Transferencia de CalorConducao Unidimensional, em Regime Permanente e Sem
Geracao Interna de Calor
Filipe Fernandes de [email protected]
Departamento de Engenharia de Producao e MecanicaFaculdade de Engenharia
Universidade Federal de Juiz de Fora
Engenharia Mecanica
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Introducao
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Introducao
I Para problemas unidimensinais e em que se pode considerar oregime permanente, a equacao do calor pode ser simplifica daseguinte forma:
d
dx
(k
dT
dx
)+ q = 0 (1)
I Inicialmente vamos assumir que nao ha geracao interna de energia
no sistema e a condutividade termica e constante. Dessa forma, a
equacao do calor toma a seguinte forma:
kd2T
dx2= 0 (2)
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A Parede Plana
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A Equacao do Calor para Parede PlanaI Para conducao unidimensional em uma parede plana, temperatura e
funcao da coordenada x , e calor e transferido apenas nessa direcao;I Calor e transferido por:
I Conveccao de um fluido a temperatura T∞,1 para uma superfıcie daparede;
I Conducao na parte interna da parede;I Conveccao da outra superfıcie da parede para um fluido a
temperatura T∞,2.
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A Equacao do Calor para Parede Plana
I A distribuicao de temperatura na parede pode ser encontradaresolvendo a seguinte EDO de segunda ordem
kd2T
dx2= 0 (3)
I Resolvendo a equacao 3, tem-se
T (x) = (Ts,2 − Ts,1)x
L+ Ts,1 (4)
I Da equacao 4 podemos perceber que para conducao unidimensional,em regime permanente, em uma parede plana, condutividade termicaconstante e sem geracao interna de calor, a temperatura varialinearmente com x .
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A Equacao do Calor para Parede Plana
I Utilizando a Lei de Fourier e a equacao 4, e possıvel obter a taxa detransferencia de calor e o fluxo de calor;
qx = −kAdT
dx=
kA
L(Ts,1 − Ts,2) (5)
qx =qxA
=k
L(Ts,1 − Ts,2) (6)
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A Equacao do Calor para Parede Plana
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Resistencia Termica
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Resistencia Termica
I Para o caso unidimensional, sem geracao interna de calor epropriedades constantes, um importante conceito e sugerido pelaequacao 5, a ideia de resistencia termica;
I Como resistencia eletrica esta associada a conducao de energiaeletrica, a resistencia termica esta associada a transferencia decalor, nos seguintes sentidos,
I Energia fluindo;I Uma forca motriz que mantem o fluxo;I Uma resistencia ao fluxo;
I Utilizando a equacao 5 podemos definir a resistencia termica deconducao como
Rt,cond ≡Ts,1 − Ts,2
qx=
L
kA[K/W ] (7)
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Resistencia Termica
I Utilizando a definicao de taxa de troca de calor dada em funcao daresistencia termica,
q =Ts,1 − Ts,2
Rt(8)
I e possıvel escrever uma relacao para resistencia termica deconveccao.
Rt,Conv =1
hA(9)
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Resistencia Termica
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A Parede Composta
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Parede Composta
I E uma parede formada por camadas de diferentes materiais;
I Pode-se analisar tais estruturas como varias resistencias termicas emparalelo e em serie;
I Assim, a taxar de calor pode ser escrita como
qx =∆T∑
Rt(10)
I Onde ∆T e a diferenca global de temperatura.
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Parede Composta
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Parede Composta
I Em termos de sistemas compositos, e util trabalhar com ocoeficiente global de transferencia de calor U, que e definido emtermos da seguinte equacao,
qx ≡ UA∆T (11)
Rtot =∑
Rt =∆T
q=
1
UA(12)
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Parede CompostaI Utilizando o conceito de parede composta, pode-se tratar problemas
como os da figura abaixo;I Apesar de o fluxo de calor ser bidimensinal, pode-se assumir
unidimensionalidade;I No caso a assumi-se que as superfıcies normais a direcao x , sao
isotermicas;I No caso b assumi-se que as superfıcies paralelas a direcao x , sao
adiabaticas;
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Parede Composta
I Os resultados para Rtot serao diferentes;I Os valores de qa e qb diferem entre si e entre o valor real de
transferencia de calor;I A medida que o valor de |kf − kg | aumenta, essas diferencas
aumentam.
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Resistencia de Contato
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Resistencia de Contato
I Apesar de ignorada ate o momento, a queda de temperatura entreas interfaces das camadas de uma parede composta pode assumirvalores consideraveis;
I Essa queda de temperatura e devido a resistencia de contato, que edefinida como,
R′′t =
TA − TB
q′′x
(13)
I Alguns metodos podem ser utilizados para diminuir a resistencia decontato:
I Para solidos com condutividade termica maior que a do fluidointerfacial, pode-se aumentar a area de contato do solido,aumentando a pessao de contato e/ou diminuindo a rugosidadesuperficial;
I Tambem e possivel utilizar fluidos interfaciais de alta condutividadetermica.
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Resistencia de Contato
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ExemploI Exemplo 1 - Um fino circuito integrado (chip) de silıcio e um
substrato de alumınio de 8 mm de espessura estao separados poruma junta de 0, 02 mm de epoxy. O chip e o substrato possuem10 mm de lado e suas superfıcies expostas sao resfriads a ar, comum coeficiente de conveccao 100 W /m2 · K . Se o chip dissipa104 W /m2 em condicoes normais, ele ira operar abaixo datemperatura maxima permitida de 85 °C?
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Exemplo
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ExemploI Exemplo 2 - Uma casa possui uma parede composita de madeira
(km = 0, 12W /m · K ), isolamento de fibra de vidro(kf = 0, 038W /m · K ) e placa de gesso (kg = 0, 17W /m · K ). Emum inverno gelado, os coeficientes de conveccao saoho = 60W /m2 · K e hi = 30W /m2 · K . A area total da parede e350m2.(a) Determine uma expressao simbolica para a resistencia termica total
do sistema;(b) Determine o perda de calor pela parede;(c) Se o dia esta com ventos fortes, aumentando ho para 300W /m2 · K ,
determine a porcentagem de aumento da perda de calor;
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Sistemas Radiais
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Coordenadas Cilındricas
I Para um sistema em coordenadas cilındricas, a equacao do calorunidimensional, sem geracao interna de calor fica na seguinte forma,
1
r
d
dr
(kr
dT
dr
)= 0 (14)
I Resolvendo a EDO 19 tem-se,
T (r) =Ts,1 − Ts,2
ln(r1/r2)ln
(r
r2
)+ Ts,2 (15)
qr =2πLk(Ts,1 − Ts,2)
ln(r2/r1)(16)
Rt,cond =ln(r2/r1)
2πLk(17)
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Coordenadas Cilındricas
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Coordenadas Cilındricas
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Coordenadas EsfericasI As equacoes para coordenadas esfericas sao,
qr =4πk(Ts,1 − Ts,2)
1
r1− 1
r2
(18)
Rt,cond =1
4πk
(1
r1− 1
r2
)(19)
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ExemploI Exemplo 3 - Uma tubulacao e composta de duas camadas de
meteriais com kA e kB , que sao separados por um fino aquecedoreletrico em que a resistencia de contato e despresıvel. Lıquido ebombeado pelo tubo a uma temperatura T∞,i e com hi . Asuperfıcie externa esta a T∞,o e com ho . Em condicoes de regime
permanente, o aquecedor dissipa q′′h .
(a) Desenhe o circuito termico do sistema e expresse todas as resistenciasem termos das variaveis relevantes;
(b) Obtenha uma expressao que pode ser usada para determinar atemperatura do aquecedor;
(c) Obtenha uma expressao para qo′ /qi
′ .
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Resumo dos Resultados para Conducao Unidimensional
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Resumo dos Resultados
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Raio Crıtico de Isolamento
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Raio Crıtico de IsolamentoI Um cilindro que dissipa calor sujeito a conveccao externa e envolto
por um isolante termico pode apresentar comportamentos diferentedependendo da espessura do isolamento:
I Um isolamento muito com alta espessura pode aumentar a troca decalor por conveccao devido ao aumento da area superficial;
I O aumento do isolamento pode diminuir a transferencia de calor.
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Raio Crıtico de Isolamento
Rtot = Rcond + Rconv (20)
Rtot =ln(r/ri )
2πkL+
1
2πrLh∞(21)
dRtot
dr=
1
2πkrL+
1
2πr 2Lh∞= 0 (22)
rcr =k
h∞(23)
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Raio Crıtico de Isolamento
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