METODOS DE INTEGRACION:
*POR PARTES*
CALCULO INTEGRAL
π’ ππ£ = π’π£ β π£ ππ’
ESTA EXPRESION SE LE DENOMINA FORMULA DE INTEGRACIO POR PARTES
CUANDO NO SE PUEDE INTEGRAR DIRECTAMENTE π’ ππ£, LA FORMULA DE
INTEGRACION POR PARTES HACE QUE SU INTEGRACION DEPENDA DE ππ£ Y π’ ππ£,
QUE SUELEN SER FORMAS FACILES Y POSIBLES DE INTEGRACION.
PARA APLICAR ESTA FORMULA, ES NECESARIO DESCOMPONER LA DIFERENCIAL
DADA EN DOS FACTORES, ES DECIR, EN π’ Y ππ£. AUNQUE NO EXISTEN
INSTRUCCIONES GENERALES QUE FACILITEN LA ELECCION DE DICHOS
FACTORES, SE RECOMIENDA LOS SIGUIENTES PASOS PARA ESCOGER LOS
FACTORES π’ ππ£.
1. dx ES SIEMPRE UNA PARTE DE dv
2. DEBE SER POSIBLE INTEGRAR dv
3. CUANDO LA EXPRESION PARA INTEGRAR ES EL PRODUCTO DE DOS FUNCIONES, LO
MEJOR ES SELECCIONAR LA DE APARIENCIA MAS COMPLEJA, CON TAL QUE PUEDA
INTEGRARSE, COMO PARTE DE dv
PARA ELLO SE OBTENDRA LO SIGUIENTE:
I L A T E
π₯ πππ π₯ ππ₯
SOLUCION:
POR LA PALABRA ILATE VEMOS QUE βAβ (ARITMETICA) VA ANTES DE LA βTβ
(TRIGONOMETRICA), POR LO TANTO SE LE COSIDERARΓ A x COMO u Y A
cosxdx COMO dv:
π’ = π₯ ππ£ = cos π₯ ππ₯
ππ’ = ππ₯ ππ£ = cos π₯ ππ₯
π£ = π ππ π₯
DE ACUERDO CON LA FORMULA:
π’ ππ£ = π’π£ β π£ ππ’
SUSTITUYENDO VALORES, SE OBTIENE LO SIGUIENTE:
π₯ πππ π₯ ππ₯ = π₯ π ππ π₯ β π ππ π₯ ππ₯
= π₯ β π ππ π₯ β π ππ π₯ ππ₯
AHORA TENEMOS ESTA INTEGRAL:
π ππ π₯ ππ₯
EN DONDE SE TIENE QUE INTEGRAR, CUYO RESULTADO ES:
π ππ π₯ ππ₯ = βcos π₯
Y VOLVIENDO CON EL DESARROLLO:
π₯ πππ π₯ ππ₯ = π₯ β π ππ π₯ β π ππ π₯ ππ₯ = π₯ β π ππ π₯ β β cos π₯ + πΆ
= π₯ β π πππ₯ + πππ π₯ + πΆ
Y POR LO TANTO EL RESULTADO FINAL ES:
π₯ πππ π₯ ππ₯ = π₯π ππ π₯ + πππ π₯ + πΆ
π§π ln π₯ ππ₯
SOLUCION:
POR ILATE VEMOS QUE βLβ (LOGARITMICA) ES PRIMERO QUE βEβ
(EXPONENCIAL) ASI QUE, DEBEMOS DE TENER EN CUENTA LOS SIGUIENTES
DATOS:
π’ = ln π§ ππ£ = π§π ππ§
ππ’ =ππ§
π§ ππ£ = π§π ππ§
π£ =π§π+1
π + 1
Y SUSTITUIMOS LOS SIGUIENTES DATOS:
π§π ln π§ ππ§ = ln π§π§π+1
π + 1β
π§π+1
π + 1
ππ§
π§= ln π§
π§π+1
π + 1β
1
π + 1 π§π+1
ππ§
π§
= ln π§π§π+1
π + 1β
1
π + 1 π§π+1 π§β1 ππ§ = ln π§
π§π+1
π + 1β
1
π + 1 π§π+1β1 ππ§
= ln π§π§π+1
π + 1β
1
π + 1 π§π ππ§ = ln π§
π§π+1
π + 1β
1
π + 1
π§π+1
π + 1+ πΆ
= ln π§π§π+1
π + 1β
π§π+1
π + 1 2+ πΆ
=π§π+1
π + 1ln π§ β
1
π + 1+ πΆ
ASI QUE POR LO TANTO:
π§π ln π§ ππ§ =π§π+1
π + 1ln π§ β
1
π + 1+ πΆ
πππ tan π₯ ππ₯
COMO NO HAY OTRO PRODUCTO MAS DE DOS FUNCIONES MAS QUE dx, POR
ILATE, TENDREMOS A βarctanxβ COMO u Y βdxβ COMO dv. OBTENGAMOS LOS
SIGUIENTES DATOS:
π’ = πππ tan π₯ ππ£ = ππ₯
ππ’ =ππ₯
1 + π₯2 ππ£ = ππ₯
π£ = π₯
Y CONTINAMOS CON SUSTITUIR VALORES:
πππ tan π₯ ππ₯ = arctan π₯ π₯ β π₯ππ₯
1 + π₯2= π₯ arctan π₯ β π₯
ππ₯
1 + π₯2
PARA FINALIZAR SOLO RESOLVEREMOS LA INTEGRAL:
π₯ππ₯
1 + π₯2
π’ = 1 + π₯2
ππ’ = 2π₯ππ₯
π₯ππ₯
1 + π₯2=1
2 2π₯ππ₯
1 + π₯2=1
2ln 1 + π₯2 + πΆ = ln 1 + π₯2
VOLVIENDO AL DESARROLLO:
πππ tan π₯ ππ₯ = π₯ arctanπ₯ β π₯ππ₯
1 + π₯2= π₯ arctan π₯ β ln 1 + π₯2 + πΆ
POR LO TANTO, EL RESULTADO FINAL ES:
πππ tan π₯ ππ₯ = π₯ arctanπ₯ β ln 1 + π₯2 + πΆ
π₯2πππ₯ ππ₯
SOLUCION:
TENEMOS QUE HAY UNA ARITMETICA (π₯2) Y UNA EXPONENCIAL (ππ₯) Y POR
ILATE, βAβ ES PRIMERO QUE βEβ, ASI QUE,OBTENGAMOS LOS DATOS SIGUIENTES:
π’ = π₯2 ππ£ = πππ₯ ππ₯
ππ’ = 2π₯ ππ₯ ππ£ = πππ₯ ππ₯ =1
π πππ₯ π ππ₯
π£ =πππ₯
π ln π
Y COMENZAMOS CON SUSTITUIR LOS VALORES:
π₯2ππ₯ ππ₯ = π₯2πππ₯
π(ln πβ
πππ₯
π(ln π2π₯ ππ₯ =
π₯2πππ₯
π(ln πβ
πππ₯
π(ln π2π₯ ππ₯
PARA CONTINUAR, NECESITAMOS RESOLVER LA INTEGRAL:
πππ₯
π(ln π2π₯ ππ₯ =
1
π
πππ₯
π(ln π2ππ₯ ππ₯ =
2
π(ln π πππ₯ π₯ ππ₯
2
π ln π πππ₯ π₯ ππ₯
PERO DA EL CASO DE QUE NUEVAMENTE HAY QUE REALIZAR LA INTEGRACION
POR PARTES DEBIDO A QUE HAY UN PRODUCTO DE FUNCIONES. OBTENGAMOS
LOS SIGUIENTE DATOS:
π’ = π₯ ππ£ = πππ₯ ππ₯
ππ’ = ππ₯ ππ£ = πππ₯ ππ₯ =1
π πππ₯ π ππ₯
π£ =πππ₯
π ln π
Y CONTINUAMOS CON NUEVAMENTE SUSTITUYENDO DATOS:
2
π(ln π) πππ₯ π₯ ππ₯ =
2
π(ln π)π₯
πππ₯
π(ln π)β
πππ₯
π(ln π)ππ₯
=2
π(ln π)
π₯πππ₯
π(ln π₯)β
πππ₯
π(ln π)ππ₯ =
2
π(ln π)
π₯πππ₯
π(ln π)β
1
π(ln π) πππ₯ππ₯
AHORA NOS ENCARGAMOS DE RESOLVER LA SIGUIENTE INTEGRAL:
πππ₯ππ₯
π’ = ππ₯ππ’ = πππ₯
πππ₯ππ₯ =1
π πππ₯ πππ₯ =
1
π
πππ₯
ln π=
πππ₯
π ln π
Y VOLVEMOS:
2
π(ln π)
π₯πππ₯
π(ln π)β
1
π(ln π) πππ₯ππ₯ =
2
π(ln π)
π₯πππ₯
π(ln π)β
1
π(ln π)
πππ₯
π ln π
=2π₯πππ₯
π2 ln π 2 β2
π2 ln π 2
πππ₯
π2 ln π=
2π₯πππ₯
π2 ln π 2 β2πππ₯
π3 ln π 3 =2π₯πππ₯
π2 ln π 2 β2πππ₯
π3 ln π 3
Y REGRESANDO AL DESARROLLO:
π₯2ππ₯ ππ₯ =π₯2πππ₯
π(ln π)β
πππ₯
π(ln π)2π₯ ππ₯ =
π₯2πππ₯
π(ln π)β
2π₯πππ₯
π2 ln π 2 β2πππ₯
π3 ln π 3 + πΆ
=π₯2πππ₯
π(ln π)β2π₯πππ₯
π2 ln π 2 +2πππ₯
π3 ln π 3 + πΆ =πππ₯
π ln ππ₯2 β
2π₯
π ln π+
2
π2 ln π 2 + πΆ
Y COMO RESULTADO FINAL OBTENEMOS:
π₯2πππ₯ ππ₯ =π₯2πππ₯
π(ln π)β2π₯πππ₯
π2 ln π 2 +2πππ₯
π3 ln π 3 + πΆ =πππ₯
π ln ππ₯2 β
2π₯
π ln π+
2
π2 ln π 2 + πΆ
ππ₯ cos 5π₯ ππ₯
POR ILATE, TENEMOS UNA TRIGONOMETRICA Y UN EXPONENCIAL, ASI QUE, βTβ
ES PRIMERO QUE βEβ, POR LO TANTO, SE OBTIENE LOS DATOS SIGUIENTES:
π’ = cos 5π₯ ππ£ = ππ₯ ππ₯
ππ’ = β5 π ππ 5π₯ ππ₯ ππ£ = ππ₯ ππ₯
π£ = ππ₯
AHORA EMPEZAMOS CON SUSTITUIR LOS VALORES A LA FORMULA DE
INTEGRACION POR PARTES:
ππ₯ cos 5π₯ ππ₯ = cos 5π₯ ππ₯ β ππ₯ β5 π ππ 5π₯ ππ₯ = ππ₯cos 5π₯ + 5 ππ₯π ππ 5π₯ ππ₯
PARA AVANZA NECESITAMOS RESOLVER LA INTEGRAL SIGUIENTE Y PARA ELLO
SE RESOLVERA NUEVAMENTE CON INTEGRACION POR PARTES
5 ππ₯π ππ 5π₯ ππ₯
π’ = sen 5π₯ ππ£ = ππ₯ ππ₯
ππ’ = 5 πππ 5π₯ ππ₯ ππ£ = ππ₯ ππ₯
π£ = ππ₯
5 ππ₯π ππ 5π₯ ππ₯ = 5 sen 5π₯ ππ₯ β ππ₯ 5 πππ 5π₯ ππ₯ = 5 ππ₯ sen 5π₯ β 5 ππ₯πππ 5π₯ ππ₯
= 5ππ₯ sen 5π₯ β 25 ππ₯πππ 5π₯ ππ₯
DEBIDO A QUE ESTA INTEGRAL NO TIENE FIN, SE REALIZARA LO SIGUIENTE:
ππ₯ cos 5π₯ ππ₯ = ππ₯cos 5π₯ + 5 ππ₯π ππ 5π₯ ππ₯ = ππ₯cos 5π₯ + 5ππ₯ sen 5π₯ β 25 ππ₯πππ 5π₯ ππ₯
ππ₯ cos 5π₯ ππ₯ = ππ₯cos 5π₯ + 5ππ₯ sen 5π₯ β 25 ππ₯πππ 5π₯ ππ₯
ππ₯ cos 5π₯ ππ₯ + 25 ππ₯πππ 5π₯ ππ₯ = ππ₯cos 5π₯ + 5ππ₯ sen 5π₯
26 ππ₯πππ 5π₯ ππ₯ = ππ₯cos 5π₯ + 5ππ₯ sen 5π₯
ππ₯πππ 5π₯ ππ₯ =1
26ππ₯cos 5π₯ + 5ππ₯ sen 5π₯ + πΆ =
ππ₯
26cos 5π₯ + 5 sen 5π₯ + πΆ
ASI QUE EL RESULTADO FINAL DEFINITIVO ES:
ππ₯ cos 5π₯ ππ₯ =1
26ππ₯cos 5π₯ + 5ππ₯ sen 5π₯ + πΆ =
ππ₯
26cos 5π₯ + 5 sen 5π₯ + πΆ
BIBLIOGRAFIAS
https://sites.google.com/site/12c2a13salazarcahmed/2-integrales-1/2-2-
integrales-por-partes
Garza Olvera, BenjamΓn, CΓ‘lculo Integral, MatemΓ‘ticas V, DGETI, 1ra
EdiciΓ³n, pΓ‘gs. 388
W. SWOKOWSKI, Earl, CΓ‘lculo con GeometrΓa AnalΓtica, 2da. EdiciΓ³n,
Panamericana, Colombia, 1989, 1097 pΓ‘gs