PROGRAMACIÒN LINEAL
TRABAJO COLABORATIVO - MOMENTO 4
GRUPO No.
100404-33
ESTUDIANTE:
GUSTAVO EDUARDO LIZARAZO G
CÓDIGO 79.942.858
SANDRA MILENA CASTILLO
CODIGO. 37.577.671
YISNEIDIS SANCHEZ DIAZ
CODIGO. 1072428311
YOHANI PARRA
CODIGO 80853518.
TUTORA
YURI VANESSA NIETO
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
CEAD SANTA MARTA
SEPTIEMBRE DE 2015
INTRODUCCION
En la Segunda Unidad del Curso de Programación Lineal hemos abordado
temáticas de los métodos de solución. Donde encontramos el método gráfico,
método algebraico y el método simplex.
El método gráfico consiste, en representar en unos ejes cartesianos, o
sistema de coordenadas, ambas rectas y comprobar si se cortan y, si es así,
dónde; en el método algebraico usa como su principal herramienta el álgebra,
que ligada a un proceso de lógica matemática surge el método simplex.
Donde comienza con una solución factible y prueba si es o no óptima. Si no
lo es, el método sigue a una mejor solución. Se dice mejor en el sentido de
nueva solución no es óptima, entonces se repite el procedimiento. En algún
momento el método simplex conduce a una solución óptima, si es que existe.
OBJETIVOS
Identificar un problema relacionado con el entorno y plantear diferentes
alternativas de solución.
Identificar los diferentes algoritmos utilizados para solucionar
problemas de programación lineal.
Proponer y plantear problemas de aplicación donde se utilicen los
diferentes métodos para solucionar problemas de PL.
Utilizar el Algoritmo simplex a través de tablas y la identificación de
variables básicas y artificiales para la solución de problemas de PL
optimizados
DESARROLLO:
Supermercado Mi Futuro (GUSTAVO LIZARAZO G)
Gerente General CAMPO ELIAS PACHECO
Actividad económica de la empresa: COMERCIALIZACION DE
COMESTIBLES
Descripción del proceso:
NARRACIÖN DEL PROBLEMA
El Supermercado Mi Futuro comercializa tres tipos de salchichón, que son
fabricados por ellos mismos, así: el salchichón especial (Cervecero),
Salchichón mini y salchichón grande, para fabricar una unidad de salchichón
Especial (Cervecero) se requiere de 588 grs de carne de res, 3294 grs de
carne de cerdo y 1 litro de agua. El salchichón Especial se vende a (ocho
mil pesos) $8000. Para fabricar una unidad de salchichón mini se requiere
de 500grs de carne de res, 2600 gr de carne de cerdo y 1litro de agua. El
salchichón mini se vende a (Siete mil quinientos pesos) $7500 pesos. Para
fabricar una unidad de salchichón grande se requiere de 714 grs de carne
de res, 3714 grs de carne de cerdo y 1litros de agua. El salchichón grande se
vende a (Diez mil pesos) $10.000. La disponibilidad de materia prima para la
producción de los tres tipos de salchichón de: carne de res 1400 kg, carne
de cerdo 10000 Kg y 3000 Lt de agua.
Formulación de la pregunta para resolver el problema
¿Determinar cuántos salchichones de cada tipo se deben fabricar
diariamente para obtener el máximo beneficio, respecto a la utilidad?
RECURSOS
SALCHICHONES DISPONIBILIDAD
Chorizo
especial
Chorizo
Mini
Chorizo
Grande
Carne de
res 0.588kg 0.500kg 0.714kg 1400Kg
Carne de
cerdo 3.294kg 2.600kg 3.714kg 10.000kg
Agua 1Lt 1Lt 1Lt 3000Lt
Precio
venta $8000 $7500 $10000
Desarrollo de problema planteado
1. Nombre de la empresa: TELEPALMIRA S.A E.S.P. (SANDRA MILENA CASTILLO)
2. Nombres y apellidos del gerente o representante Legal de la empresa visitada: Javier Rodríguez, Gerente.
3. Actividad económica de la empresa: Empresa de telecomunicaciones.
4. Nombre y descripción del proceso en donde han identificado el problema de programación
Lineal: Área de ventas, asesores comerciales.
5. Narración del problema
La empresa de telecomunicaciones Telepalmira ofrece a sus usuarios diferentes servicios, entre los cuales ofrece servicios de internet y telefonía. Un asesor vende un servicio de internet banda ancha a un precio de 20.000 pesos y un servicio de telefonía fija ilimitada local a 35.000 pesos, se requiere determinar cuántos servicios debe vender el asesor para obtener una mayor utilidad con las siguientes restricciones:
Si se trata de servicios de internet, en una jornada laboral de 8 horas solo pueden vender hasta 5 servicios por asesor.
Si se trata de servicios de telefonía fija, en una jornada laboral de 8 horas puede vender hasta 10 servicios por asesor.
Información
Precio de un servicio de internet: $20.000
Precio de un servicio de telefonía fija: $35.000
Jornada de trabajo: 8 horas
Total de servicios de internet vendidos máximo: 5
Total de servicios de telefonía vendidos máximo: 10
Planteamiento
𝑋1 = Número de ventas de servicios de internet por asesor
𝑋2 = Número de ventas de servicios de telefonía por asesor
Modelo
MAX Z = 20000 𝑋1 + 35000 𝑋2
1. 𝑋1 + 𝑋2 ≤ 15 2. 5 𝑋1 + 10𝑋2 ≤ 8
3. 𝑋1, 𝑋2 ≥ 0
𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑢𝑠𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑎 𝑒𝑙 𝑏𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠
𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑘(𝑥 + 𝑦)
𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑦 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑘(𝑥 + 𝑦) = 0 𝑦 𝑥 + 𝑦
= 0 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠 𝐾 = (𝑥 + 𝑦) = 𝐾
𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑛 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟 𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝟏. 𝟔 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑙𝑒𝑓𝑜𝑛𝑖𝑎
𝑓𝑖𝑗𝑎 𝑖𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑𝑎
C. PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL RESUELTOS EN PHPSIMPLEX
1.-Se dispone de 120 refrescos de cola con cafeína y de 180 refrescos de cola sin cafeína. Los refrescos
se venden en paquetes de dos tipos. Los paquetes de tipo A contienen tres refrescos con cafeína y tres
sin cafeína, y los de tipo B contienen dos con cafeína y cuatro sin cafeína. El vendedor gana 6 euros por
cada paquete que venda de tipo A y 5 euros por cada uno que vende de tipo B. Calcular de forma
razonada cuántos paquetes de cada tipo debe vender para maximizar los beneficios y calcular éste.
Solución
Variable Cafeína Sin Cafeína
A x 3x 3x
B y 2y 4y
Totales 120 180
El conjunto de restricciones es:
Los vértices son A(0, 0), B(0, 45), C(20, 30) y D(40, 0)
La función objetivo es: beneficio =f(x, y)= 6x + 5y
Utilizando el método analítico, el máximo estará en uno de los vértices.
f(0, 0)= 0, f(0, 45)=225 f(20, 30)= 120+150=270 y f(40, 0)=240
Es decir 20 paquetes de A y 30 de B el máximo de beneficios fueron 270 euros
2. Una persona para recuperarse de una cierta enfermedad tiene que tomar en su alimentación dos
clases de componentes que llamaremos A y B. Necesita tomar 70 unidades de A y 120 unidades de
B. El médico le da dos tipos de dietas en las que la concentración de dichos componentes es:
Dieta D1: 2 unidades de A y 3 unidades de B
Dieta D2: 1 unidad de A y 2 unidades de B.
Sabiendo que el precio de la dieta D1 es 2,5 €. y el de la dieta D2 es 1,45 €. ¿Cuál es la distribución
óptima para el menor coste?
Solución:
Lo resolveremos gráficamente.
Sean x e y el número de dietas D1 y D2 respectivamente.
La función objetivo es:
C(x,y) = 2,5 x + 1,45 y
Las restricciones son:
2x + y 70
3x + 2y 120
x 0 , y 0
La Solución es administrar es administrar 20 dosis de la dieta 1 y 30 de la dieta 2 para obtener
un mínimo de costo de 93.5 Euros
3. Se pretende cultivar en un terreno dos tipos de olivos: A y B. No se puede cultivar más de 8 ha con olivos de tipo A, ni más de 10 ha con olivos del tipo B. Cada hectárea de olivos de tipo A necesita 4 m3 de agua anuales y cada una de tipo B, 3 m3. Se dispone anualmente de 44 m3 de agua. Cada hectárea de tipo A requiere una inversión de 500 € y cada una de tipo B, 225 €. Se dispone de 4500 € para realizar dicha inversión. Si cada hectárea de olivar de tipo A y B producen, respectivamente,
500 y 300 litros anuales de aceite: a) Obtener razonadamente las hectáreas de cada tipo de olivo que se deben plantar para maximizar la producción de aceite. b) Obtener la producción máxima.
Tipo de olivo Agua por ha. y año Inversión por ha. Producción por ha.
ha. dedicadas
A 4 m3 500 €
500 l
x
B 3 m3 225 €
300 l
y
Restricciones 44 m3 4500 €
Las ecuaciones de las restricciones serán,
“No se pueden cultivar más de 8 ha. con olivos del tipo A” x ≤
8
“No se pueden cultivar más de 10 ha. con olivos del tipo B” y ≤
10
“Se dispone de 44 m3 de agua al año” 4x 3y ≤ 44
“Se dispone de 4500 € para invertir” 500x 225 y ≤ 4500
Queremos maximizar la producción de aceite que será: 500 x + 300 y
El problema a resolver es: maximizar z = 500 x + 300 y
x ≤ 8
10
y ≤
s.a.4x 3 y ≤ 44
500x 225 y ≤ 4500
x, y ≥ 0
Calculamos las restricciones
4x 3 y ≤ 44 500x 225 y ≤ 4500
4x 3 y 44 500x 225 y 4500
x y x y
11 0 9 0
0
44 0 20
3
Debemos calcular los siguientes puntos de corte,
y 10 14
4x 3.10 44 → 4x 14 → x
3´5 → (3´5 , 10)
4x 3y 44
4
4x 3y 44 44 − 4x
de la 1ª y
500x 225 y 4500
3
sustituyendo en la 2ª 500x 225 44 − 4x 4500
3
1500x 9900 − 900x 13500
3600 44 − 4 . 6 20 20
600x 3600 → x
6 →
y
→ 6 ,
600
3
3
3
x 8 500 20 20
500 . 8 225 y 4500 → 225 y 500 → y
→8 ,
500x 225 y 4500
225
9
9
La región factible está limitada por los puntos
20 20
(0 , 0), (0 , 10), (3´5 , 10), 6 ,
, 8 ,
y (8 , 0)
3
9
(x, y) z 500x 300 y
(0,0) 500 . 0 300 . 0 0
(0,10) 500 . 0 300 .10 3000
(3´5,10) 500 . 3´5 300 .10 4750
20
20
6,
500 . 6 300 .
5000 máximo
3
3
20
20
8, 500 . 8 300 .
4666´666...
9
9
(8,0)
500 . 8 300 . 0 4000
20
La función z = 500 x + 300 y alcanza su máximo en el punto 6,
3 Por lo tanto, para maximizar la producción de aceite se deben plantar 6 ha de olivos del tipo A y 20/3 ha de olivos del tipo B.
La producción máxima será de 5000 litros de aceite
4. Una empresa fabrica dos modelos de fundas de sofá, A y B, que dejan unos beneficios de 40 y 20 euros respectivamente. Para cada funda del modelo A se precisan 4 horas de trabajo y 3 unidades de tela. Para fabricar una del modelo B se requieren 3 horas de trabajo y 5 unidades de tela. La empresa dispone de 48 horas de trabajo y 60 unidades de tela. Si a lo sumo pueden hacerse 9 fundas del modelo A. ¿Cuántas fundas de cada modelo han de fabricarse para obtener el máximo beneficio y cual sería este?
Nº Horas de
trabajo
Unidades de
tela
Modelo A x 4x 3x
Modelo B y 3y 5y
Totales 48 60
Las restricciones son
La función objetivo es f(x, y)=40x +20y
Calculamos los vértices:
36+ 3y =48 y =4 luego un vértice es (9, 4)
Lo resolvemos por reducción 11y=96 y =96/11 , sustituyendo en la 1ª ecuación, x =
60/11
Los vértices son (0, 0), (9, 0), (9, 4), ( 60/11, 96/11) y (0, 12)
Por el método gráfico vemos que el máximo se alcanza en el punto (9, 4) .
La solución sería fabricar 9 fundas tipo A y 4 tipo B para obtener un máximo de beneficio de 440 Euros.
5. Disponemos de 21000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A,
que rinden el 7% y las del tipo B, que rinden el 9%. Decidimos invertir un máximo de 13000 euros en las del tipo
A y como mínimo 6000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo B sea menor que el
doble de la inversión en A. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés
anual?
nª Interés
Tipo A x 0,07x
Tipo B y 0,09y
Total 21000 0,07x+0,09y
Hay que optimizar la función objetivo: Z = 0,07x+0,09y, sujeta a las siguientes restricciones:
Representamos la región factible:
Rectas auxiliares:
r1 x +y= 21000
x y
0 21000
21000 0
r2 x =13.000 (vertical)
r3 y =6.000 (horizontal)
r4 y =2x
X Y
0 0
3000 6000
Los vértices son, (3.000,6000), (7.000,14.000), (13.000,8000), (13.000, 6.000)
Gráficamente obtenemos la solución óptima en el punto (7.000, 14.000)
Y el máximo beneficio será 1750 euros.
CONCLUSIONES
La programación lineal es un modelo muy eficaz para la toma de decisiones sobre
temas que tienen algún tipo de restricción, lo importante del presente trabajo es
realizar las prácticas que conlleven a la obtención de las competencias necesarias
para desempeñarse de buena forma en el tema.
Aprender a manejar el aplicativo PHPSIMPLEX, que es una herramienta muy eficaz
para la resolución de problemas de Programación Lineal
RERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100404/Archivos_AVA/GUIA_INTEGRADA_DE_ACTIVIDADES_ACADEMICAS_2015-8-4.pdf http://www.monografias.com/trabajos94/69-ejercicios-resueltos-programacion-lineal/69-ejercicios-resueltos-programacion-lineal.shtml http://www.phpsimplex.com/