Se si esegue un numero N di prove sufficientemente elevato, sia l’esperienza sia la teoria della probabilità mostrano che la frequenza relativa dei singoli risultati (k=1,2,3,4,5,6) (o di un qualsiasi evento) è prossima alla loro probabilità:
( )APN
Nf A
A ≈=
Frequenza relativa e probabilità
Esempio: • Esperimento : Lancio “casuale” di un dado • Risultato : Numero sulla faccia superiore del dado • Insieme dei possibili risultati (elementari): S={1,2,3,4,5,6}• Evento : qualsiasi sottoinsieme dell’insieme dei risultati A={1,2}; B={2,4,6}; ecc.
La probabilità e' un numero che indica con quale frequenza si presentano eventiassociati ad un insieme di possibili risultati di un “esperimento”.
16/05/2014 C. Prati 1
Probabilità: proprietà e regole di calcolo
( ) 10 ≤≤ AP
( ) 1=SP
( ) ( ) ( ) ( )ABPBPAPBAP −+=+
( ) ( ) ( )BPBAPABP ⋅= /
La probabilità è un numero compreso tra 0 (evento impossibile) e 1 (evento certo)
L’insieme S di tutti i possibili risultati è l’evento certo
La probabilità dell’unione (or ) di 2 eventi è uguale alla somma delle probabilità meno la probabilità della loro intersezione
La probabilità dell’intersezione (and ) di 2 eventi è uguale alla probabilità di un evento condizionato alla realizzazione del secondo, moltiplicata per la probabilità dell’evento
16/05/2014 C. Prati 2
Esempio del calcolo di probabilità dell’unione
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ABPABPBPAPBAP −+=−+=+37
18
37
3
( ) ( ) ( )37
1
37
18
18
1/ =⋅=⋅= BPBAPABP
Calcolare la probabilità dell’unione dei seguenti eventi: A = uscita dei numeri {1,2,3} sulla roulette B = uscita di un numero pari sulla roulette
( ) ( ) ( )37
1
37
3
3
1/ =⋅=⋅= APABPABP
( ) ( ) ( ) ( )37
20
37
1
37
18
37
3 =−+=−+=+ ABPBPAPBAP
16/05/2014 C. Prati 3
Teorema di Bayes
( ) ( ) ( )BPBAPABP ⋅= /
( ) ( ) ( )APABPABP ⋅= /
( ) ( ) ( ))(
//BP
APABPBAP ⋅=
16/05/2014 C. Prati 4
Esempio 1 teorema di Bayes
60% biglietti vincenti (V) 40% biglietti perdenti (P)70% dei biglietti vincenti e tutti quelli perdenti sono rossi (R)Calcolare la probabilità che scelto un biglietto rosso sia vincente
( ) ( ) ( )
( ) ( )
51,04,016,07,0
6,07,0
)()/()()/(/
)(//
=×+×
×=
=+
⋅=
=⋅=
PPPRPVPVRP
VPVRP
RP
VPVRPRVP
16/05/2014 C. Prati 5
Esempio 2 teorema di Bayes
Su 3 buste (1,2,3), una sola è vincente (V).Il giocatore (G) sceglie una busta e il conduttore (C) ne apre un’altra senza premio. Se il giocatore sceglie la busta 1 e il conduttore apre la busta 3 (GC13), calcolare la probabilità che il premio sia nella busta 1 (V1) o nella busta 2 (V2).
( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )3
2
21
311
)13(
22/1313/2
3
1
21
312
1)13(
11/1313/1
=⋅=⋅=
=⋅=⋅=
GCP
VPVGCPGCVP
GCP
VPVGCPGCVP
16/05/2014 C. Prati 6
Esempio 3 teorema di Bayes
Su 3 buste (1,2,3), una sola è vincente (V).Il conduttore (C) ne apre una senza premio (C3). Calcolare la probabilità che il premio sia nella busta 1 (V1) o nella busta 2 (V2).
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )2
1
31
312
1)3(
22/33/2
2
1
31
312
1)3(
11/33/1
=⋅=⋅=
=⋅=⋅=
CP
VPVCPCVP
CP
VPVCPCVP
16/05/2014 C. Prati 7
x
Variabile casuale
numero reale associato ad un evento
Funzione di distribuzione ( ) )( axPaFx ≤=
Densità di probabilità ( ) ( )aFda
d
da
daaxaPap xx =+≤≤= )(
1 – Monotona non decrescente
2 - ( ) 0=∞−xF ( ) 1=∞xF
1 –
2 -
( ) 0≥apx
( )∫+∞
∞−
= 1daapx
16/05/2014 C. Prati 8
x
Variabile casuale discreta
Funzione di distribuzione
( ) )6(6
1...)2(
6
1)1(
6
1)( −++−+−=≤= auauauaxPaFx
Densità di probabilità
( ) ( ) )6(6
1...)6(
6
1)1(
6
1 −++−+−== aaaaFda
dap xx δδδ
• Le variabili casuali sono discrete quando possono assumere un insieme discreto di valori (e quindi i possibili risultati sono in numero finito o comunque numerabile).
• Esempio: v.c. Legata al numero sulla faccia superiore del dado.
16/05/2014 C. Prati 9
x
Variabile casuale continua
Funzione di distribuzione ( ) aaxPaFx =≤= )(
Densità di probabilità ( ) ( ) 1== aFda
dap xx
• Le variabili casuali sono continue quando possono assumere un insieme continuo di valori (e quindi i possibili risultati sono in numero infinito).
• Esempio: v.c. Uniforme 0-1 - Posizione di una biglia che si muove a velocità costante su una pista circolare lunga 1 metro. Assume con la stessa probabilità un qualsi valore reale valore compreso tra 0 e 1
16/05/2014 C. Prati 10
Uso della densità di probabilità
Dalla densità di probabilità p(a) è facile calcolare la probabilità che la variabile casuale x assuma un valore compreso in un intervallo a1, a2. Basta sommare! si ottiene l’area sottesa dalla ddp nell’intervallo d’interesse.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
a1 a2
( ) ∫=≤<2
1
)(21
a
a
x daapaxaP
Si noti che
( ) 1)( ==∞<<∞− ∫∞
∞−
daapxP x
Dunque l’area sottesa dalla ddp di unaqualunque variabile casuale è unitaria.
16/05/2014 C. Prati 11
Valore atteso di una funzione di v.c.
di una variabile casuale Il valore atteso di una funzione g(x) di una variabile casuale x è definito come segue.
( )[ ] ( ) ( )∫∞
∞−
⋅⋅= daapagxgE x
16/05/2014 C. Prati 12
Valor medio di una variabile casualeIl valor medio mx , detto anche valore atteso E [x] o momento (statistico) di ordine uno, di una variabile casuale x è definito come segue.
[ ] ∫∞
∞−
⋅⋅== da(a)paxEm xx
a
p(a)
mX am
X
p(a)
Il valor medio di una variabile casuale è l’ascissa del “baricentro” dell’area sottesa dalla densità di probabilità.
Il valor medio della somma di 2 variabili casuali è la somma dei valori medi16/05/2014 C. Prati 13
( )[ ] ( )
[ ] [ ] [ ] [ ] 222222
222
22
)(
XXXXXX
XxXX
mXEmmmXEmXEmXE
daafmamXE
−=+⋅⋅−=+⋅⋅−=
=⋅⋅−=−= ∫∞
∞−σ
Il valor quadratico medio E [x2], detto anche potenza statistica o momento (statistico) di ordine 2, di una variabile casuale x è :
[ ] ∫∞
∞−
⋅⋅= da(a)paxE x22
Valore quadratico medio e varianza
La varianza σ σ σ σ x2 (detta anche momento centrale di ordine 2) di una variabile casuale x è il valore quadratico medio della differenza tra x e il suo valor medio mx
[ ] [ ] 2222 )( xxx mxEmxE −=−=σ
La radice quadrata della varianza è detta deviazione standard (o scarto quadratico medio) della variabile casuale x
2xx σσ =
16/05/2014 C. Prati 14
Densità di probabilità Gaussiana
( )
−−=
2
2
2 2exp
2
1)(
x
x
x
x
maap
σπσ
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
16/05/2014 C. Prati 15
Ddp congiunta di 2 variabili casualiDensità di probabilità congiunta delle 2 variabili casuali x e y:
( )dbda
dbbybdaaxaPbapxy ⋅
+≤≤+≤≤= ),(,
-5 0 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5 0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
a
b16/05/2014 C. Prati 16
-5 0 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5 0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
La densità di propabilità congiunta si puo' ottenere come densità di propabilità di una sola v.c. condizionata al valore assunto dall'altra v.c. (es: x=1) moltiplicata per la probabilità che la variabile casuale condizionante abbia assunto quel preciso valore.
-5 0 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
a
b
a=1
( ) ( ) ( )1,1 1/ xxyxy pbpbp ⋅= =
b
16/05/2014 C. Prati 17
-5 0 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
-5 0 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5 0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
La densità di propabilità congiunta si puo' ottenere come densità di propabilità di una sola v.c. condizionata al valore assunto dall'altra v.c. (es: x=-1) moltiplicata per la probabilità che la variabile casuale condizionante abbia assunto quel preciso valore.
a
b
a=-1
( ) ( ) ( )1,1 1/ −⋅=− −= xxyxy pbpbp
b
16/05/2014 C. Prati 18
-5 0 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5 0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
a
-5 0 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Legame tra ddp congiunta e condizionata
bb
( ) ( ) ( )apbpbap xaxyxy ⋅= =/,
16/05/2014 C. Prati 19
Ddp congiunta di 2 variabili casualiDensità di probabilità congiunta delle 2 variabili casuali x e y:
( )dbda
dbbybdaaxaPbapxy ⋅
+≤≤+≤≤= ),(,
Densità di probabilità della variabile x condizionata al valore assunto dalla variabile y:
( )ap byx =/
Legame ddp congiunta e ddp condizionata
( ) ( ) ( )bpapbap ybyxxy ⋅= =/,
Se le 2 v.c. sono tra loro indipendenti
( ) ( ) ( )bpapbap yxxy ⋅=,
( ) ( )apap xbyx ==/
16/05/2014 C. Prati 20
Esempio 1 ddp congiunta e condizionata
Densità di probabilità della variabile y condizionata al valore assunto dalla variabile x:
py/x=a b( ) = 1
Lrect
bL
− 1
2
Legame ddp congiunta e ddp condizionata
pxy a, b( ) = py/x=a b( ) ⋅ px a( ) = py b( ) ⋅ px a( ) = 1
L2rect
bL
− 1
2
⋅ rect
aL
− 1
2
Esperimento: 2 biglie che si muovono a velocità costante su 2 piste circolari lunghe L metri.
x posizione della prima biglia
y posizione della seconda biglia
( )
−=2
1rect
1
L
a
Lapx
0
1/L
b
b
a
L
0 L
0 L
1/L
16/05/2014 C. Prati 21
Esempio 2 ddp congiunta e condizionata
Densità di probabilità della variabile y condizionata al valore assunto dalla variabile x:
( )
−−== L
a
L
b
Lbp axy 2
1rect
1/
Legame ddp congiunta e ddp condizionata
pxy a,b( ) = py/x=a b( ) ⋅ px a( ) = 1
L2rect
bL
− 1
2− a
L
⋅ rect
aL
− 1
2
Esperimento: 2 biglie che si muovono a velocità costante su 2 piste circolari lunghe L metri.
x posizione della prima biglia
y somma delle posizioni delle 2 biglie
( )
−=2
1rect
1
L
a
Lapx
0 L
1/L
a
0 L+a
1/L
bab
a
L
0L
2L
16/05/2014 C. Prati 22
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
-5 0 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5 0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
a
b
( ) ( )( ) ( )∫
∫=
=
dbbapap
dabapbp
xyx
xyy
,
,
( )bpy
( )apx
Densità di probabilità marginali
16/05/2014 C. Prati 23
Esempio ddp marginale
pxy a,b( ) = py/x=a b( ) ⋅ px a( ) = 1
L2rect
bL
− 1
2− a
L
⋅ rect
aL
− 1
2
Esperimento: 2 biglie che si muovono a velocità costante su 2 piste circolari lunghe L metri.
x posizione della prima biglia
y somma delle posizioni delle 2 biglie
b
a
L
0L
2L
( ) ( )
( ) ( )
−==
−==
∫
∫
1tri1
,
2
1rect
1,
L
b
Ldabapbp
L
a
Ldbbapap
xyy
xyx 0 L
1/L
a
0 L
1/L
b
16/05/2014 C. Prati 24
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