Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Raggruppamenti
Nelle prossime lezioni ci occuperemo delle basi del calcolo combinatorio.
Per semplicita partiremo da un esercizio e poi analizzeremo il caso
generale con la definizione e la formula da utilizzare per ogni tipologia di
esercizi:
Esercizio 1
Chiara ha a disposizione due gonne, una blu e una nera e quattro
camicette, una celeste, una rosa, una verde e una fucsia. Vorremo sapere
in quanti modi diversi puo vestirsi abbinando una gonna ad una camicia?
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Raggruppamenti: Chiara, le gonne e le camicie.
Il modo piu semplice per risolvere l’esercizio e quella di elencare tutte le
combinazioni possibili, e per comodita schematizzammo in questo modo:
1. le gonne possono essere scelte nell’insieme G = {B,N},
2. le camicie possono essere scelte nell’insieme C = {C ,R,V ,F}.
Per vestirsi, Chiara, scegliera una delle due gonne e poi scegliera una
camicia, quindi le combinazioni possibili, saranno una coppia (gonna,
camicia).
Procedendo con ordine abbiamo le seguenti coppie:
(B,C ), (B,R), (B,V ), (B,F ), con la gonna BLU e
(N,C ), (N,R), (N,V ), (N,F ), con la gonna NERA.
In totale sono otto possibili combinazioni.
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Raggruppamenti: Caso generale.
In generale il numero di raggruppamenti possibili, scegliendo un elemento
dall’insieme G e un elemento dall’insieme C risulta essere uguale alla
cardinalita del prodotto cartesiano G × C , infatti #G × C = #G ×#C
quindi nel nostro caso 2× 4 = 8.
Piu in generale, per determinare quante possibilita si possono formare
assegnando un primo posto ad un elemento dell’insieme A (#A = n), il
secondo posto ad un elemento dell’insieme B (#B = m), il terzo posto
ad un elemento dell’insieme C (#C = p), etc. . . bastera calcolare il
numero #A× B × C × · · · = n ×m × p × . . .
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
ESERCIZIO 1.1.1
In una scuola di pasticceria, sono iscritte 12 donne e 7 uomini. Quante
sono le possibili coppie che si possono formare se vogliamo che le coppie
siano formate sempre da un uomo ed una donna?
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Disposizioni semplici
Esercizio 2
Francesco possiede 5 foto che ha scattato durante le vacanze di Natale
e vorrebbe appenderle sulla parete della sua stanza. Purtroppo pero,
nella parete scelta ci stanno solo 3 foto. In quanti modi diversi puo
appendere le tre foto?(Chiaramente non ci sono foto ripetute ed e
importante anche l’ordine con cui le foto vengono appese.)
Per capire in quanti modi si puo compiere questa scelta pensiamo al
problema come a tre rettangoli vuoti sul muro che devono essere riempiti.
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Disposizioni semplici: Francesco e le foto.
Iniziamo con ordine, per riempire il primo rettangolo, possiamo scegliere
una delle 5 foto, e quindi abbiamo (per la prima scelta) 5 possibilita.
Ora passiamo al secondo rettangolo. Per riempirlo possiamo ora scegliere
una delle 4 foto rimaste, quindi abbiamo 4 possibilita (per la seconda
scelta).
Infine per il terzo rettangolo vuoto, ci sono rimaste 3 foto tra cui scegliere
Quindi in conclusione, le scelte effettuabili per ricoprire 3 posti sulla
parete sono 5 per il primo spazio, 4 per il secondo e 3 per il terzo, e
quindi in totale 5× 4× 3 = 60.
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Disposizioni semplici: Caso generale
In generale, si possono disporre n oggetti in k posti, in modo che sia
importante l ’ordine con cui si scelgono gli oggetti e non ci siano
ripetizioni, in n × (n − 1)× (n − 2)× . . . (n − k + 1) modi diversi.
Un raggruppamento di questo tipo e detto Disposizione semplice e si
indica con Dn,k :
Definizione (Disposizioni semplici)
Le disposizione semplici di n elementi distinti in gruppi di k (con
k ≤ n) sono tutti i gruppi di k elementi scelti tra gli n dati, che
differiscono per almeno un elemento o per l’ordine con cui sono
sistemati:
Dn,k = n × (n − 1)× (n − 2)× . . . (n − k + 1)
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Osservazione
Si noti che gli elementi dei raggruppamenti appartengono ad insiemi
diversi, mentre nelle disposizioni, appartengono tutti allo stesso insieme.
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
ESERCIZIO 1.2.1
All’universita e stato organizzato un torneo di scacchi con 15
partecipanti. Quante sono le possibili classifiche dei primi 5?
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Disposizioni con ripetizione
Esercizio 3
Le targhe italiane sono formate da due lettere iniziali, tre numeri e
due lettere finali. Supponendo di poter usare tutte le 21 lettere
dell’alfabeto italiano quante sono le possibili combinazioni con cui
iniziano le targhe? (Chiaramente sono ammesse anche ripetizioni, es.
AA ∗ ∗ ∗ ∗∗.)
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Disposizioni con ripetizione: le iniziali delle targhe.
Per capire quante stringhe di 2 lettere si possono formare con le 21
lettere procediamo come con le disposizioni semplici.
Pensiamo quindi di dover riempire una stringa con 2 posti, (2 rettangoli
vuoti).
Procediamo con ordine, per il primo rettangolo ho 21 scelte possibili,
quindi 21 possibilita e con il secondo spazio ho altre 21 possibilita, (sono
ammesse targhe AA) per un totale di 21× 21 = 212.
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Disposizioni con ripetizione: Caso generale
In generale, se dobbiamo sistemare n oggetti in k posti, in modo che sia
importante l’ordine con cui si scelgono gli oggetti e sono ammesse le
ripetizioni, il numero delle scelte effettuabili sono n × n × n × · · · × n per
k volte, ovvero nk .
Una disposizione di questo tipo e detta Disposizione con ripetizione e
si indica con D ′n,k :
Definizione (Disposizioni con ripetizione)
Le disposizione con ripetizione di n elementi distinti in gruppi di k
sono tutti i gruppi di k elementi scelti tra gli n dati, che differiscono
per almeno un elemento o per l’ordine con cui sono sistemati:
D ′n,k = nk
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
ESERCIZIO 1.3.1
Vogliamo colorare 5 sedie con 7 colori. In quanti modi diversi possiamo
farlo se lo stesso colore puo essere usato per colorare piu sedie?
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Permutazioni semplici
Esercizio 4
Si calcoli quanti sono i possibili anagrammi (anche privi di senso
compiuto) che si possono formare con le lettere della parola C I A O.
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Permutazioni semplici: gli anagrammi di C I A O.
Per rispondere a questa domanda, possiamo procedere come abbiamo
fatto sino ad ora e contare le possibilita di scelta passo passo.
Il fatto che si tratti di anagrammi, ci dice implicitamente che non sono
ammesse ripetizioni, per cui dobbiamo sistemare le nostre 4 lettere in 4
rettangoli senza ripetizioni di lettere.
Per occupare il primo spazio abbiamo 4 scelte possibili, per il secondo
spazio avremo 3 possibilita (non possiamo usare la stessa lettera scelta
per il primo spazio, qualunque lettera sia), per il terzo spazio avremmo 2
possibilita e per il quarto spazio, avremo 1 scelta obbligata, perche
dovremmo usare necessariamente l’unica lettera non ancora utilizzata,
per un totale di 4× 3× 2× 1 = 24 possibilita.
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Permutazioni semplici: Caso generale
OsservazioneSi osservi che si tratta di una disposizione semplice di n oggetti in gruppidi n, ovvero Dn,n, ma quando il numero degli oggetti in ogni gruppocorrisponde al numero di oggetti totali, ci troviamo piu correttamente aparlare di permutazioni e non di disposizioni perche quello che distingueun gruppo da un altro e solamente l’ordine con cui prendiamo gli noggetti.
Definizione (Fattoriale)Dato un numero intero positivo n si chiama fattoriale di n, e si denotacon n! il numero
n! = n · (n − 1) · (n − 2) · (n − 3) . . . 2 · 1.
Per definizione si impone che 0! = 1.
Esempio 1Il fattoriale di 5 e il numero 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120, il fattoriale di 4 e4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24.
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Permutazioni semplici: Caso generale
Definizione (Permutazioni semplici)
Le permutazioni semplici di n elementi distinti sono tutti i gruppi
costituiti da tutti gli n elementi che differiscono solamente per l’ordine
con cui sono sistemati:
Pn = n!
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
ESERCIZIO 1.4.1
In una gara partecipano 8 concorrenti. In quanti modi puo presentarsi la
classifica finale?
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Permutazioni con ripetizione
Esercizio 5
Si calcoli quanti sono i possibili anagrammi (anche privi di senso
compiuto) che si possono formare con le lettere della parola C A S A.
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Permutazioni con ripetizione: gli anagrammi di C A S A.
Anche in questo caso, poiche siamo considerando anagrammi, si tratta di
capire come sistemare le quatto lettere della parola C A S A in gruppi di
4 lettere, ma quando scegliamo la lettera A, che compare due volte, non
siamo in grado di capire quale delle due A stiamo usando perche sono
indistinguibili.
Se le A fossero distinguibili (diciamo A1 e A2) le permutazioni (semplici)
sarebbero 4! e quindi un totale di 24 anagrammi.
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Permutazioni con ripetizione: gli anagrammi di C A S A.
Nel nostro caso pero, poiche le lettere A sono indistinguibili si avra, ad
esempio, che i due anagrammi C A2 S A1 e C A1 S A2 sono la stessa
permutazione e cosı anche per A1 S A2 C e A2 S A1 C, etc... Osservando
che la prima si ottiene dalle seconda permutando le A, si puo concludere
che gli anagrammi uguali sono in numero pari alle permutazioni tra le
lettere indistinguibili. Dovremmo quindi dividere il numero di tutte le
permutazioni per il numero di permutazioni delle lettere indistinguibili.
Nel nostro caso quindi gli anagrammi, tutti diversi, sono 4!2! = 24
2 = 12.
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Permutazioni con ripetizione: Caso generale
In generale, se dobbiamo contare in quanti modi si possono ordinare n
oggetti in gruppi da n, dove k di questi sono indistinguibili, dobbiamo
contare tutte le permutazioni di n oggetti e dividere per le permutazioni
dei k oggetti indistinguibili.
Definizione (Permutazioni con ripetizione)
Le permutazioni con ripetizione di n elementi non necessariamente
distinti in gruppi di n con k di questi ripetuti che differiscono solo per
l’ordine con cui sono sistemati:
P(k)n =
n!
k!
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Permutazioni con ripetizione: Caso generale
Osservazione
Nel caso in cui gli elementi indistinguibili fossero di piu tipi, ad
esempio gli anagrammi della parola T R A T T O R E, dove le lettere
ripetute sono sia la T (ripetuta 3 volte), sia la R (ripetuta 2) volte, si
dividera sia per 3! (permutazioni della T) sia per 2! (permutazioni
della R). In conclusione gli anagrammi della parola T R A T T O R E
sono P(3,2)8 = 8!
3!2! = 8·7·6·5·4·3·23·2·2 = 3360
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
ESERCIZIO 1.5.3
Una moneta viene lanciata otto volte. In quanti modi si puo presentare
una successione che contiene 6 teste e 2 croci?
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Combinazioni semplici
Sino ad ora ci siamo occupati sempre di contare gruppi di oggetti in cui
contava l’ordine con cui venivano sistemati, (nelle permutazioni i gruppi
si differenziavano solo per l’ordine), ora ci occuperemo di contare gruppi
in cui l’ordine non ha importanza.
Esercizio 6
Una classe di 10 studenti deve scegliere un gruppo di 3 studenti come
rappresentanza della classe alle Olimpiadi di Matematica. In quanti
modi diversi si puo scegliere questo gruppo di rappresentanza?
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Combinazioni semplici: rappresentanza di studenti.
La prima osservazione da fare, e che chiaramente non ha importanza
l’ordine con cui si scelgono i rappresentanti, ed e chiaro anche che ogni
ragazzo puo essere scelto una sola volta come componente della
rappresentanza (non sono ammesse ripetizioni.)
Iniziamo a contare in quanti modi possiamo scegliere i 3 studenti.
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Combinazioni semplici: rappresentanza di studenti.
Per visualizzare la scelta, pensiamo di dover occupare 3 sedie vuote.
Per occupare la prima sedia, abbiamo in tutto 10 possibilita. Scelto il
primo studente, per occupare la seconda sedia, abbiamo 9 possibilita ed
infine per la terza sedia ci sono rimaste 8 possibilita di scelta. In totale le
possibilita sono 10 · 9 · 8, ma non stiamo tenendo conto del fatto che se
ad esempio ho scelto Marco per la prima sedia, Luca per la seconda e
Irene per la terza, la rappresentanza e la stessa di scegliere prima Irene
poi Marco e poi Luca, o prima Luca poi Irene e per ultimo Marco.
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Combinazioni semplici: rappresentanza di studenti.
Quello che dobbiamo fare, (poiche non ci interessa l’ordine) e dividere
per le permutazioni dei 3 elementi scelti (che sono esattamente 3!).
Quindi i modi di scegliere 3 studenti in un gruppo di 10 senza tener conto
dell’ordine, sono 10·9·83! .
Si osservi che tale numero puo essere scritto anche come
10 · 9 · 83!
=10 · 9 · 8
3!
7!
7!=
10!
7!3!.
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Combinazioni semplici: Caso generale
In generale, se dobbiamo scegliere k oggetti in un insieme di n oggetti, in
modo che non sia importante l’ordine con cui si scelgono gli oggetti e
non ci sono ripetizioni di oggetti, il numero delle scelte sono n!(n−k)!k! .
Un raggruppamento di questo tipo e detto Combinazione semplice e si
indica con Cn,k .
Definizione ( Combinazioni semplici)
Le combinazioni semplici di n elementi distinti in gruppi di k (con
k ≤ n) sono tutti i gruppi di k elementi scelti tra gli n dati, che
differiscono per almeno un elemento e per i quali non conta l’ordine
con cui sono sistemati:
Cn,k =n!
(n − k)!k!29 / 60
Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Coefficiente Binomiale
Un altro modo di rappresentare le combinazioni semplici e attraverso il
Definizione (Coefficiente Binomiale)
Dati due numeri interi positivo n e k (con k ≤ n) si chiama
coefficiente binomiale o combinazione di n elementi a gruppi di k, e si
denota con(nk
)il numero (
n
k
)=
n!
(n − k)!k!.
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Coefficiente Binomiale
I numeri(nk
)sono proprio i coefficienti dello sviluppo di un binomio.
Consideriamo, ad esempio, il binomio (a + b) e le sue potenze:
(a + b)0 = 1,
(a + b)1 = a + b,
(a + b)2 = a2 + 2ab + b3,
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3,
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab2 + b4,
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5,
(a + b)6 = . . . . . .
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Coefficiente Binomiale
Per esempio,
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5,
Si osservi che i coefficienti ordinati sono 1, 5, 10, 10, 5, 1, i quali
corrispondono esattamente ai coefficienti binomiali(50
),(51
),(52
),(53
),(54
),(55
), infatti(
50
)= 1,
(51
)= 5,
(52
)= 10,
(53
)= 10,
(54
)= 5,
(55
)= 1.
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Coefficiente Binomiale
Piu in generale, lo sviluppo di un binomio alla potenza n e dato da :
(a+ b)n =n∑
k=0
(nk
)an−kbk
= an +(n1
)an−1b1 +
(n2
)an−2b2 + · · ·+
( n
n − 2
)a2bn−2 +
( n
n − 1
)a1bn−1 + bn.
(1)
Nella quale,(n0
)=
(nn
)= 1.
Ad esempio, se si vuole calcolare la potenza (a + b)7, utilizzando la
formula (1) si avra
(a+ b)7 =a7 +(71
)a6b1 +
(72
)a5b2 +
(73
)a4b3 +
(74
)a3b4 +
(75
)a2b5 +
(76
)a1b6 + b7
=a7 + 7a6b + 21a5b2 + 35a4b3 + 35a3b4 + 21a2b5 + 7ab6 + b7.
Si osservi che alcuni coefficienti binomiali sono uguali, questo non e un
caso.
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Coefficiente Binomiale
Infatti, si puo dimostrare, che vale la seguente(n
k
)=
(n
n − k
)Per convincersi di questo fatto, si pensi al fatto che, se abbiano n oggetti
e vogliamo sapere quanti gruppi di k oggetti si possono fare, per ogni
gruppo, restano n − k oggetti e quindi potremmo equivalentemente
contare quanti gruppi di n − k oggetti si possono fare.
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Combinazioni semplici: Ricapitolazione
In generale, se dobbiamo scegliere k oggetti in un insieme di n oggetti, in
modo che non sia importante l’ordine con cui si scelgono gli oggetti e
non ci sono ripetizioni di oggetti, il numero delle scelte sono n!(n−k)!k! .
Un raggruppamento di questo tipo e detto Combinazione semplice e si
indica con Cn,k .
Definizione ( Combinazioni semplici)
Le combinazioni semplici di n elementi distinti in gruppi di k (con
k ≤ n) sono tutti i gruppi di k elementi scelti tra gli n dati, che
differiscono per almeno un elemento e per i quali non e importante
l’ordine con cui sono sistemati:
Cn,k =
(n
k
)35 / 60
Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Combinazioni con ripetizione
Esercizio 7
Supponiamo di lanciare una moneta per 4 volte consecutive, e
segnano su un foglio una T se la moneta e atterrata sulla faccia con la
testa oppure C se la moneta e caduta con la faccia che rappresenta la
croce. Quante sono le possibili stringe di 4 lettere che rappresentano i
4 lanci, a prescindere dall’ordine con cui si sono presentate le facce?
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Combinazioni con ripetizione: Testa o Croce?.
Per trovare quante sono le possibili combinazioni, possiamo iniziare a
contare le possibilita lancio per lancio.
Con il primo lancio, abbiamo 2 possibili risultati:
T C.
Passiamo al secondo lancio, (ricordando che non ci interessa l’ordine)
possiamo ottenere i 3 seguenti risultati:
TT TC CC.
Nel terzo lancio, le possibilita diventano 4 e sono:
TTT TTC TCC CCC
ed infine, sempre per lo stesso principio, con il 4 lancio abbiamo un totale
di 5 risultati possibili:
TTTT TTTC TTCC TCCC CCCC.
Quindi, con il calcolo esplicito, sappiamo che le combinazioni possibili
che si possono ottenere con 2 elementi (T o C) in gruppi di 4, dove sono
ammesse ripetizioni e non ci interessa l’ordine sono esattamente 5.
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Combinazioni con ripetizione: Caso generale
In generale, il calcolo esplicito puo essere particolarmente laborioso. Un
raggruppamento di questo tipo e detto Combinazione con ripetizione e
si indica con C ′n,k .
Definizione (Combinazioni con ripetizione)
Le combinazioni con ripetizioni di n elementi distinti in gruppi di k
(con k ≤ n oppure k ≥ n oppure k = n) sono tutti i gruppi di k
elementi che si possono formare nel quale ogni elemento puo essere
ripetuto al massimo k volte, non ci interessa l’ordine con cui si
ripetono ed ogni elemento e ripetuto un numero diverso di volte.
C ′n,k =
(n + k − 1
k
)38 / 60
Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Combinazioni con ripetizione: Caso generale
Riprendendo l’esercizio precedente, se vogliamo fare gruppi di 4 oggetti
(lancio la moneta 4 volte) ogni elemento potra comparire al massimo 4
volte e dovro porre k = 4. Gli oggetti tra cui scelgo sono 2, poiche posso
scegliere solamente T oppure C avro che n = 2.
Utilizzando la formula si avra che i raggruppamenti di 2 oggetti a gruppi
di 4 che si possono ottenere sono
C ′2,4 =
(2 + 4− 1
4
)=
(5
4
)=
5!
1!4!= 5,
esattamente come avevamo trovato con il calcolo esplicito.
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Esercizio 1.2.2
Quante sigle di 5 elementi si possono formare in modo che i primi tre
posti siano occupati da 3 diverse lettere dell’alfabeto italiano (considerate
21 lettere) e gli ultimi due da due cifre diverse.
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Esercizio 1.2.3
Quanti sono i numeri di tre cifre tutte diverse tra loro, che si possono
formare con le 10 cifre decimali?(Attenzione!!! i numeri non possono
iniziare per zero, perche i numeri di tre cifre con lo zero inizialie sono in
realta numeri di due cifre.)
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Esercizio 1.2.4
Quanti sono i numeri con 4 cifre tutti diversi?
42 / 60
Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Esercizio 1.2.5
In quanti modi diversi possono sedersi 8 persone in 5 posti?
43 / 60
Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Esercizio 1.2.6
Quanti numeri pari di tre cifre, tutte diverse, si possono scrivere
utilizzando le cifre {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}?
44 / 60
Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Esercizio 1.2.7
In quanti modi si possono scegliere 3 persone per fare un presidente, un
vice-presidente e un segretario, in un gruppo di 10 persone, se una stessa
persona non puo ricoprire piu ruoli?
45 / 60
Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Esercizio 1.3.2
Quanti numeri di tre cifre, non necessariamente distinte, si possono
formare con gli elementi dell’insieme {3, 5, 6, 7, 8}?
46 / 60
Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Esercizio 1.3.4
Calcola quante possibili targhe di 7 elementi si possono formare se le
prime due posizioni devono essere occupate da due lettere dell’alfabeto
inglese (anche ripetute), il terzo, quarto e quinto posto deve essere
occupato da una delle 10 cifre (anche ripetuti) e gli ultimi due posti dalle
lettere dell’alfabeto inglese anche ripetute. (Ricorda che le lettere
dell’alfabeto inglese sono 26)
47 / 60
Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Esercizio 1.4.2
In quanti modi diversi si possono mettere in fila tre bambini e quattro
bambine? E in quanti modo si possono sistemare se le bambine vogliono
stare tutte vicine e devono sistemarsi per prime?
48 / 60
Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Esercizio 1.4.3
Quanti anagrammi, anche privi di senso, si possono formare con le lettere
della parola S T U F A? e con le lettere della parola M A R E?
49 / 60
Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Esercizio 1.4.4
Ad un congresso, 9 professori devono sedersi intorno a un tavolo rotondo.
In quanti modi possono prendere posto? Se le stesse persone attendono
in fila davanti all’ingresso della sala, in quanti modi si possono disporre?
50 / 60
Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Esercizio 1.5.1
Quanti anagrammi si possono formare con le lettere della parola D A R I
A? e con le lettere della parola D O T T O R E S S A? e con le lettere
della parola R A M A R R O?
51 / 60
Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Esercizio 1.5.2
Quanti anagrammi si possono formare con le lettere della parola S A M A
N T A?
52 / 60
Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Una moneta viene lanciata otto volte. In quanti modi si puo presentare
una successione che contiene 5 teste e 3 croci?
53 / 60
Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Esercizio 1.5.4
Quanti sono gli anagrammi, anche privi di significato, della parola C I O
C C O L A T A? Quanti finiscono per A T A? Quanti iniziano con una
consonante?
54 / 60
Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Esercizio 1.6.1
Un’urna contiene 9 palline numerate di cui 6 rosse e 3 bianche. Si
estraggono contemporaneamente 5 palline. Calcoliamo:
I quanti gruppi diversi di cinque palline si possono avere;
I quanti di cinque palline tutte rosse;
I quanti di quattro rosse e una bianca;
I quanti di tre rosse e due bianche;
I quanti di due rosse e tre bianche.
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Esercizio 1.6.3
Ho due camion e un’automobile e devo formare una squadra di tre autisti
che guidino ciascuno uno degli automezzi. Posso scegliere fra 10 persone,
di cui 6 hanno la patente B e 4 hanno la patente C. Chi ha la patente C
puo guidare sia i camion che le automobili; chi ha la patente B puo
guidare le automobili, ma non puo guidare camion. Quante squadre
diverse posso formare?
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Esercizio 1.6.4
Un gruppo di 10 professori devono scegliere 3 di loro per formare un
direttivo, costituito da un presidente, un vice-presidente e un segretario.
Devono inoltre, scegliere tra i restanti una commissione di tre membri. In
quanti modi diversi possono essere fatte queste scelte?
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Esercizio 1.6.5
Devo preparare 8 vaschette di gelato, con gusti tutti diversi tra loro: tra
essi, stracciatella e pistacchio. In quanti modi diversi posso servire gelati
con tre gusti differenti, se non voglio mettere insieme stracciatella e
pistacchio nella stessa vaschetta?
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Esercizio 1.7.1
Una pasticceria produce 5 tipologie di pasticcini, a, b, c , d , e. In quanti
modi diversi si puo confezionare un vassoio con 8 di queste paste? (Qual
e il numero massimo di ripetizioni per ogni tipo di pasticcino?)
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Lezione MD:Calcolo Combinatorio
Esercizio 1.7.2
Lanciando contemporaneamente quattro dadi uguali, quante sono le
combinazioni con cui si possono presentare le sei facce?(Qual e il numero
massimo di ripetizioni per ogni faccia del dado?)
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