浙教版九年级上第三章浙教版九年级上第三章《《圆的基本性质圆的基本性质》》
1 .若将一等腰三角形沿着底边上的高对折, 将会发生什么 ?
2.如果以这个等腰三角形的顶点为圆心,腰长为半径作圆,得到的圆是否是轴对称图形呢?
1 .结论:
圆是轴对称图形,每一条直径所在的直线都是对称轴.强调:
( 1)对称轴是直线,不能说每一条直径都是它的对称轴;
( 2)圆的对称轴有无数条.
判断:任意一条直径都是圆的对称轴( )
二、新课
1 .任意作一个圆和这个圆的任意一条直径 CD ;
2 .作一条和直径 CD 的垂线的弦, AB 与 CD相交于点 E .
问题:把圆沿着直径 CD所在的直线对折,你发现哪些点、线段、圆弧重合?
A
B
C DOE
A
B
C DOE
得出结论:
①EA=EB ;② AC=BC , AD=BD .⌒⌒ ⌒ ⌒
理由如下:∵∠ OEA= OEB=Rt∠ ∠,
根据圆的轴轴对称性,可得射线 EA 与 EB 重合,
∴ 点 A 与点 B 重合,弧 AC 和弧 BC 重合,弧 AD 和弧 BD 重合.
∴ EA=EB , AC=BC , AD=BD .
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
思考:你能利用等腰三角形的性质,说明 OA平分 CD吗?(课内练习 1 )
三、新知识在你们动手实验中产生
A
B
C DOE
归纳得出:垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
垂径定理的几何语言
∵CD 为直径, CD AB⊥ ( OC A⊥B )
∴ EA=EB , AC=BC , AD=BD .⌒ ⌒ ⌒ ⌒
作法:⒈ 连结 AB.
⒉ 作 AB 的垂直平分线 CD , 交弧 AB 于点 E.
点 E 就是所求弧 AB 的中点.
C
D
A B
E
例 1 已知 AB ,如图,用直尺和圆规求作这条弧的中点. ( 先介绍弧中点概念)
⌒
变式一: 求弧 AB 的四等分点.C
D
A B
E
F G
m n
变式一: 求弧 AB 的四等分点.
C
D
A B
M
F
G错在哪里?
1 .作 AB 的垂直平分线 CD
2 .作 AT 、 BT 的垂直平分线 EF 、 GH
T
E
N
H
P
强调:等分弧时一定要作弧所对的弦的垂直平分线.
变式二:你能确定弧 AB的圆心吗?
O
A B
C a b
方法:只要在圆弧上任意取三点,得到三条弦,画其中两条弦的垂直平分线,交点即为圆弧的圆心.
例 2 一条排水管的截面如图所示.排水管的半径 OB=10 ,水面宽 AB=16 ,求截面圆心 O 到水面的距离 OC .
.OA B
C
思路:先作出圆心 O 到水面的距离OC ,即画 OC⊥AB ,∴ AC=BC=8 ,在 Rt△OCB 中,
6810 2222 BCOBOC
∴ 圆心 O 到水面的距离 OC 为6 .
例 3 已知:如图,线段 AB 与⊙ O 交于C 、 D 两点,且 OA=OB .求证: AC=BD .思路:作 OM⊥AB ,垂足为 M ∴CM=DM ∵OA=OB ∴AM=BM ∴AC=BD .
.O
A BC M D
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
小结:1 .画弦心距是圆中常见的辅助线; .O
A BC
rd
.2 22 drAB 弦长
2 .半径( r) 、半弦、弦心距 (d) 组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路,它们之间的关系:
1 .已知⊙ 0 的半径为 13 ,一条弦的 AB 的弦心距为 5 ,则这条弦的弦长等于 . 24
2 .如图, AB 是⊙ 0 的中直径, CD 为弦, CD⊥AB 于 E ,则下列结论中不一定成立的是( )
A .∠ COE=∠DOE B . CE=DE
C . OE=BE D . BD=BC⌒ ⌒
C
.
A
B
C
O
DE
五、目标训练
3 .过⊙ O 内一点 M 的最长弦长为 10cm ,最短弦长为 8cm ,那么 OM 长为( )
A . 3 B . 6cm C . cm D . 9cm 41
4 .如图,⊙ O 的直径为 10 ,弦 AB 长为 8 , M是弦 AB 上的动点,则 OM 的长的取值范围是( )
A . 3≤OM≤5 B . 4≤OM≤5
C . 3<OM<5 D . 4<OM<5
.A B
O
M
A
A
五、目标训练
5 . 已知⊙ O 的半径为 10 ,弦 AB∥CD , AB=12 , CD=16 ,则 AB 和 CD 的距离为 .6 .如图,已知 AB 、 AC 为弦, OM⊥AB 于点 M , ON⊥AC 于点 N , BC=4 ,求 MN 的长.
2或14
.
A
CO
M N
B
思路:由垂径定理可得 M、 N分别是 AB 、 AC 的中点,所以 MN= BC=2 . 2
1
五、目标训练
师生共同总结: 1.本节课主要内容:( 1 )圆的轴对称性;( 2 )垂径定理.2 .垂径定理的应用:( 1 )作图;( 2 )计算和证明.3 .解题的主要方法:
六、总结回顾
.2 22 drAB 弦长
( 2 )半径( r) 、半弦、弦心距 (d) 组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路,它们之间的关系:
( 1 )画弦心距是圆中常见的辅助线;
作业
(1) : 作业本
(2) : 名师大课堂