MOMENTO LINEAL Y SU CONSERVACION

MOMENTO LINEAL, ENERGIA CINETICA Y SUCONSERVACION

BERNARDO ARENAS GAVIRIAUniversidad de Antioquia

Instituto de Física

2011

Índice general

1. Momento lineal, energía cinética y su conservación 11.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Sistemas de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Concepto de partícula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4. Vector posición (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5. Vector desplazamiento (∆r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6. Vector velocidad (v) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.6.1. Vector velocidad media (v̄) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6.2. Vector velocidad instantánea (v) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6.3. Movimiento rectilíneo uniforme (MRU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.7. Momento lineal o cantidad de movimiento (p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7.1. Conservación del momento lineal en una dimensión . . . . . . . . . . . . . . 12

1.8. Movimiento en un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.8.1. Vector posición en dos dimensiones (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.8.2. Vector desplazamiento en dos dimensiones (∆r) . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8.3. Vector velocidad en dos dimensiones (v) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.8.4. Vector velocidad media en dos dimensiones (v̄) . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.8.5. Vector velocidad instantánea en dos dimensiones (v) . . . . . . . . . . . . . . 18

1.9. Momento lineal o cantidad de movimiento en dos dimensiones (p) . . . . . . . . . . 191.9.1. Conservación del momento lineal en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . 201.9.2. Concepto de impulso (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.10. Concepto de energía cinética Ek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.11. Colisiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.12. ENUNCIADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3

Capı́tulo 1Momento lineal, energía cinética y suconservación

CompetenciasEn esta unidad se busca que el estudiante

Infiera el concepto de sistema de referenciay el concepto de partícula.

Defina conceptual y matemáticamente losconceptos de vector posición, vector des-plazamiento y vector velocidad.

Opere adecuadamente con las cantidadesfísicas vector posición, vector desplaza-miento, vector velocidad y el escalar masa.

Identifique y defina el concepto de vectormomento lineal.

Infiera el concepto de sistema.

Distinga entre sistema aislado y sistema noaislado.

Analice y aplique el principio de conser-vación del vector momento lineal total deun sistema aislado.

Defina y analice el concepto del escalarenergía cinética, relacionándolo con el con-cepto del vector momento lineal.

Defina el concepto de colisión.

Distinga entre choque y colisión.

Analice diferentes tipos de colisiones.

Distinga entre colisión elástica y colisióninelástica.

CONCEPTOS BASICOS DE LA UNIDADEn esta unidad, se definirán los siguientes con-ceptos: Sistema de referencia, partícula, vectorposición (r), vector desplazamiento (∆r), vectorvelocidad (v), masa (m), vector momento lineal(p), sistema, sistema aislado y energía cinética(Ek).

1.1. Introducción

El concepto de momento lineal o cantidad demovimiento, es de gran importancia en la física,ya que se presentan muchas situaciones realesen las que el momento lineal total de un sistemase conserva, tanto a nivel microscópico como anivel macroscópico. Esto da lugar al principiode conservación del momento lineal, que porser una regla que no tiene excepción, se aplicaen diferentes áreas de la física.

1.2. Sistemas de referencia

La frase traer el cuerpo A que se encuentra a unadistancia de 2 m , es una frase incompleta, yaque como se ilustra en la figura 1.1, puede habermuchos cuerpos con una separación de 2 m. Es-to lleva a la pregunta: ¿2 m a partir de qué o res-pecto a quién? Lo anterior muestra la necesidad

2 CAPÍTULO 1. MOMENTO LINEAL, ENERGÍA CINÉTICA Y SU CONSERVACIÓN

de especificar un punto u observador de refe-rencia respecto al cual se miden los 2 m. Por elloes más correcto decir: "Traer el cuerpo A que seencuentra a una distancia de 2 m respecto al ob-servador B".

2 m

2 m 2 m2 m

Figura 1.1: Cuerpos separados entre sí por una dis-tancia de 2 m.

La frase anterior, aunque es menos ambigua,tampoco está completa ya que hay un conjuntomuy grande de puntos ubicados a una distan-cia de 2 m respecto al observador B. Al unir esteconjunto de puntos se obtiene una esfera de ra-dio 2 m (espacio tridimensional), y una circun-ferencia de radio 2 m (espacio bidimensional)como se muestra en la figura 1.2 para el caso dedos dimensiones.

B

Figura 1.2: Cuerpos a una distancia de 2 m respectoa B.

Para definir con toda claridad la posición delcuerpo, se puede hacer la afirmación: Traer elcuerpo A que se encuentra a una distancia de 2 mrespecto a un observador B, de tal manera que la rec-ta que une a B con A coincide con el eje x, toma-do horizontalmente. Esto equivale a decir que seha adicionado un sistema de coordenadas uni-dimensional al observador B, como se muestraen la figura 1.3, donde lo que realmente se hadefinido es un sistema de referencia, que con-siste en un observador al que se le ha asignado

o ligado un sistema de coordenadas en una di-mensión.

Bx (m)

A

2O

Figura 1.3: Posición de A respecto a B.

Por lo anterior, se puede concluir que paraconocer con certeza la posición de un cuerpo,es indispensable definir un sistema de referen-cia, ya que de lo contrario no tendría sentidola ubicación del cuerpo en consideración. Comose indica más adelante, para dar una descrip-ción completa del movimiento de un cuerpo, sedebe disponer de un cronómetro o reloj con elfin de poder conocer los instantes de tiempo enlos que ocupa las diferentes posiciones sobre eleje x.

Lo discutido anteriormente sólo es válidopara el observador B, ya que si se cambia de ob-servador, o lo que es equivalente, de sistema dereferencia, necesariamente la posición del cuer-po sería completamente diferente.

De esta forma, el movimiento de un cuerpopuede definirse como un cambio continuo desu posición respecto a otro cuerpo, es decir, elmovimiento de un cuerpo dado sólo puede ex-presarse en función de un sistema de referen-cia. Además, el movimiento del cuerpo A, res-pecto al cuerpo B, puede ser muy diferente almovimiento del cuerpo A respecto a otro cuer-po C.

MovimientoA

CBx

O

Figura 1.4: A y C se mueven respecto a B.

Suponga que un auto y su conductor, en re-poso entre sí, se mueven sobre una pista rectahacia la derecha. Esta situación real, se mode-lará de tal forma que en la figura 1.4, el conduc-tor es el cuerpo A, el auto el cuerpo C y un postefijo al lado de la vía es el cuerpo B.

1.3. CONCEPTO DE PARTÍCULA 3

Los cuerpos A y C en reposo uno respectoal otro, se encuentran en movimiento hacia laderecha respecto al cuerpo B, como en la figu-ra 1.4. Pero una situación diferente se presen-ta cuando se toma un sistema de referencia conorigen en el cuerpo C, como se indica en la figu-ra 1.5.

MovimientoA

C

O '

Bx '

Figura 1.5: B se mueve respecto a C, A no se mueverespecto a C.

En este caso, el cuerpo A está en reposo res-pecto al cuerpo C y el cuerpo B en movimientohacia la izquierda respecto al cuerpo C.

De acuerdo con lo anterior, cuando se quiereanalizar el estado de reposo o de movimientode un cuerpo, es necesario definir con toda cla-ridad cuál es el sistema de referencia a utilizar,ya que como en la situación de la figura 1.4, elmovimiento de A y C es hacia la derecha respec-to al cuerpo B, mientras que para la situación dela figura 1.5, A está en reposo y B en movimien-to hacia la izquierda respecto al cuerpo C.

Para obtener información completa sobre laforma como cambia la posición de un cuerporespecto a otro, es necesario medir tiempos, osea, que el observador debe disponer de un relojo cronómetro, además del sistema de coorde-nadas.

De la situación anterior también se puedeconcluir que reposo y movimiento son concep-tos relativos, ya que ambos dependen del sis-tema de referencia en consideración. Si un cuer-po está en movimiento respecto a algunos sis-temas de referencia, simultáneamente puede es-tar en reposo respecto a otros sistemas de refe-rencia, esto es, el movimiento es relativo.

En lo que sigue, se supone que se tieneun sistema de referencia unidimensional biendefinido. Los sistemas de referencia que se em-plearán en adelante, se considera que estánen reposo respecto a la tierra. Estos sistemasreciben el nombre de sistemas de referencia

inerciales. Posteriormente, se define de formamás concisa este tipo de sistemas de referen-cia, donde también se incluyen otros sistemasde referencia, que aunque estén en movimientorespecto a la tierra, cumplen la condición de serinerciales.

Necesariamente, cuando un cuerpo se mueveen línea recta respecto a la tierra, bien sea so-bre ella o a una altura determinada dentro de laatmósfera terrestre, estará sometido a los efec-tos del aire. Esta situación se percibe cuando seviaja rectilíneamente en un auto con las ventani-llas abiertas o cuando se deja caer verticalmenteuna hoja de papel. En ambos casos los cuerpostienen un movimiento respecto al sistema de re-ferencia aire.

Por ahora, no se consideran los efectos delaire sobre el movimiento de los cuerpos. Elanálisis de esta situación se hace más adelante.

1.3. Concepto de partícula

Para ilustrar el concepto de partícula se consi-dera la siguiente situación: Un bloque desliza ose traslada sobre una superficie horizontal sincambiar su orientación ni su forma geométrica,es decir, se mueve como un todo de una posi-ción a otra. En este caso, como se indica en lafigura 1.6, los puntos A y B, pertenecientes albloque, se mueven la misma distancia d.

A

B

x

x

A

B

x

x

d

d

Figura 1.6: Traslación pura de un cuerpo.

Aunque sólo se han considerado los puntos Ay B, es cierto que todos los puntos del bloque semueven la misma distancia d.

Esto permite analizar el movimiento de soloun punto del bloque, ya que el comportamien-to de él es idéntico al comportamiento de todoslos demás puntos. Cuando es posible hacer lasimplificación anterior, se dice que el cuerpo seha reducido al modelo de una partícula. Poste-


riormente, se dará una definición más precisade este concepto.

En esta unidad se considera sólo elmovimiento de traslación de los cuerpos a lolargo de una línea recta; por ello el movimientode los cuerpos se describe mediante el modelode partícula.

1.4. Vector posición (r)

Para el caso de una dimensión, un cuerpo trata-do bajo el modelo de partícula, se mueve alo largo de un camino recto, también conoci-do como trayectoria rectilínea, que en princi-pio puede tener cualquier orientación. La posi-ción de la partícula, en un instante determina-do y respecto al origen del sistema de referenciamostrado en la figura 1.7, está dada por el vec-tor posición r trazado desde el origen del sis-tema de referencia hasta la posición donde seencuentre la partícula.

x

O i

r( )t

Movimiento

Figura 1.7: Vector posición r de la partícula.

En este caso el vector posición se expresa enla forma r = x i , donde su magnitud está dadapor

r = x (1.1)

La forma de la expresión dada por la ecuación(1.1) es válida en el caso de un sistema de refe-rencia unidimensional.

En la figura 1.7 se observa que el vector posi-ción r varía con el tiempo en magnitud, mien-tras la partícula se mueve a lo largo de su trayec-toria rectilínea.

Ejemplo 1.1.El vector posición de una partícula quese mueve sobre el eje x, está dado porr(t) = (t − 3)i, donde r está dado en m y ten s. Cuando tA = 2.50 s la partícula pasapor el punto A. Determine la posición dela partícula en dicho instante.

SoluciónReemplazando tA = 2.50 s en la expresióndada, se encuentra que el vector posición,cuando la partícula pasa por el punto A,está dado por

rA = (− 0.50 m)i.

Como en una dimensión el vector posiciónse expresa en la forma r = xi, al compararcon la igualdad anterior se tiene que

xA = −0.50 m,

es la coordenada de la partícula cuandopasa por el punto A.

El siguiente diagrama es una represen-tación gráfica del resultado obtenido.

Ax (m)

i

rA

- 0.50 O

Ejercicio 1.1.El vector posición de una partícula quese mueve sobre el y, está dado por r =

(2t2 − 1)j donde r está dado en m y t ens. Cuando tA = 2.50 s la partícula pasapor el punto A. Determine la posición dela partícula en dicho instante. Muestre enun diagrama el resultado obtenido.

1.5. Vector desplazamiento (∆r)

Como se indica en la figura 1.8, se considera unapartícula que en el instante tA pasa por el pun-to A, definido mediante el vector posición rA .Si en un cierto tiempo posterior tB (tB > tA)la partícula pasa por el punto B, definido me-diante el vector posición rB, el vector desplaza-miento, que describe el cambio de posición de lapartícula conforme se mueve de A a B, es dadopor

∆r = rB − rA

= (xB − xA)i. (1.2)

Ejemplo 1.2.Una partícula cuyo vector posición está

1.6. VECTOR VELOCIDAD (V) 5

x

O i A BDr

rB

rA

Figura 1.8: Vector desplazamiento ∆r entre A y B.

dado por r(t) = (t − 3)i se encuentraen el punto A en tA = 2.50 s. Si en eltiempo tB = 4.00 s pasa por el punto B,calcule la magnitud y dirección del vectordesplazamiento entre A y B.

SoluciónAl reemplazar tA = 2.50 s y tB = 4.00 sen la expresión dada, se encuentra que losvectores posición de la partícula, en com-ponentes rectangulares, respectivamenteestán dados por

rA = (− 0.50 m)i,rB = (1.00 m)i.

Ahora, utilizando la ecuación (1.2),para este caso se tiene que el vector des-plazamiento, entre A y B, en componentesrectangulares está dado por

∆r = (1.50 m)i.

Por consiguiente, las magnitud del vectordesplazamiento está dada por

∆r = 1.5 m,

En el diagrama siguiente se muestra,el vector desplazamiento.

x(m)

Or

Ar

B

Dr i= (1.5 m)

-0.5 1.0

Ejercicio 1.2.Una partícula cuyo vector posición estádado por r = (2t2 − 1)j , donde r está dadoen m y t en s, se encuentra en el punto Cen tC = 2.50 s . Si en el tiempo tD = 4.00 spasa por el punto D, calcule el vector des-plazamiento de la partícula entre C y D.

1.6. Vector velocidad (v)

Cuando la posición de una partícula respecto aun observador, cambia al transcurrir el tiempo,

se dice que la partícula ha adquirido una veloci-dad respecto a dicho observador. En general, lavelocidad de una partícula se define como larapidez con la cual cambia el vector posición dela partícula al transcurrir el tiempo.

1.6.1. Vector velocidad media (v̄)

De acuerdo con la figura 1.9, se considera unapartícula que en el instante tA pasa por el pun-to A, determinado por el vector posición rA. Sien un tiempo posterior tB (tB > tA) la partículapasa por el punto B, determinado por el vectorposición rB, la velocidad media de la partícula du-rante el intervalo de tiempo ∆t = tB − tA , sedefine como el desplazamiento dividido entreel intervalo de tiempo correspondiente, es decir

v̄ ≡ ∆r∆t

=rB − rA

tB − tA

=(xB − xA)i

tB − tA

= v̄xi.

(1.3)

x

O A BDr

rB

rA

v

Figura 1.9: Vector velocidad media entre A y B.

Dimensiones y unidades del vector velocidadmediaDe acuerdo con la ecuación (1.3), las dimen-siones del vector velocidad media y en generalde la velocidad, son LT−1 . Por consiguiente, lasunidades son m s−1 en el sistema SI, cm s−1 enel sistema gaussiano, p s−1 en el sistema Inglés;y en general, cualquier unidad de longituddividida por una unidad de tiempo, tal comokm h−1 ó mi h−1.

La definición (1.3) muestra que la velocidadmedia, v̄ , es un vector ya que se obtiene al di-vidir el vector desplazamiento ∆r entre el inter-valo de tiempo ∆t, o sea que la velocidad mediaincluye tanto magnitud como dirección. Donde


su magnitud está dada por |∆r/∆t| y su direc-ción por la del vector desplazamiento ∆r. Estacantidad es una velocidad media, ya que la ex-presión no dice cómo fue el movimiento entre Ay B, pues el movimiento pudo haber sido con-tinuo o variable.

La siguiente es una situación en la que el vec-tor velocidad media es nulo. En la figura 1.10,un auto parte del punto A y pasando por elpunto B regresa al punto A, luego de un tiem-po ∆t . En este caso, la velocidad media es ceroya que el desplazamiento de la partícula es cero,aunque la distancia recorrida es diferente decero.

x

O A B

rBA

-rBA

Figura 1.10: Vector desplazamiento nulo.

Ejemplo 1.3.Una partícula cuyo vector posición estádado por r(t) = (t − 3)i, se encuentra enel punto A en tA = 2.50 s. Si en el tiempotB = 4.00 s pasa por el punto B, determinela magnitud y dirección de la velocidadmedia entre A y B.

SoluciónObteniendo el vector desplazamiento ∆ry sabiendo que ∆t = 1.5 s, mediante laecuación (1.3), se encuentra que la veloci-dad media en componentes rectangularesestá dada por

v̄ = (1.00 m · s−1)i.

En este caso se encuentra que la magnituddel vector velocidad media es

v = 1.00 m · s−1

Se observa que el vector desplaza-miento y el vector velocidad media sonparalelos, como se esperaba.

Ejercicio 1.3.Una partícula cuyo vector posición estádado por r(t) = (t − 3)j, con r en m y t en

s, se encuentra en el punto C en el instantetC. Si en el tiempo tD pasa por el punto D,demuestre que la velocidad media cuandola partícula pasa del punto C al punto D,está dada por v̄ = (1 m · s−1)j.

Ejercicio 1.4.Una partícula cuyo vector posición estádado por r = (2t2 − 1)i, se encuentra enel punto A en tA = 2.50 s. Si en el tiempotB = 4.00 s pasa por el punto B, calcule elvector desplazamiento entre A y B.

Ejemplo 1.4.La velocidad media cuando una partículapasa del punto A al punto B, está dada porv̄ = −(tB + tA)i . Obtenga la magnitud dela velocidad media, cuando la partícula semueve durante los intervalos de tiempomostrados en la tercera columna de latabla 1.1.

SoluciónEn la tabla 1.1 se muestran los valoresobtenidos para la magnitud (v̄) del vectorvelocidad media, en diferentes intervalosde tiempo (∆t) con tB = 3.0 s.Tabla 1.1

tA(s) tB(s) ∆t(s) v̄(m/s)

2.980000 3.0 0.020000 5.9800002.990000 3.0 0.010000 5.9900002.995000 3.0 0.005000 5.9950002.998000 3.0 0.002000 5.9980002.999000 3.0 0.001000 5.9990002.999500 3.0 0.000500 5.9995002.999800 3.0 0.000200 5.9998002.999900 3.0 0.000100 5.9999002.999990 3.0 0.000010 5.9999902.999995 3.0 0.000005 5.999995

Pregunta¿Qué puede concluir al observar los valo-res de las dos últimas columnas de la tabla1.1?

Ejercicio 1.5.Para una partícula, el vector posición enfunción del tiempo está dado por r =


(2t2 − 1)i , donde r está dado en m y t en s.a) Si la partícula pasa por el punto C en elinstante tC y por el punto D en el instan-te tD, halle el vector velocidad media. b)Obtenga la magnitud de la velocidad me-dia, cuando la partícula se mueve durantelos intervalos de tiempo mostrados en latercera columna de la tabla 1.1.

1.6.2. Vector velocidad instantánea (v)

La velocidad instantánea de una partícula,es la velocidad de ella en un instante dadocualquiera. O también, la velocidad en un instanterespecto a determinado sistema de referencia, que enel caso de una dimensión puede variar sólo en mag-nitud, mientras el sentido de movimiento no cambie.

Para el movimiento de una partícula, repre-sentado en la figura 1.11, ¿cómo se puede deter-minar su velocidad en el punto A?

x

O i A BB´B´´

Dr´´´rA

rB

B´´´

Dr´´ Dr´

Dr

Figura 1.11: Vector velocidad instantánea.

Al considerar las posiciones intermedias de lapartícula en t2, t,

2, t,,2, t,,,

2 , determinadas por losvectores posición r2, r,

2, r,,2, r,,,

2 , se observa que losvectores desplazamiento ∆r, ∆r,, ∆r,,, ∆r,,,, cam-bian en magnitud.

Igualmente, los intervalos de tiempo corres-pondientes ∆t = t2 − t1, ∆t, = t,

2 − t1, ∆t,, =t,,2 − t1, ∆t,,, = t,,,

2 − t1, cada vez se hacen máspequeños.

Si se continúa este proceso haciendo que B seaproxime aún más al punto A, el vector despla-zamiento se hace cada vez más pequeño hastaque tiende a un valor límite. Este valor límite de∆r/∆t se conoce como velocidad instantánea en elpunto A, o sea, la velocidad de la partícula en elinstante de tiempo tA .

Si ∆r es el desplazamiento finito en un pe-queño intervalo de tiempo ∆t , a partir de untiempo to, la velocidad en un tiempo posterior

t , es el valor al que tiende ∆r/∆t cuando tanto∆r como ∆t, tienden a cero, es decir,

v = lı́m∆t→0

∆r∆t

. (1.4)

La ecuación (1.4) no es más que la definición dederivada, esto es

v =drdt

. (1.5)

De la ecuación (1.5), se concluye que la ve-locidad instantánea es tangente a la trayecto-ria seguida por la partícula, ya que el despla-zamiento infinitesimal dr es paralelo a ella. Lamagnitud de la velocidad se llama rapidez y esigual a

v = |v| =∣∣∣∣drdt

∣∣∣∣ . (1.6)

Como r = xi , se tiene que

v =drdt

=dxdt

i

= vxi= vi.

De acuerdo con la definición del vector velocidadinstantánea, se tiene que sus dimensiones y unidadesson las mismas del vector velocidad media.

En adelante, siempre que se hable de veloci-dad, se hace referencia a la velocidad instantá-nea.

Como, en este caso, la trayectoria rectilínea dela partícula coincide con el eje de coordenadasx, la velocidad es un vector cuya magnitud estádada por la ecuación (1.6) y cuya dirección coin-cide con la del movimiento. Así, la velocidad vestará dirigida en el sentido del vector unitarioi si dx

/dt > 0 y en el sentido opuesto de i si

dx/

dt < 0. O sea, el signo de dx/

dt indica elsentido de movimiento, como se muestra en lafigura 1.12.

En síntesis, de acuerdo con lo anterior, setiene que el signo de la velocidad está dado porel sistema de referencia empleado.

Partiendo de la definición del vector veloci-dad, es posible conocer el vector posición de


O

O

i

ix

x

Movimiento

Movimiento

v > 0

v < 0

v

v

A

A

Figura 1.12: El signo de v indica el sentido demovimiento.

una partícula si se conoce la forma como varíael vector velocidad con el tiempo.

Mediante la ecuación (1.5) y sabiendo que enel instante to la partícula se encuentra en la posi-ción ro, se encuentra que la posición en el ins-tante t está dada por

r = ro +

t∫to

v(t)dt. (1.7)

Mientras no se conozca la forma como varía elvector velocidad (v(t)) con el tiempo, no es posi-ble resolver la integral de la ecuación (1.7).

Para movimiento a lo largo del eje x, estoes en una dimensión, la expresión dada por laecuación (1.7) adquiere la forma

x = xo +

t∫to

v(t)dt, (1.8)

que como se sabe, es posible resolver la integralsi se conoce la forma funcional de v(t).

Un caso particular se presenta cuando el vec-tor velocidad permanece constante en magni-tud y dirección. Cuando ello ocurre, las ecua-ciones (1.7) y (1.8), respectivamente, se transfor-man en

r = ro + v(t − to), (1.9)

x = xo + v(t − to), (1.10)

Las ecuaciones (1.9) y (1.10) corresponden a unmovimiento conocido como movimiento rectilí-neo uniforme, ya que al no cambiar la dirección

de la velocidad, la trayectoria es rectilínea y alno cambiar la magnitud de la velocidad su rapi-dez es constante.

Ejemplo 1.5.El vector posición de una partícula que semueve a lo largo del eje x, está dado porr(t) = −(t2 − 15)i, donde r está dado enm y t en s. Determine la velocidad de lapartícula t = 3 s.

SoluciónEmpleando la ecuación (1.5) se tiene que lavelocidad en cualquier instante de tiempot está dada por

v = −2ti.

Reemplazando t = 3 s en la expresiónpara v, se tiene que el vector velocidad es-tá dado por

v = −(6 m · s−1)i.

PreguntaCompare este resultado con los valores dela velocidad media mostrados en la tabla1.1 del ejemplo 1.4. ¿Qué puede concluir?

Ejercicio 1.6.El vector posición de una partícula que semueve sobre el eje y, está dado por r =

(2t2 − 1)j donde r está dado en m y t en s.Determine la velocidad de la partícula enel instante t = 3 s . Compare el resultadocon lo obtenido en el ejercicio 1.4.

Ejemplo 1.6.Si la velocidad de una partícula está dadapor v = −2ti, halle el vector posición dela partícula en el instante de tiempo t,sabiendo que partió de una posición en lacual ro = (15 m)i en to = 0.

SoluciónReemplazando los vectores ro y v en laecuación (1.8), se encuentra que al inte-grar, evaluar y simplificar, el vector posi-ción de partícula está dado por

r = −(t2 − 15)i,

De este resultado, se puede concluir quesi se conoce el vector posición de una


partícula, en función del tiempo, es posi-ble conocer el vector velocidad y si seconoce el vector velocidad, en función deltiempo, se puede conocer el vector posi-ción de la partícula (recuerde que la in-tegración es la operación inversa de laderivación).

Ejercicio 1.7.Si la velocidad de una partícula está da-da por v = −3t2j , halle el vector posiciónde la partícula en el instante de tiempo t,sabiendo que partió de una posición en lacual en ro = −(1.00 m)j en to = 0.

Hasta este momento se han definido, para elcaso de movimiento rectilíneo, las cantidadescinemáticas vector posición y vector velocidadque permiten describir el movimiento de cuer-pos tratados bajo el modelo de partícula y quese mueven en línea recta. El movimiento rec-tilíneo es el movimiento más simple que puedeadquirir un cuerpo.

De acuerdo con lo anterior, la trayectoria rec-tilínea de una partícula se puede hacer coinci-dir tanto con el eje x como con el eje y. Igual-mente, la trayectoria y por ende el eje coor-denado puede ser horizontal o tener cualquierorientación es decir, la trayectoria en línea recta,puede ser vertical, horizontal u oblicua, como lamostrada en la figura 1.13.

MovimientoiO

x

Figura 1.13: Movimiento rectilíneo de una partícu-la.

Aunque el desplazamiento, por definición esuna cantidad vectorial, se ha considerado lasituación en la cual sólo una componente deldesplazamiento es diferente de cero, al hacercoincidir el eje de coordenadas con la trayecto-ria rectilínea descrita por la partícula.

En la figura 1.13, el eje x coincide con latrayectoria descrita por una partícula, por loque su vector posición y su vector velocidad es-tán dados, respectivamente, por

r = xi, v = vi.

Ahora, la coincidencia entre el eje x y la trayec-toria rectilínea de la partícula, define la direc-ción del movimiento, por lo que es posible es-cribir las cantidades anteriores en la forma

r = x, v =dxdt

. (1.11)

O sea, las definiciones y conceptos considera-dos anteriormente son válidos, ecuaciones (1.1)a (1.9), siempre y cuando se tenga presente quesolo aparece una componente en cada uno delos vectores, esto es, cuando la trayectoria coin-cida con el eje utilizado.

A BO

x

Figura 1.14: Desplazamiento y distancia recorrida.

Es preciso tener presente que no se debeconfundir desplazamiento con distancia recorrida,como se ilustra en la figura 1.14, donde unapartícula va del origen de coordenadas O alpunto A y luego regresa, pasando por O, has-ta llegar al punto B.

Así, en este caso, el vector desplazamientode la partícula tiene una magnitud dada por∆x = OB, apuntando hacia la derecha; estocorresponde al vector que va del punto O alpunto B, mientras que la distancia recorrida esd = 2OA + OB.

Ejercicio 1.8.Una partícula, cuya ecuación cinemáticade posición está dada por y(t) = 3t3 −4t2 − t + 5, donde y se da en m y t en s,se mueve paralelamente al eje y . a) Deter-mine la velocidad de la partícula en fun-ción del tiempo. b) Calcule la posición yla velocidad de la partícula en el instantet = 2.5 s. c) ¿Cuáles son las dimensiones


de los coeficientes numéricos, en cada unode los términos de las ecuaciones cinemá-ticas de posición y velocidad?

Ejercicio 1.9.Determine, en función del tiempo, la posi-ción de una partícula que se mueve a lolargo del eje z, sabiendo que su ecuacióncinemática de velocidad está dada por v =

9t2 − 8t − 1, con zo = 5 m en to = 0. Com-pare su resultado con la expresión paray(t) dada en el ejercicio 1.8.

1.6.3. Movimiento rectilíneo uniforme(MRU)

En esta sección se analiza con mayor detalleel caso de un movimiento con velocidad cons-tante, es decir, v = Constante. Esta situaciónocurre, por ejemplo, cuando la aguja del ve-locímetro de un auto no cambia de posiciónmientras el auto está en movimiento por una víarecta. De este modo, la ecuación (1.10),

x = xo + v(t − to), (1.12)

es la ecuación cinemática de posición para estemovimiento, denominado movimiento rectilíneouniforme (MRU).

En muchos casos, es posible tomar to = 0.

x

x

xo

to

t

tO

Figura 1.15: Gráfica de la posición en función deltiempo para un MRU.

De acuerdo con la geometría analítica, laecuación (1.12) corresponde a la ecuación deuna línea recta, donde su pendiente es la mag-nitud de la velocidad del movimiento.

En las figuras 1.15 y 1.16 se muestran las gráfi-cas de posición y velocidad en función del tiem-

v

v

to

ttO

Area = Dx

Figura 1.16: Gráfica de la velocidad en función deltiempo para un MRU.

po, para el caso de una partícula con movimien-to rectilíneo uniforme.

En la figura 1.15 se tiene que la pendiente dela gráfica de posición en función del tiempo estádada por

Pendiente =x − xo

t − to= v. (1.13)

Al comparar las ecuaciones.(1.12) y (1.13) se en-cuentra que realmente la pendiente de la rectacorresponde a la velocidad de una partícula conmovimiento rectilíneo uniforme.

Ejercicio 1.10.Utilizando la figura 1.16, demuestre quepara el intervalo de tiempo ∆t = t −to, el área sombreada es igual al despla-zamiento ∆x de una partícula que tienemovimiento rectilíneo uniforme.

Ejemplo 1.7.Un auto A y y una moto B se muevencon velocidades vA y vB, sobre una pistarecta, en carriles paralelos y con sentidosopuestos. Inicialmente, los móviles estánseparados una distancia d. a) Haga undiagrama ilustrativo de la situaciónplanteada, donde se muestre el sistemade referencia a emplear. b) Teniendo encuenta el sistema de referencia elegido,plantee las ecuaciones cinemáticas deposición para cada móvil. c) Determine eltiempo que demoran los móviles en pasaruno frente al otro. d) Halle el valor de lacantidad obtenida en el numeral anterior,si vA = 216 km · h−1, vB = 40 m · s−1 yd = 50 m

1.7. MOMENTO LINEAL O CANTIDAD DE MOVIMIENTO (P) 11

Solucióna) Diagrama ilustrativo de la situaciónplanteada, en el cual se muestra el sistemade referencia a emplear.

Movimiento

O

Movimiento

A

d

x

B

b) De acuerdo con el enunciado, lascantidades d, vA y vB son dadas ylos móviles se mueven con velocidadesconstantes, por lo que cada uno tienemovimiento rectilíneo uniforme. Así, lasecuaciones cinemáticas de posición tienenla forma general dada por la ecuación(1.12), con to = 0, xoA = 0 y xoB = d.

Respecto al sistema de referenciamostrado en el diagrama y con origen enO, las ecuaciones cinemáticas de posiciónpara el auto A y para la moto B, respecti-vamente, adquieren la forma

xA = vAt. (1)

xB = d − vBt. (2)

c) Cuando un vehículo pasa frente al otrola posición es la misma, por lo que lasecuaciones (1) y (2) son iguales, teniendoen cuenta que a partir de la situación ini-cial, el tiempo que demoran los móviles enencontrarse es el mismo.

Por lo tanto, luego de igualar las ecua-ciones (1) y (2), y simplificar, se encuentraque el tiempo que demoran en encontrarseestá dado por

t =d

vA + vB. (3)

d) Al reemplazar en la ecuación (3) losvalores vA = 216 km · h−1 ≡ 60 m · s−1,vB = 40 m · s−1 y d = 50 m, se tiene

t =50 m

60 m · s−1 + 40 m · s−1

= 0.5 s,

que es el tiempo que los móviles demoranen pasar uno frente al otro.

Ejercicio 1.11.Dos autos A y B se mueven con veloci-dades vA y vB (vA > vB), sobre una pista

recta, en carriles paralelos y en el mismosentido. Inicialmente, los autos están se-parados una distancia d. a) Haga un dia-grama ilustrativo de la situación plantea-da, donde se muestre el sistema de refe-rencia a emplear. b) Teniendo en cuentael sistema de referencia elegido, plantee laecuación cinemática de posición para cadaauto. c) Determine el tiempo que demo-ran los autos en pasar uno frente al otro.d) Halle el valor de la cantidad obtenidaen el numeral anterior, si vA = 60 m · s−1,vB = 144 km · h−1 y d = 50 m, e) ¿Qué sepuede afirmar respecto al tiempo, cuandolas velocidades de los autos son iguales?

1.7. Momento lineal o cantidad demovimiento (p)

En esta sección se analiza la expresiónmatemática que relaciona los conceptos demasa y velocidad con el concepto de momentolineal o cantidad de movimiento, en el casode una dimensión. Por ello, es necesario hacerreferencia a las cantidades dinámicas masa ymomento lineal que son el punto de partida dela mayoría de los conceptos que se tratarán enadelante.

La física dispone de una cantidad escalarque es característica o propia de cada cuerpo yla cual permite conectar la cinemática de unapartícula con la dinámica de una partícula; es-ta propiedad de los cuerpos es su masa. En loque sigue, no se hace una definición operacionalde la masa, sino que en su lugar se emplea elconcepto intuitivo que de ella se tiene, esto es,lo que marca una balanza cuando un cuerpo secoloca sobre ella.

La masa de un cuerpo, que se representa me-diante los símbolos M o m, es una cantidad fun-damental cuya dimensión es M. De acuerdo conesta dimensión, las unidades respectivas son: elkilogramo (kg) en el sistema de unidades SI, y elgramo (g) en el sistema gaussiano de unidades.En el sistema inglés la unidad de masa es elslug, que se definirá más adelante.

La equivalencia entre estas unidades está da-


da por la identidad: 1kg ≡ 103g.Una vez que se han considerado los concep-

tos de vector velocidad y del escalar masa, laprimera cantidad dinámica a definir, es el vectormomento lineal o cantidad de movimiento, que esde gran importancia en la física ya que permiteobtener mayor información que la que permiteobtener el vector velocidad.

O

pm

x

Figura 1.17: Momento lineal de una partícula.

Cuando una partícula de masa m, posee unavelocidad v respecto a determinado observador,se dice que su vector momento lineal, respectoa dicho observador, está dado por

p ≡ mv= mvi, (1.14)

De acuerdo con la definición dada por laecuación (1.14), se tiene que el momento lineales una cantidad vectorial que apunta en la mis-ma dirección del vector velocidad, como se ilus-tra en la figura 1.17.

Además, como la velocidad depende del sis-tema de referencia, entonces el momento linealtambién depende del sistema de referencia.Igualmente, como la velocidad es paralela a latrayectoria descrita por la partícula, el momen-to lineal también es paralelo a la trayectoria quela partícula describe.

Dimensiones y unidades del vector momentolinealDe acuerdo con la definición de momento lineal,se tiene que sus dimensiones son iguales a la di-mensión de masa por la dimensión de veloci-dad, es decir [p] = [m][v] = MLT−1 . Por lotanto, las unidades en los respectivos sistemasestán dadas por: kg · m · s−1 en el sistema SI deunidades, g · cm · s−1 en el sistema gaussiano deunidades y como se verá más adelante, lb · s enel sistema inglés de unidades.

En el ejemplo 1.8, se muestra que el momentolineal permite obtener mayor información quela velocidad.

Ejemplo 1.8.El camión de masa M y el auto de masa mde la figura 1.18 (M > m), se mueven conigual velocidad v respecto al sistema dereferencia mostrado. ¿Cuál es más difícilllevar al estado de reposo?

SoluciónLa experiencia muestra que el camión, conmayor momento lineal, es más difícil dellevar al estado de reposo. Lo anterior in-dica que aunque cinemáticamente no exis-te diferencia alguna entre el estado de losdos autos, velocidades iguales, dinámica-mente se presenta una diferencia comoconsecuencia de la diferencia en sus mo-mentos lineales.

x

v

v

O

mM

Figura 1.18: Cuerpos con igual velocidad y diferentemomento lineal.

1.7.1. Conservación del momento linealen una dimensión

Aunque solo se consideran dos casos particula-res, el principio de conservación del momentolineal tiene validez general, sin importar elnúmero de partículas que intervengan en unsistema. Este principio es de gran utilidad enla física, tanto desde el punto de vista teóricocomo experimental. En los dos casos que seconsideran a continuación, se recurre a losresultados que muestra el experimento, cuandoeste se lleva a cabo.

1. Como primer experimento se considera lasituación en la que a una partícula, de masa my en movimiento rectilíneo, se le impide inte-ractuar con cualquier otra, como se ilustra enla figura 1.19. Al no interactuar la partícula conninguna otra, el resultado que se obtiene es quesu estado de movimiento no es alterado, es-to es, su velocidad permanecerá constante, o

1.7. MOMENTO LINEAL O CANTIDAD DE MOVIMIENTO (P) 13

lo que es igual, su momento lineal debe per-manecer constante. Lo anterior se puede expre-sar matemáticamente en la forma

p = mv = mvi = Constante o sea ∆p = 0

vm

x

Figura 1.19: Conservación del momento lineal deuna partícula aislada.

2. En el segundo experimento, como se indi-ca en la figura 1.20, se aíslan, del resto del uni-verso, dos partículas con masas constantes m1y m2. Decir que se aíslan del resto del universo,equivale a afirmar que sólo se permiten sus in-teracciones mutuas. A un sistema como este sele llama sistema aislado.

v1

m1

v2

m2

t

t´ >t

v1´

m1

v2´

m2

x

x

Figura 1.20: Momento lineal de dos partículas ais-ladas.

Cuando a las partículas se les permite in-teractuar entre sí, se encuentra que sus mo-mentos lineales individuales pueden cambiar altranscurrir el tiempo. Por otro lado, el momen-to lineal total del sistema formado por las dos

partículas, en cualquier instante, está dado porla suma de los momentos lineales de las partícu-las. De acuerdo con lo anterior, en el instante tel momento lineal del sistema aislado, está dadopor

P = p1 + p2

= m1v1 + m2v2

= m1v1i + m2v2i, (1.15)

y en el instante posterior t′ por

P′ = p′1 + p′

2

= m1v′1 + m2v′

2

= m1v′1i + m2v′2i. (1.16)

Cuando se realiza este experimento, se encuen-tra que independientemente de los valores det y t′, el momento lineal total del sistema per-manece constante, o sea,

P = P′

Pi = P′i (1.17)

Para el caso unidimensional, se puede enun-ciar el principio de conservación del momen-to lineal, en la forma: El momento lineal total delsistema aislado formado por las dos partículas, per-manece constante.

Para la situación de interés, se tiene queel momento lineal ganado (o perdido) poruna partícula, es perdido (o ganado) por laotra partícula; así, al reemplazar las ecuaciones(1.15) y (1.16) en la ecuación (1.17) se tiene

p1 + p2 = p′1 + p′

2

= Constantep1i + p2i = p′1i + p′2i

= Constante,

o lo que es igual

∆p1 = −∆p2

∆p1i = −∆p2i, (1.18)

de donde, el momento lineal que gana unapartícula es igual al momento lineal que pierdela otra.


Como consecuencia de este resultado, devalidez general, el cambio en el momento linealde una partícula se debe a su interacción con laotra partícula. En conclusión, toda interacción en-tre dos partículas genera cambios en sus momentoslineales individuales.

A diario se presentan situaciones en las que semanifiesta la conservación del momento lineal.Por ejemplo, cuando un rifle en reposo respec-to a la tierra es disparado, se observa que el ri-fle retrocede. Este retroceso es una consecuenciadel principio de conservación del momento li-neal, ya que en este caso, el momento lineal totaldel sistema inmediatamente antes del disparo einmediatamente después del disparo, debe sernulo.

1.8. Movimiento en un plano

Las cantidades físicas vector posición (r), vec-tor desplazamiento (∆r), vector velocidad (v)y vector momento lineal (p), se han definidopara el caso de una dimensión. En lo que sigue,se analizan situaciones en las que los cuerposse mueven sobre un plano y no sólo en línearecta. Por consiguiente, los vectores anteriorestendrán dos componentes rectangulares, lo cualsignifica que en este caso los sistemas de refe-rencia deben ser bidimensionales.

1.8.1. Vector posición en dos dimen-siones (r)

Para el caso de dos dimensiones, un cuerpotratado bajo el modelo de partícula, se muevea lo largo de un camino, también conocido co-mo trayectoria. La posición de la partícula, enun instante determinado y respecto al sistemade referencia mostrado en la figura 1.21, está da-da por el vector posición r trazado desde el ori-gen del sistema de referencia hasta la posicióndonde se encuentre la partícula.

Si el vector posición en componentes rectan-gulares está dado por r = x i + yj , se tiene quesu magnitud y dirección están dadas, respecti-vamente, por

r =√

x2 + y2 y θ = tan−1 yx

. (1.19)

x

y

O i

j

r( )t

A( , )x y

Trayectoria

q

Figura 1.21: Vector posición r de la partícula.

La forma de las expresiones dadas por laecuación (1.19) son válidas, en general, paraobtener la magnitud y dirección de cualquiervector, si se conocen sus componentes rectangu-lares.

En la figura 1.21 se observa que el vector posi-ción r varía con el tiempo tanto en magnitud co-mo en dirección, mientras la partícula se muevea lo largo de su trayectoria.

Ejemplo 1.9.El vector posición de una partícula quese mueve en el plano xy, está dado porr(t) = (t − 3)i − (t2 − 15)j, donde r estádado en m y t en s. Cuando tA = 2.50 s lapartícula pasa por el punto A. Determine:a) Las coordenadas de la partícula en elpunto A. b) La magnitud y dirección delvector posición en dicho instante.

Solucióna) Reemplazando tA = 2.50 s en la expre-sión dada, se encuentra que el vector posi-ción en componentes rectangulares, cuan-do la partícula pasa por el punto A, estádado por

rA = (− 0.50 m)i + (8.75 m)j.

Como en el plano el vector posición en ge-neral se expresa en la forma r = xi + yj, alcomparar con la igualdad anterior se tieneque

xA = −0.50 m y yA = 8.75 m,

que son las coordenadas de la partículacuando pasa por el punto A.

b) Utilizando las ecuaciones (1.19), seencuentra que la magnitud y dirección delvector posición están dadas por

rA = 8.76 m y θA = 86.73o.

1.8. MOVIMIENTO EN UN PLANO 15

Así, el vector posición se puede expresaren la forma

rA

= 8.76 m 86.73o

El siguiente diagrama es una represen-tación gráfica de los resultados obtenidos.

A

x (m)

y (m)

i

j

rA

8.75

- 0.50 O

qA

Ejercicio 1.12.El vector posición de una partícula quese mueve en el plano xy, está dado porr(t) = (t− 3)i− (t2 − 15)j donde r está da-do en m y t en s. a) Encuentre la ecuaciónde la trayectoria seguida por la partícula.De acuerdo con su resultado, ¿qué trayec-toria describe la partícula? b) Halle el ins-tante en que la partícula pasa por el eje xy el instante en que pasa por el eje y . c)Obtenga el vector posición de la partículaen el instante t = 0.

Ejercicio 1.13.El vector posición de una partícula quese mueve en el plano xy, está dado porr(t) = (2t2 − 1)i − (t3 + 2)j donde r estádado en m y t en s. Cuando tA = 2.50 s lapartícula pasa por el punto A. Determine:a) Las coordenadas de la partícula en elpunto A. b) La magnitud y dirección delvector posición en dicho instante.

1.8.2. Vector desplazamiento en dos di-mensiones (∆r)

Para el caso de movimiento en dos dimen-siones, como lo muestra la figura 1.22, se consi-dera una partícula que en el instante tA pasa porel punto A, definido por el vector posición rA. Si

en un instante de tiempo posterior tB (tB > tA )la partícula pasa por el punto B, definido me-diante el vector posición rB, el vector desplaza-miento, que describe el cambio de posición de lapartícula conforme se mueve de A a B, es dadopor

∆r = rB − rA

= (xB − xA)i + (yB − yA)j. (1.20)

x

y

O ij

A( , )x yA A

B( , )x yB B

Dr

rB

rA

Figura 1.22: Vector desplazamiento ∆r entre A y B.

Ejemplo 1.10.Una partícula cuyo vector posición estádado por r(t) = (t − 3)i − (t2 − 15)j seencuentra en el punto A en tA = 2.50 s.Si en el tiempo tB = 4.00 s pasa por elpunto B, calcule la magnitud y direccióndel vector desplazamiento entre A y B.

SoluciónAl reemplazar tA = 2.50 s y tB = 4.00 sen la expresión dada, se encuentra que losvectores posición de la partícula, en com-ponentes rectangulares, respectivamenteestán dados por

rA = (− 0.50 m)i + (8.75 m)j,rB = (1.00 m)i − (1.00 m)j.

Ahora, utilizando la ecuación (1.20), setiene que el vector desplazamiento, entreA y B, en componentes rectangulares estádado por

∆r = (1.50 m)i − (9.75 m)j.

Por último, utilizando las ecuaciones(1.19), se encuentra que la magnitud y di-rección del vector desplazamiento estándadas por

∆r = 9.86 m y β = 81.25o,


Es decir

rA

= 9.86 m 81.25o

En el diagrama siguiente se muestra,tanto el vector desplazamiento como el án-gulo que forma con la horizontal.

x

y

O

b

rA

rB

D r

Ejercicio 1.14.Una partícula cuyo vector posición estádado por r(t) = (2t2 − 1)i − (t3 + 2)j,donde r está dado en m y t en s, se en-cuentra en el punto A en tA = 2.50 s. Si enel tiempo tB = 4.00 s pasa por el punto B,calcule la magnitud y dirección del vectordesplazamiento entre A y B.

1.8.3. Vector velocidad en dos dimen-siones (v)

Igual que en el caso de movimiento rectilíneo,cuando la posición de una partícula cambia conel tiempo, la partícula ha adquirido una veloci-dad. En general, la velocidad de una partículase define como la rapidez con la cual cambia laposición con el tiempo.

1.8.4. Vector velocidad media en dos di-mensiones (v̄)

Para el caso de movimiento en el plano y deacuerdo con la figura 1.23, se considera unapartícula que en el instante tA pasa por el pun-to A, determinado por el vector posición rA. Sien un tiempo posterior tB (tB > tA ) la partículapasa por el punto B, determinado por el vectorposición rB, la velocidad media durante el inter-valo de tiempo ∆t = tB − tA , se define como el

vector desplazamiento dividido entre el inter-valo de tiempo correspondiente, es decir

v̄ ≡ ∆r∆t

=rB − rA

tB − tA

=(xB − xA)i + (yB − yA)j

tB − tA

= v̄xi + v̄yj.

(1.21)

x

y

O i

j

A( , )x yA A

B( , )x yB B

v

rA

rB

D r

Figura 1.23: Vector velocidad media entre A y B.

Dimensiones y unidades del vector velocidadmediaDe acuerdo con la ecuación (1.21), las dimen-siones del vector velocidad media y en generalde la velocidad, son LT−1 . Por consiguiente, lasunidades son m · s−1 en el sistema SI, cm · s−1

en el sistema gaussiano, p · s−1 en el sistemaInglés; y en general, cualquier unidad de lon-gitud dividida por una unidad de tiempo, talcomo km · h−1.

La definición (1.21) muestra que la velocidadmedia, v̄ , es un vector ya que se obtiene al di-vidir el vector ∆r entre el escalar ∆t, por lo tan-to, la velocidad media incluye tanto magnitudcomo dirección. Donde su magnitud está dadapor |∆r/∆t| y su dirección por la del vector des-plazamiento ∆r. Esta cantidad es una velocidadmedia, ya que la expresión no dice cómo fue elmovimiento entre A y B. La trayectoria pudohaber sido curva o recta, el movimiento pudohaber sido continuo o variable.

La siguiente es una situación en la que elvector velocidad media es nulo. La figura 1.24,muestra la trayectoria de un auto que parte delpunto A y pasando por el punto B regresa alpunto A, luego de un tiempo ∆t. En este caso, la

1.8. MOVIMIENTO EN UN PLANO 17

velocidad media es cero pues el desplazamien-to de la partícula es cero, aunque la distanciarecorrida es diferente de cero, ya que correspon-de a la longitud de la trayectoria cerrada segui-da por la partícula.

x

y

O

A

B

Figura 1.24: Vector desplazamiento nulo.

Ejemplo 1.11.El vector posición de una partícu-la en movimiento está dado porr(t) = (t − 3)i − (t2 − 15)j, se encuen-tra en el punto A en tA = 2.50 s. Si en eltiempo tB = 4.00 s pasa por el punto B,determine la magnitud y dirección de lavelocidad media entre A y B.

SoluciónObteniendo el vector desplazamiento ∆ry sabiendo que ∆t = 1.5 s, utilizando laecuación (1.21), se encuentra que la veloci-dad media en componentes rectangularesestá dada por

v̄ = (1.00 m · s−1)i − (6.5 m · s−1)j. (1)

Mediante las ecuaciones (1.19) y para estecaso, se encuentra que la magnitud y di-rección del vector velocidad media, estándadas por

v = 6.58 m · s−1 y β= 81.25o

o sea que es la misma dirección del vector

v = 6.58 m s-1

81.25o

desplazamiento ∆r , como se esperaba.

Ejercicio 1.15.Una partícula cuyo vector posición estádado por r(t) = (t − 3)i − (t2 − 15)j, se en-cuentra en el punto A en el instante tA. Si

en el tiempo tB pasa por el punto B, de-muestre que la velocidad media cuando lapartícula pasa del punto A al punto B, estádada por v̄ = i − (tB + tA)j.

Ejercicio 1.16.Una partícula cuyo vector posición estádado por r(t) = (2t2 − 1)i − (t3 + 2)j, seencuentra en el punto A en tA = 2.50 s. Sien el tiempo tB = 4.00 s pasa por el puntoB, calcule la magnitud y dirección del vec-tor desplazamiento entre A y B y del vec-tor velocidad media en dicho intervalo.

Ejemplo 1.12.La velocidad media cuando una partículapasa del punto A al punto B, está dadapor v̄ = i − (tB + tA)j . Obtenga la mag-nitud y dirección de la velocidad media,cuando la partícula se mueve durantelos intervalos de tiempo mostrados en latercera columna de la tabla 1.2.

SoluciónEn la tabla 1.2 se muestran los valoresobtenidos para la magnitud (v̄) y ladirección (θ) del vector velocidad media,en diferentes intervalos de tiempo (∆t)con tB = 3.0 s.

Tabla 1.2

tA(s) tB(s) ∆t(s) v̄(m/s) θ(o)

2.980000 3.0 0.020000 6.060000 80.500002.990000 3.0 0.010000 6.070000 80.520002.995000 3.0 0.005000 6.078000 80.530002.998000 3.0 0.002000 6.081000 80.534002.999000 3.0 0.001000 6.082000 80.536002.999500 3.0 0.000500 6.082300 80.536902.999800 3.0 0.000200 6.082600 80.537402.999900 3.0 0.000100 6.082700 80.537502.999990 3.0 0.000010 6.082750 80.537662.999995 3.0 0.000005 6.082758 80.53767

Pregunta¿Qué puede concluir al observar los valo-res de las tres últimas columnas de la tabla1.2


Ejercicio 1.17.Para una partícula, el vector posición enfunción del tiempo está dado por r(t) =

(2t2 − 1)i − (t3 + 2)j , donde r está dadoen m y t en s. a) Si la partícula pasa por elpunto A en el instante tA y por el puntoB en el instante tB , halle el vector veloci-dad media en sus componentes rectangu-lares. b) Obtenga la magnitud y direcciónde la velocidad media, cuando la partículase mueve durante los intervalos de tiem-po mostrados en la tercera columna de latabla 1.2.

1.8.5. Vector velocidad instantánea endos dimensiones (v)

La velocidad instantánea, es la velocidad deuna partícula en un instante dado cualquiera.O también, la velocidad, respecto a determinado sis-tema de referencia, que puede variar bien sea porquecambia sólo su magnitud ó sólo su dirección ó si-multáneamente cambian tanto su magnitud como sudirección.

Para el movimiento de una partícula, repre-sentado en la figura 1.25, ¿cómo se puede deter-minar su velocidad en el punto A?

x

y

O i

j

A

B

v

B '

B ''Dr''

Dr'

Drr

A

rB

Figura 1.25: Vector velocidad instantánea.

Al considerar las posiciones intermedias dela partícula en t,

2, t,,2, t,,,

2 , determinadas por losvectores posición r,

2, r,,2, r,,,

2 , se observa que losvectores desplazamiento ∆r,, ∆r,,, ∆r,,,, cambiantanto en magnitud como en dirección, o sea quela velocidad media varía tanto en magnitud co-mo en dirección al tener en cuenta los puntosentre A y B.

Igualmente, los intervalos de tiempo corres-pondientes ∆t = t2 − t1, ∆t, = t,

2 − t1, ∆t,, =t,,2 − t1, ∆t,,, = t,,,

2 − t1, cada vez se hacen máspequeños.

Si se continúa este proceso haciendo que B seaproxime al punto A, el vector desplazamientose hace cada vez más pequeño hasta que tiendea un valor y a una dirección límite, que corres-ponde a la de la tangente a la trayectoria dela partícula en el punto A. Este valor límite de∆r/∆t se conoce como velocidad instantánea en elpunto A, o sea, la velocidad de la partícula en elinstante de tiempo tA .

Si ∆r es el desplazamiento finito en un pe-queño intervalo de tiempo finito ∆t, a partir deun tiempo to, la velocidad en un tiempo poste-rior t, es el valor al que tiende ∆r/∆t cuandotanto ∆r como ∆t, tienden a cero, es decir,

v = lı́m∆t→0

∆r∆t

. (1.22)

La ecuación (1.22) no es más que la definiciónde derivada, esto es

v =drdt

. (1.23)

De la ecuación (1.23), se concluye que la ve-locidad instantánea es tangente a la trayecto-ria seguida por la partícula, ya que el desplaza-miento infinitesimal dr es tangente a la trayecto-ria. La magnitud de la velocidad se llama rapi-dez y es igual a

v = |v| =∣∣∣∣drdt

∣∣∣∣ .

Como r = xi + yj, se tiene que en componentesrectangulares

v =drdt

=dxdt

i +dydt

j

= vxi + vyj.

Si en la figura 1.26, se conocen las componentesrectangulares, se tiene que su magnitud y direc-ción están dadas por

v =√

v2x + v2

y y θ = tan−1 vy

vx.

1.9. MOMENTO LINEAL O CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES (P) 19

De acuerdo con la definición del vector velocidad ins-tantánea, se tiene que sus dimensiones y unidadesson las mismas del vector velocidad media.

En adelante, siempre que se hable de veloci-dad, se hace referencia a la velocidad instantá-nea.

x

y

O i

j

r( )t

q

vy

vx

v

Figura 1.26: Componentes rectangulares del vectorvelocidad.

Partiendo de la definición del vector veloci-dad, es posible conocer el vector posición deuna partícula si se conoce la forma como varíael vector velocidad con el tiempo.

Teniendo en cuenta que en el instante detiempo to la partícula se encuentra en la posi-ción ro, mediante la ecuación (1.23) se encuentraque que la posición de la partícula en el instantet está dada por

r = ro +

t∫to

v(t)dt. (1.24)

Lo que se ha hecho es, partiendo de la formadiferencial de la ecuación (1.23), obtener la for-ma integral dada por la ecuación (1.24). Mien-tras no se conozca la forma como varía el vectorvelocidad (v(t)) con el tiempo, no es posible re-solver la integral de la ecuación (1.24).

Ejemplo 1.13.El vector posición de una partícula quese mueve en el plano xy, está dado porr(t) = (t − 3)i − (t2 − 15)j, donde r estádado en m y t en s. Determine la velocidadde la partícula, en el instante t = 3 s.

Solucióna) Empleando la ecuación (1.23) se tiene

que la velocidad en cualquier instante detiempo t está dada por

v = i − 2tj.

Reemplazando t = 3 s en la expresiónpara v, se tiene que el vector velocidad encomponentes rectangulares está dado por

v = (1 m · s−1)i − (6 m · s−1)j. (1)

Así que su magnitud y dirección estándadas respectivamente por

v = 6.08 m · s−1 y θ = 80.54o,

es decir

v = 6.083 m.s-1

80.54o

Ejercicio 1.18.El vector posición de una partícula que semueve en el plano xy, está dado por r(t) =(2t2 − 1)i − (t3 + 2)j donde r está dado enm y t en s. Determine la velocidad de lapartícula, en el instante t = 3 s . Compareel resultado con lo obtenido en el ejercicio1.12.

1.9. Momento lineal o cantidad demovimiento en dos dimen-siones (p)

En esta sección, de nuevo se hace referencia alas cantidades dinámicas masa y momento linealque son el punto de partida de la mayoría de losconceptos que se tratarán en adelante.

Como se sabe, la física dispone de una can-tidad escalar que es característica o propia decada cuerpo como es su masa. Recuerde que nose hace una definición operacional de la masa,sino que en su lugar se emplea el concepto in-tuitivo que de ella se tiene, esto es, lo que marcauna balanza cuando un cuerpo se coloca sobreella.

Igualmente, se debe tener presente que lamasa de un cuerpo es una cantidad fundamen-tal cuya dimensión es M y que de acuerdo conesta dimensión, las unidades respectivas son: el


kilogramo (kg) en el sistema de unidades SI, y elgramo (g) en el sistema gaussiano de unidades.

En el caso de dos dimensiones, la primeracantidad dinámica a definir, es el vector momen-to lineal o vector cantidad de movimiento, de granimportancia en la física pues permite obtenermás información que el vector velocidad.

O

p

m

y

x

Figura 1.27: Momento lineal de una partícula.

Una partícula de masa m que posee una ve-locidad v respecto a determinado observador,tiene, respecto a dicho observador, un momentolineal dado por

p ≡ mv. (1.25)

De acuerdo con la definición dada por laecuación (1.25), se tiene que el momento lineales una cantidad vectorial que apunta en la mis-ma dirección del vector velocidad, como se ilus-tra en la figura 1.27.

Además, como la velocidad depende del sis-tema de referencia, entonces el momento linealtambién depende del sistema de referencia.Igualmente, como la velocidad es tangente a latrayectoria descrita por la partícula, el momen-to lineal también es tangente a la trayectoriaque la partícula describe.

Dimensiones y unidades del vector momentolinealDe acuerdo con la definición de momento lineal,se tiene que sus dimensiones son iguales a la di-mensión de masa por la dimensión de veloci-dad, es decir [p] = [m][v] = MLT−1 . Por lotanto, las unidades en los respectivos sistemasestán dadas por: kg · m · s−1 en el sistema SI deunidades, g · cm · s−1 en el sistema gaussiano de

unidades y como se verá posteriormente lb · sen el sistema inglés de unidades.

Ejemplo 1.14.Si el momento lineal de una partícula demasa 600 g, está dado por p = 0.6i − 1.2tj,halle el vector posición de la partículaen el instante de tiempo t, sabiendoque partió de una posición en la cualro = −(3.0 m)i + (15 m)j cuando to = 0.

SoluciónUtilizando la definición del vector mo-mento lineal, se encuentra que en compo-nentes rectangulares el vector velocidadestá dado por

v = i − 2tj (1).

Al reemplazar los vectores ro y v en laecuación (1.24), se encuentra que al inte-grar, evaluar y simplificar, el vector posi-ción de partícula está dado por

r = (t − 3)i − (t2 − 15)j,

que es el mismo vector posición conside-rado en el ejemplo 1.1. De este resulta-do, se puede concluir que si se conoce elvector posición de una partícula, en fun-ción del tiempo, es posible conocer el vec-tor momento lineal y si se conoce el vec-tor momento lineal, en función del tiem-po, se puede conocer el vector posición dela partícula (recuerde que la integración esla operación inversa de la derivación).

Ejercicio 1.19.Si el momento lineal de una partícula conmasa 400g está dado por p = 1.6ti− 1.2t2j,halle el vector posición de la partícula enel instante de tiempo t, sabiendo que par-tió de una posición en la cual en ro =

−(1.00 m)i − (2.00 m)j en to = 0. Com-pare su resultado con el vector posicióndado en el ejercicio 1.17.

1.9.1. Conservación del momento linealen dos dimensiones

Como se indicó antes, aunque solo se consi-deran dos casos particulares, el principio de

1.9. MOMENTO LINEAL O CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES (P) 21

conservación del momento lineal tiene validezgeneral, sin importar el número de partículasque intervienen en un sistema. Este principioes de gran utilidad en la física, tanto desde unpunto de vista teórico como experimental. Enlos dos casos que se consideran a continuación,se recurre a los resultados que muestra elexperimento, cuando este se lleva a cabo.

1. En el primer experimento se considera lasituación en la que a una partícula, de masam y con movimiento en el plano, se le impideinteractuar con cualquier otra, como se ilustraen la figura 1.28. Al no interactuar la partícu-la con ninguna otra, el resultado que se obtienees que su estado de movimiento no es alterado,esto es, su velocidad permanecerá constante, olo que es igual, su momento lineal debe per-manecer constante. Lo anterior se puede expre-sar matemáticamente en la forma

p = mv = Constante o sea ∆p = 0

v

m

Figura 1.28: Conservación del momento lineal deuna partícula aislada.

2. En el segundo experimento, como se indi-ca en la figura 1.29, se aíslan, del resto del uni-verso, dos partículas con masas constantes m1 ym2 y que se mueven en un plano. Decir que seaíslan del resto del universo, equivale a afirmarque sólo se permiten sus interacciones mutuas.A un sistema como este se le llama sistema aisla-do.

Una vez que se le permite a las partículas in-teractuar entre sí, se encuentra que sus momen-tos lineales individuales cambian al transcurrirel tiempo. Adicionalmente, el momento linealtotal del sistema formado por las dos partícu-las, en cualquier instante, está dado por la sumade los momentos lineales de las partículas. De

v1

m1

v2

m2

t

t>t'm

1

m2

v1'

v2'

Figura 1.29: Momento lineal de dos partículas ais-ladas.

acuerdo con lo anterior, en el instante t el mo-mento lineal del sistema aislado, está dado por

P = p1 + p2

= m1v1 + m2v2, (1.26)

y en el instante posterior t′ por

P′ = p′1 + p′

2

= m1v′1 + m2v′

2. (1.27)

El experimento muestra, que independiente-mente de los valores de t y t′, el momento linealtotal del sistema aislado permanece constante, osea,

P = P′ (1.28)

Como la ecuación (1.28) es válida independien-temente del número de partículas que con-forman el sistema, se enuncia el principio deconservación del momento lineal, en la forma:El momento lineal total de un sistema aislado departículas, permanece constante.

De este modo, el momento lineal ganado(perdido) por una partícula, es perdido (gana-do) por el resto del sistema.

Para la situación que interesa en este mo-mento, se tiene que el momento lineal ganado(o perdido) por una de las partículas, es per-dido (o ganado) por la otra partícula. Así, alreemplazar las ecuaciones (1.26) y (1.27) en la


ecuación (1.28) se tiene

p1 + p2 = p′1 + p′

2

= Constante,

o lo que es igual

∆p1 = −∆p2, (1.29)

de donde, el momento lineal que gana unapartícula es igual y de sentido opuesto al mo-mento lineal que pierde la otra.

El resultado anterior tiene validez general ypermite afirmar que el momento lineal de unapartícula cambia cuando interactúa con otra uotras partículas. En conclusión, toda interacciónentre partículas genera cambios en sus momentoslineales individuales.

A menudo ocurren situaciones en las que semanifiesta claramente la conservación del mo-mento lineal en dos dimensiones. Un ejemplo,claro de conservación del momento lineal endos dimensiones, se presenta cuando una mo-to choca contra un camión. Es evidente que elcamión prácticamente no cambia su trayectoria,en cambio la moto generalmente termina en unlugar relativamente alejado de donde ocurrió elchoque.

1.9.2. Concepto de impulso (I)

El impulso es una cantidad física que se de-fine en función del momento lineal, en la forma

∆p = p − po,≡ I, (1.30)

donde la ecuación (1.30) lo define como elcambio en el vector momento lineal. De acuerdocon esta definición, las dimensiones y unidadesde impulso son las mismas de momento lineal.De este modo, por definición, el impulso no de-pende explícitamente de la masa m ni de la ve-locidad inicial vo de la partícula, ya que sóloimporta el cambio en el momento lineal de lapartícula.

El impulso es una cantidad física queadquiere importancia cuando se presenta ungran cambio en el momento lineal de una

partícula pero durante un pequeño intervalo detiempo. Por ejemplo, cuando el bate le da a unapelota de béisbol o cuando se le pega con el paloa una pelota de golf.

1.10. Concepto de energía cinéticaEk

Otra cantidad física de importancia en la físi-ca es la energía cinética de una partícula. Estacantidad es un escalar, que se puede expresaren función de la magnitud del vector velocidado de la magnitud del vector momento lineal.

Como se vio anteriormente, el momento li-neal de una partícula en movimiento cambiacon el tiempo mientras esta interactúa con otrapartícula. Se supone que el momento lineal dela partícula sufre un cambio dp durante un in-tervalo de tiempo dt en el cual la partícula se hadesplazado un dr.

Derivando respecto al tiempo, a ambos ladosde la ecuación (1.25), se tiene

dpdt

= mdvdt

. (1.31)

Multiplicando escalarmente, a ambos lados dela ecuación (1.31), por el desplazamiento dr, esposible obtener la igualdad

1m

p · dp = mv · dv. (1.32)

Como se muestra en la figura 1.30, se consideraque la partícula se mueve desde una posición Adonde la rapidez es vA y la magnitud del mo-mento lineal pA, hasta una posición B donde larapidez es vB y la magnitud de su momento li-neal pB. Mediante la ecuación (1.32) y luego deintegrar y evaluar, se llega a

p2B

2 m− p2

A2 m

=12

mv2B − 1

2mv2

A

∆(p2

2 m) = ∆(

12

mv2). (1.33)

La ecuación (1.33) muestra que el cambio enla cantidad ∆( p2

2 m ) es igual al cambio en la can-tidad ∆( 1

2 mv2), mostrando con ello que ambas

1.11. COLISIONES 23

x

y

O

BA

m

m

vA

vB

pA

pB

Figura 1.30: Movimiento de m entre A y B

expresiones se refieren a la misma cantidad físi-ca conocida como energía cinética, es decir, laenergía cinética se define matemáticamente por

Ek ≡ p2

2 m≡ 1

2mv2. (1.34)

Como lo muestra la ecuación (1.34) la energíacinética es una cantidad escalar ya que dependebien sea de la magnitud del vector momentolineal o de la rapidez de la partícula, es de-cir, es independiente de la dirección en que semueve la partícula. O sea, la definición de ener-gía cinética no tiene en cuenta el hecho que elsistema de referencia sea unidimensional o bidi-mensional.

Como la energía cinética es una cantidad físi-ca que depende, bien sea de la magnitud de lavelocidad ó de la magnitud del momento lineal,entonces depende del sistema de referencia yaque la velocidad, igual que el momento lineal,depende de él. Por otro lado, al ser la energíacinética una función de la rapidez o de la mag-nitud del momento lineal, es una energía quese le asocia a los cuerpos como consecuenciade su movimiento. Un cuerpo en reposo respec-to a determinado observador, no tiene energíacinética respecto al sistema de referencia asocia-do, aunque puede ser diferente de cero respectoa otros observadores, es decir, la energía cinéticaes una cantidad relativa.

En el caso particular de un movimiento rec-tilíneo uniforme, esto es, cuando una partícu-la se mueve con velocidad constante, el cambioen la energía cinética es nulo, es decir, ∆Ek =0, lo que indica que la energía cinética per-manece constante durante su movimiento. Estasituación se ilustra en la figura 1.31

Dimensiones y unidades de energía cinéticaDe acuerdo con las ecuaciones (1.33) y (1.34),

x

O

v = Constante

Figura 1.31: Cuerpo con movimiento rectilíneo uni-forme.

las dimensiones de energía cinética son ML2T−2

por lo que su unidad en el sistema interna-cional de unidades es el kg · m2 · s−2, unidadconocida como Joule, en el sistema gaussianode unidades es el g · cm2 · s−2 unidad conocidacomo ergio y en el sistema inglés de unidadeslbcdotp. Es decir

1kg · m2 · s−2 ≡ 1J(Joule)

1g · cm2 · s−2 ≡ 1 (ergio)

En mecánica cuántica y particularmente físi-ca nuclear, se encuentra que las unidadesdefinidas anteriormente para trabajo y energíason muy grandes, por ello, a nivel microscópicose utiliza otra unidad más pequeña de energíallamada electronvoltio (eV) y cuya relación conla unidad SI es

1 eV ≡ 1 .602 × 10−19 J.

Un múltiplo de esta unidad bastante utilizadoes el MeV, cuya relación es 1 MeV ≡ 106 eV.

1.11. Colisiones

Se habla de una colisión, cuando ocurre una in-teracción entre dos o más partículas, en un inter-valo corto de tiempo, en una región limitada delespacio y donde las fuerzas entre los cuerpos in-teractuantes son muy intensas. Esta definiciónindica que las partículas interactuantes formanun sistema aislado.

En toda colisión, la interacción entre laspartículas altera su movimiento, ya que gene-ralmente se presenta un intercambio de mo-mento lineal y de energía. Lo anterior, no sig-nifica necesariamente que las partículas hayanestado en contacto físico. En general, se quiere


indicar que ha ocurrido una interacción cuandolas partículas estaban próximas como se mues-tra en la región encerrada de la figura 1.32 parael caso de dos partículas. Cuando se presentacontacto físico entre las partículas, se acostum-bra denominar la colisión como un choque, estoocurre por ejemplo entre dos bolas de billar oentre dos autos.

En muchos casos, los cuerpos antes de unchoque son diferentes a los cuerpos después delchoque. En una reacción química, por ejemplo,el átomo A choca con la molécula BC, apare-ciendo luego del choque la molécula AB y elátomo C, esto es A + BC ↔ AB + C. En el ca-so de un disparo, antes de la colisión se tieneun cuerpo formado por el arma y el proyectil yluego del disparo se tienen dos cuerpos, el ar-ma y el proyectil. En el enganche de vagones deun tren, antes del choque se tienen dos cuerpos,cada uno de los vagones, y luego del choque setiene un cuerpo formado por los dos vagonesenganchados.

Se dice que ocurre una dispersión, cuando enun choque o colisión los cuerpos iniciales sonlos mismos cuerpos finales.

Región decolisión

m1

m1'

m2

m2'

v1

v2v2'

v1'

Figura 1.32: Colisión entre dos partículas.

Como un resultado del experimento y sabien-do que en un choque se tiene un sistema aislado,puesto que únicamente actúan fuerzas internasque afectan el estado de cada cuerpo, se puedeafirmar, el momento lineal total de un sistema esigual antes y después de una colisión. Matemática-mente y para el caso de dos partículas se tiene

p1 + p2 = p,1 + p,

2, (1.35)

donde p1 y p2 son los momentos lineales decada una de las partículas antes de la colisión,

p,1 y p,

2 los momentos lineales de cada una delas partículas después de la colisión.

Comúnmente, la ecuación (1.35) se escribe enla forma

m1v1 + m2v2 = m,1v,

1 + m,2v,

2 ,

siendo m1, m2 las masas de las partículas antesde la colisión y m,

1, m,2 las masas después de la

colisión.En general, uno de los objetivos al analizar

una colisión es poder relacionar las velocidadesde las partículas antes y después que esta ocu-rra. Para el caso de una colisión en dos di-mensiones y entre dos partículas, si se cono-cen las velocidades antes de la colisión se tienencuatro incógnitas, correspondientes a las com-ponentes de las velocidades de cada partículaen las dos dimensiones; pero como la conser-vación del momento lineal sólo proporciona dosecuaciones, una en cada dirección, es necesarioobtener más información y para ello se recurrea la conservación de la energía.

Como en una colisión el sistema de cuer-pos interactuantes conforman un sistema ais-lado, significa que no intervienen fuerzas ex-ternas al sistema. Por ello, la energía mecánicamacroscópica del sistema se conserva y en estecaso solo aparece en forma de energía cinética.

Para considerar la conservación de la energía,se define el factor de colisión Q en la forma

Q ≡ E′k − Ek,

donde Ek y E,k son, respectivamente, las ener-

gías cinéticas totales del sistema antes y des-pués de la colisión.

Para el caso de dos partículas que colisionan,el factor de colisión adquiere la forma

Q = ( 12 m,

1v,21 + 1

2 m,2v,2

2 )

−( 12 m1v2

1 +12 m2v2

2). (1.36)

Dependiendo del valor en el factor de colisión,puede ocurrir

i) Que la colisión sea elástica, esto se presentacuando Q = 0, por lo que en este caso nohay cambio en la energía cinética del sis-tema, o sea, E

′k = Ek. De acuerdo con lo

1.11. COLISIONES 25

anterior, en toda colisión elástica se conservatanto la energía cinética total del sistema, comoel momento lineal total del sistema.

ii) Que la colisión sea inelástica, ello se pre-senta cuando Q ̸= 0 y en esta situación,la energía cinética aumenta si Q > 0 odisminuye si Q < 0 . En el primer ca-so, las partículas al colisionar desprendenparte de su energía interna y en el segun-do absorben parte de la energía mecánicaintercambiada en la colisión. En este casoes válido afirmar en una colisión inelástica nose conserva la energía cinética total del sistema,pero sí se conserva el momento lineal total delsistema.

De las dos definiciones anteriores se concluyeque en toda colisión se conserva el momento li-neal total del sistema.

Si después del choque sólo aparece unapartícula, se dice que se tiene una colisión com-pletamente inelástica o plástica. Debe quedar claroque toda colisión completamente inelástica esuna colisión inelástica, pero una colisión ine-lástica no tiene que ser una colisión completa-mente inelástica.

El parámetro de impacto b, es una cantidad quepermite saber si una colisión ocurre en una odos dimensiones. Este parámetro está dado porla distancia de separación b entre la línea demovimiento de la partícula incidente y la líneaparalela que pasa por la otra partícula, como semuestra en la figura 1.33.

bm

1

m2

m1

m2

v1

v1'

v2= 0

v2'

j

Figura 1.33: Parámetro de impacto.

De este modo, el parámetro de impacto es ladistancia por la cual una colisión deja de ser

frontal. Una colisión frontal, o en una dimen-sión, corresponde a b = 0 y valores mayores quecero para b, indican que la colisión es oblicua, oen dos dimensiones.

Ejemplo 1.15.Como se muestra en la figura, un auto demasa m1 y que se mueve con velocidad v1hacia la derecha, choca frontalmente conotro auto de masa m2 que se encuentra enreposo sobre la misma vía. Analice la co-lisión de los autos si esta es a) comple-tamente inelástica, b) elástica. c) Sabien-do que m1 = 300 g, m2 = 700 g y v1 =10 m · s−1, halle los valores de las canti-dades obtenidas en los numerales anterio-res.

v1

v2= 0

2

m2m

1

SoluciónComo en toda colisión, el momento linealtotal del sistema formado por los dos au-tos se conserva en el choque. De este mo-do, la ecuación (1.35) adquiere la forma

m1v1 = m1v,1 + m2v,

2, (1)

donde se ha tomado como positivo el sen-tido inicial de movimiento para el auto demasa m1.

Por otro lado, por la conservación dela energía, la ecuación (1.36) para el factorde colisión, se transforma en

Q =(

12 m1v,

12 + 1

2 m2v,2

2)− 1

2 m1v21. (2)

a) Cuando la colisión es completamenteinelástica, después del choque aparece só-lo una partícula de masa m1 + m2 con ve-locidad v,

1 = v,2 = V.

Así, mediante la ecuación (1) se en-cuentra que la velocidad final del sistematiene la forma

V =m1

m1 + m2v1. (3)

Por consiguiente, independientemente dela relación entre las masas m1 y m2, des-pués de la colisión plástica, la velocidaddel sistema es menor y apunta en el mismosentido que la velocidad con la cual incideel auto de masa m1.


Igualmente, para el factor de colisión,la ecuación (2) permite llegar a

Q = − m1m2

2(m1 + m2)v2

1. (4)

En esta colisión los autos se deforman, osea que parte de la energía cinética del sis-tema se transforma en energía interna yaque Q < 0, sin tener en cuenta cual au-to tiene masa mayor. En síntesis la colisiónes inelástica.

b) Si la colisión es elástica, la energíacinética total del sistema se conserva en elchoque, por lo que el factor de colisión esnulo y las ecuaciones (1) y (2) se puedenescribir, respectivamente, en la forma

m1(v,1 − v1) = −m2v,

2, (5)

m1(v,1 − v1)(v

,1 + v1) = −m2v,

22. (6)

Dividiendo las ecuaciones (5) y (6) se ob-tiene

v,1 + v1 = v,

2. (7)

Finalmente, por medio de las ecuaciones(5) y (7) y luego de simplificar, se encuen-tra que las velocidades de los autos des-pués del choque están dadas por

v,1 =

m1 − m2

m1 + m2v1

v,2 =

2m1

m1 + m2v1. (8)

En esta colisión, la velocidad del bloquem2 tiene el mismo sentido que la velocidadde incidencia de m1. En cambio, el senti-do de movimiento de m1 después de lacolisión, depende de la relación entre lasmasas de los bloques, esto es, si m1 > m2el bloque de masa m1 se mueve en el mis-mo sentido que m2; si m1 < m2 el bloquede masa m1 rebota en el choque movién-dose en sentido opuesto a m2, y si m1 = m2el bloque de masa m1 queda en reposodespués de la colisión.

c) Reemplazando valores, con m1 =0.3 kg, m2 = 0.7 kg, se tiene- Para la colisión completamente inelásti-ca, por las ecuaciones (3) y (4), se encuen-tra

V = 3.0 m · s−1,Q = −10.5 J.

- Para la colisión elástica, la ecuación (8)lleva a los valores

v,1 = −4.0ms−1,

v,2 = 6.0ms−1.

El signo menos en la velocidad de m1, sig-nifica que este bloque rebota en el choquepor cumplirse la relación m1 < m2.

Ejercicio 1.20.Como se muestra en la figura, un autode masa m1 y con velocidad v1 hacia laderecha, choca frontalmente con un se-gundo auto de masa m2 que inicialmentese mueve hacia la izquierda con velocidadv2 = −v1. Analice la colisión de los au-tos si esta es a) completamente inelástica,b) elástica. c) Sabiendo que m1 = 300 g,m2 = 700 g y v1 = 10 m · s−1, halle losvalores de las cantidades obtenidas en losnumerales anteriores.

v1 v

2

2

m2m

1

Ejemplo 1.16.El cuerpo de la figura de masa m1 y veloci-dad v1, tiene una colisión oblicua con elcuerpo de masa m2 inicialmente en reposo.a) Determine la magnitud de la veloci-dad de los bloques inmediatamente des-pués del choque, si las masas después dela colisión se mueven en las direccionesmostradas. b) Resolver para m1 = 0.2kg,m2 = 0.3kg, v1 = 15.0ms−1, φ1 = 30o yφ=40o. ¿Es la colisión elástica o inelástica?

j2

m1

m2

m1

m2

v1

v1'

v2= 0

v2'

x

y

j1

Solucióna) Como el momento lineal total de las

1.12. ENUNCIADOS 27

dos partículas se conserva en la colisión,la ecuación (1.35) adquiere la forma

m1v1 = m1v,1 + m2v,

2.

Descomponiendo las velocidades en suscomponentes rectangulares, se obtienepara las direcciones x y y, respectiva-mente, las expresiones

m1v1 = m1v,1cosφ1 + m2v,

2cosφ2, (1)

0 = −m1v,1senφ1 + m2v,

2senφ2. (2)

Resolviendo las ecuaciones (1) y (2), se ob-tiene

v,1 =

senφ2

sen(φ1 + φ2)v1,

v,2 =

m1

m2

senφ1

sen(φ1 + φ2)v1.

De estos resultados se tiene que para va-lores fijos de φ1 y φ2, la velocidad de m1después del choque es independiente dela masa de los cuerpos, mientras que param2 la velocidad sí depende de la relaciónentre las masas de los cuerpos.

b) Reemplazando valores se encuentraque la magnitud de las velocidades son

v,1 = 10.3ms−1,

v,2 = 5.3ms−1.

Al calcular el factor de colisión, se encuen-tra que la colisión es inelástica ya que Q =

−7.7J. De este modo, parte de la energíamecánica se transforma en energía internade las partículas.

1.12. ENUNCIADOS

1. La fuerza neta F que actúa sobre unapartícula, debido a las fuerzas F1 y F2 apli-cadas simultáneamente sobre ella, está di-rigida horizontalmente hacia la derecha,como se muestra en la figura. La magnitudde la fuerza F1 es 10 N. a) Utilizando la figu-ra, muestre gráficamente que los tres vec-tores han sido trazados correctamente. b)Determine las magnitudes de los vectoresfuerza F y F1. Resolverlo por dos métodosdiferentes.

y

x45

o

F1

F

F2

2. Sobre la partícula de la figura, actúan lasfuerzas F1 y F2, con magnitudes respecti-vas de 800 N y 500 N. Encuentre a) las com-ponentes rectangulares de las fuerzas F1 yF2, b) los ángulos que cada fuerza formacon cada uno de los ejes de coordenadas,c) el ángulo entre las fuerzas F1 y F2 y d)la magnitud y dirección de la fuerza netaque actúa sobre la partícula debido a lasdos fuerzas aplicadas.

xy

z

70o

40o

30o25

o

F1

F2

3. Un auto que se mueve en línea recta ha-cia la izquierda, pasa por las ciudades con-secutivas A, B y C, regresando luego ala ciudad B. En un diagrama que incluyael sistema de referencia, muestre el vec-tor desplazamiento del auto y expréselomatemáticamente en función de su respec-tiva componente.

4. Un auto está 16 m al Este de la señal dePARE en el instante de tiempo ti , y 37 mal Oeste de la señal al tiempo tf. Si la señales el origen de coordenadas y el eje x apun-ta hacia el este. Determine: (a) xi , (b) xf, (c)ri, (d) rf y (e) ∆r.

5. Un ciclista se movió en línea recta durantecierto intervalo de tiempo y de tal formaque el vector desplazamiento es paralelo alvector unitario i. ¿De lo anterior es posibleconcluir que el ciclista sólo se desplazó enel mismo sentido del vector unitario i? Ex-plique.

6. Las gráficas de la figura muestran lavariación de la posición x en función del


tiempo t, para un atleta que se mueveen línea recta. Describa el movimiento delatleta y llévelo a cabo con la punta de sulápiz.

x

t

x

t

x

t

7. La gráfica de la figura muestra la forma co-mo cambia la posición de una hormiga enfunción del tiempo, cuando se mueve a lolargo de una trayectoria rectilínea. (a) Traceel vector desplazamiento en la gráfica y ex-préselo matemáticamente. (b) Obtenga lagráfica de la forma como varía la veloci-dad de la hormiga en función del tiempo.(c) Utilizando la gráfica anterior, encuentrela magnitud del desplazamiento durante elmovimiento y compare su resultado con elhallado en el numeral (a).

x (cm)

t (s)

10

-10

20

-20

1 2 3 4 5

8. En la gráfica se indica el cambio de la rapi-dez v en función del tiempo (t), para un au-to que se mueve sobre una autopista recta.Obtenga la gráfica de la posición en fun-ción del tiempo para el auto, suponiendoque pasó por el origen en t = 0.

9. La ecuación cinemática de posición, parauna bicicleta que se mueve sobre el eje x, es-tá dada por la expresión x(t) = −14t + 74, donde x se da en m y t en s. (a) ¿Cuál esla posición inicial de la bicicleta? (b) ¿Cuáles el momento lineal de la bicicleta, en fun-ción del tiempo, si esta tiene una masa de10.5 kg? De acuerdo con el resultado, ¿qué

v (m s )-1

t (s)

30

60

1 2 3 4 5-30

-60

movimiento tiene la bicicleta? ¿Por qué? (c)Haga un diagrama que ilustre la situación,teniendo en cuenta las respuestas de los nu-merales anteriores. (d) Haga una gráfica dela posición de la bicicleta en función deltiempo, desde t = 0 s a t = 6 s. (e) Hagauna gráfica de la velocidad de la bicicle-ta en función del tiempo, desde t = 0 s at = 6 s.

10. Un auto A se mueve hacia la derechapor una pista recta y con una rapidez80 km · h−1. El conductor del auto A obser-va otro auto B que se encuentra 50 m de-lante de él sobre un carril paralelo. Supon-ga que el auto B se mueve en el mismo sen-tido que el auto A con una velocidad demagnitud 60 km · h−1. (a) Halle la posiciónen la cual un auto pasa frente al otro. (b)Encuentre el momento lineal de cada autosi cada uno tiene una masa de 103kg. Re-suelva la misma situación para el caso en elcual un auto se mueve hacia el otro.

11. ¿Será posible encontrar una situación físi-ca, de un cuerpo en movimiento, en la queel momento lineal no sea paralelo a la ve-locidad? Explique.

12. Un niño tira un juguete para que su pe-rro, de masa 8 kg, lo recoja. El perro em-prende la carrera en busca del juguete, quese encuentra a 9 m de distancia, y lo trae devuelta. El viaje le toma 4.3 s . (a) ¿Cuál esel desplazamiento del perro? (b) ¿Cuál esla distancia total que recorrió el perro? (c)¿Cuál es el momento lineal medio del pe-rro?

13. La magnitud del momento lineal de un

1.12. ENUNCIADOS 29

auto con movimiento rectilíneo, varía conla magnitud de la velocidad en la formamostrada en la figura. ¿Cuál es el significa-do físico de la pendiente de la recta? Halleel valor numérico correspondiente.

16v ( 10 m s )x

-1

p

( 10 kg m s )x4 -1

1 3 5 7

48

112

80

14. Un camión y su carga, con una masa de2 × 104 kg, se mueve en línea recta conuna rapidez de 1 km · h−1. ¿Con qué rapi-dez tendrá que correr usted para adquirirla misma magnitud de la cantidad demovimiento del camión? Utilice su propiamasa. Exprese su resultado en km · h−1 yen m · s−1.

15. Una bala de 30 g tiene una velocidad hori-zontal de magnitud 100 m · s−1. ¿Con quérapidez tendrá que correr usted para al-canzar la magnitud de la cantidad demovimiento de la bala? Utilice su propiamasa. Exprese su resultado en km · h−1 yen m · s−1.

16. La partícula α es un núcleo de helio con unamasa de 6.88 × 10−27kg, la cual es emitidaen una desintegración radiactiva del 238

92 U.Una partícula α tiene una rapidez de 1.4 ×107m · s−1. Esta es una rapidez pequeñacomparada con la de la luz (3× 108m · s−1).(a) ¿Cuál es la magnitud de la cantidad demovimiento de la partícula α? (b) ¿Cuál esla magnitud velocidad de una masa de 1 gcon la misma magnitud de la cantidad demovimiento de la partícula α? (c) ¿Cuántotiempo demora la masa de 1 g en recorrer1 m con esta rapidez? Exprese su resultadoen años.

17. ¿Con qué rapidez debe correr usted para al-canzar la misma magnitud de la cantidad

de movimiento que un auto de 103kg demasa que se desplaza a 1 km · h−1?

18. La figura muestra la forma como varía laposición x de una partícula en función deltiempo t, mientras esta se mueve en línearecta. La masa de la partícula es 400 g. (a)¿El momento lineal de la partícula es ceroen algún instante? Explique. (b) ¿Es cons-tante el momento lineal de la partícula? Ex-plique. (c) ¿Cuál es el momento lineal dela partícula en el instante t = 0 s (d) ¿Cuáles su momento lineal en el instante t = 3 s(e) ¿En qué instante la partícula pasa por elorigen? ¿Cuál es su momento lineal en eseinstante?

x (m)

t (s)

1

-1

2

-2

1 2 3 4 5

19. Un auto de masa 1.2 × 103kg se desplazacon una velocidad horizontal de magnitud100 km · h−1 en dirección Suroeste. El sis-tema de coordenadas se toma de tal formaque el eje x apunta hacia el Este y el eje y ha-cia el Norte. (a) ¿Cuál es el momento linealdel auto? (b) ¿Cuáles son las componentesrectangulares de la cantidad de movimien-to?

20. Una granada explota en dos fragmentos deigual masa. Si un fragmento sale disparadoen la dirección oeste, ¿en que dirección semueve el otro fragmento? ¿Por qué?

21. Un auto de 103kg que se desplaza hacia laizquierda sobre una pista recta, choca con-tra un camión estacionado de 4× 103kg. In-mediatamente después de la colisión, el au-to queda en reposo, mientras que el camiónse desplaza con una rapidez de 2 m · s−1.(a) Halle la velocidad del auto inmediata-mente antes de la colisión. (b) En el choque,¿se conserva el momento lineal del auto?Explique.


22. Una bola de masa 4 kg y velocidad1.2 m · s−1, choca frontalmente con otra bo-la de masa 5 kg moviéndose a 0.6 m · s−1 enel mismo sentido. Si la velocidad de la bolade 4 kg después del choque es 0.54 m · s−1,encuentre el cambio en el momento linealde cada bola. ¿Qué puede concluir de losresultados obtenidos?

23. Repita la situación anterior, suponiendoque la bola de 5 kg se mueve en sentidoopuesto antes del choque y con una veloci-dad de 1.13 m · s−1 luego del choque.

24. En los dos enunciados anteriores, supon-ga que las bolas quedan pegadas en elchoque. (a) Encuentre la velocidad de lasbolas inmediatamente después del choque.(b) Halle el cambio en el momento lineal decada bola en el choque. ¿Qué puede con-cluir de los resultados obtenidos?

25. Un bloque se lanza sobre una superficie ho-rizontal, de tal manera que este mueve enlínea recta. ¿Se conserva el momento linealdel bloque? Explique.

26. Un ciclista y su bicicleta, de masa 103kg, semueven en el plano xy de tal manera quelas ecuaciones cinemáticas de posición es-tán dadas por x = −30t − 6 y y = 60t − 9,donde x, y se dan en m y t en s. (a) Obtengala ecuación de la trayectoria seguida por elsistema ciclista-bicicleta. (b) Exprese el vec-tor momento lineal del sistema en sus com-ponentes rectangulares, cuando t = 15 s.Halle la magnitud y dirección del momentolineal del sistema en t = 15 s. (c) Encuentrela energía cinética del sistema en t = 15 s.

27. La energía cinética de un auto varía con elcuadrado de su rapidez en la forma mostra-da en la figura. ¿Cuál es el significado físicode la pendiente de la recta? Halle el valornumérico de la masa del auto.

28. La velocidad de un bloque de 2 kg es v1 =(3i − 3j)m · s−1 en el instante t = 3 s. Pos-teriormente, cuando t = 6 s, la velocidades v2 = (8i + 4j)m · s−1. (a) Halle el cam-bio en la velocidad del bloque. (b) Calcule

v2( 10 m s )

2 2 -2x

Ek

( 10 J)x3

2 4 6 8 91

5

20

45

el cambio en el momento lineal del bloque.(c)Encuentre el cambio en la energía cinéti-ca del bloque.

29. Dos deslizadores de masas m1 y m2 semueven, respectivamente, con velocidadesv1 y v2 sobre un riel de aire y en sen-tidos opuestos. Los deslizadores chocanelásticamente. (a) Halle la velocidad de losdeslizadores después del choque. (b) Ana-lice el resultado en los siguientes casos par-ticulares: (i) m1 = m2, (ii) m2 = 2m1, (iii)v2 = 0 y m1 = m2, (iv) v2 = 0 y m2 =2m1. En cada caso, ilustre gráficamente lasituación luego del choque. Para cada unade las situaciones consideradas en el nu-meral (b), halle (c) el cambio en el momentolineal de cada deslizador y (d) el cambio enla energía cinética de cada deslizador.

30. Dos autos de igual masa m se mueven so-bre el mismo carril y en el mismo sentido,con velocidades v1 y v2. Luego del choquelos autos quedan pegados. (a) ¿Bajo quécondición chocan los autos? Explique. (b)Halle la velocidad de los autos inmediata-mente después del choque. (c) Determine sila colisión es elástica o inelástica.

31. Una bola de billar que se mueve horizontal-mente hacia la derecha, choca con otra bolaque se encuentra en reposo. Luego de la co-lisión, ¿cuál situación de las mostradas es lacorrecta? Explique su respuesta.

32. Un auto de masa m se mueve en el senti-do Norte-Sur con una velocidad de mag-nitud 40 km · h−1, mientras que otro au-to de masa 2m se mueve en el sentido

1.12. ENUNCIADOS 31

(i) (ii)

(iii) (iv)

Oeste-Este con una velocidad de magni-tud 30 km · h−1. Los dos autos chocan enel cruce entre las dos avenidas sobre lascuales se mueven, de tal forma que quedanenganchados moviéndose en una direcciónque forma un ángulo de 34o con la horizon-tal. (a) Haga un diagrama ilustrativo de lasituación planteada, tanto inmediatamenteantes como inmediatamente después delchoque. (b) Obtenga, en componentes rec-tangulares, la velocidad de los autos in-mediatamente después del choque. (c) En-cuentre el factor de colisión. ¿Parte de estaenergía cómo aparece luego de la colisión?(d) ¿Qué nombre recibe esta colisión? Ex-plique.

33. Una bola de billar de masa m1 se muevehorizontalmente hacia la derecha con unavelocidad v1, cuando choca elásticamentecon otra bola de masa m2, inicialmente enreposo. Luego de la colisión, las veloci-dades de las bolas forman entre sí un án-gulo de 90o. (a) Haga un diagrama ilus-trativo donde se muestre la situación tan-to inmediatamente antes como inmediata-mente después del choque. (b) Encuentrela relación entre las masas de las bolas debillar.

34. Con el fin de probar la resistencia delos materiales que conforman su estruc-tura, a dos autos de igual masa se lespermite chocar, desplazándose en sen-tidos opuestos con movimiento rectilí-neo uniforme. Suponga que los autosquedan enganchados en el choque yque adquieren velocidades constantes de60 ms−1 y 80 ms−1 cuando la separaciónentre ellos es 100 m. (a) Halle la posi-

ción donde chocan los autos. (b) Encuentrela velocidad de los autos inmediatamentedespués del choque. (c) Si luego del choquelos autos se desplazan con movimiento rec-tilíneo uniforme, determine su posición alos 5 s de este haber ocurrido.

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MOMENTO LINEAL Y SU CONSERVACION