CÓNICAS

Elipse y Parábola

PROFESORES: Brandon

Mella

Ramón Bustos

Cónicas Definición Se denomina sección cónica ( o simplemente cónica ) a todas

las curvas intersección entre un cono y un plano; si dicho plano

no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente

dichas. Dependiendo del ángulo del plano relativo al cono, la

intersección es un círculo, una elipse, una hipérbola o una

parábola.(Nosotros nos concentraremos en la elipse y parábola)

Elipse

Es una curva cerrada, la intersección de un cono circular

recto, y un plano no paralelo a su base, el eje o algún

elemento del cono.

elipse Definición geométrica: sean 𝐹1 , 𝐹2 dos

puntos diferentes del plano y 𝑘 > 0, 𝑘 mayor

que la distancia entre 𝐹1 y 𝐹2.

La elipse de focos 𝐹1 ,𝐹2 y eje mayor de

longitud 𝑘 , es el lugar geométrico de los

puntos del plano cuya suma de distancia a

𝐹1 y 𝐹2 es igual a 𝑘.

El punto central entre 𝐹1 y 𝐹2 se llama centro

de la elipse. La recta que pasa por 𝐹1 y 𝐹2

contiene 2 puntos de la elipse se llaman

vértices de la elipse 𝑣1 y 𝑣2

Elipse

Observacion: se demuestra que la distancia

entre 𝑣1 y 𝑣2 es 𝑘, por lo que el segmento

𝑣1𝑣2 es el eje mayor de la elipse.

Ecuacion de una elipse con centro (𝟎, 𝟎) y

eje mayor horizontal

Sean 𝐹1(−𝐶, 𝑂) Y 𝐹2(𝐶, 𝑂), 𝐶 > 0 los focos de

la elipse y sea 𝑘 = 2𝑎 la longitud del eje

mayor, con 2𝑎 > 2𝑐, es decir, 𝑎 > 𝑐.

Ecuacion de una elipse con centro (𝟎, 𝟎)y eje mayor horizontal

Deducción ecuación:∀ 𝑃 𝑥, 𝑦 , 𝑃 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 ⇔ 𝑑 𝑃, 𝐹1 + 𝑑 𝑃, 𝐹2 = 2𝑎

⇔ 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦2 + 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦2 = 2𝑎

⇔ 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦2 = 2𝑎 − 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦2 , elevamos al cuadrado.

⇔ 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦2 = 4𝑎2 − 4𝑎 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦2 + 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦2

⇔𝑥2 + 2𝑥𝑐 + 𝑐2 = 4𝑎2 − 4𝑎 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦2 + 𝑥2 − 2𝑥𝑐 + 𝑐2

⇔4𝑎 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦2 = 4𝑎2 − 4xc, multiplicamos por 1

4y

elevamos 2

Ecuacion de una elipse con centro (𝟎, 𝟎)y eje mayor horizontal

⇔𝑎2 𝑥2 − 2𝑥𝑐 + 𝑐2 + 𝑦2 = 𝑎4 − 2𝑎2𝑥𝑐 + 𝑥2𝑐2

⇔𝑎2𝑥2 + 𝑎2𝑦2 − 𝑥2𝑐2 = 𝑎4 − 𝑎2𝑐2.

⇔𝑥2(𝑎2 − 𝑐2) + 𝑎2𝑦2=𝑎2(𝑎2 − 𝑐2), div. Por 𝑎2(𝑎2 − 𝑐2)

Observación como 𝑎 > 𝑐 > 0 ⇒ (𝑎2 − 𝑐2)> 0

⇔𝑥2

𝑎2 +𝑦2

(𝑎2−𝑐2)= 1, luego definimos 𝑏2=(𝑎2 − 𝑐2)

2 2

2 21, es la ecuacion de elipse con

centro 0,0 y focos de 2 de distancia.

x y

a b

c

Elipse

De forma similar se demuestra la ecuación

elipse con centro C 0,0 y eje mayor

vertical. además mostramos le caso

anterior eje mayor horizontal.

Ecuacion de una elipse con centro en 𝐂 𝒉, 𝒌 y

el eje mayor horizontal

Ecuacion de una elipse con centro en 𝐂 𝒉, 𝒌 y

el eje mayor vertical

2 2

2 21,

x h y k

a b

2 2

2 21,

x h y k

b a

1 2

1 2

Los vertices y focos son respestivamente.

( , ), ( , )

( , ), ( , ).

v h a k v h a k

F h c k F h c k

1 2

1 2

Los vertices y focos son respestivamente.

( , ), ( , )

( , ), ( , ).

v h k a v h k a

F h k c F h k c

Ecuación general elipse Observación: la ecuación de cualquier elipse

con ejes de simetría paralelos a los ejes

coordenados es de la forma general.

𝐴𝑥2 + B𝑦2 + Cx + Dy + E = 0,

Con 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 ∈ ℝ fijos y 𝐴B >0, A≠B(ambos

negativos o positivos). Recíprocamente toda

ecuación de esta forma con las condiciones

mencionadas representa una elipse con ejes de

simetría paralelos a los ejes coordenados o una

elipse degenerada(∅(negativa) o un punto(𝑥 =ℎ ∧ 𝑥 = 𝑘)).

Ejemplo: determine todos los elementos de la

elipse.1. 3𝑥2 + 4𝑦2 + 6𝑥 − 12𝑦 + 10 = 0

Solución: 3≠4 y ambos positivos es elipse.

3 𝑥2 + 2𝑥 + 1 + 4 𝑦2 − 3𝑦 +9

4= −10 + 3 + 9

3 𝑥 + 1 2 + 4 𝑦 −3

2

2= 2 , dividimos por 2

3 𝑥 + 1 2

2+ 2 𝑦 −

3

2

2

= 1

𝑥 + 1 2

23

+𝑦 −

32

2

12

Continua próxima diapositiva.

Ejemplo: determine todos los elementos de

la elipse

Como 2

3>

1

2⇒

2

3= 𝑎2 por tanto horizontal. luego

el centro −1,3

2y eje mayor horizontal.

𝑎2=2

3⇒ 𝑎=

2

3, 𝑏2=

1

2⇒ b=

1

2=

2

2.

Entonces 𝑐2=𝑎2-𝑏2=2

3−

1

2=

1

6⇒𝑐 = ±

1

6=±

6

6

Finalmente los focos y vértices son los

siguientes.1 2 1 2

1 2 1 2

2 3 2 3( , ), ( , ) 1 , , 1 ,

3 2 3 2

1 3 1 3( , ), ( , ) 1 , , 1 ,

2 26 6

v h a k v h a k v v

F h c k F h c k F F

Parábola

Una parábola es una curva abierta, producida por la

intersección de un cono circular recto y un plano

paralelo a algún elemento del cono.

PARÁBOLA:Lugar geométrico de los puntos que

equidistan de un punto llamado foco

y de una recta llamada directriz.

Concepto previo «distancia

de un punto a una recta»Ya sabemos calcular la distancia entre

puntos de la unidad 1, ahora para poder

deducir la ecuación de la parábola es

necesario saber obtener la «distancia de un

punto a una recta»

Distancia de un Punto a una

recta Sea 𝑙 una recta de ecuación 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0,con 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ ℝ , 𝑎 ≠ 0 ∨ 𝑏 ≠0 y sea 𝑃0 =(𝑥0, 𝑦0) un punto que no pertenece a 𝑙.

Si 𝑑 𝑃0, 𝑙 se denota la distancia de 𝑃0 a 𝑙.

Se demuestra que 𝑑 𝑃0, 𝑙 .

𝑑 𝑃0, 𝑙 =𝑎𝑥0+𝑏𝑦0+𝑐

𝑎2+𝑏2

( , ) ( , )d P F d P lLos puntos de la parábola

cumplen:

Ecuación de la parábola con vertice 𝑉(0,0) , eje

de simetría vertical y Foco de la parabola

𝑭 𝟎, 𝑪 , 𝑪 ≠ 𝟎 y 𝒍 ∶ 𝒚 = −𝒄

Deducción ecuación de la parábola con vertice 𝑉(0,0) ,

eje de simetría vertical y Foco de la parábola 𝑭 𝟎, 𝑪 , 𝑪 ≠ 𝟎 y 𝒍 ∶ 𝒚 = −𝒄

Entoces ∀ 𝑃 𝑥, 𝑦 , 𝑃 𝑥, 𝑦 ∈ parábola

⇔𝑑 𝑃, 𝐹 = 𝑑 𝑃, 𝑙 (la condición).

⇔ 𝑥2 + 𝑦 − 𝑐 2=𝑦+𝑐

0+12(distancia Punto a recta )

⇔ 𝑥2 + 𝑦 − 𝑐 2= 𝑦 + 𝑐 ( eleva cuadrado ambos +)

⇔𝑥2+𝑦2 − 2yc + 𝑐2=𝑦2 + 2yc + 𝑐2

(cancelamos)

continuamos próxima diapositiva……

Deducción ecuación de la parábola con vertice 𝑉(0,0) ,

eje de simetría vertical y Foco de la parábola

𝑭 𝟎, 𝑪 , 𝑪 ≠ 𝟎 y 𝒍 ∶ 𝒚 = −𝒄

Continuemos.

2

2

2

4 / multiplicamos por -1

4

(finalmente lo que buscabamos)4

cy x

cy x

xy

c

La parábola en otros casos

Ecuacion de una parábola con vértice en

V 𝒉, 𝒌 𝒚 𝒆𝒋𝒆 𝒅𝒆 𝒔𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒂.

1) Vertical.

𝑦−k =𝑥−ℎ 2

4𝑐,

Donde 𝑐 es la distancia entre el vértice y

el foco o entre el vértice y la directriz.

2) Horizontal.

𝑥 − ℎ =𝑦−𝑘 2

4𝑐

Ecuación general de una

parábola La ecuación de cualquier parábola con ejes

de simetría paralelos a uno de los ejes

coordenados es de la forma general.

𝐴𝑥2 + B𝑦2 + Cx + Dy + E = 0,

Con 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 ∈ ℝ fijos y 𝐴=0 o bien 𝐵=0.

Recíprocamente, toda ecuación de la forma

anterior con 𝐴 = 0 o bien 𝐵=0 representa una

parábola en el plano con ejes de simetría

paralelos a uno de los ejes coordenados o una

parábola degenerada(vacia, una recta o la

unión de dos rectas)

Ejemplos: determine todos

los elementos de la parábola1. 3𝑥2 + 6𝑥 + 5𝑦 − 8 = 0.

Solución. 3 𝑥2 + 2x + 1 = −5y + 8 + 3

3 𝑥 + 1 2 = −5(𝑦 −11

5)

𝑦 −11

5= −

3

5𝑥 + 1 2

𝑦 −11

5=

𝑥 + 1 2

−53

Continua próxima diapositiva.

Ejemplos: determine todos los

elementos de la parábolaContinuación solución, cuando la parábola es de

la forma .

𝑦−k =𝑥−ℎ 2

4𝑐. Eje de simetría Vertical .

Comparando con lo obtenido.

𝑦 −11

5=

𝑥+1 2

−5

3

, Se obtiene el vértice ℎ, 𝑘 , es

−1,11

5, como 4𝑐 = −

5

3, luego 𝑐 = −

5

12.

𝐹(−1,11

5−

5

12=

107

60) , Bisectriz: 𝑦 =

11

5+ 𝑐 =

157

60

Ejemplos: determine todos los

elementos de la parábola

2) 5𝑦2 + 3𝑥 − 25𝑦 + 10 = 0.

Solución: 5𝑦2 − 25𝑦 = −3𝑥 − 10

5 𝑦2 − 5y +25

4= −3x − 10 +

125

4

5 𝑦 −5

2

2

= −3𝑥 +85

4

5 𝑦 −5

2

2

= −3(x −85

12)

Continua próxima diapositiva…..

Ejemplos: determine todos los

elementos de la parábola

𝑥 −85

12= −

5

3𝑦 −

5

2

2

𝑥 −85

12=

𝑦 −52

2

−35

Notamos que la ecuación es de la forma ;con

eje de simetría Horizontal.

𝑥 − ℎ =𝑦−𝑘 2

4𝑐, continua prox.

Diapositiva.

Ejemplos: determine todos los

elementos de la parábola

85 5 El vertice es ( , ) , y su eje de

12 2

simetria horizontal y se habre hacia la izquierda.

3 3 54 , eje de simetria

5 20 2

85 3 5 104 5foco , ,

12 20 2 15 2

85 y la directriz es:

1

V h k V

c c y

F F

x

3 217

2 20 30