Meccanica 531 marzo 2011
Lavoro. Principio di sovrapposizionePotenza. Energia cineticaEnergia potenzialeLavoro della forza d’attritoForze conservativeEnergia meccanica e sua conservazioneMomento angolareMomento di forzaMomento dell’impulso
Lavoro
• Supponiamo di avere un punto materiale P di massa m, soggetto ad una forza F
• Supponiamo di spostarlo da un punto dello spazio A ad un punto B
• Il lavoro svolto dalla forza F nello spostamento di P da A a B è una grandezza meccanica scalare definita come
sdFWB
A
AB
A B
F
P
ds
2
Lavoro
• Le dimensioni fisiche del lavoro sono
• E l’unità di misura è il newton metro
• che prende il nome di joule (J)
22 TMLLFW
JmNWu
3
Principio di sovrapposizione
• Se la forza è la risultante di n forze
• Si può applicare il principio di sovrapposizione per calcolare il lavoro
• Cioè il lavoro complessivo è uguale alla somma dei lavori delle singole forze
F
F k
k1,...n
nkk
nk
B
A
k
B
A nkk
B
A nkk
B
A
AB
WsdF
sdFsdFsdFW
,...1,...1
,...1,...1
4
Potenza
• La potenza media è una grandezza meccanica scalare definita come il rapporto tra il lavoro compiuto e l’intervallo di tempo impiegato
• Grandezza importante per caratterizzare le prestazioni di una macchina
• Accanto alla potenza media è definita la potenza istantanea
t
WP
dt
dWP
5
Potenza
• Le dimensioni fisiche della potenza sono
• E l’unità di misura è il joule al secondo
• che prende il nome di watt (W)
32/ TMLTWP
u P J /s W
6
Potenza
• Dall’espressione infinitesima del lavoro, possiamo scrivere la potenza come
vFdt
sdF
dt
sdF
dt
dWP
7
Energia cinetica • Consideriamo il lavoro infinitesimo e riscriviamolo
usando la 2a legge
• Per trovare il valore del prodotto scalare differenziamo i due membri dell’identita` seguente
• Da cui
vdvmdt
sdpdsd
dt
pdsdFdW
22 vdvd
8
vdvvvdvd 22 vdvvd 22
22
1vdvdv
Energia cinetica
• Abbiamo infine• Per una variazione finita dobbiamo integrare
tra il punto iniziale e il punto finale
• La quantità prende il nome di energia cinetica
2
2
1mvdvdvmdW
9
222
2
1
2
1
2
1AB
B
A
B
A
mvmvmvddWW
K 1
2mv 2
Teorema dell’energia cinetica
• Il teorema appena dimostrato è detto teorema dell’energia cinetica: il lavoro fatto dalla forza sul punto materiale è uguale alla variazione di energia cinetica del corpo stesso
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Energia cinetica
• Vediamo cosa succede geometricamente• Scomponiamo i due vettori secondo la
direzione tangente e normale localmente alla traiettoria
• Otteniamo• siccome vt=v, possiamo
concludere
v dv
dvt
dvn
11
v d
v v tdv t
tvdvvdv
Energia cinetica
• Consideriamo due casi limite• Moto uniformemente accelerato
• Moto circolare uniforme
12
v
dv=dvt
vdv=dvn
vdvvdvvdv t
0 tvdvvdv
vdvvd 22
02 vd
Energia cinetica e lavoro
• Il lavoro è conseguenza dell’interazione del sistema con l’ambiente
• Si parla pertanto di lavoro scambiato tra sistema e ambiente e non di lavoro posseduto dal sistema
• Si parla invece di energia posseduta dal sistema
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Energia cinetica
• Troviamo le dimensioni dell’energia cinetica
sono ovviamente uguali a quelle del lavoro
• L’unità di misura dell’energia è, di nuovo, il joule
K M V 2 ML2T 2
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Energia cinetica e quantità di moto
• Ricordiamo le espressioni di queste due grandezze
• Il modulo della QM e l’energia cinetica sono legati dalle relazioni
K 1
2mv 2
p m
v
K p2
2m
p 2mK
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Energia cinetica in relativita`
• Il lavoro elementare si esprime ora
• E il differenziale della QM e`
• Il lavoro finito e`
vpddt
sdpdsd
dt
pdsdFdW
vdmvmdvvmdpd
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
vdvmdmv
vdvmdvvmvvdmvmddWW
2
16
Energia cinetica in relativita`
• Esprimiamo v in funzione di
• Otteniamo
• Il lavoro si puo` di nuovo interpretare come variazione di energia cinetica
dv
cdv
3
2
222 11
cv
AB
B
A
B
A
B
A
mcdmcdc
mdmcW
22
2
2
2
2 11
AB KKW 17
Energia cinetica in relativita`
• E quindi l’energia cinetica si puo` scrivere come
• Per determinare la costante poniamo v=0, in tal caso =1 e K=0, ne segue
• L’energia cinetica e` dunque• In relativita` si introduce anche l’energia
• Il termine e` la cosiddetta energia a riposo, cioe` quella posseduta dal corpo fermo e stabilisce l’equivalenza tra massa ed energia
.2 constmcK
2. mcconst 12 mcK
22 mcmcKE 2mc
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Lavoro della forza peso
• Dato un punto di massa m nel campo di gravita`, il lavoro del peso nello spostamento da un punto A ad un punto B e`
• Siccome P=mg e` costante e g ha solo componente z, pari a –g, abbiamo
• Il lavoro non dipende dalla traiettoria seguita dal punto per andare da A a B, ma solo dagli estremi A e B
B
A
sdPW
ABABAB
B
A
zzmgrrgmrPsdPW
A
B
z
P
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Energia potenziale
• Introducendo la nuova grandezza (omogenea ad un’energia)
• il lavoro diventa
• U prende il nome di energia potenziale della forza peso
• Il lavoro e` dunque uguale all’opposto della variazione di energia potenziale tra stato finale e stato iniziale
mgzU
ABABAB UUmgzmgzzzmgW
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Lavoro della forza elastica
• Dato un punto di massa m soggetto ad una forza elastica, il lavoro nello spostamento da un punto A ad un punto B e`
B
A
AB
B
A
B
A
e rrkrdrksdrksdFW 22
2
1
A BFe
P ds
dr
r21
Energia potenziale
• Introducendo la nuova grandezza (omogenea ad un’energia)
• il lavoro diventa
• U prende il nome di energia potenziale della forza elastica
• Il lavoro e`, di nuovo, uguale all’opposto della variazione di energia potenziale tra stato finale e stato iniziale
2
2
1rmU
ABABAB UUrkrkrrkW 2222
2
1
2
1
2
1
22
Lavoro della forza d’attrito
• Dato un punto di massa m soggetto ad una forza d’attrito dinamica, il lavoro nello spostamento da un punto A ad un punto B e`
• La direzione della forza e` opposta a quella dello spostamento. Il lavoro e` (supposta N costante)
• Il lavoro della forza d’attrito e` sempre negativo: se si cambia il verso dello spostamento, anche la forza cambia verso
B
A
d
B
A
d sdsNsdFW
LNdsNsdsNW d
B
A
d
B
A
d
ABFd
P ds
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Lavoro della forza d’attrito
• Poiche’ il lavoro della forza d’attrito dipende da L , la lunghezza del percorso fatto dal punto, ora il lavoro dipende dalla traiettoria e non solo dai punti estremi A e B
• A differenza del caso della forza peso ed elastica, non e` ora possibile esprimere il lavoro come differenza tra i valori che una funzione della posizione assume negli estremi
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Forze conservative
• Se il lavoro dipende solo dalle coordinate dei punti iniziale e finale, allora qualunque sia il percorso su cui si calcola il lavoro, purche’ i punti estremi siano gli stessi, il risultato sara` il medesimo
• Inoltre se si cambia il verso di percorrenza, l’integrale cambia segno (cio` e` dovuto al fatto che il prodotto scalare cambia segno)
BA
C
BA
C
sdFsdF21
AB
C
BA
C
sdFsdF
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Forze conservative
• Se calcoliamo il lavoro lungo un percorso chiuso
otteniamo zero: questo e` un modo alternativo di esprimere lo stesso fatto
• Forze siffatte si dicono conservative
0212121
BA
C
BA
C
AB
C
BA
CCCC
sdFsdFsdFsdFsdFsdF
C C1C2
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Forze dissipative
• Le forze di attrito non soddisfano questi requisiti, abbiamo infatti visto che il lavoro che producono e` sempre negativo
• Queste forze si dicono dissipative
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Esercizi
• Un corpo di massa m=15 kg si muove su un piano orizzontale, soggetto ad una forza motrice F=10 N ed a una forza d’attrito dinamico A con coefficiente di attrito =0.06
• Trovare il lavoro fatto da ciascuna forza in un intervallo di tempo t
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Esercizi
• N. 4.1 pag. 105 MNV
• N. 4.3 pag. 105 MNV
• N. 4.14 pag. 106 MNV
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Energia potenziale
• Per le forze conservative esiste dunque una funzione U delle coordinate degli stati iniziale e finale, cui diamo il nome di energia potenziale
• In termini infinitesimi
WsdFUUUB
A
AB
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dWsdFdU
Energia meccanica
• Ricordiamo il teorema dell’energia cinetica, che vale per una forza qualunque
• Per forze conservative vale inoltre
• Confrontando le due equazioni troviamo
AB KKW
AB UUW
BBAA UKUK
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Conservazione dell’energia meccanica
• Introducendo la nuova grandezza
• che chiamiamo energia meccanica, l’equazione diventa
• Cio` significa che l’energia meccanica (cioe` la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale) di un punto materiale soggetto a forze conservative si conserva
UKE
BA EE
32
Lavoro nel caso generale
• Se sono attive sia forze conservative che non conservative, il lavoro e`
• Applicando il teorema dell’energia cinetica (sempre valido)
• Ed esprimendo il lavoro conservativo in termini di energia potenziale
• Otteniamo per il lavoro non conservativo
• Cioe`: se vi sono forze non conservative l’energia meccanica non si conserva e la sua variazione e` uguale al lavoro di tali forze
ncc WWW
AB KKW
ABc UUW
ABnc EEW
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Vettori momento• Per alcune grandezze vettoriali, associabili
al PM, possiamo definire grandezze vettoriali derivate che sono i momenti delle precedenti
• Per questo occorre scegliere un punto arbitrario dello spazio, detto polo, rispetto a cui e` definito il vettore posizione r del PM
• Il momento di una grandezza w e` definito come il prodotto vettoriale
• Il polo non necessariamente dev’essere fermo
wrm
w
Or
PM
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Momento angolare
• E` il momento del vettore quantita` di moto del punto materiale:
• E` una grandezza vettoriale perpendicolare sia a r che a p
• Dimensioni fisiche:• Unita` di misura:
prLO
MTLpLL 12 smNsmkgLu /2
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p
Or
PM
Cambiamento di polo
• Cambiando polo il momento angolare diviene
• Il valore del momento dipende dunque dal polo scelto
prLprprprrprL QOQQQ
'
r’p Q
OrQ
r
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Momento di forza
• E` il momento del vettore forza agente sul punto materiale:
• E` una grandezza vettoriale perpendicolare sia a r che a F
• Dimensioni fisiche:• Unita` di misura: • Se si cambia polo il momento diviene
FrO
MTLFL 22 mNsmkgu 22 /
FrFrFrFrrFr QOQQQ
'
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Momento risultante
• Vale il principio di sovrapposizione: se la forza complessiva R e` la risultante di piu` forze applicate tutte allo stesso punto materiale:
• il momento risultante (cioe` la somma dei momenti di tutte le forze) e` uguale al momento della risultante (cioe` al momento della somma di tutte le forze)
RrFrFri
ii
ii
i
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Teorema del momento angolare
• Calcoliamo la derivata temporale del momento angolare di un punto materiale
• Se il polo Q e` fisso rispetto al sistema di riferimento, allora la derivata temporale di r e` uguale alla velocita` del punto e se il sistema e` inerziale la derivata di p e` uguale alla forza agente sul punto
dt
pdrp
dt
rdpr
dt
d
dt
Ld Q
Frvmvdt
Ld Q
rp Q
OrO
r’
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Teorema del momento angolare
• Il primo prodotto vettoriale e` nullo, il secondo e` il momento di forza (calcolato rispetto allo stesso polo), quindi otteniamo il teorema del momento angolare (MA)
dt
Ld
Conservazione del MA
• Se il momento di forza e` nullo (rispetto al polo scelto) allora il momento angolare si conserva (rispetto allo stesso polo) e viceversa
0Q 0dt
Ld Q
.constLQ
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Momento dell’impulso
• Riscriviamo il teorema del momento angolare in forma differenziale
e integriamo da un’istante iniziale ad uno finale
• Cio` significa che per produrre una variazione di momento angolare e` necessaria l’azione, su un intervallo di tempo, di un momento di forza
Lddt
if
tt
LLLddt
00
42
Momento dell’impulso
• Nel caso degli urti, la variazione di momento angolare
si puo` esprimere in termini dell’impulso prodotto dalla forza, purche’ l’intervallo di tempo sia abbastanza piccolo affinche’ il vettore r non cambi apprezzabilmente
• Questo e` il teorema del momento dell’impulso
tt
if dtFrdtLL00
JrdtFrdtFrLLtt
if
00
43