CHAPTER 02
向向向向 量量量量大綱 表格圖片
2-1 三角函數
2-2 純量與向量
2-3 向量的表示法
2-4 向量的加法
2-5 向量的減法
2-6 向量的分解
2-7 向量的相乘
CHAPTER 02
向向向向 量量量量大綱 表格圖片
圖2-1
圖2-2
圖2-3
圖2-4
圖2-5
圖2-6
圖2-7
圖2-8
圖2-9
圖2-10
圖2-11
圖2-12
圖2-13
圖2-14
圖2-15
圖2-16
圖2-17
圖2-18
圖2-19
圖2-20
圖2-21
圖2-22
圖2-23
圖2-24
圖2-25
圖2-26
圖2-27
圖2-28
CHAPTER 02
向向向向 量量量量大綱 表格圖片
表2-1
P. 4
2222----1111 三角函數三角函數三角函數三角函數
(一)有向角
(1)自正x軸以反時針方向測量半徑 與正x 軸的夾角
時,其角度為正;反之,以順時針方向所測得的
角度為負,例如30°與-330°表示同一角度。
(2)平面角有二種不同的單位,即度或弧度(亦稱
弳),轉一圈相當於360°或2π弧度,因此
180°=π
30°=π/6=0.52弧度
OA
P. 5
(3) 弧度= 或 θ= (2-1)半經
弧長
r
s
P. 6
(二)三角函數的定義
(1)在圖2-2中,當A點在第一象限時,就直角三角形OAB
而言,其三個銳角三角函數的定義如下:
正弦函數:sinθ= ( ) (2-2)
餘弦函數:cosθ= ( ) (2-3)
正切函數:tanθ= ( ) (2-4)
r
y
r
x
x
y
斜邊
對邊
斜邊
鄰邊
鄰邊
對邊
P. 7
(2)θ可推廣至任意其它角度,在圖2-2中,如果設半
徑r等於1,則半徑 在y軸上的投影(或分量)
就是正弦函數值,而在x軸上的投影 就是餘弦函
數值
OA OC
OB
P. 8
(3)表2-1是一些較常用角度之正弦和餘弦函數值。
P. 9
例題一
如圖2-3所示,直角三角形ABC的斜邊 為5公尺,
θ為37º,求(a) 的長度為何?(b) 的長度為何?
AB
AC BC
P. 10
解解解解::::(a) 由(2-2)式可得
sinθ=
對邊=斜邊 × sinθ (1)
故 =5 × sin37 º = 3公尺
(b)由(2-3)式可得
cosθ=
鄰邊=斜邊×cosθ (2)
故 =5 × cos37 º =4公尺
AC
斜邊
對邊
BC
斜邊
鄰邊
P. 11
(三)反三角函數
在圖2-4之直角三角形ABC 中,如果已知其邊長,要計算
銳角的角度,可以利用反三角函數,例如:
sinβ= 故 β=sin-1( )
cosβ= 故 β=cos-1( )
tanβ= 故 β=tan-1( )
c
b
c
b
c
a
c
a
a
b
a
b
P. 12
上面這些反函數符號 sin-1、cos-1、tan-1,亦可用arc
sin、arc cos、arc tan來表示,反三角函數的答案,很
容易由計算機求得。
P. 13
例題二
如圖2-4之直角三角形中,已知兩股長 =5公尺
, =12公尺,求角度θ為何?
解解解解::::由於 tanθ= ,故 θ= tan-1( )=22.6°
AC
BC
12
5
12
5
P. 14
(四)三角函數的一些公式
以下介紹本書中將使用的一些關於三角函數的公式:
(1)sin(90°-θ)=cosθ (2-5)
例如:sin30°=sin(90°-60°)=cos60°=0.5
(2)sin(180°-θ)=sinθ (2-6)
例如:sin150°=sin(180°-30 °)=sin30°=0.5
(3)sin2θ=2sinθcosθ (2-7)
例如:sin120°=sin(2×60°)=2sin60° cos60°= /23
P. 15
(4)正弦定律:在圖2-5之△ABC 中,三邊長與三內
角之關係式為
(2-8)γβα sinc
sin
b
sin
a ==
P. 16
(5)餘弦定律:在圖2-5之△ABC 中,邊長與內角之關係
式為
c2=a2+b2-2abcosγ
b2=c2+a2-2cacosβ
a2=b2+c2-2bccosα (2-9)
P. 17
(6)當角θ很小,且以弧度為單位時,sinθ、tanθ及θ
三者的數值非常接近,即
sinθ≈ tanθ≈θ (2-10)
例如:當θ=5º=0.0872弧度時,
sin0.0872=0.0871,tan0.0872=0.0874,
這些誤差很小,故sinθ≈θ,tanθ≈θ。
P. 18
2222----2222 純量與向量純量與向量純量與向量純量與向量
(一)有些物理量僅須描述其大小就能明確表示其特
性稱為純量,如時間、質量、路徑、面積、速
率、能量、功、電荷等皆為純量。
(二)有些物理量必須同時描述其大小和方向才能完
整表現其特性的物理量稱為向量。例如位移、
速度、加速度、力、力矩、動量等皆為向量。
P. 19
2222----3333 向量的表示法向量的表示法向量的表示法向量的表示法
在一維之直線上運動的質點,只有兩個運動方
向,其中一個方向若定義為正,另一個方向則為負,
因此,可用正、負號來表示其方向性。
但對於一個在二維平面或三維空間運動的質點,
常用箭號表示,以下介紹向量的表示法:
P. 20
(一)符號表示法
(1)向量通常有兩種表示方法,一種是在代表物理量的符
號上方加一橫向箭頭,比如 表示速度向量, 表示
力向量。
(2)另一種方法是用粗體字母來表示,如 v、F。手寫時,
以前者表示較方便。
(3)如果只論及向量的大小,一般直接以物理量的符號來
表示,如 v、F,或是對該向量加上絕對值符號,
如| |、 | | 或 |v|、|F|。
vv
Fv
vv
Fv
P. 21
(二)圖示法
(1)以箭號來表示向量,其箭頭的指向表示向量的方向,
其長度代表向量的大小。
(2)如圖2-6所示,以線段1公分代表10公里,則3公分表示
30公里,方向朝東。
P. 22
(三)單位向量
(1)單位向量是指大小等於1,並指向某一特定方向的向
量,例如向量 可寫為
=A (2-11)
上式中 表示平行於 的單位向量,其大小| |=1。
(2)習慣上,在字母上方加帽號 ^ 表示單位向量,
加箭號 則表示一般向量。
Av
Av
n̂ n̂
n̂Av
P. 23
(3)在三維的坐標系中,分別以 、 、 來表示朝向x、
y、z軸之正方向的單位向量,如圖2-8所示。
î ĵ k̂
P. 24
2222----4444 向量的加法向量的加法向量的加法向量的加法
二個向量 與 相加,其向量和 可寫為
+ = (2-12)
(一)三角形法
(1)在圖2-9(a)中,有兩力同時作用於一物體O,向量
平移時不能改變其大小和方向。如圖2-10,先畫
出向量 ,再畫向量 ,使 的箭尾接於 的箭
頭,然後由 的箭尾畫一直線至 的箭頭,所形
成的向量即為向量和 。
Av
Bv
Rv
Rv
Av
Bv
Av
Av
Av
Bv
Bv
Bv
Rv
P. 25
P. 26
(2)一般而言兩向量之和的大小不等於兩向量大小之
和(何種情況除外?),其關係式為
| |+| | ≧ | + | (2-13)
(3)將向量平移,使兩向量箭尾相接,其間較小的夾
角,即稱為兩向量的夾角,如圖2-9中之θ,而
非指α。
Av
Av
Bv
Bv
P. 27
(4)以下我們討論 與 在特殊夾角時,
其向量和 的特性:
(a)若 與 同方向時:即夾角為0°時,由圖2-11
可知,其向量和的大小直接等於兩向量大小之
和,即R=A+B,而向量和的方向與其分量同
方向。
Av
Bv
Rv
Av
Bv
P. 28
(b)若 與 反方向時:即夾角為180º時,由圖2-12可
知,其向量和的大小等於兩向量大小之差,
即R=|A-B|,而向量和的方向與其分量長度較大
者同方向。
(c)若 與 互相垂直:即夾角為90°時,由圖2-13及畢
氏定理可知,其向量和的大小為R= ,向
量和 與 的夾角為 tan-1(B/A)。
Av
Bv
Av
Bv
Rv
Av
22 BA +
P. 29
(二)平行四邊形法
(1)在圖2-14(a)中,使兩向量的箭尾相接,再以此兩
向量為鄰邊作出平行四邊形,然後自兩向量箭尾
相接處畫至另一對角所得的對角線向量,即為兩
向量之和。
(2)向量的加法遵守交換律,即
+ = + (2-14)Av
Av
Bv
Bv
P. 30
P. 31
(三)多邊形法
(1)如圖2-15(a)所示,求三個或更多向量之合向量
時,可將各向量平移,使其箭頭箭尾連續相接,
然後自第一個向量的箭尾畫至最後一個向量的箭
頭,所形成的新向量即為各向量的合向量,如圖
2-15(b)所示。
(2)向量的加法遵守結合律,即
( + )+ = +( + ) (2-15) Av
Av
Bv
Bv
Cv
Cv
P. 32
P. 33
2222----5555 向量的減法向量的減法向量的減法向量的減法
(一)兩向量 與 相減可寫為
= - = +(- ) (2-16)
(二)求 - 之差的簡便方法,為將兩者之箭尾相
接後,自 之箭頭畫一向量至 之箭頭,所形
成的新向量即代表兩向量之差。Av
Av
Bv
Bv
Av
Av
Av
Bv
Bv
Bv
Dv
P. 34
(三)兩向量相加或相減時,若用平行四邊形法來圖解,
則其中一對角線代表兩者之和 + ,如圖2-17之實線向量所示;另一對角線代表兩者
之差 - ,如圖2-17之虛線向量所示。Av
Av
Bv
Bv
P. 35
例題三
在圖2-17中,若 與 兩向量的大小分別為10與6,
兩向量之夾角為60°,試求 (a) + 的大小為何?
(b) - 的大小為何?
解解解解::::
(a)在△OMQ中,利用餘弦定律可得
| + |= = =14
(b)在△OPM 中,利用餘弦定律可得
| + |= = =8.7
Av
Av
Av
Bv
Bv
Bv
Av
Av
Bv
Bv
°××× 120cos6102610 22OQ
PM °××× 60cos6102610 22
P. 36
2222----6666 向量的分解向量的分解向量的分解向量的分解
(一)二維平面之向量的分解
(1)平行四邊形法
(a)一般最常用的是將一向量分解為互相垂直的兩分量,
如圖2-18(b)所示,將向量 的箭尾置於直角坐標系
的原點O上,再自 的箭頭分別作x軸與y 軸的垂直
線,所得之Ax與A
y即分別為向量 在x軸與y軸上
之分量的大小。若θ為向量 與正x軸的夾角,則
Ax=A cosθ (2-18)
Ay=A sinθ (2-19)
Av
Av
Av
Av
P. 37
P. 38
(b)用分量來表示原來的向量時, 可寫為
(2-20)
例如圖2-18(b)中之 箭頭處的坐標若為(3,4),
則
=
(c)反過來,利用分量可求得原始向量 的大小及方
向,在圖2-18(b)中,由畢氏定理可得
(2-21)
tanθ= 或 θ=tan-1 (2-22)
Av
jθAiθAjAiAAA=A yxyx ˆsinˆcosˆˆ +=+=+vv
Av
ji ˆ4ˆ3 +Av
Av
22yx AAA +=
x
y
A
A
x
y
A
A
P. 39
(2)三角形法
以原始向量 為斜邊,畫出一個直角三角形,則
所得之兩股即為其兩個互相垂直的分量,如圖2-
19所示,得
=
Av
Av
yx AAvv
+
P. 40
(二)三維空間之向量的分解
(1)在三維空間中,以原始向量 為體對角線,x軸、y
軸和z 軸為邊,畫出一個長方體,所得之長(Ax)、
寬(Ay)和高(Az)分別為原始向量 平行於三個坐標
軸的三個分量。
Av
Av
P. 41
(2)原始向量 可表示為
= (2-25)
例如,在圖2-20(a)中之 箭頭處的坐標
若為(3, 4, 5),則
Av
Av
kAjAiA zyx ˆˆˆ ++vv
Av
k5j4i3A ˆˆˆ ++=v
P. 42
(3)在圖2-20 (a)中,由畢氏定理可得 的大小為
A2=A12+A2
2 (2-26)
由圖(b)可得
A12=Ax2+Ay2 , A22=Az2 (2-27)
因此,在三維空間中 的大小與其分量的關係
式為
A= (2-28)
Av
Av
222zyx AAA ++
P. 43
(三)用分量法求向量的和與差
若有 與 兩向量,分別以單位向量表示如下:
=
=
則此兩向量的和與差可分別寫為
Av
Bv
Bv
Av
kAjAiA zyx ˆˆˆ ++kBjBiB zyx ˆˆˆ ++
kBAjBAiBABA zzyyxx ˆ)(ˆ)(ˆ)( +++++=+vv
kBAjBAiBABA zzyyxx ˆ)(ˆ)(ˆ)( −+−+−=−vv
P. 44
例題四
已知二向量, , ,求(a)
+ =? (b)| + |=? (c)A+B=? (d) - =?
解解解解
k-jiA ˆ2ˆ2ˆ +=v
k-iB ˆ4ˆ3=v
Av
Av
Av
Bv
Bv
Bv
P. 45
例題五
在圖2-21(a)中,有四個力作用在同一物體上,其力
圖如圖(b)所示,單位為牛頓,試求其合力的 (a)大
小為何? (b)方向為何?
P. 46
P. 47
解解解解
(a)先將每個力分解
故合力為
由畢氏定理得合力的大小為
R= =28.2牛頓22 2.57.27 +
P. 48
(b)合力與正x軸的夾角θ為
tanθ= =0.19
故θ=tan-1 0.19=10.8º
合力的向量如圖2-21(c)所示。
7.27
2.5
P. 49
2222----7777 向量的相乘向量的相乘向量的相乘向量的相乘
(一)純量與向量相乘
(1)純量m與一向量 相乘,即m ,其乘積仍然為一
向量,此新向量的大小為原向量大小的|m|倍。若
m為正,則新向量與原向量的方向相同;若m為負,
則新向量與原向量的方向相反。
(2)圖解法不難證明下列二式成立
m +n =(m+n) (2-33)
m( + )=m +m (2-34)
Av
Av
Av
Av
Av
Av
Av
Bv
Bv
P. 50
P. 51
(二)純量積
向量與向量相乘可分成兩種形式,其乘積為一純量者
稱為純量積,其乘積為一向量者稱為向量積。
(1)純量積的定義
(a) =ABcosθ (2-35)
純量積 讀作「 dot 」,由於所用記
號的形式,純量積亦稱為點乘積。
BAvv
⋅BAvv
⋅ Av
Bv
P. 52
(b)上式可改寫為(A cosθ)B 或A(B cosθ),因此,純
量積可視為 在 方向上的分量(或投影)
與 之大小的乘積,如圖2-23(a)所示;或視為
在 方向上的分量與 之大小的乘積,如圖2-
23(b)所示。Av
Av
Av
Bv
Bv
Bv
P. 53
(2)純量積的一些性質
(a) (2-36)
(b) (2-37)
(c) (2-38)
得 (2-39)
(d)若二向量皆非零向量
(2-40)
ABBAvvvv
⋅=⋅CABACBAvvvvvvv
⋅+⋅=+⋅ )(
20cos AAAAA =°=⋅vv
AAAvv
⋅=
0=⋅ BAvv
BAvv
⊥
P. 54
(3)單位向量的純量積
(a) (2-41)
(b) (2-42)
(4)分量法求純量積
(2-43)
上式展開的9項中,有6項為零,整理可得
(2-44)
10cos11ˆˆˆˆˆˆ =°⋅⋅=⋅=⋅=⋅ kkjjii090cos11ˆˆˆˆˆˆ =°⋅⋅=⋅=⋅=⋅ ikkjji
)kBjBi(B)kAjAi(ABA zyxzyx ˆˆˆˆˆˆ ++⋅++=⋅vr
zzyyxx BABABABA ++++=⋅vv
P. 55
例題六
設有二向量, , ,試求
(a) 為何? (b) 與 的夾角為何?
解解解解
(a)
(b) ,
由(2-35)式可得
,故
kjiA ˆ2ˆˆ2 ++=v
kjiB ˆ3ˆ6ˆ2 +−=v
BAvv
⋅ Av
Bv
432)6(122 =×+−×+×=⋅ BAvv
3212 222 =++=A 73)6(2 222 =+−+=B
21
4
73
4cos =
×=⋅=
AB
BAvv
θ °== − 79)21
4(cos 1θ
P. 56
(三)向量積
(1)向量積的定義
(a)向量積 × 讀作「 cross 」,由於所用記號的
關係,向量積又稱為又乘積。
(b)如圖2-24所示,向量積 × 的方向定義為垂直於
與 所形成的平面,且依右手定則來決定它的方向,
以右手的四個手指並攏,並自第一個向量 循較小
的夾角轉向第二個向量 ,則豎起之大拇指所指的
方向,即為向量積 的方向。
Av
Av
Bv
Bv
Av
Av
Av
Bv
Bv
Bv
Cv
P. 57
(c) 與 之向量積的大小,可視為以 與 為
邊所作之平行四邊形的面積。
Auv
Av
Av
Bv
Bv
P. 58
(2)向量積的一些性質
(a)
(b)
(c)
(d)若二個向量皆非零向量
P. 59
(3)單位向量的向量積
(a)
(b)
0ˆˆˆˆˆˆ =×=×=× kkjjiiijkji ˆˆˆˆˆ ×−==×
jkikj ˆˆˆˆˆ ×−==×
kijik ˆˆˆˆˆ ×−==×
P. 60
(c)在圖2-26中,若依順時針方向相乘,則取正號,
例如
若依反時針方向相乘,則取負號,例如
P. 61
(4)分量法求向量積
(a)
上式展開有9項,其中3項為0,經整理可得
(b)比較簡易的計算方法,是將 與 之分量按順序排
列五行,則後四行之交叉相乘積的差,即分別
為 、 、 的分量,如圖2-27所示。
)ˆˆˆ()ˆˆˆ( kBjBiBkAjAiABA zyxzyx ++×++=×vv
kBABAjBABAiBABABA xyyxzxxzyzzy ˆ)(ˆ)(ˆ)( −+−+−=×vv
Av
Bv
î ĵ k̂
P. 62
例題七
如圖2-28所示,在xy 平面上有 、 二個向量,
向量的大小為10,其方向與正x軸夾50°, 向量的大
小為5,其方向與正x 軸夾110°,試求(a) ‧ 為何?
(b) × 為何?
Av
Av
Av
Av
Bv
Bv
Bv
Bv
P. 63
解解解解
(a) 與 的夾角為
θ=110°-50°=60°
所以兩者之純量積為
(b) 與 之向量積的大小為
依右手定則,此向量積的方向指向正z 軸方向,
所以
Av
Av
Bv
Bv
2560cos510cos =°××==⋅ θABBAvv
32560sin510|| =°××=× BAvv
kBA ˆ325=×vv
P. 64
例題八
求 與 的向量積為何?
解解解解
2 1 2 2 1
2 -6 3 2 -6
kjiA ˆ2ˆˆ2 ++=v
kjiB ˆ3ˆ6ˆ2 +−=v
kjiBA ˆ]21)6(2[ˆ)3222(ˆ)]6(31[ ×−−×+×−×+−−×=×vv
kji ˆ14ˆ2ˆ15 −−=
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