Maksimalno zrno ≤ ¼ mind 1,25e min e =2,0cm
Maksimalno zrno ≤ ¼ mind 0,80e min e =2,0cm
Konstrukcija Doziranje cementa (kg/m3) - nearmirani beton - beton za masivne zidane stubove - armirani beton kod masivnih građevina u vodi ili na
dubini - armirani beton općenito - armirani i prednapregnuti beton - dodatni beton - trajni, zaštićen od korozije armirani i prednapregnuti
beton - beton za fine podvodne radova - beton za gotove elemente - špric beton
100 = 150
200
220 240 270
300 320
= 450 = 500
Čvrstoća na pritisak u zavisnosti od oblika probnog uzorka
Različit unos sile
Klase čvrstoće C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60
fck,kocka 15 20 25 30 37 45 50 55 60 fck,cilindar 12 16 20 25 30 35 40 45 50
σc=[1-(εc/εc2) ]·f ck
0,0020
10,0
0,4fc
20,0
artan Ecm
0,001
fck= 30,0
40,0fc
σc (<0)
fcd=α·f ck/γc
0,0035
εcl
0,003
εclu
fck=30N/mm2
εc (<0)
fcm=fck + 8 N/mm2
n
Eksploataciona kriva
Proračunski dijagramσc=[1-(εc/εc2) ]·f cd
n
Radni i računski dijagram betona C30/37 izloženog jednoaksijalnom pritisku prema DIN 1045-1 i EC 2
30 cm60 cm
Fu15/15 9/15
Fu
h
dFu
Fu
a
Fu a
Fu
ad2
(=d)
d d d
Valjak preko kojegse nanosi opterećenjeF / 2 F / 2
Valjkasti oslonac
l=3dh=l,d
Mjerna površina
d1(=d)
Određivanje aksijalne čvrstoće na zatezanjeOdređivanje čvrstoće na zatezanje cijepanjem
Određivanje čvrstoće na zatezanje savijanjem
Tabela 2.2 – Tabela čvrstoća na zatezanje betona u zavisnosti od klase betona (N/mm2)
5,34,94,64,23,83,32,92,52,0fctk o,95
2,92,72,52,22,01,81,51,31,1fctk o,o5
4,13,83,53,22,92,62,21,91,6fctm
C50/60C45/55C40/50C35/45C30/37C25/30C20/25C16/20C12/15Klasečvrstoće
Mehanizam loma na smicanje
Stvaranje prslina prilikom loma usljed smicanja
Dinamička čvrstoća na lom nakon nakon 2 x 10E6 ciklusa opterećenja
Slika 3.14 pokazuje gornje naprezanje σo ali isto tako i njemu pripadajuće donje naprezanje σu tj. amplitudu naprezanja ∆σ. Najmanja dinamička čvrstoća je pri σu = 0 i iznosi 60% statičke čvrstoće. Ukoliko je broj ciklusa manji od n0 = 2 x 106, može se čvrstoća na osiliranje preračunati prema slici 3.15.
σc
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
εc
TREN
UTN
O E
c
t=20 min
t=100 min
t=7 dana
t=
8
GRANICA SLOMA
SVRŠETAK PLASTIČNIH DEFORMACIJA
fck
Dijagram odnosa σc/fck i deformacija u zavisnosti od trajanja eksploatacionog opterećenja
Kratkotrajne deformacije Naponski zavisne Naponski nezavisne (opterećenje) (promjena temperature) reverzibilne ireverzibilne reverzibilne (elastične) (plastične)
Dugotrajne deformacije Naponski zavisne Naponski nezavisne (puzanje) (skupljanje) reverzibilne ireverzibilne djelimično (zakašnjele (tečenje) reverzibilne elastične)
Šema komponenti kratkotrajnih i dugotrajnih deformacija
εce εcp εcu
σcu
f c
εc
σc
atan Eco0,4f c
atan Ece
60
0 10
30
10
20
40
50
32 ο/ΟΟ−εc
−σc (Mpa)
4 5 6 7 8
fck=60,0
45,0
30,022,5
Dijagram ponašanja uzorka betonske prizme Dijagrami ponašanja betona u zavisnosti od klase čvrstoće
σ
εεc1= -0,0020 εc= -0,0035
f cd
σc = εc(2-εc)Kvadratna parabola
σc = 1Pravac
Idealizirani dijagram ponašanja betona
Tabela 2.3 – Vrijednost sekantnih modula elastičnosti (kN/mm2) Klase čvrstoće C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60
Ecm 26 27,5 29 30,5 32 33,5 35 36 37
εc
to
εc
εcs
εcv
εc,el
εcf
εcst
εc,el
εcf
εcv
t1t
Razvoj deformacije betona kroz eksploataciju
σc(t)
σc2
σc1
t t t
∆σc
∆σc Naprezanja promjenljiva u vremenu
Približna vrijednost konačnog koeficijenta puzanja prema EC2
Veličina 2Ac/u (mm) 50 150 600 50 150 600 Starost pri
opterećenju t0 (dani) Suha sredina (unutra)
(RH = 50%) Vlažna sredina (vani)
(RH = 80%) 1 7
28 90 365
5,4 3,9 3,2 2,6 2,0
4,4 3,2 2,5 2,1 1,6
3,2 2,5 2,0 1,6 1,2
3,5 2,5 1,9 1,6 1,2
3,0 2,1 1,7 1,4 1,0
2,6 1,9 1,5 1,2 1,0
εcs
t
εcs,n
Vremenski razvoj deformacije skupljanja
Konačna mjera skupljanja prema EC2 Lokacija elementa Relativna
vlažnost (%) 2Ac / u (mm) ≤150 600
Unutra Vani
50 80
-0,60 -0,50 -0,33 -0,28
Oblici armature
Dijagram σ - ε za prirodni čelik
Dijagram σ - ε za prirodni hladno obrađeni čelik
Dijagram σ - ε za visokovrijedni prirodno tvrdi čelik
Tabela 2.11 Svojstva armaturnog čelika prema JUS propisima Karakteristike pojedinih vrsta čelika
Savijanje Promjer šipke Ø fyk ftk δ Trn Kut
Din. Čvrst. Es Red
Broj Oznaka
armature Vrsta
armature mm N/
mm2N/
mm2 % D α N/ mm2
N/ mm2
1. GA 240/360
Glatka armatura 5÷36 240 360 20 18 2 Ø 180° -
2. RA 400/500-1
Rebrasta armatura 6÷14 -
3. RA 400/500-2
Rebrasta armatura 6÷40
400 500 10 5 Ø 90°
200
4.
MAG 500/560 MAR
500/560
Zavarene mreže od
hladno vu- čene glatke i rebraste
žice
4÷12 500 560 6 4 Ø 180° 120
5. BiA 680/800
Armatura specijalnog
oblika 3.1÷11.3 680 800 5 6 Ø 180° 170
1
.9*1
05
÷
2.0
*105
÷
2
.0*1
05
2.1
*105
6. GA 220/340
Glatka armatura 5÷12 220 340 18 2 Ø 180° - Kao
1.
a) B500A (3 reda poprecnih rebara)
b) B500B (2 reda poprecnih rebara)
c) B450C (2 reda poprecnih rebara) d) kut nagiba kosine rebra a i visine rebra h (presjeci A-B prema slikama a) do c))
ίc
A B
cί
A B
h
b A - B
a
c
A B
b1b2
Izgled površine šipki prema EN10080
εyk,0,95
f ym
fyk,0,95
f yk,0,05
f tm
f tk,0,05
f tk,0,95
f yd
εykεyd
εs
f yk
σsσs
εs
Proračunski dijagram σ - ε betonskog čelika
Prionljivost kod BI čelika
Parametarska definicija površine rebara
Nosivost kroz prionljivost betona i armature
Smanjena prionljivost u području PBII
Područja prionljivosti
Pomjerljivo prianjanje
Relativno pomjeranje između betona i čelika
Zakon prionljivosti
a) Određivanje zakona prionljivosti; b)Određivanje srednje čvrstoće prionljivosti
Struktura koncepta dokaza Granično stanje Nosivost Upotrebljivost
Zahtjevi Sigurnost osoblja Sigurnost konstrukcije
Ugodnost osoblja Funkcija konstrukcije Izgled konstrukcije
Kriteriji dokaza
Gubitak sigurnosti položaja Otkaz čvrstoće Otkaz stabilnosti Zamor materijala
Ograničenje naprezanja Izgradnja prslina Deformacije Vibracije
Situacije za dimenzioniranje
Stalno i promjenljivo Izvanredno Zemljotres
Rijetka odnosno karakteristična Česta Kvazi – česta
Akcija na nosivu konstrukciju
Računska vrijednost naprezanja (destabilizirajući uticaji, poprečne sile)
Računska vrijednost djelovanja (naprezanja, širine prslina, deformacije)
Reakcija nosive konstrukcije
Računska vrijednost otpornosti (stabilizirajući uticaji, čvrstoća materijala, otpornost presjeka)
Kriteriji upotrebljivosti (dopušteno naprezanje, dekompresija, širina prslina, deformacije)
Prikaz reprezentativnih vrijednosti promjenljivog opterećenja
Odnosi između pojedinih parcijalnih faktora sigurnosti
Tabela 5.2. Nezavisni uticaji za objekte visokogradnje Stalni uticaji Promjenljivi uticaji Vlastita težina Prednaprezanje Pritisak zemlje Stalni pritisak tekućine
Gk Pk
Gk,E Gk,H
Korisno opterećenje, Prometno opterećenje Snijeg i led Vjetar Temperaturni uticaji Promjenljivi pritisak tekućine Slijeganje temeljnog tla
Qk,N Qk,S Qk,W Qk,T Qk,H Qk,∆
Posebni uticaji Ad Uticaji od zemljotresa AEd
Tabela 5.3 Faktori kombinacije ψ Uticaji ψ0 ψ1 ψ2
Korisno opterećenje Kategorija A: Stambeni i izložbeni prostori Kategorija B: Poslovne prostorije Kategorija C: Sajamske prostorije Kategorija D: Prodajni prostori Kategorija E: Skladišta
0,7 0,7 0,7 0,7 1,0
0,5 0,5 0,7 0,7 0,9
0,3 0,3 0,6 0,6 0,8
Pokretno opterećenje Kategorija F: Vozila ≤ 30kN Kategorija G: 30kN < Vozilo ≤ 160kN Kategorija H: Krovovi
0,7 0,7 0,0
0,7 0,5 0,0
0,6 0,3 0,0
Snijeg i led Mjesta do nadmorske visine +1000m Mjesta preko nadmorske visine +1000m
0,5 0,7
0,2 0,5
0,0 0,2
Vjetar 0,6 0,5 0,0 Uticaji temperature 0,6 0,5 0,0 Slijeganje tla 1,0 1,0 1,0 Posebni promjenljivi uticaji1) 0,8 0,7 0,5 1) Uticaji u visokogradnji koji nisu eksplicitno navedeni
Situacije Kriterij dokaza Uticaji Simbol P/T A
Stalno opterećenje: vlastita težina konstrukcije, stalni uticaji, uticaji tla, podzemna voda i slobodno stojeća voda
nepovoljnopovoljno
γG,sup γG,inf
1,100,90
1,000,95
Kod malih oscilacija stalnih uticaja, kao što je dokaz sigurnosti upotrebe
nepovoljnopovoljno
γG,sup
γG,inf
1,050,95
1,000,95
Nepovoljni promjenljivi uticaj γQ 1,50 1,00
Gubitak stabilnosti konstrukcije vidi izraz (1-17)
Posebni uticaji γA - 1,00Neovisni stalni uticaji (vidi gore)
nepovoljnopovoljno
γG,sup γG,inf
1,351,00
1,001,00
Neovisni promjenljivi uticaji nepovoljno
γQ
1,50
1,00
Otkaz konstrukcije njenog dijela ili temelja, kroz lom ili pretjerane deformacije vidi (1-18)
Posebni uticaji γA - 1,00
Neovisni stalni uticaji (vidi gore) γG
1,00 1,00
Neovisni promjenljivi uticaji nepovoljno
γQ
1,30
1,00
Otkaz temeljnog tla kroz lom u tlu
Posebni uticaji γA - 1,00P – Stalna situacija za dimenzioniranje (Slučaj 1) T – Prolazna situacija za dimenzioniranje (Slučaj 2) A – Posebna situacija za dimenzioniranje (Slučaj 3)
Tabela 5.5 Linearno-elastični proračun Nelinearni
proračun Otpornost prema Beton Armatura,
Prednapeta
Stalna i prolazna situacija za dimenzioniranje γc 1,50 γs 1,15 γR 1,30
Posebna situacija za dimenzioniranje γcA 1,30 γsA 1,00 γRA 1,10
Dokaz na zamor γc,fat 1,50 γs,fat 1,15 γR,fat 1,30
Pregled metoda za analizu pouzdanosti
Tabela 5.6: Zavisnost između β i Pf prema jednačini (5-32)
Pf 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 10-7 β 1,28 2,32 3,09 3,72 4,27 4,75 5,20
Tabela 5.7: Vrijednost indeksa pouzdanosti β za građevinske elemente
Vrijednost indeksa pouzdanosti Granično stanje 1 godina 50 godina Nosivost 4,7 3,8 Zamor 1,5 do 3,81)
Upotrebljivost 3,0 1,5 1) Zavisno od mogućnosti provjere, sanacije i tolerancije oštećenja
Jednačina graničnog stanja u x-prostoru
Jednačina graničnog stanja u standardiziranom prostoru
Standardna raspodjela granice sigurnosti Z = R – E
Primjer
Armiranobetonska prosta greda dužine 5m opterećena je koncentričnim teretom Q, čija je srednjavrijednost µQ = 150 kN i standardna devijacija σQ
2 = 5 kN2. Utvrđena nosivost na savijanje gredeima srednju vrijednost µR = 250 kNm i standardnu devijaciju σQ
2 = 10 kNm2. Potrebno je odrediti vjerovatnoću otkaza.
Dokaz se radi uz pretpostavku da je vlastita težina grede i dužina nepromjenljiva.
E = QL/4 = 100.5/4 = 500/4 kNm
Srednja vrijednost i standardna devijacija uticaja je,
kNm50,18715045
45
QE =⋅=µ=µ
22Q
22E )kNm(81,75
1625)
45( =⋅=σ⋅=σ
5,625,187250ERz =−=µ−µ=µ 155102
E2R
2Z =+=σ+σ=σ
Indeks pouzdanosti β = 62,5/15 = 4,17.
Vjerovatnoća otkaza grede je : 5f 107,1)17,4()(P −⋅=−Φ=β−Φ=
Naponska stanja
Tabela 6.1: Klase čvrstoće betona, karakteristična čvrstoća pri pritisku fck (cilindar 150/300mm), karakteristična čvrstoća pri pritisku fck,cube (kocka150/150mm), karakteristična čvrstoća betona pri zatezanju fctk, srednja čvrstoća betona pri zatezanju fctm (N/mm2)
Klase čvrstoće betona
C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60
fck 12 16 20 25 30 35 40 45 50
fck,cube 16 20 25 30 37 45 50 55 60
fctm 1,6 1,9 2,2 2,6 2,9 3,2 3,5 3,8 4,1
fctk0,05 1,1 1,3 1,5 1,8 2,0 2,2 2,5 2,7 2,9
fctk0,95 2,0 2,5 2,9 3,3 3,8 4,2 4,6 4,9 5,3
Dijagram naprezanje-deformacija za određivanje deformacija i presječnih sila
Dijagram naprezanje-deformacija za dokaz nosivosti i dimenzioniranje
Dijagram naprezanje-deformacija za armaturni čelik
Bi-linearni dijagram sa idealnim plastičnim područjem
Granična deformaciona stanja
Definicija εyk,0.95
Greda napregnuta na savijanje
Čisto savijanje, linearna raspodjela naprezanja afina deformacionoj ravnini
Armiranobetonska greda napregnuta na savijanje
Dijagram naprezanja mjerodavan za dimenzioniranje
Pravougaona raspodjela naprezanja u pritisnutoj zoni
Pojednostavljeni model mehanizma nosivosti unutar grede
Bi-linearan dijagram ponašanja armaturnog čelika
Dijagram deformacije armiranobetonskog poprečnog presjeka
Primjer 1 Zadano je :
Pravougaoni poprečni presjek : b = 0,25m; h = 0,85m
Čvrstoća materijala : fcd = -20 MN/m2; fsd = 478 MN/m2
Moment savijanja : Msd = 800 kNm Odrediti : Potrebnu površinu armature As (cm2)
Preddimenzioniranje: Pretpostavlja se odstojanje težišta zategnute armature od zategnutog ruba presjeka :
ds1=0,05m
m80,005,085,0dhd 1s =−=−= m72,08,09,0d9,0z =⋅=≈
kN111172,0
800z
MT sd ===
243
4
sds cm2,2310
10478111110
fTpotA =⋅
⋅=⋅=
Usvojeno : 4Φ24 (As = 18,10cm2)
2Φ20 (As = 6,28cm2) usv.As = 24,38cm2
Raspodjela armature
Položaj težišta za prikazani raspored armature je: a = 12mm. Prema tome odstojanje težišta armature od ruba poprečnog presjeka je ds1 = 52+12=64mm ≈ 0,07m. Statička visina presjeka je: d = h-ds1 = 0,85-0,07 = 0,78m.
Slika 6.17: Ulazni parametri za dimenzioniranje
Konačno dimenzioniranje:
263,078,025,01020
800dbf
M232
cd
Sd =⋅⋅⋅
=⋅⋅
=µ
3115,0)263,02(11211c =⋅−−=µ−−=δ
m243,078,03115,0dd cc =⋅=⋅δ=
389,03115,025,125,1 c =⋅=δ⋅=ξ
m304,078,0389,0dx =⋅=⋅ξ=
- kontrola dilatacije armature:
0055,0)0035,0(389,0
1389,01cs =−⋅
−=ε⋅
ξ−ξ
=ε (εe < εs < εsu)
8443,03115,0263,0
c
==δµ
=ς
m659,078,08443,0dz =⋅=⋅ς=
kN1215659,0
800z
MT ===
23
424
sds cm4,25
10478101215cm10
fTpotA =
⋅⋅
=⋅=
pot.As > usv.As, prema tome potrebna je dopuna armature : 6Φ24 (As = 27,14cm2)
Slika 6.18: Nova raspodjela armature
Statička visina ostaje nepromijenjena: d = h-ds1 = 0,85-0,07 = 0,78m.
Rubno naprezanje betona εc =εcp=-2%o
Rubno naprezanje betona εc =εcu=-3.5%o
Otvaranje plastičnog zgloba
Pritisnuta armatura
Sudjelujuća širina ploče beff
Raspodjela naprezanja napritisak σx i tok neutralne osikod T grede
«sudjelujuća širina» beff
Grede sa širokim pojasima
T presjek, koji statički radi kao pravougaoni presjek
Greda T presjeka: oznake za dimenzioniranje