manje preciznosti koji imaju mjernu duljinu od 10 cm pa i više.

• Na manjim konstrukcijama na pr. strojevima mjerna duljina je obino 1 cm.

• Kod otvora u ploi (koncentracije naprezanja) –mjerna duljina iznosi samo nekoliko milimetara.

35

• Kod tenzometrije mjeri se produljenje ∆lizmeu dviju toaka A i B koje su prije deformiranja bile udaljene za iznos l.

• Mjerai deformacija – tenzometri mjere zapravo srednju deformaciju koja je dana izrazom:

ll∆=ε

36

Elektrini tenzometri

• Uobiajena je upotreba elektrinih tenzometara u sluajevima koncentracije naprezanja t.j. u podrujima naglih promjena naprezanja i deformacija.

• Razlikujemo: elektrootpornike

elektrokapacitivne

elektroinduktivne tenzometre.

7

37

• Žica se namota u obliku mrežice, koja se lijepi izmeu dva tanka papira koji služe kao izolatori.

• Takvi folijski tenzometri zalijepe se na površinu neoptereene konstrukcije.

• Optereena konstrukcija e se deformirati pa e deformacije žice biti jednake deformaciji površine na koju je žica zalijepljena.

38

Elektrootporniki tenzometri

• Kod elektrootpornikih tenzometara mjeri se promjena elektrinog otpora žice ∆R/R, a odnos promjene otpora tenzometra i deformacije εen je izrazom:

• k – faktor tenzometra (osjetljivost mjerne trake)

RR

k1 ∆⋅=ε

39

Elektrini otpor

( )Ωρ= Al

R

ρ – specifini otpor

l – duljina žice

A – površina presjeka žice

40

Tri traka za mjerenje deformacije: εx; εy i γxy

Glavne deformacije:

ε1; ε2 i smjer ϕ

41

Elektrootporniki tenzometri

“ T ” - rozeta:

∆ - rozeta:“K” - rozeta:

Tipovi rozeta:

42

Kraj !