CALCOLO COMBINATORIO

Studio del numero delle possibili corrispondenze (ap-plicazioni) di un sottoinsieme finito di N in un altro.Cio, in pratica, o nelle applicazioni, equivale a con-siderare un insieme E = e1, e2, . . . , en di oggetti dinatura qualsiasi, detti genericamente elementi, ed uninsieme numerico P = 1, 2, . . . , p, i cui elementi sidicono posti, e studiare le diverse possibilita di asse-gnazione di un posto di P agli elementi di E.

1. Funzione fattoriale

! : n ∈ N −→ n! ∈ N ,

(1.1) 0! = 1 , (n + 1)! = n!(n + 1) .

1! = 1·0! = 1 ,

2! = 2·1! = 2·1 ,

3! = 3·2! = 3·2·1 ,

1

e cosı via. Piu in generale,

(1.2) n! = n·(n − 1)·(n − 2)· . . . ·2·1 ,

Fattoriale di un qualsiasi numero naturalen: prodotto di tutti i numeri naturali non maggiori din.

2. Disposizioni

Due insiemi E e P .p = numero di elementi di P = |P |.n = numero di elementi di E = |E|.

Definizione 2.1. Supposto p ≤ n, ogni applicazione

iniettiva di P in E (che a ciascun posto h ∈ P associa

un elemento eh di E in maniera tale che ogni elemento

occupi — ossia corrisponda a — un solo posto) , si

dice disposizione degli n elementi di E sui p posti di

P .

2

Qual e il numero di tutte le possibili disposizionidi n elementi su p posti?

(1) Possiamo scegliere in n modi distinti l’elementoei ∈ E da associare al posto 1 (o col quale occupareil posto 1).

(2) L’elemento destinato ad occupare il posto 2 puoessere scelto soltanto nell’insieme E \d1, ossiasoltanto in n − 1 modi distinti.

Cosı, per ogni scelta di d1, ci sono n − 1 scelte did2, e la coppia (d1, d2) potra scegliersi in n(n−1) modidistinti.

Per ogni scelta di questa coppia, l’elemento da as-sociare al posto 3 dovra scegliersi in E\d1, d2, ossia inn−2 modi distinti. I primi tre posti potranno dunqueessere occupati in n(n − 1)(n − 2) modi distinti.

Numero delle disposizioni di n elementi sup posti (ossia il numero di modi in cui si possa definireun’applicazione iniettiva di P in E):

Dn,p = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − p + 2)(n − p + 1) .

3

Possiamo scrivere questa formula in maniera piucompatta. Infatti, moltiplicando e dividendo il suo se-condo membro per (n − p)!, otteniamo

Dn,p =n(n − 1)(n − 2) . . . (n − p + 1) · (n − p)!

(n − p)!.

Ma

n(n − 1)(n − 2) . . . (n − p + 1) · (n − p)! =

= n(n − 1)(n − 2) . . . (n − p + 2) · (n − p + 1)! =

= n(n − 1)(n − 2) . . . (n − p + 3) · (n − p + 2)! =

= . . . = n · (n − 1)! = n! ,

da cui segue che

(2.1) Dn,p =n!

(n − p)!.

4

3. Permutazioni

Allorquando p = n, ogni applicazione iniettiva diP in E e addirittura biettiva (infatti la sua immagine,dovendo contenere, per l’iniettivita, p elementi distinti,dovra in questo caso contenerne n, ossia tutti gli ele-menti di E). In tal caso, le disposizioni degli elementidi E sui posti di P si dicono permutazioni di E. Ciopuo esprimersi nella seguente

Definizione 3.1. Si dice permutazione (in sensoristretto) di un insieme E di n elementi ogni appli-

cazione biettiva dell’insieme 1, 2, . . . , n in E.

Lo studio del numero Pn delle possibili permu-tazioni di un insieme E di n elementi risulta dunqueun caso particolare del precedente.

Numero delle permutazioni dell’insieme E:

(3.1) Pn = Dn,n = n(n − 1)(n − 2) . . . ·2·1 = n! .

5

Sia ora π una qualunque corrispondenza biettivadi E in se, e sia p : 1, 2, . . . , n −→ E unaqualunque permutazione di E. Poiche p e biettiva, einvertibile, cosicche, per ogni e ∈ E, possiamo con-siderare il numero naturale h =

−1p (e) ∈ 1, 2, . . . , n.

E allora anche possibile considerare la permutazionep′ : h ∈ 1, 2, . . . , n −→ eh = p′(h) ∈ E definitadall’essere eh = π(e) per h =

−1p (e). Con cio risulta

π(e) = (p′ −1p )(e) .

In conclusione, ogni applicazione biettiva di E inse risulta composta di due permutazioni di E. Cioci consente di generalizzare la Definizione 3.1 nellaseguente

Definizione 3.2. Si dice permutazione di un in-

sieme E di n elementi ogni applicazione biettiva di E

in se.

6

4. Coefficienti binomiali

Siano n ∈ N e p ∈ 0, 1, . . . , n.

Definizione 4.1. Si dice coefficiente binomialel’applicazione

(n, p) ∈⋃h∈N

[h × 1, . . . h] −→(

n

p

)∈ N ,

definita dall’essere(00

)= 1 ,

(10

)= 1

e, per n, p ≥ 1,

(4.1)(

n

p

)=

n!p!(n − p)!

.

Da questa Definizione segue subito il

Teorema 4.1. Per ogni (n, p) ∈ N2 (p ≤ n), vale l’i-

dentita

(4.2)(

n

p

)=

(n

n − p

).

7

Infatti, sostituendo p con n − p nella (4.1), il se-condo membro resta inalterato.

Si ha inoltre

Teorema 4.2. Per ogni (n, p) ∈ N2 (p ≤ n), vale l’i-

dentita

(4.3)(

n − 1p − 1

)+

(n − 1

p

)=

(n

p

).

Infatti, applicando la (5.1), si ha(n − 1p − 1

)+

(n − 1

p

)=

=(n − 1)!

(p − 1)!(n − p)!+

(n − 1)!p!(n − p − 1)!

,

ma, essendo p! = (p−1)!p e (n−p)! = (n−p−1)!(n−p),questa uguaglianza puo scriversi(

n − 1p − 1

)+

(n − 1

p

)=

=(n − 1)!

(p − 1)!(n − p − 1)!

(1

n − p+

1p

),

ossia(n − 1p − 1

)+

(n − 1

p

)=

(n − 1)!(p − 1)!(n − p − 1)!

· n

p(n − p).

8

5. Combinazioni

Le disposizioni di n elementi su p posti sono tuttele applicazioni iniettive di P in E. Se ne scelga una,diciamola d : h ∈ P −→ dh ∈ E, e si consideri la suaimmagine d(P ). L’insieme d(P ) contiene p elementi.E ora possibile definire un’altra applicazione iniettivad′ di P in E in due modi: (1) anzitutto, possiamoassociare ad alcuni dei posti di P , anziche i loro cor-rispondenti secondo la d, degli elementi di E\d(P ): intal caso, i codomini d(P ) di d e d′(P ) di d′ sarannodiversi; (2) in secondo luogo, possiamo decidere di as-sociare in modo diverso i p elementi di d(P ) ai p postidi P . In questo secondo caso, d(P ) = d′(P ), e le duedisposizioni d e d′ si dicono equivalenti. Piu in ge-nerale,

Definizione 5.1. Due disposizioni d1 e d2 di uno stes-

so insieme E di n elementi sui p posti di uno stesso

insieme numerico P si dicono equivalenti se e soltanto

se

(5.1) d1(P ) = d2(P ) .

9

La correttezza della definizione, ossia il fatto chela condizione (5.1) definisca proprio una relazione d’e-quivalenza nell’insieme di tutte le disposizioni di E sup posti, si verifica immediatamente. Cio ci consente didare anche la seguente

Definizione 5.2. Si dice combinazione di p (degli

n) elementi di E ogni classe d’equivalenza di dispo-

sizioni di E su p posti, rispetto alla relazione definita

dalla (5.1).

Siano ora d e d′ due disposizioni equivalenti di E

su p posti. Poiche tanto d quanto d′ risultano cor-rispondenze biettive tra P e d(P ) = d′(P ), esse sonopermutazioni di d(P ). E allora possibile conside-rare la corrispondenza biettiva p : dh ∈ d(P ) −→d′h ∈ d′(P ) di d(P ) = d′(P ) in se. Una tale cor-rispondenza definisce ovviamente una permutazionedi d(P ). Dunque, una combinazione κ di E a p e-lementi contiene tutte e sole le permutazioni di d(P )(essendo d un arbitrario elemento di κ). Poiche d(P )contiene p elementi, il numero degli elementi di κ ep!. Il numero delle combinazioni di E a p ele-menti e dunque il rapporto tra il numero delle sue

10

disposizioni ed il numero p! degli elementi di ciascunacombinazione:

(5.2) Cn,p =Dn,p

Pp=

Dn,p

p!,

ovvero

(5.3) Cn,p =n!

p!(n − p)!=

(n

p

).

Osservazione 5.1

Si deve osservare che la nozione di “combinazione”puo sempre vantaggiosamente sostituirsi con la nozio-ne di “scelta” (che, intuitivamente, pone meno pro-blemi circa l’ordinamento degli oggetti scelti in E).Ad esempio, se scegliamo tre dolci da un vassoio chene contiene dieci, possiamo pensare o no di metterli inun piattino e portarli via. Se lo facciamo, formiamomaterialmente una combinazione di tre dolci; se invececi limitiamo a pensare quali dolci mangeremmo volen-tieri, stiamo facendo una scelta che non necessaria-mente comporta una combinazione. Tuttavia, le dueoperazioni sono equivalenti dal punto di vista mate-matico. Per questo motivo le combinazioni di p fra n

11

elementi di un insieme E si diranno spesso, ove risultipiu espressivo, scelte di p (fra n) elementi di E.

Osservazione 5.2

Quando scegliamo p dolci tra n, possiamo imma-ginare di prenderli in esame uno per uno e pensare“sı” quando vogliamo scegliere il dolce che stiamo esa-minando, e “no” quando non vogliamo sceglierlo. Setraduciamo il “sı” e il “no” in termini numerici, adesempio convenendo che “sı” e codificato da 1 e “no”e codificato da 0, allora una scelta di p dolci da unvassoio che ne contiene n e semplicemente un modoper associare a ciascun dolce uno dei due numeri 1 e 0,ossia un’applicazione dall’insieme dei dolci all’insieme0, 1.

Dunque, ogni scelta (o combinazione) di elementidi un insieme dato puo sempre riguardarsi come un’ap-plicazione di quell’insieme in 0, 1. Quest’osservazio-ne e importante, poiche mostra che ogni applicazionea valori in E (purche definita in un insieme piu piccolodi E stesso), si puo sempre fare corrispondere un’ap-plicazione definita in E ed a valori in 0, 1.

12

Osservazione 5.3

Assegnata comunque un’applicazione σ di un in-sieme qualsiasi E = e1, e2, . . . , en in 0, 1, si con-sideri la n-upla (σ(e1), σ(e2), . . . , σ(en)). Ovviamen-te, poiche, per ogni h ∈ 1, . . . , n, σ(eh) coincide con0 o con 1, la n-upla considerata e semplicemente unelemento del prodotto cartesiano 0, 1n dell’insieme0, 1 n volte per se stesso. Percio ogni scelta di unnumero qualsiasi k ≤ n di elementi di E si identificacon un elemento di 0, 1n. Viceversa, ad ogni ele-mento di 0, 1n, diciamolo (δ1, . . . , δn) (con δh ugualea 0 oppure a 1 per ogni h), si puo far corrisponderel’applicazione σδ di E in 0, 1 tale che σ(eh) = δh.Percio, l’insieme di tutte le possibili scelte di alcunielementi di E si identifica con 0, 1n. Ora, il numerodegli elementi di 0, 1n e ovviamente 2n, mentre ilnumero di tutte le possibili scelte di alcuni elementi diE e la somma dell’unica possibile scelta di 0 elementi,delle

(n1

)possibili scelte di un elemento, delle

(n2

)pos-

sibili scelte di due elementi, delle(n3

)possibili scelte di

tre elementi, . . . , delle(

nn−1

)possibili scelte di n − 1

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elementi, e dell’unica possibile scelta di n elementi. Neconsegue

2n =n∑

k=0

(n

k

).

Osservazione 5.4

Conveniamo di denotare con P(E) l’insieme delleparti di E, ossia la famiglia di tutti i sottoinsiemi di E.Ovviamente, e possibile istituire una corrispondenzabiettiva tra le applicazioni definite in E ed a valori in0, 1 e gli elementi di P(E). Percio, se |E| = n, allora|P(E)| = 2n.

6. Disposizioni con ripetizione

La nozione di “disposizione” e stata data in rife-rimento alle applicazioni iniettive di P in E, ma puogeneralizzarsi, in maniera naturale, al caso di appli-cazioni qualsiasi, e dunque anche al caso p > n. Inquest’ultimo caso, infatti, una qualsiasi applicazionedi P in E non puo certo essere iniettiva, ma solosuriettiva. Tuttavia, si puo rinunciare anche a questaipotesi. Precisamente,

14

Definizione 6.1. Assegnati comunque p ∈ N e n ∈ N,

ogni applicazione di P in E si dice disposizione conripetizioni (degli n elementi) di E sui p posti di P .

La determinazione del numero delle possibili di-sposizioni con ripetizioni di E su p posti e ancor piuimmediata di quello delle disposizioni senza ripetizioni(che, d’ora in avanti, si diranno disposizioni sem-plici). Invero, come per queste ultime, per definireuna disposizione con ripetizioni d dobbiamo scegliere,per ogni h ∈ P , il suo trasformato d(h) = dh ∈ E.Come nella Sezione 3, si prenda h = 1. Ovviamented1 puo assegnarsi in n modi diversi. Per ciascuna as-segnazione di d1, si passera poi alla scelta di d2. Sta-volta, pero, essendo ammesso che l’applicazione d nonsia iniettiva, si potra anche prendere d2 = d1, cosiccheanche d2 potra assegnarsi in n modi diversi. Percio, lacoppia di valori (d1, d2) potra scegliersi in n2 modi di-stinti. Con lo stesso ragionamento, si vede che la ternadi valori (d1, d2, d3) si puo fissare in n3 modi diversi,e procedendo allo stesso modo sino a p, si trova che,detto Dn,p il numero delle disposizioni con ripetizioni

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degli n elementi di E su p posti, risulta

(6.1) Dn,p = np .

Si osservera che, nel caso in cui il numero p dei posti adisposizione sia maggiore del numero n degli elementida disporre, non si possono escludere applicazioni chenon siano neppure suriettive, ossia tali che esista unelemento e ∈ E che non sia il trasformato di alcunh ∈ P .

7. Combinazioni con ripetizione

Alla stessa stregua di quella di “disposizione”, an-che la nozione di “combinazione” puo estendersi facil-mente al caso di applicazioni qualsiasi di P in E. Cio,del resto, e del tutto naturale, se si tien conto della re-lazione che lega le combinazioni alle disposizioni sem-plici. In effetti, pero, l’equivalenza tra disposizioni conripetizione e piu complessa di quella tra disposizionisemplici.

Anzitutto, dovremo muovere dalla seguente

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Definizione 7.1. Assegnati comunque p ∈ N e n ∈N , sia d : h ∈ P −→ dh ∈ E una disposizione con

ripetizioni di E su p posti. Per ogni ej ∈ E, si dira

molteplicita di ej nella disposizione d il numero

µ(ej , d) degli elementi h ∈ P tali che d(h) = dh = ej .

In particolare, si porra µ(ej , d) = 0 se e soltanto seej ∈ d(P ). In altre parole, si dice che la molteplicitadi un elemento ej ∈ E nella disposizione d enulla se e soltanto se ej non appartiene al codominiodi d.

Questa definizione consente di introdurre un’op-portuna relazione d’equivalenza tra le disposizioni conripetizione.

Definizione 7.2. Assegnati comunque p ∈ N e n ∈N , due disposizioni con ripetizioni d1 ed d2 di E su p

posti si dicono equivalenti se

(7.1) µ(ej , d1) = µ(ej , d2) , ∀ ej ∈ E .

Si ha anzitutto il

Teorema 7.1. Se d1 e d2 sono due disposizioni (con

ripetizioni) equivalenti, allora

d1(P ) = d2(P ) .

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Infatti, se ej ∈ d1(P ), allora e µ(ej , d1) = 0 epercio, per l’equivalenza di d1 ed d2, µ(ej , d2) = 0,ossia ej ∈ d2(P ). Percio, d1(P ) ⊆ d2(P ). Ma ov-viamente il ragionamento si puo ripetere invertendo iruoli di d1 ed d2, e si ritrova d2(P ) ⊆ d1(P ). Cosı ilteorema e completemente provato.

Cio posto, si puo dare la seguente

Definizione 7.3. Assegnati comunque p ∈ N e n ∈N , si dice combinazione con ripetizioni di p (degli

n) elementi di E ogni classe di equivalenza di dispo-

sizioni con ripetizione degli elementi di E su p posti,

rispetto alla relazione definita dalle (7.1).

Questa definizione da un’idea precisa della nozio-ne di “combinazione con ripetizioni” e del suo legamecon quella di “disposizione con ripetizioni”. Cio sta-bilito, si deve peraltro rilevare che un calcolo del nu-mero totale delle possibili combinazioni con ripetizionidi p elementi di E, basato sulla Definizione 7.3, risultatroppo complesso per essere eseguito in questa sede.Noi percio calcoleremo tale numero adottando un me-todo piu semplice ed intuitivo.

Si immagini di scrivere tutte di seguito le possi-

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bili combinazioni con ripetizione di p elementi di E.Detto Cn,p il loro numero (incognito), poiche ciascunadi esse contiene esattamente p elementi (in generalenon tutti distinti), avremo scritto un totale di pCn,p

elementi. Quante volte figurera ciascun elemento di E

nella nostra scrittura?

Convenendo di indicare col simbolo Ch,k il nu-mero delle combinazioni con ripetizione di k elementidi un insieme che ne contiene h, osserviamo che, fis-sato comunque un elemento ej ∈ E, ci saranno Cn−1,p

combinazioni che non contengono ej . Ci saranno poiCn−1,p−1 combinazioni che contengono ej una voltasola, Cn−1,p−2 combinazioni che lo contengono duevolte, Cn−1,p−3 che lo contengono tre volte, . . ., Cn−1,1

(cioe n−1) combinazioni che lo contengono p−1 volte euna sola combinazione (con ripetizioni) che lo contienep volte. Cio si comprende notando che tutte e sole lecombinazioni che non contengono ej sono quelle di p

elementi dell’insieme H = E\ej; le combinazioni checontengono ej una volta sola, private dell’elemento ej ,risultano invece combinazioni di p − 1 elementi di H;in generale, le combinazioni nelle quali ej e contenutoh volte, private dell’elemento ej , risultano invece com-

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binazioni di p − h elementi di H.Cio stabilito, detto nj il numero di volte in cui

figura il simbolo ej nell’elenco di tutte le combinazionicon ripetizione di p elementi di E, risulta

nj = Cn−1,p−1 + 2Cn−1,p−2 + 3Cn−1,p−3 +

+ . . . + (p − 1)Cn−1,1 + p

=p−1∑r=1

rCn−1,p−r + p .

Questo numero non dipende da j, e cio mostra che,nell’elenco di tutte le combinazioni con ripetizione dip elementi di E, tutti gli elementi di E stesso com-paiono il medesimo numero di volte. Poiche, come sie detto, abbiamo scritto un totale di pCn,p elementi, egli elementi di E sono n, sara

nj =pCn,p

n, ∀ j ∈ 1, . . . , n .

Si considerino ora — fissato comunque un ej ∈ E

— tutte e sole le combinazioni di p elementi di E checontengono ej . Se in ciascuna di esse sopprimiamouna sola delle occorrenze di ej , otteniamo una com-binazione di p − 1 elementi di E. L’elenco di tali

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combinazioni, che sono Cn,p−1, contiene un totale di(p−1)Cn,p−1 elementi, e, ragionando come prima, ej vi

figurera(p − 1)

nCn,p−1 volte. Ma se ora aggiungiamo

a questo numero le Cn,p−1 occorrenze di ej che ave-vamo soppresso, otteniamo esattamente il numero nj

delle occorrenze di ej nell’elenco delle combinazioni dip elementi di E. Percio,

pCn,p

n=

(p − 1)n

Cn,p−1 + Cn,p−1 =

=(

p − 1n

+ 1)

Cn,p−1 .

Da cio segue

Cn,p =(

n + p − 1p

)Cn,p−1 .

E ovvio ora che

Cn,1 = n ,

cosicche

Cn,2 =n(n + 1)

2,

Cn,3 =n(n + 1)(n + 2)

2 · 3 ,

Cn,4 =n(n + 1)(n + 2)(n + 3)

2 · 3 · 4 ,

21

e, in generale,

Cn,p =n(n + 1)(n + 2) · . . . · (n + p − 1)

2 · 3 · . . . · p ,

ossia, moltiplicando e dividendo ambo i membri diquest’uguaglianza per (n − 1)!,

(7.2) Cn,p =(n + p − 1)!

p![(n + p − 1) − p]!=

(n + p − 1

p

),

che fornisce, per ogni n ∈ N e p ∈ N , con n = 1, il nu-mero delle combinazioni con ripetizione di p elementidi un qualsiasi insieme E di n elementi.

La (7.2) si completa in maniera ovvia per n = 1,osservando che, necessariamente,

C1,p = 1 , ∀ p ∈ N ,

da cui si trae che la (7.2) resta valida anche per n = 1.

22

8. Applicazioni: potenze di un binomio e di unpolinomio

Si consideri dapprima un binomio a + b. Poichea + b ∈ R,

(a + b)0 = 1 e (a + b)1 = a + b .

(a + b)n =?

(8.1) (a + b)n = (a + b)(a + b) · · · (a + b)︸ ︷︷ ︸n volte

.

In virtu della distributivita della moltiplicazione ri-spetto all’addizione, tale prodotto si esprimera come lasomma di tutti i possibili prodotti di n fattori ciascunodei quali coincida con a oppure con b.

Immaginiamo allora i posti dei fattori al secondomembro della (8.1) come una fila di oggetti o “caselle”

| e1 | e2 | e3 | . . . | en |

(dove, ovviamente, ogni oggetto si distingue dagli altriper il suo posto nella fila). Per ogni p ∈ 0, 1, . . . , n,

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ogni termine della forma apbn−p si ottiene scegliendop caselle della fila nelle quali sostituire il monomio a, eponendo b nelle restanti. Percio, i termini della formaapbn−p sono in corrispondenza biettiva con le scelte dip caselle tra le n della fila.

Ad ogni fissato p ∈ 0, 1, . . . , n corrispondono(np

)termini del tipo apbn−p.Dobbiamo sommare su tutti i valori di p tutti i ter-

mini che a ciascuna assegnazione di p corrispondono.Ne consegue la ben nota formula

(8.2)

(a + b)n =(

n

n

)an +

(n

n − 1

)an−1b +

+(

n

n − 2

)an−2b + . . . +

+(

n

2

)a2bn−2 +

(n

1

)abn−1 +

(n

0

)bn =

=n∑

p=0

(n

p

)apbn−p ,

che normalmente si ricava per induzione su n.Si deve osservare che esattamente la stessa for-

mula si sarebbe potuta ricavare ragionando sul numero

24

q delle occorrenze del fattore b nei diversi addendi, ecalcolando, per ciascun valore di q ∈ 0, . . . , n, ilnumero degli addendi in cui il fattore b compare esat-tamente q volte. Si puo ragionare indifferentementesul numero p delle occorrenze di a o sul numero q diquelle di b perche ciascuno dei due numeri p e q e uni-vocamente determinato dall’altro e dall’esponente n

di (a + b)n tramite la relazione p + q = n. Allora, invirtu del Teorema 5.1, si ha — applicando a b le stesseargomentazioni sopra svolte per a —

(a + b)n =n∑

q=0

(n

q

)an−qbq =

n∑q=0

(n

n − q

)an−qbq ,

la quale, essendo n − q = p, non e altro che la (8.2).

Ci proponiamo ora di ricavare, con lo stesso meto-do, l’espressione della potenza n-esima di un polinomioc1 + c2 + . . . + ck (k ≥ 3). Ancora una volta si haovviamente

(c1 + c2 + . . . + ck)0 = 1

25

e

(c1 + c2 + . . . + ck)1 = c1 + c2 + . . . + ck ;

inoltre, essendo (c1 + c2 + . . . + ck)n il prodotto di n

fattori identici a c1 + c2 + . . . + ck, ossia

(c1 + c2 + . . . + ck)n =

= (c1 + c2 + . . . + ck) · · · (c1 + c2 + . . . + ck)︸ ︷︷ ︸n volte

,

la distributivita della moltiplicazione rispetto all’addi-zione comporta che (c1 + c2 + . . . + ck)n sia la sommadi tutti i prodotti di n fattori scelti nell’insieme c1, c2,

. . . , ck. Possiamo inoltre scrivere

(c1 + c2 + . . . + ck)n = [c1 + (c2 + . . . + ck)]n ,

ed applicando la (8.2), risultera

(c1 + c2 + . . . + ck)n =

=n∑

n1=0

(n

n1

)cn11 (c2 + . . . + ck)n−n1 .

26

Ma ora e

(c2 + . . . + ck)n−n1 = [c2 + (c3 + . . . + ck)]n−n1 =

=n1∑

n2=0

(n − n1

n2

)cn22 (c3 + . . . + ck)n−n1−n2 ,

talche

(c1 + c2 + . . . + ck)n =

=n∑

n1=0

n−n1∑n2=0

(n

n1

)(n − n1

n2

)×

× cn11 cn2

2 (c3 + . . . + ck)n−n1−n2 .

Iterando questo ragionamento, ci rendiamo subitoconto che(8.3)

(c1 + c2 + . . . + ck)n =

=n∑

n1=0

n−n1∑n2=0

· · ·n−

∑k−2

j=1nj∑

nk−1=0

(n

n1

)(n − n1

n2

)× · · ·

· · · ×(

n −∑k−2

j=1 nj

nk−1

)cn11 cn2

2 cn33 · · · c

n−∑k−1

j=1nj

k .

Ma ora, ponendo nk = n −∑k−1

j=1 nj , vediamosubito che in ogni addendo dello sviluppo al secondo

27

membro della (8.3) deve risultare n1 +n2 + . . . +nk =n, e che le k−1 sommatorie che ivi compaiono possonoessere sostituite da un’unica sommatoria nella quale aciascun esponente e consentito variare da 0 a n, main maniera tale che questa condizione sia soddisfatta.Percio la (8.3) assumera la forma

(8.4)

(c1 + c2 + c3 + . . . + ck)n =

=n∑

n1,n2, ... ,nk=0n1+n2+ ... +nk=n

(n

n1

)(n − n1

n2

)× · · ·

· · · ×(

n −∑k−2

j=1 nj

nk−1

)cn11 cn2

2 cn33 · · · cnk

k .

Dobbiamo ora osservare che, posto

N(n1, n2, . . . , nk−1) =

=(

n

n1

)(n − n1

n2

). . .

(n −

∑ir=1 nr

ni+1

)×

× . . . ×(

n −∑k−2

r=1 nr

nk−1

),

si ha

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N(n1, n2, . . . , nk−1) =

=n!

n1!(n − n1)!(n − n1)!

n2!(n − n1 − n2)!× . . .

. . . × (n −∑i

r=1 nr)!

ni!(n −∑i+1

r=1 nr)!. . .

(n −∑k−2

r=1 nr)!nk−1!nk!

,

onde, semplificando i fattori comuni a numeratore edenominatore,

N(n1, n2, . . . , nk) =n!

n1!n2!n3! . . . nk!.

Sostituendo questa espressione nella (8.4) si trova(8.5)(c1 + c2 + c3 + . . . + ck)n =

=0, ... ,n∑

n1+n2+ ... +nk=n

n!n1!n2!n3! . . . nk!

cn11 cn2

2 cn33 . . . cnk

k ,

che fornisce lo sviluppo cercato.

Si osservera che il numero N(n1, n2, . . . , nk−1) =N(n1, n2, . . . , nk) non e il numero di tutti i termini che

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contengono c1 esattamente n1 volte, ma il numero ditutti e soli quelli fra essi che contengono c2 esattamenten2 volte, c3 esattamente n3 volte, . . . , e ck esattamentenk volte.

Osservazione 8.1

Allo stesso modo che per le disposizioni con ripe-tizione di due elementi, applicando la (8.5) a un poli-nomio i cui termini siano tutti uguali a 1, si ha

(8.6) np =0, ... ,p∑

p1+p2+ ... +pn=p

p!p1!p2!p3! . . . pn!

,

(con ovvia sostituzione dei simboli rispetto alla (8.5)).Il primo membro della (8.6) e il numero delle dispo-sizioni con ripetizione di n elementi e1, e2, . . . , en sup posti, e ciascun addendo a secondo membro rappre-senta il numero di tali disposizioni sotto la condizioneche e1 sia ripetuto esattamente p1 volte, e2 lo sia p2

volte, . . . , ed en sia ripetuto esattamente pn volte (os-sia interpretando ciascun pi come molteplicita — im-posta o vincolata — del corrispondente ei).

Denotiamo ora con Ω ≡ ω1, ω2, . . . , ωp l’insie-me dei posti. Assegnare a ph ripetizioni dell’elemento

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eh i posti ωh1 , ωh2 , . . ., ωhphsignifica associare ad eh

un sottoinsieme Ph di Ω. Si consideri allora una qual-siasi applicazione f definita in Ω e a valori nell’insieme1, 2, . . . , n (questa, a meno della sostituzione h →eh, e la stessa cosa di un’applicazione di Ω nell’insiemeE degli eh). Per ogni h ∈ 1, 2, . . . , n, interpretia-mo la controimmagine Pf (h) di h tramite la f comel’insieme delle posizioni assegnate alle ripetizioni di h

(ossia eh). In tal modo riconosciamo che np e la car-dinalita dell’insieme Fn(Ω) di tutte le possibili appli-cazioni di Ω in 1, 2, . . . , n.

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