ELIPSE
MARTA LÍA MOLINA
AÑO 2012
CÁTEDRA MATEMÁTICA APLICADA- FAU-UNT
Esquema de los contenidos
La elipse como sección cónica
Al cortar la superficie cónica con un plano, se obtienen unas curvas llamadas CÓNICAS.
Las distintas posiciones del plano determinan las diferentes cónicas
ELIPSESe obtiene cuando el plano secante no es perpendicular al eje de la superficie cónica, corta a todas las generatrices y no pasa por el vértice.
Para ir a definiciónComo lugargeométrico
Volver alesquema
La elipse en la Arquitectura
Las cónicas están presentes en numerosas obras de arquitectura, las que iremos a continuación.
La elipse usada en el
Período Barroco
Cubierta elíptica
La elipse en la ArquitecturaLa elipse
telescópica
Fuente acuática en forma de
elipse
Torre elíptica
La elipse presente en diversos puentes
VolverAl esquema
La elipse como lugar geométrico
F2F1
Elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano
cuya suma de distancia a dos puntos fijos,
llamados focos, es constante
Definición Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya sumas distancias a dos puntos fijos (llamados focos)
es constante.
PF1 + PF2 = 2.a
F1 F2
Deducción de la ecuación canónica de la elipse
Para encontrar la ecuación analítica de la elipse, expresamos las distancias entre P(x,y) y los focos F1(c,0) y F2(-c,0)
d( P, F1) + d(P,F2) = 2 a, es decir:
Elevando al cuadrado ambos miembros, para eliminar las raíces y desarrollando los cuadrados resulta la ecuación canónica de la elipse:
ECUACIONES DE LA ELIPSE
Ecuaciones Canónicas con centro en el origen
CANÓNICAS CENTRADAS
C(0,0)
Haz clic acá Para ver
Los elementos
Eje mayor coincidente con eje y
1a
y
b
x2
2
2
2
b
a
Eje mayor coincidente con
eje x
1b
y
a
x2
2
2
2
ab
Haz clic acá Para ver
Los elementos
Ecuación canónica de la elipsecon centro en el origen y eje mayor el eje xElementos
1by
ax
2
2
2
2
B1
F2 F1
B2
B1
A1A2
C
Ejes de simetría
2c
l = 2b
L = 2a
• Vértices: A1(a,0), A2(-a,0), B1(0,b), B2(0,-b) Eje menor:
B1B2
• Centro: C(0,0) Longitud eje menor:
2b
• Eje mayor o eje focal: A1A2 Longitud eje mayor:
2a
• Focos F1(c,0) ; F2(-c,0) distancia focal: 2c
• relación entre coeficientes: a2 = b2 + c2
Volver aEcuacionescanónicas
Ecuación canónica de la elipsecon centro en el origen y eje mayor el eje yElementos
1a
y
b
x2
2
2
2
F1
• Vértices: A1(0,-a), A2(0,a), B1(b,0), B2(-b,0) Eje
menor: B1B2
• Centro: C(0,0) Longitud eje menor:
2b
• Eje mayor o eje focal: A1A2 Longitud eje mayor: 2a
• F1( 0,-c) ; F2(0,c) distancia focal: 2c
• relación entre coeficientes: a2 = b2 + c2
F2
B2 B1
A1
A2
C
Ejes de simetría
2c
l = 2b
L = 2a
F1
Ecuaciones Canónicas Desplazadas
CANÓNICAS DESPLAZADASC(h,k)
Eje mayor horizontal
1b
k)-(y
a
h)-(x2
2
2
2
C(h,k)
Eje mayor vertical
1a
k)-(y
b
h)-(x2
2
2
2
C(h,k)
Haz clicPara ver
elementos
Ecuación canónica de la elipsecon centro en C(h,k) y eje mayor el eje yElementos
1
b
ky
a
)hx(2
2
2
2
C A1A2
B1
B2
h
k
F1F2
2c
2a
• Vértices: A1(h+a, k) ; A2(h-a, k);
B1(h, k+b); B2(h. k-b)
• Focos: F1(h+c, k) ; F2( h-c, k)
• Centro C ( h ,k)
¿ Qué es EXCENTRICIDAD? La excentricidad de una cónica, representado por e, es el cociente entre la
distancia focal y la longitud del eje principal. Como la distancia focal es 2c y la longitud del eje principal 2a, la excentricidad es: e=c/a.En la elipse la excentricidad e<1 ( pues c < a)
Si cambiamos el valor de “e” el efecto será:• Si e está muy cercano a 1, entonces b es pequeño con respecto de a, la
elipse es delgada y muy excéntrica • Si e está muy cerca de 0 b es casi tan grande como a, la elipse es gorda y
bien redondeada
Excentricidad cercana a 1Excentricidad cerca de 0
Ecuación General
Ax2 + Cy2 +Dx + Ey + F = 0
ECUACIÓN GENERAL DE 2º GRADO EN EL PLANO
Si A. C >0 y A C
La representación Gráfica de esta Ecuación será UNA ELIPSE
Volver A tipos
De ecuaciones
Construcción de la elipse por Circunferenciasconcéntricas
Ejercicios : a partir de la ecuación grafique la elipse dada y determine sus elementos
1)
2) x 2-4x+4 y2-8y =92
1100y
16x 22
x2 + 4 y2 – 4 x – 8 y - 92=0
Para trazar la gráfica de la cónica Nº 2
Primero vamos a identificar que se trata de una elipse pues A.C = 1.4>0 entonceses Elipse
1- Identificamos la cónica
2- Expresamos en forma canónicaPara ello completamos cuadrados:
x2 + 4 y2 – 4 x – 8 y - 92=0
10021)4(y22)(x
92421)4(y42
2x
9212
1y442
2x
922
22
2
222y2y4
2
24
2
244x2x
922y)24(y4x2x928y24y4x2x
125
21)(y100
22)(x
3.- Elementos1
2521)(y
10022)(x
Centro: C (2, 1)Semiejes: a = 10 ; b = 5Eje mayor o focal: 2a = 20Eje menor : 2b = 10
8,6675510c
bac cba22
22222
Distancia focal: 2c = 17,32Excentricidad: e = c/a = 8.66/ 10 = 0,87<1
4.- Representación Gráfica
125
21)(y100
22)(x
2a
2b c C c F1 F2
Recta Tangente y Normal a la elipse en un Punto P1(x1,y1)
Si consideramos la elipse de ecuación:
Se desdobla la ecuación y reemplazamos por
las coordenadas del Punto P1(x1,y1) obteniendo:
Y despejando y obtenemos
1by
ax
2
2
2
2
1b
y.y
a
x.x22
1b
y.y
a
x.x21
21
Recta tangente y= mtgx + b1 Recta Normal y-y1= -1/mtg( x-x1)
• Si consideramos la elipse de ecuación en la forma general A x2+Cy2+Dx+Ey+F=0
Al desdoblar la ecuación y reemplazar por el punto P1 obtenemos la ecuación de
la recta Tangente a la elipse en el Punto P1:
A x. x1+C y. y1+D.(x+x1)/2+E (y+y1)/2+F=0
y al despejar y se obtiene la ecuación de la recta tangente a la elipse en el punto P1
Propiedades Focales
Todo rayo lumínico o sonoro emitido por un foco de la elipse,
al “tocar” en una superficie elíptica, se refleja pasando por el otro
foco. La recta perpendicular a la recta tangente en el punto de choque
del rayo, bisecta al ángulo i+r por lo que se cumple la propiedad:
i = r
i: ángulo de incidencia ; r: ángulo de reflexión
F1F2
Recta Tangente
Recta Normal
La elipse en la vida diaria
La propiedad óptica de la elipse se aplica
en las ``galerías de murmullos'' por ejemplo
en el Convento del Desierto de los Leones,
cerca de la Ciudad de México, en la cual un
orador colocado en un foco puede ser
escuchado cuando murmura por un
receptor que se encuentre en el otro foco,
aún cuando su voz sea inaudible para otras
personas del salón.
• Otra aplicación de la propiedad óptica de la elipse es la de ciertos
hornos construidos en forma de elipsoides. Si en uno de sus focos se
coloca la fuente de calor y en el otro se coloca el material que se quiere
calentar, todo el calor emanado por la fuente de calor se concentrará en
el otro foco.
• Otra de las consecuencias prácticas beneficiosas que tiene la propiedad de
Reflexión de la elipse es la siguiente:
En el tratamiento de cálculos renales llamado litotricia . Para ello se coloca un
Reflector con sección transversal elíptica de tal manera que el cálculo está en
Un foco . Ondas sonoras de alta intensidad generadas en el otro foco, se reflejan
Hacia el cálculo sin dañar el tejido circundante. Se ahorra al paciente el
Traumatismo de la cirugía y se recupera en pocos días