CALCOLO CALCOLO COMBINATORIOCOMBINATORIO
CALCOLO CALCOLO COMBINATORIOCOMBINATORIO
INDICE• Che cos’è il calcolo combinatorio?• Concetto di raggruppamenti semplici e di raggruppamenti con ripetizione• Disposizioni• Combinazioni• Permutazioni
PROBLEMI
1. In quanti modi diversi 3 ragazzi di una compagnia di 5 amici si possono sedere su 3 poltrone libere di un cinema?
2. Quanti numeri di 4 cifre si possono comporre con le cifre 1,2,3,4,5,6?
3. Quanti anagrammi si possono comporre con le lettere della parola ROMA? E con la parola ALA?
4. Quanti terni si possono fare con i 90 numeri del Lotto?
5. In quanti modi diversi 7 caramelle identiche possono essere distribuite tra 4 bambini?
E se le caramelle fossero diverse?
PS PR CS CRDS DR
Il calcolo combinatorio è un particolare ramo della
matematica applicata avente come scopo la
costruzione e la misurazione del numero di
raggruppamenti diversi che si possono comporre
prendendo una determinata quantità di elementi in un
assegnato insieme, in modo che siano rispettate
determinate regole.
VEDI ESEMPI
CHE COS’E’?
PROBLEMA:Raggruppare gli elementi a-b-c a gruppi di 2 con elementi che non si
ripetono
1° modo
COPPIE ORDINATE:
ab ac ba bc
ca cb
2° modo
COPPIE PER LE QUALI NON IMPORTA
L’ORDINE: ab ac bc
DISPOSIZIONI semplici (D3,2)
COMBINAZIONI semplici (C3,2)
avanti
PROBLEMA:Raggruppare gli elementi a-b-c a gruppi di 2 con elementi che possono ripetersi
1° modo
COPPIE ORDINATE:
aa ab ac bb ba bc
cc ca cb
DISPOSIZIONI con ripetizione
(D’3,2)
COMBINAZIONI con ripetizione
(C’3,2)
2° modoCOPPIE PER LE QUALI
NON IMPORTA L’ORDINE:
aa ab ac bb bc cc
indietro
I RAGGRUPPAMENTI POSSONO ESSERE:
• SEMPLICI: quando gli oggetti sono tutti diversi
• CON RIPETIZIONE: quando gli oggetti vi figurano una o più volte
“NOMI” DEI RAGGRUPPAMENTI
DISPOSIZIONI: quando l’ordine degli elementi è importante.
COMBINAZIONI: quando l’ordine degli elementi non ha alcuna importanza .
semplici
• Disposizioni con ripetizione
semplici
• Combinazioni con ripetizione
semplici
• Permutazioni con oggetti identici
TIPI DI RAGGRUPPAMENTI
COME CALCOLARE IL
NUMERO DI
DISPOSIZIONI?
PROBLEMA:
DATE LE 4 CIFRE 1,2,3,4 QUANTI SONO I NUMERI DI 2 CIFRE DISTINTE CHE SI POSSONO FORMARE?
1
2 3 4
2
1 3 4
3
1 2 4
12 ; 13 ; 14
21 ; 23 ; 24 31 ; 32 ; 34
Il n° di disposizioni semplici di 4 oggetti distinti presi a 2 a 2 è: D4,2 = 4*3 = 12
4
1 2 3
41 ; 42 ; 43
IN GENERALE:
il n° di DISPOSIZIONI SEMPLICI di n
oggetti distinti presi k per volta è
Dn,k= n(n-1)(n-2) ….. (n-k+1) con n>k
(cioè il prodotto di k numeri naturali
decrescenti a partire da n)PROBLEMI
PROBLEMA:
DATE LE 3 CIFRE 1,2,3 QUANTI SONO I NUMERI DI 2 CIFRE CHE SI POSSONO FORMARE?
1
1 2 3
2
1 2 3
3
1 2 3
11 , 12 ; 13
21 ; 22 ; 23
31 ; 32 ; 33
Il n° delle disposizioni con ripetizione di 3 oggetti a gruppi di 2 è : D’3,2=3*3=32=9
IN GENERALE:
il n° delle DISPOSIZIONI CON
RIPETIZIONE di n oggetti distinti presi
k per volta è
D’n,k= nkPROBLEMI
COME CALCOLARE IL
NUMERO DI
COMBINAZIONI?
PROBLEMA:
DATE LE 4 CIFRE 1,2,3,4 QUANTE SONO LE COPPIE DI NUMERI DISTINTI CHE SI POSSONO FORMARE?
1
2 3 4
2
1 3 4
3
1 2 4
1-2 ;1-3 ; 1-4
2-3 ; 2-4 3-4
Le combinazioni semplici di 4 oggetti presi a 2 a 2 sono : C4,2= D4,2 / 2 = 4*3 / 2 =6
4
1 2 3
IN GENERALE:
il n° di COMBINAZIONI SEMPLICI di n
oggetti distinti presi k per volta è
Cn,k = Dn,k / k! = ( ) con n>k n
k
PROBLEMI
PROBLEMA:
DATE LE 2 LETTERE a,b QUANTE SONO LE COMBINAZIONI CON RIPETIZIONE DI TALI OGGETTI PRESI A 3 A 3?
Il n° di combinazioni con ripetizione di n oggetti distinti presi a
3 a 3 è : C’2,3= ( ) = ( ) = 4
a a a
a a b
a b b
b b b 2+3-1
3
4
3
IN GENERALE:
il n° delle COMBINAZIONI CON
RIPETIZIONE di n oggetti distinti presi
k per volta è
C’n,k=
(cioè è il prodotto di k fattori crescenti
a partire da n, diviso k! )
PROBLEMI
n(n+1)….. (n+k-1)
K !
CHE COSA SONO LE
PERMUTAZIONI?
PERMUTAZIONI SEMPLICI
ESEMPIO: COSTRUIRE E CONTARE GLI ANAGRAMMI
(anche privi di senso) DELLA PAROLA APE P E A P E A E P A E P
A E P A E P E A P E A A P E A P E P A E P A
Il n° delle permutazioni di 3 oggetti distinti è: P3 = D3,3 = 3*2*1
= 6
Le permutazioni semplici di n oggetti distinti sono tutti i possibili raggruppamenti contenenti la totalità degli n oggetti e che differiscono solo per l’ordine
Pn = Dn,n
Pn = n!PROBLEMI
PERMUTAZIONI CON OGGETTI IDENTICIESEMPIO: COSTRUIRE E CONTARE GLI ANAGRAMMI (anche privi di senso) DELLA PAROLA
ALA L A A L A A A L A A L
A A L A A L A A L A A A L A A L A L A A L A
LE PERMUTAZIONI DI 3 OGGETTI , 2 DEI QUALI
IDENTICI, SONO: P3(2) = P3/2! = 3
uguali a 2 a 2
IN GENERALE:
se tra gli nn oggetti dati ve ne sono α uguali tra loro, β uguali tra loro… il numero delle permutazioni degli n oggetti assegnati risulta:
Pn(α, β ) =
n!
α! * β!PROBLEMI
E ora risolviamo i problemi formulati
all’inizio della presentazione !!!!!