ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

INGENIERIA EN SISTEMAS INFORMATICOS Y DE COMPUTACIÓN

OSCILACIONES

REALIZADO POR:

ARTEAGA MADAI

NIETO DANILO

PAREDES ANDRES

REMACHE CRISTIAN

CURSO: SIS 504-GR1

PROFESOR:

ING. EZEQUIEL A. GUAMÁN T.

QUITO-ECUADOR

ABRIL 2013

I

Índice de contenidos

Portada……………………………………………………………………. 0

Índice…………………………………………………….………………… I

Plan de Trabajo………………………………….…………………..... II

Introducción……………………………………………………………. 1

Capítulo I:

Movimiento Libre no Amortiguado (M.L.N.A)……………..

2

Ley de Hooke..……………………………………………………......…

2

Segunda Ley de Newton…………………………………………….

4

Ecuación Diferencial M.L.N.A……………………………………..

6

Ecuación del Movimiento…………………………………………..

7

Período y Frecuencia…………………………………………………

7

Ejercicios Resueltos y Propuestos……….……………………..

8

Capítulo II:

Oscilador Amortiguado...…………………………………………...

9

Oscilador Sobre Amortiguado…..………………..…………….

11

I

Oscilador con Amortiguamiento Crítico……………………

12

Oscilador con Amortiguamiento Débil...……………………

12

Ejercicios Resueltos y Propuestos..….……………………….

14

Conclusiones…………………………………………….…………….

Recomendaciones………………………………….………………..

Bibliografía………………………………………………………………

II

Plan de Trabajo

1. Tema: Oscilaciones

2. Objetivos:

2.1 General: Aplicar los conocimientos de resolución de

Ecuaciones Diferenciales para diversas asignaturas.

2.2 Específico:Resolver problemas de física de movimientos

amortiguado y no amortiguado.

3. Planteamiento del Problema:

La destreza en la resolución de ecuaciones diferenciales, de primer

orden u orden superior, dependen de cuanta práctica exista por

parte del ejecutante, por lo que hay que buscar la forma de aplicarlas

con frecuencia.

4. Posible Solución al Problema:

La aplicación de las ecuaciones diferenciales en diversas asignaturas

como en Física, ayuda en la práctica de sus métodos de resolución; y

por supuesto, nos da la solución a planteamientos de problemas que

se pueden dar en la vida cotidiana o laboral.

5. Metodología:

5.1 Tipo de Investigación: Exploratoria

5.2 Métodos: Científico; Deductivo.

6. Calendarización:

6.1 Fecha de Entrega: 18 de abril de 2013

II

OSCILACIONES

Introducción: En esta sección, se van a considerar varios sistemas dinámicos

lineales en los que cada modelo matemático es una ecuación diferencial de

segundo orden con coeficientes constantes junto con condiciones iniciales

especificadas en un tiempo que tomaremos como:

Recuerde que la función g es la entrada, función de conducción o función forzada

del sistema. Una solución de la ecuación en un intervalo I que contiene a

que satisface las condiciones iniciales se llama salidao respuesta del

sistema.

SISTEMA RESORTE/MASA MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO

LEY DE HOOKE

Suponga que un resorte se suspende verticalmente de un soporte rígido y luego se

le fija una masa a su extremo libre. Por supuesto, la cantidad de alargamiento o

elongación del resorte depende de la masa; masas con pesos diferentes alargan el

resorte en cantidades diferentes. Por la ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una

fuerza restauradora opuesta a la dirección de la elongación y proporcional a la

cantidad de elongación y es expresada en

forma simple como , donde es

una constante de proporcionalidad llamada

constante de resorte. El resorte se

caracteriza en esencia por el número . Por

ejemplo, si una masa que pesa 10 [libras]

hace que un resorte se alargue pie,

entonces implica que

. Entonces necesariamente

una masa que pesa, digamos, 8 libras

alarga el mismo resorte sólo pie .

II

SEGUNDA LEY DE NEWTON

Después de quese une una masa a un resorte, ésta alarga el resorte una

cantidad y logra una posición de equilibrio en la cual su peso se define mediante

donde la masa se mide en slugs, kg o gramos y g es la gravedad tomada

como . La condición de equilibrio es Si

la masa es una cantidad de su posición de

equilibrio, la fuerza restauradora del resorte es

entonces . Suponiendo que no hay

fuerzas restauradoras que actúan sobre el

sistema y suponiendo que la masa vibra libre de

otras fuerzas externas «movimiento libre» se

puede igualar la segunda ley de Newton con la

fuerza neta o resultante de la fuerza

restauradora y el peso.

El signo negativo de esta ecuación indica que la fuerza restauradora que actúa

opuesta a la dirección de movimiento. Además, se adopta la convención de que los

desplazamientos medios debajo de la posición de equilibrio son positivos.

ECUACION DIFERENCIAL DE UN MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO

Dividiendo la ecuación anterior para , se obtiene la ecuación diferencial de

segundo orden o,

Donde . Se dice que la ecuación describe el movimiento armónico

simple o movimiento libre no amortiguado. Dos condiciones iniciales obvias

relacionadas con y , el desplazamiento inicial de la masa,

respectivamente. Por ejemplo, si la masa parte de un punto abajo

de la posición de equilibrio con una velocidad impartida hacia arriba. Cuando

, se dice que la masa se libera a partir del reposo. Por ejemplo, si y

II

, la masa se libera desde el reposo de un punto unidades arribade la

posición de equilibrio.

ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO

Para resolver la ecuación, se observa que la solución de su ecuación auxiliar

son los números complejos y . Así la solución

general bien dad por:

PERIODO

Es descrito por la ecuación es donde el número T representa el tiempo

[segundos] que tarda la masa en ejecutar un ciclo de movimiento. Un ciclo es una

oscilación completa de la masa.

FRECUENCIA

Es y es el número de ciclos completado por segundo

Ejemplo “Movimiento libre no amortiguado”

1. Una masa que pesa 2 libras alarga 6 pulgadas un resorte. En t = 0 se libera la

masa desde un punto que está 8 pulgadas debajo de la posición de equilibrio con

una velocidad ascendente de . Determinar la ecuación del Movimiento.

Solución:

Debido a que se está usando el sistema de unidades de ingeniería, las mediciones

dadas en términos de pulgadas se deben convertir:

El desplazamiento inicial y la velocidad inicial son x(0) = 2/3 , x(0)=4/3, donde el

signo negativo en la última condición es un consecuencia del hecho de que la masa

se le da una velocidad inicial en la dirección negativa o hacia arriba.

II

Ahora , por lo que la solución general de la ecuación diferencial

es:

2. Una masa que pesa 8 libras se une a un resorte. Cuando se pone en movimiento,

el sistema resorte/masa exhibe movimiento si la constante de resorte es 1lb/pie

y la masa se libera incialemte desde un punto 6 pulgadas debajo de la posición

de equilibrio, con una velocidad descendente de 3/2 pie/s. Exprese la ecuación

de movimiento en la forma

3. Una masa que pesa 4 libras se une a un resorte cuya constante es 16 lb/pie.

¿Cuál es el periodo del movimiento armónico simple?

Rpta.:

Ejercicios propuestos

1. Una fuerza de 400 newtons alarga 2 metros un resorte. Una masa de 50

kilogramos se une al extremo del resorte y se libera inicialmente con una

velocidad ascendente de 10 m/s. Encuentre la ecuación del movimiento?

Rpta.:

2. Bajo algunas circunstancias, cuando dos resortes paralelos, con constantes y

soportan una sola masa, la constante de resorte efectiva del sistema se

expresa como . Una masa pesa 20 libras estira 6 pulgadas un resorte

y 2 pulgadas otro resorte. Los resortes se unen a un soporte rígido común y

luego a una placa metálica. Como se muestra en la figura, la masa se une el

centro de la placa en la configuración del resorte doble. Determinar la constante

de resorte efectiva de este sistema. Encuentre la ecuación del movimiento de la

masa se libera inicialmente desde la posición de equilibrio con una velocidad

descendente de 2 [pies/s]

II

Rpta:

3. Un modelo de un sistema de resorte/masa es . Por inspeccion

de la ecuacion diferencial solamente, describael comportamiento del sistema

durante un periodo largo.

Rpta.

4. Se fija un contrapeso de 4 Ib a un resorte cuya constante es 16 lb/fi. ¿Cuál

es el periododel movimiento armónico simple?

5. Otro resorte, cuya constante es 20 N/m, esta colgado del mismo soporte

rígido, pero enposición paralela a la del sistema resorte y masa 50Kg. Al

segundo resorte se lefija una masa de 20 kg, y ambas masas salen de su

posición de equilibrio con una velocidadde 10 m/s hacia arriba.

a) ¿Cuál masa tiene la mayor amplitud de movimiento?

b) ¿Cuál masa se mueve con más rapidez cuando t = 7r/4 s? ¿Y cuandot

= 7r/2 s?

c) ¿En qué momento están las dos masas en la misma posición?

¿Dónde están en esemomento? ¿En qué direcciones se mueven?

6. Se fija una masa de 20 kg a un resorte. Si la frecuencia del movimiento

armónico simplees 2/pi oscilaciones por segundo, ¿cuál es la constante k

del resorte? ¿Cuál es la frecuenciadel movimiento armónico simple si la

masa original se reemplaza con una de 80 kg?

II

OSCILADOR AMORTIGUADO

Todos los osciladores reales están sometidos a alguna fricción. Las fuerzas de

fricción son disipativas y el trabajo que realizan es transformado en calor que es

disipado fuera del sistema. Como consecuencia, el movimiento está amortiguado,

salvo que alguna fuerza externa lo mantenga. Si el amortiguamiento es mayor que

cierto valor crítico, el sistema no oscila, sino que regresa a la posición de equilibrio.

La rapidez con la que se produce este regreso depende de la magnitud del

amortiguamiento, pudiéndose dar casos distintos: el sobre amortiguamiento y el

movimiento críticamente amortiguado. Cuando el amortiguamiento no supera este

valor crítico el sistema realiza un movimiento ligeramente amortiguado, semejante

al movimiento armónico simple, pero con una amplitud que disminuye

exponencialmente con el tiempo.

II

Consideremos una masa m en una posición de equilibrio y sujeta a una fuerza de recuperación proporcional al desplazamiento x del equilibrio y opuesta a él según la ecuación F= -kx Suponiendo que no actúa ninguna otra fuerza sobre el cuerpo, y aplicando la segunda ley de Newton (F= m.a) obtendremos la ecuación diferencial delmovimiento

que describe un oscilador armónico simple. En todos los casos físicos existe alguna fuerza de rozamiento que generalmente se considera proporcional a la velocidad quedando la ecuación diferencial de movimiento

II

donde b es la constante de amortiguamiento. Dado que Fr se opone al movimiento, signo opuesto a la velocidad del objeto, realiza un trabajo negativo y es la causa de que la energía disminuya. Introducido este término en la 2º ley de Newton obtenemos la ecuación diferencial de movimiento de un sistema amortiguado.

Se trata de una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden. Tiene tres tipos de soluciones según el valor de :

Si el sistema está sobre amortiguado (amortiguamiento fuerte o supercrítico)

Si el sistema tiene amortiguamiento crítico.

Si el sistema oscila con amplitud decreciente (amortiguamiento débil o sub crítico)

OSCILADOR SOBRE AMORTIGUADO

En este caso el sistema no es realmente un oscilador, ya que no oscila. La solución es de la forma: En este caso el sistema no es realmente un oscilador, ya que no oscila. La solución es de la forma:

donde los coeficientes de las exponenciales son menores que cero y reales (por lo

que no hay oscilación):

y

y dependen de las condiciones iniciales (es decir, de la situación del sistema

para ). La posición no es oscilante y tiende hacia la posición de equilibrio de manera

asintótica. Las dos exponenciales decrecientes de las soluciones tienen constantes

II

de tiempo diferentes. Una es pequeña y corresponde a la rápida cancelación del

efecto de la velocidad inicial. La segunda es más grande y describe la lenta

tendencia hacia la posición de equilibrio.

OSCILADOR CON AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO

Este caso es el límite entre un sistema oscilante y uno no oscilante. Ocurre cuando

La solución única es:

como antes, y son constantes que dependen de las condiciones iniciales.

El amortiguamiento crítico corresponde a la tendencia más rápida hacia la situación de equilibrio cuando no sobrepasa esa posición. Si se disminuye un poco el amortiguamiento el sistema se acerca más rápidamente a la posición de equilibrio, pero sobrepasando la posición oscila en torno a ese punto (tomando valores positivos y negativos).

OSCILADOR CON AMORTIGUAMIENTO DÉBIL

En este caso, tenemos un oscilador que oscila alrededor de la posición de equilibrio con amplitud decreciente. Sucede cuando:

Al dividir la ecuación por la masa m, la ecuación diferencial del movimiento

amortiguado

O sea:

Donde el símbolo 2ʎ sólo se usa por comodidad algebraica, porque así la ecuación

auxiliar queda

II

m^2 + 2 ʎ m + w^2 = 0 y las raíces correspondientes son

Ahora podemos distinguir tres casos posibles que dependen del signo algebraico de

ʎ ^2 – w^2. Puesto que cada solución contiene al factor de amortiguamiento e^(-

ʎt), ʎ> 0, los

desplazamientos de la masa se vuelven insignificantes cuando el tiempo es grande.

CASO III: ʎ ^2 – w^2< 0

La solucion general de la ecuacion sera:

EJERCICIOS

1.-Una masa de 8 Ib de peso estira 2 ft un resorte. Si una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a 2 veces la velocidad instantánea actúa sobre el contrapeso, deduzca la ecuación del movimiento si la masa se suelta de la posición de equilibrio con una velocidad hacia arriba de 3 ft/s. 8 = k(2) da k = 4 lb/ft. Entonces W = mg da m = 1/4 slug

m1=m2=-4

Entonces el sistema es criticamente amortiguado

al aplicar condiciones iniciales c1=0 y c2=-3

II

asi la ecuación del movimiento es

2.- Un objeto que pesa 16 Ib se une a un resorte de 5 ft de longitud. En la posición de equilibrio, el resorte mide 8.2 ft. Si el peso se eleva y se suelta del reposo en un punto a 2 ft arriba de la posición de equilibrio, determine los desplazamientos, x(t). Considere que el medio que rodea al sistema ofrece una resistencia al movimiento numéricamente igual a la velocidad instantánea. Después de unir el peso, es 8.2 - 5 = 3.2 ft 16 = k(3.2), o sea k = 5 lb/ft. Además, m =1/2 slug

C1=-2 y C2=-2/3 3.-supongase que el movimiento masa resorte de un sistema con amortiguamiento queda descrito mediante la siguiente manera:

Determine la ecuación del movimiento para b=6 y b=10. Ecuación auxiliar =

II

Caso 1: b=6 m=-3+4i m=-3-4i es un caso de sub amortiguamiento

con

c1=1 y c2=3/4

Caso 2: b=10 m=-5 m=-5 es un caso de amortiguamiento critico

con

c1=1 y c2=5

4.- una masa de ¼ de kg esta unida a un resorte con una rigidez de 4 N/m como se

muestra en la figura . la constante de amortiguamiento b para el sistema es de

1N*seg/m. se la masa se desplaza ½ m a la izquierda y recibe una velocidad inicial

de 1 m/seg a la izquierda, determine la ecuacion de movimiento

II

se sustituye los valores de m,b y k en la ecuación y obtenemos el problema con valores iniciales

La ecuación auxiliar

Tendrá las soluciones

m=-2+2

m=-2-2 La solución será

Aplicando las condiciones iniciales tenemos

C1=-1/2 y C2=-1/

II

Ejercicios propuestos

1.-Desde una altura de 2 m se deja caer un cuerpo de 10 kg de masa sobre un plato de una báscula de masa 10 kg . El muelle de la báscula tiene una constante elastica de 8 kg/cm. Suponiendo que después del choque el plato y el cuerpo permanecen unidos, calcúlense: a) el desplazamiento máximo del plato de la báscula y b) la ecuación del movimiento del conjunto cuerpo-plato. (Respuestas: y2 = 0,171 m; x = 0,16 cos(19,8t) 2.- Una pesa de 16 Ib estira f ft un resorte. Al principio, parte del reposo a 2 ft arriba de la posición de equilibrio y el movimiento ocurre en un medio que presenta una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a la mitad de la velocidad instantánea. Deduzca la ecuación del movimiento si la pesa está impulsada por una fuerza externa igual a f (t) = 10 cos 3t.

3.- Se une una masa de 1 slug a un resorte cuya constante es 5 lb/ft. Se suelta la masa a 1 ft abajo de la posición de equilibrio con una velocidad de 5 ft/s hacia abajo; el movimiento se da en un medio cuya fuerza de amortiguamiento es numéricamente igual al doble de la velocidad instantánea. a) Deduzca la ecuación del movimiento si una fuerza externa igual a f(t) = 12 cos 2t + 3 sen 2t actúa sobre la masa

4.- Cuando una masa de 1 slug se cuelga de un resorte, lo estira 2 ít, y llega al reposo en su posición de equilibrio. A partir de t = 0, se aplica una fuerza externa al sistema, igual a f(t) = 8 sen 4t. Formule la ecuación del movimiento si el medio presenta una fuerza amortiguadora numéricamente igual a 8 veces la velocidad instantánea.

II

5.- Cuando una masa de 2 kg se cuelga de un resorte cuya constante es 32 N/m, llega a la posición de equilibrio. A partir de t = 0 se aplica al sistema una fuerza igual ay(t) = 68em2’ cos 4t. Deduzca la ecuación del movimiento cuando no hay amortiguamiento

Conclusiones

La aplicación de ecuaciones diferenciales en el ámbito de la mecánica

newtoniana, simplifica la resolución de problemas.

L.

Recomendaciones

Manejar eficientemente las técnicas de derivación e integración

Repasar los métodos de resolución de ecuaciones diferenciales de

primer orden u orden superior.

Bibliografía

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II

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