GRA\ EVINSKI FAKULTET U BEOGRADUpismeni ispit ODSEK ZA KONSTRUKCIJE29.09.1998.g. TEORIJ A BETONSKIH KONSTRUKCIJ A BETONSKE KONSTRUKCIJ E 1 1.Konstrukciju~ijisustati~kisis-tem,optere}enjeipopre~nipresekpri-kazaninaskici,dimenzionisatiuka-rakteristi~nimpresecimapremaMiT. Na delu nosa~a A-B osiguranje od glav-nihnaponazatezanjaizvr{itivertikal-nimuzengijamaikoso povijenim profi-lima.Mestapovijanjausvojenihkosih profilaodreditigrafi~ki,konstrukcijom integralne krive. 2.Zausvojenirasporedarmature za nosa~izZadatka1,zapresekuuklje{-tenju,sra~unatinaponeubetonuiar-maturi. 3.OdreditikolikusiluP(povreme-no optere}enje) pri istom optere}enju g mo` eprihvatitinosa~izZadatka1, ukolikomujepresekuuklje{tenjuar-miran na na~in prikazan na skici desno. Uprora~unuzetiipritisnutuarmaturu u preseku. 4.Sra~unati stati~ke uticaje u stubo-vimaPOSS1iPOSS2zavertikalna (stalno,povremeno)odnosnohorizon-talno (vetar) optere}enje, a zatim ih di-menzionisatipremaMiN.Dejstvo vetrajealternativno.Zadu` inuizvi-janja stuba POS S1 usvojiti li =4.0 m. g =40 kN/mw =t 20 kN/m P1 =150 kNP2 =750 kN 5.Dimenzionisaticentri~nozategnut{tapoptere}ensilamaZg= 200kNiZp= 250kN, pravougaonogpopre~nogpreseka,takodakarakteristi~na{irinaprslinabudemax.0.15mm. Usvojeni popre~ni presek nacrtati u razmeri 1:5. Za sve zadatke: MB 30,RA 400/500 Napomena:Svadimenzionisanjasprovestipoteorijigrani~nenosivostiipropratiticrte` ima usvojenih popre~nih preseka u razmeri 1:10 (1:5), sa svim neophodnim kotama i oznakama. Eventualno nedostaju}e podatke usvojiti prema BAB 87. TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA1 PRIMERI ZA VEBE Konstrukcijuijisustatikisistem, optereenje i popreni presek prika-zaninaskici,dimenzionisatiuka-rakteristinim presecima prema M i T.NadelunosaaA-Bosiguranje od glavnih napona zatezanja izvriti vertikalnimuzengijamaikoso povijenimprofilima.Mestapovija-nja usvojenih kosih profila odrediti grafiki, konstrukcijom integralne krive. MB 30,RA 400/500 Za usvojeni raspored armature, za preseke u ukljetenju i u polju, sraunati napone u betonu i ar-maturi. Za presek u ukljetenju sraunati srednje rastojanje i karakteristinu irinu prslina. STATIKI UTICAJI a. stalno optereenje Ag = 0.625 40.0 6.0 = 150 kN;Bg = 0.375 40.0 6.0 = 90 kN Mgosl. = 40.06.02 / 8 = 180 kNm;Mgpolja = 9/12840.06.02 = 101.25 kNm b. povremeno optereenje Vrednostistatikihuticajausledpovremenogoptereenjasusraunatepomoutablica,prilog3.3, str.496,BAB87/2.VANANAPOMENA:uprilogu3.4naistojstranikrijesegreka-NE KORISTITI !!! ( ) ( ) 0 . 2 0 . 60 . 6 20 . 2 150 3a LL 2Pa 3M. oslp = 300.0 kNm ( ) ( )2 222 22p0 . 2 3 0 . 6 0 . 2 3 0 . 6 20 . 6 2150a 3 aL 3 L 2L 2PA + + = 200 kN ( ) ( )2 222 22p0 . 2 3 0 . 6 0 . 2 3 0 . 6 20 . 6 2150a 3 aL 3 L 2L 2PB + + = 100 kN Dijagrami M i T usled stalnog, povremenog i graninog raunskog optereenja su prikazani na skici 1.uprilogu.Kakosetraisamodimenzionisanjeukarakteristinimpresecima,dovoljnoje razmotriti samo kombinaciju uticaja 1.6G+1.8P. DIMENZIONISANJE PREMA MOMENTIMA SAVIJANJA MB 30fB = 2.05 kN/cm2;RA 400/500v = 40 kN/cm2 a. presek u ukljetenju Mu = 1.6180 + 1.8300 = 828 kNm Pritisnuta je donja ivica nosaa, pa je oblik pritisnute zone preseka ili pravougaoni, irine B=75 cm, ili, za sluaj da je neutralna linija u rebru, oblika T. Pretpostavlja se da je neutralna linija u ploi: pretp. a1 = 7 cm h = 60 - 7 = 53 cm P=150 kN2.0 m 2.0 m6.0 m45356015g=40 kN/m2.0 m7520 20A B C DP=150 kNTEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA2 PRIMERI ZA VEBE 284 . 205 . 2 7510 82853k2 b/a = 3.5/9.641; = 21.560%;s = 0.266 x = sh = 0.26653 = 14.12 cm < 15 cm = dp Pretpostavkaopoloajuneutralnelinijejedobra,pasepotrebnapovrinazategnutearmature odreuje iz izraza: 4005 . 210053 75560 . 21 A. potr , a = 43.92 cm2 usvojeno:9 R 25(44.18 cm2) b. presek u polju Maksimalni moment Mu u polju je u preseku u kome je, za odgovarajuu kombinaciju uticaja, Tu = 0. Sa dijagrama Tu u prilogu, jasno je da je to presek na 2.0 m od slobodnog oslonca, gde je: Mg = 90.02.0 - 40.02.02 / 2 = 100 kNm;Mp = 200 kNm Mu = 1.6100 + 1.8200 = 520 kNm Pritisnuta je gornja ivica, pa je pritisnuta zona preseka pravougaonog oblika, irine b=35 cm. pretp. a1 = 7 cm h = 60 - 7 = 53 cm 969 . 105 . 2 3510 52053k2 b/a = 3.5/5.754; = 30.617% 4005 . 210053 35617 . 30 A. potr , a = 29.11 cm2 usvojeno:6 R 25(29.45 cm2) TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA3 PRIMERI ZA VEBE TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA4 PRIMERI ZA VEBE DIMENZIONISANJE PREMA GLAVNIM NAPONIMA ZATEZANJA NaprethodnojskicisuprikazanidijagramgraninihtransverzalnihsilaTu=1.6Tg+1.8Tp,kaoi odgovarajui dijagram smiuih napona n. Napominje se da je usvojeno za sve preseke zb = 0.9h = 0.953 = 47.7 cm = const., pa su dijagrami Tu i n afini. MB 30r = 1.1 MPa(lan 89. Pravilnika BAB 87) Nadelovimanosaagdejeprekoraenavrednostrpotrebnojeizvritiosiguranjearmaturom (rafirani delovi dijagrama n). a.deo A-B TuA = 1.6150 + 1.8200 = 600 kN 7 . 47 35600An = 0.359 kN/cm2 TuB,levo = 1.670 + 1.8200 = 472 kN 7 . 47 35472levo , Bn = 0.283 kN/cm2 KakojenaitavomdeluA-Bprekoraenaraunskavrstoapriistomsmicanjur,tojeduina osiguranja1=2.0m.Osiguranjesevrivertikalnimuzengijamaikosopovijenimprofilima,a prema dijagramu Ru. nA = 3.59 MPa > 3r = 3.3 MPaRuA = nA = 3.59 MPa nB,levo = 2.83 MPa < 3rRuB,levo =( ) 1 . 1 83 . 223 = 2.59 MPa Potrebnoje,radipravilnekonstrukcijedijagramaRu,odredititakupreloma,odnosnopoloaj preseka u kome je dostignut napon 3r: 0 . 2x83 . 2 59 . 31 . 1 3 59 . 3 x = 0.767 m = 76.7 cm usvojeno:m = 2; = 45; = 90;UR10 (au(1)=0.785 cm2) Maksimalnorastojanjeuzengijabieodreenoizuslovazadovoljenjaminimalnogprocenta armiranja uz,min. = 0.20%. 2. min , uz) 1 (uuu) 1 (uuz10 2 . 0 35785 . 0 2ba mee ba m = 22.4 cm S obzirom na oblik dijagrama napona Ru i njegove vrednosti, usvojene su uzengije UR10/10. ( ) ( ) 1 0 1 4010 35785 . 0 2ctg sin cose ba mvu) 1 (uu , u + + = 0.180 kN/cm2 Nadijagramuuprilogujedeonaponakojiprihvatajuuzengijerafiranvertikalnom,adeokojije potrebno prihvatiti koso povijenim profilima ukrtenom rafurom. Sledi: 35 3 . 123 180 . 02259 . 0 33 . 07 . 76 180 . 0233 . 0 359 . 0Hk , vu1]1

,_

++

,_

+ = 939.7 kN TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA5 PRIMERI ZA VEBE usvojeno: = 45;k = 45 (ugao pod kojim se povijaju profili) ( ) ( ) 0 . 1 707 . 0 707 . 0 407 . 939ctg sin cosHAk k vk , vuk , a + + = 16.61 cm2 usvojeno:4 R 25(19.63 cm2) Mesta povijanja kosih profila odreena su grafiki, pomou integralne krive (vidi skicu, str. 3). b.deo B-C TuB,desno = 1.670 + 1.850 = 202 kN 7 . 47 35202desno , Bn = 0.121 kN/cm2 TuC,levo = -1.610 + 1.850 = 74 kN 7 . 47 3574levo , Cn = 0.044 kN/cm2 < r Duina osiguranja 2 se sraunava iz dijagrama n na delu B-C kao: 0 . 2 44 . 0 21 . 11 . 1 21 . 122 = 0.287 m = 28.7 cm nB,desno = 1.21 MPa < 3rRuB,desno =( ) 1 . 1 21 . 123 = 0.16 MPa Osiguranje se vri vertikalnim uzengijama, iji se razmak odreuje iz maksimalnog napona Ru: usvojeno:m = 2; = 45; = 90;UR8 (au(1)=0.503 cm2) ( ) ( ) 1 0 1 40016 . 0 35503 . 0 2ctg sin cosba mevRu) 1 (uu + + =138.6au(1) = 69.7 cm Ovo rastojanje je vee od maksimalno doputenog: cm 25cm 25cm 35 bcm 5 . 26 2 / 53 2 / h. min e. max , u'; Maksimalno rastojanje uzengija bie odreeno iz uslova zadovoljenja uz,min. = 0.20%. 2. min , uz) 1 (uuu) 1 (uuz10 2 . 0 35503 . 0 2ba mee ba m = 14.36 cm usvojeno:UR 8/12.5(m=2) na duini 50 cm > 2 c.deo C-D TuC,desno = 1.610 + 1.8100 = 196 kN 7 . 47 35196desno , Cn = 0.117 kN/cm2 TuD = 1.690 + 1.8100 = 324 kN 7 . 47 35324Dn = 0.194 kN/cm2 TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA6 PRIMERI ZA VEBE KakojenaitavomdeluC-Dprekoraenaraunskavrstoapriistomsmicanjur,tojeduina osiguranja 3 = 2.0 m. Osiguranje se vri vertikalnim uzengijama: nC,desno = 1.17 MPa < 3rRuC,desno =( ) 1 . 1 17 . 123 = 0.11 MPa nD = 1.94 MPa < 3rRuD =( ) 1 . 1 94 . 123 = 1.26 MPa Osiguranje se vri vertikalnim uzengijama, iji se razmak odreuje iz maksimalnog napona Ru: usvojeno:m = 2; = 45; = 90;UR10 (au(1)=0.785 cm2) ( ) 1 0 1 40126 . 0 35785 . 0 2eu + = 18.13au(1) = 14.24 cm Kako je ovo rastojanje manje od maksimalnog, sledi: usvojeno:UR 10/12.5 (m=2) na duini 2.0 m = 3 dodatna zategnuta armatura: ( ) ( ) 0 140 2324ctg ctg2TAvmua = 4.05 cm2 usvojeno:2 R 25(9.82 cm2) PRORAUN NAPONA U BETONU I ARMATURI a. presek u ukljetenju Pritisnuta je donja ivica nosaa, pa je oblik pritisnute zone preseka ili pravougaoni, irine B=75 cm, ili,zasluajdajeneutralnalinijaurebru,oblikaT.Izpraktinihrazloga,pretpostavljasedaje neutralna linija u ploi, pa se poloaj neutralne linije odreuje kao za pravougaoni popreni presek, reavanjem kvadratne jednaine oblika: ( ) ( ) 0 = + n 2 - s + n 2 +s 22 1 2 12 MB 30Eb = 31.5 GPa(lan 52. BAB 87)5 . 31210EEnba = 6.67 910 4 5 . 4 5a1 + = 6.94 cm h = 60 - 6.94 = 53.06 cm a2 = 4.5 cm 06 . 535 . 4ha2 = 0.085 ; 06 . 5315hdp = 0.283 Aa1 = 9 R 2506 . 53 7518 . 44h bA1 a1 = 0.0111 = 1.11% Aa2 = 2 R 2506 . 53 7582 . 9h bA2 a2 = 0.0025 = 0.25% TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA7 PRIMERI ZA VEBE Vana napomena: Pretpostavljenojedaseneutralnalinijanalaziuploi,odnosnodajepritisnutazonapresekapravouga-onogoblika,kogakarakterieSAMOJEDNAirina.Stogaitavprorauntrebasprovestisatom, jedinom,irinom(ukonkretnomsluaju,b=75cm),bezobziradalijeuoptimizrazimazaproraun napona kod pravougaonog preseka oznaena malim ili velikim slovom (B, b). Ova napomena je sutinski izlina, ali se eksplicitno navodi zbog uoenog velikog broja greaka pri izradi godinjih i pismenih zadataka. s2 + 26.67(1.11+0.25)10-2s - 26.67(1.11+0.250.085)10-2 = 0 s2 + 0.181s - 0.151 = 0 s = 0.3086 > = 0.283 Pretpostavkaopoloajuneutralnelinijenijezadovoljena,pasepresekmoraproraunatikaoT presek.Uovomsluajuspoloajneutralnelinijesesraunavaiterativno,reavanjemkvadratne jednaine oblika: ( ) ( ) 0 n J s n F2 2 1 Ib 2 1 ) s ( + + + pri emu je: ( )2s1bB2sbB=J22Ib

,_

06 . 53 3518 . 44h bA1 a1 = 0.0238 = 2.38% ; 06 . 53 3582 . 9h bA2 a2 = 0.0053 = 0.53% Sugerieseiterativanpostupakreavanjazboguoenogvelikogbrojaraunskihgreakapri eksplicitnomreavanjukvadratnejednaineF(s)=0.Kodizborapretpostavljenevrednosti s,neop-hodno je uoiti da je s > 0.3086 (dobijeno iz odgovarajueg izraza za pravougaoni presek irine B=75 cm), pa se pretpostavlja npr.: 1. korak:s = 0.32 ( )2283 . 0 32 . 013575232 . 03575J2 2Ib

,_

= 0.109 F(s) = -6.67(2.38+0.53)10-20.32 - 0.109 + 6.67(2.38+0.530.085)10-2 = -0.0094 0 F(s) < 00.3086 < s < 0.32 2. korak:s = 0.31 ( )2283 . 0 31 . 013575231 . 03575J2 2Ib

,_

= 0.103 F(s) = -6.67(2.38+0.53)10-20.31 - 0.103 + 6.67(2.38+0.530.085)10-2 = -0.0010 0 F(s) < 00.3086 < s < 0.31 3. korak:s = 0.3088 ( )2283 . 0 3088 . 01357523088 . 03575J2 2Ib

,_

= 0.102 F(s) = -6.67(2.38+0.53)10-20.3088 - 0.102 + 6.67(2.38+0.530.085)10-2 = 0 TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA8 PRIMERI ZA VEBE F(s) = 0s = 0.3088 Vana napomena: Izprethodnogprimerajepotpunojasnodajenumerikarazlikaupoloajuneutralnelinijeodreeneiz izraza za pravougaoni, odnosnoT presek izuzetno mala. Bez obzira na to, eventualne greke u proraunu (pogreanizboroblikapoprenogpreseka)seNETOLERIU,jerrezultirajuvelikimrazlikamau naponima u betonu. Kada je odreen poloaj neutralne linije, sraunava se bezdimenzioni koeficijen JIIb: ( )

,_

,_

,_

32 + s12s1bB3s12sbB=J22IIb ( )

,_

,_

,_

3283 . 0 2 + 3088 . 012283 . 0 3088 . 01357533088 . 0123088 . 03575=J2 2IIb JIIb = 0.091 a zatim i naponi i dilatacije u betonu i armaturi: ( ) ( )2 2 2 IIb2ab1 s n Jsh bM + Ma = M = Mg + Mp = 180 + 300 = 480 kNm ( ) ( ) 085 . 0 1 085 . 0 3088 . 0 10 53 . 0 67 . 6 091 . 03088 . 006 . 53 3510 4802 22b + = 1.53 kN/cm2 3088 . 03088 . 0 153 . 1 67 . 6ss 1nb 1 a = 22.78 kN/cm2 3088 . 0085 . 0 3088 . 053 . 1 67 . 6ssn2b 2 a = 7.38 kN/cm2 3bbb10 15 . 353 . 1E = 0.484 3a1 a1 a10 2178 . 22E = 1.085 ; 3a2 a2 a10 2138 . 7E = 0.351 b. presek u polju Pritisnutajegornjaivicanosaa,pajeoblikpritisnutezonepresekapravougaoni,irine b=35cm. Poloaj neutralne linije odreuje reavanjem kvadratne jednaine oblika: ( ) ( ) 0 = + n 2 - s + n 2 +s 22 1 2 12 610 2 5 . 4 4a1 + = 6.33 cm h = 60 - 6.33 = 53.67 cm a2 = 4.5 cm 67 . 535 . 4ha2 = 0.084 TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA9 PRIMERI ZA VEBE Aa1 = 6 R 2567 . 53 3545 . 29h bA1 a1 = 0.0157 = 1.57% Aa2 = 2 R 2567 . 53 3582 . 9h bA2 a2 = 0.0052 = 0.52% s2 + 26.67(1.57+0.52)10-2s - 26.67(1.57+0.520.084)10-2 = 0 s2 + 0.279s - 0.215 = 0 s = 0.345 Kada je odreen poloaj neutralne linije, sraunava se bezdimenzioni koeficijen JIIb:

,_

,_

3345 . 012345 . 0=3s12s=J2 2IIb= 0.053 a zatim i naponi i dilatacije u betonu i armaturi: ( ) ( )2 2 2 IIb2ab1 s n Jsh bM + Ma = M = Mg + Mp = 100 + 200 = 300 kNm ( ) ( ) 084 . 0 1 084 . 0 345 . 0 10 52 . 0 67 . 6 053 . 0345 . 067 . 53 3510 3002 22b + = 1.68 kN/cm2 345 . 0345 . 0 168 . 1 67 . 6ss 1nb 1 a = 21.34 kN/cm2 345 . 0084 . 0 345 . 068 . 1 67 . 6ssn2b 2 a = 8.50 kN/cm2 3bbb10 15 . 368 . 1E = 0.535 3a1 a1 a10 2134 . 21E = 1.016 ; 3a2 a2 a10 2150 . 8E = 0.405 Napomena: UpraktinimzadacimaNIJEOBAVEZNOuvrstitiuproraunpovrinupritisnutearmatureupreseku (ukoliko nije raunski potrebna). Za sluaj Aa2 = 0, sledi s = 0.364, b = 18.6 MPa, odnosno a1 = 216.1 MPa.Dakle,naponuzategnutojarmaturisemalopoveava(1.03%),uzznaajnopoveanjenaponau betonu (10.29%). Isto se uoava, dodue u manjoj meri, i kod preseka oblika T. PRORAUN KARAKTERISTINE IRINE PRSLINA Karakteristina irina prslina bie odreena za presek u ukljetenju. Odreivanje momenta pojave prslina Moment savijanja pri kome nastaje prslina Mr odreen je izrazom: TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA10 PRIMERI ZA VEBE 1 b bzs 1 i bzs rW f W f M Wi1-otporni moment idealizovanog preseka (beton+armatura) za zategnutu ivicu preseka Wb1-otporni moment bruto betonskog preseka za zategnutu ivicu preseka Radi jednostavnosti se savetuje da se proraun momenta Mr sprovodi po priblinom izrazu (sa karakteristikama bruto betonskog preseka), pri emu se doputa da se proraunom tretira SAMO REBRO poprenog preseka, dakle Wb1 brd2/6. fbzs-vrstoa betona pri zatezanju savijanjem, odreena izrazom: m , bz bz4m , bz4bz bzsf 7 . 0 fd4 . 06 . 0 f 7 . 0d4 . 06 . 0 f f ,_

+ ,_

+ Napominjesedasevisinapoprenogpresekaduizrazzaodreivanjefbzsunosiu METRIMA. Takoe se naglaava da se, u skladu sa lanom 51. BAB, kod prorauna irine prslina usvaja da je fbz = 0.7fbz,m fbzm-srednjavrstoabetonapriaksijalnomzatezanju-videtitabeluuokvirulana51. Pravilnika BAB 87, odnosno odreena izrazom: 32bk bzmf 25 . 0 f ; fbzm i fbk u [MPa] Zamenom konkretnih numerikih vrednosti u prethodnim izrazima, sledi: MB 30fbz,m = 2.4 MPafbz = 0.7fbz,m = 0.72.4 = 1.68 MPa

,_

+ 4bzs60 . 04 . 06 . 0 68 . 1 f = 1.77 MPa = 0.177 kN/cm2 660 35W21 b = 21000 cm3 Mr = 0.17721000 = 3720 kNcm Mr = 37.2 kNm < M = Mg + Mp = 180 + 300 = 480 kNm Srednje rastojanje prslina ef. z1,2 10 psk k10ea 2 l +

,_

+ U prethodnom izrazu su upotrebljene sledee oznake: a0-ist zatitni sloj betona do armature e -osovinsko rastojanje profila armature, ne vee od 15 ni od 30 cm k1-koeficijentkojiobuhvatauticajprianjanjaarmature(k1=0.8zaglatkuarmaturuGA 240/360, k1=0.4 za rebrastu armaturu RA 400/500) k2-koeficijentkojiobuhvatauticajnaponskogstanja-oblikadijagramanapona zatezanjapovisinipresekaprenastankaprslina(k2=0.25zacentrinozatezanje, k2=0.125 za isto savijanje) -prenik upotrebljene armature TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA11 PRIMERI ZA VEBE z1,ef.-efektivni procenat armiranja zategnutom armaturom, odreen izrazom: ef. bz,a1ef. z1,AA Aa1-povrina zategnute armature u poprenom preseku Abz,ef. -efektivna povrina zategnutog betona, za sluaj pravougaonog oblika zategnute zone preseka odreena kao: ef. bz, ef. bz,h b A priemujevisinasadejstvujuezonezategnutogbetonahbz,ef.odreenakao minimalna od sledee dve vrednosti: ;' +) b ( 2 / d x d(a) 5 . 7 a. min hI) i (ef. bz, a(i) -poloajnajudaljenijegodzategnuteiviceredazategnutearmatureu preseku xI-visina pritisnute zone preseka pre nastanka prslina (stanje I) S obzirom na uobiajene dimenzije preseka i prenike upotrebljene armature, uslov (a) je najee merodavan kod prorauna grednih nosaa, a uslov (b) kod ploa. a0 = a1 - /2 = 4.5 - 2.5/2 = 3.25 cm = 25 mm = 2.5 cm;k1 = 0.4 (RA 400/500) e = 6.5 cm;k2 = 0.125 (isto savijanje) ;' +cm 30 2 / 60 2 / d x dcm 75 . 28 5 . 2 5 . 7 10. min hI ef. bz,= 28.75 cm 75 . 28 3544.18AAef. bz,a1ef. z1, = 0.0439 = 4.39% 2 ps10 39 . 42.5125 . 0 4 . 0105 . 625 . 3 2 l +

,_

+ = 10.65 cm Odreivanje napona u zategnutoj armaturi U prethodnoj taki su odreeni naponi u betonu i armaturi u ovom preseku: a1 = 22.78 kN/cm2 = 227.8 MPa a1 = 1.085 Napomena: U praktinim proraunima se moe, ukoliko se eksplicitno ne trae vrednosti napona u betonu i armaturi, sadovoljnomtanoukoristitipriblianpostupakodreivanjanaponauarmaturi.Pojednostavljenjese sastoji u usvajanju pribline vrednosti za krak unutranjih sila zb 0.9h, pa sledi: ( )

,_

+ + 1 1 1 b a1 a 1 aa1 a 1 a ba1 aa2dN M a y N M M ;ANA h 9 . 0MANA zM TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA12 PRIMERI ZA VEBE Za sluaj istog savijanja, poslednji izraz se svodi na oblik: 1 a 1 a b1 aA h 9 . 0MA zM Na ovaj nain se eliminie potreba tanog odreivanja poloaja neutralne linije. U sluaju pravougaonog presekaoptereenognaistosavijanjetonijenaroitoznaajno(reavanjekvadratnejednaine),aliu sluaju sloenog savijanja, kada je potrebno reiti jednainu treeg stepena, ili u sluaju T preseka, moe znatno skratiti proraun uz zadovoljavajuu tanost. Odreivanje karakteristine irine prslina Karakteristina irina prslina (fraktil 95%) se odreuje iz izraza: ps 1 a a pkl 7 . 1 a '

,_

,_

4 . 00 . 1MM1 12r2 12II1 ar , 1 a2 1 a 1 -koeficijentkojimseuzimauobzirprianjanjearmature(1=0.5zaglatkuarmaturu GA 240/360, odnosno 1=1.0 za rebrastu armaturu RA 400/500) 2 -koeficijentkojimseuzimauobzirdugotrajnostoptereenja(2=1.0zakratkotrajno optereenje, odnosno 2=0.5 za dugotrajno ili viestruko ponovljeno optereenje) Mr-moment savijanja pri kome nastaje prslina Zamenom konkretnih numerikih vrednosti u prethodnim izrazima, sledi: 2a214802 . 370 . 1 0 . 1 1) 0 t ( 0 . 1) 500 / 400 RA ( 0 . 1

,_

; = 0.994 apk = 1.7 0.994 1.08510-3 10.65= 19.510-3 cm = 0.195 mm < apk,dop. = 0.2 mm Kakosepretpostavljadaseelementnalaziuuslovimaumerenoagresivnesredine("napolju"),do-putenavrednostkarakteristineirineprslinajeapk,dop.=0.2mm.Dakle,saaspektagraninog stanja prslina, element je korektno dimenzionisan. Komentar: Maksimalnairinaprslinase,naelno,dobijaupresekusaMAKSIMALNIMNAPONOMuzategnutoj armaturi(dakle,tonijenunopreseksamaksimalnimuticajima).Ukonkretnomprimerusuuoba razmatranapresekadobijenepriblinoistevrednostinaponaa1.Utomsluaju,redovnojemerodavan preseksaMANJOMPOVRINOMZATEGNUTEARMATURE,jerseraunskidobijaveesrednje rastojanje prslina (posledica manje vrednostikoeficijenta z1,ef. pri istim ostalim parametrima). Tako se za presek u polju dobija lps = 12.5 cm, odnosno apk = 0.213 mm > apk,dop. Ovajkomentarimavieretorikikarakter.Upraktinimzadacimaprslinetrebaraunatiupresecimasa ekstremnim uticajima, odnosno u presecima koji su zadatkom precizirani. TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA13 PRIMERI ZA VEBE TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA14 PRIMERI ZA VEBE OdreditikolikusiluP(povremenooptereenje)priistom optereenju g moe prihvatiti nosa iz Zadatka 1, ukoliko mu jepresekuukljetenjuarmirannanainprikazannaskici desno. U proraun uzeti i pritisnutu armaturu u preseku. Zadataksesvodinaodreivanjemomentalomazapresek poznategeometrijeimehanikihkarakteristikamaterijala. Problem je detaljno obraen na listu br. 3 Godinjeg zadatka iz Teorijebetonskihkonstrukcija,paseovdedajusamo najosnovnije napomene i uputstva. Odmah treba uoiti sledee: a.presekjearmiran manjom koliinom armature od sraunate u Zadatku 1. To znai i da mu je nosivost manja, odnosno da traena sila P (povremeno optereenje) svakako mora biti manja od vrednosti P=150 kN iz Zadatka 1. b.neutralna linija se SIGURNO nalazi u ploi, odnosno presek treba tretirati kao pravo-ugaoni,irineB=75cm.Naime,uovomprimerujenosivostzategnutearmature Zau=Aa1v manja nego u Zadatku 1, pa, iz uslova ravnotee normalnih sila, sledi da je i sila Dbu takoe manja od odgovarajue iz prethodnog primera. To nuno znai da je x(Zad.2) < x(Zad.1), odnosno x < dp (x(Zad.1)=14.12 cm < dp). c.posebnoobratitipanjudalisetraidaseipritisnutaarmaturaupresekuobuhvati proraunom. Neophodno je ispotovati takav zahtev, jer se SAMO TAKO SPROVE-DENPRORAUNPOZITIVNOOCENJUJE,bezobziranamalinumerikiuticaj pritisnute armature na nosivost poprenog preseka. d.to to se proraunom obuhvata i pritisnuta armatura u preseku nipoto ne znai da je ona bila i statiki potrebna (dvostruko armiranje), odnosno nipoto ne sugerie da je dilatacijazategnutearmaturea1=3.Ovoseposebnonaglaavazboguoenih estih pokuaja da se postupak odreivanja momenta loma "pojednostavi" i "skrati" u odnosu na postupak izloen na vebanjima. U vezi sa ovim, treba naglasiti i sledee: -presekmoebitidvostrukoarmiran(uraunskomsmislu)adajedilatacijau zategnutoj armaturi a1>3. Sloboda je projektanta da, usvajanjem neto vee dilatacijea1,dobijenetomanjukoliinuzategnute,odnosnoveukoliinu pritisnute i ukupne armature. -akiakoseignorieprethodnanapomena(nijenaroitoestsluajupraksi), samimusvajanjembrojaiprofilaarmaturevrisezaokruivanje,kojeremeti sliku dilatacija u preseku u odnosu na raunskih b/a1 = 3.5/3.0. Dakle,ukolikojeneophodnoproraunomtretiratiipritisnutuarmaturuupreseku,postupak odreivanja momenta loma moe biti sproveden na jedan od dva naina: 1.nain izloen u Godinjem zadatku - odreivanje poloaja neutralne linije iterativnim postupkom,svedozadovoljenjauslovaravnoteenormalnihsila,azatimodrei-vanje poloaja unutranjih sila i konano sraunavanje traene vrednosti Mu; 2.korienjem odgovarajueg DIJAGRAMA INTERAKCIJE za zadati odnos pritisnute izategnutearmature;ukolikoovajnepostoji,koristitinajpriblinijiilivriti interpolaciju reenja grafiki oitanih sa dva susedna, najpriblinija dijagrama. TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA15 PRIMERI ZA VEBE Prvi nain moe biti dug i nepopularan je zbog velikog obima posla koji je potrebno uraditi da bi se sadovoljnomtanouodrediopoloajneutralnelinije.Meutim,brojiteracijasebitnomoe smanjiti ukoliko se sprovede kratka analiza na samom poetku prorauna. U Zadatku 1. presek iste geometrije je dimenzionisan na moment savijanja Mu = 828 kNm, pri emu su dobijeni sledei rezultati: hra. = 53 cm ; b/a1 = 3.5/9.641 ; Aa1,potr. = 43.92 cm2 Ukonkretnomprimeru,potrebnojeodreditinosivostpoprenogpresekaarmiranogsa7R25, odnosno sa Aa1 = 34.36 cm2. Geometrijske karakteristike ovog preseka su: 710 2 5 . 4 5a1 + = 6.07 cm h = 60 - 6.07 = 53.93 cm ; a2 = 4.5 cm Aa1 = 34.36 cm2(7 R 25) ; Aa2 = 9.82 cm2(2 R 25) Ukoliko se zanemari promena kraka unutranjih sila (poveava se statika visina sa raunskih h=53 cm iz Zadatka 1 na stvarnih h=53.93 cm u razmatranom primeru; svakako se poveava i koeficijent kraka unutranjih sila b), mogue je priblino odrediti moment nosivosti preseka iz proporcije: 82892 . 4336 . 34Mu = 648 kNm Sa ovom vrednou e biti odreene dilatacije b i a1 pomou tabela za dimenzionisanje: 05 . 2 7510 64893 . 53k2 = 2.627b/a = 2.67/10 Sobziromnaprisustvopritisnutearmatureupreseku,zaoekivatijedaljepomeranjeneutralne linije ka pritisnutoj ivici preseka, pa je pretpostavljeno: 1. korak: b/a1 = 2.5/10 10 5 . 25 . 2s+ = 0.20 < = 0.278 = dp/hDbu = Dbu1, B = 75 cm 5 . 220 . 0083 . 0 20 . 02 a = 1.457a2 = 1.45710-321103 = 30.6 kN/cm2 b = 2.5 5 . 2 32 5 . 2 332 3bbb = 0.733 (moe se oitati i iz tabela za dimenzionisanje) Dbu = bsBhfB = 0.7330.207553.932.05 = 1216.1 kN Dau = a2Aa2 = 30.69.82 = 306.0 kN Zau = a1Aa1 = 40.034.36 = 1374.4 kN N = 1216.1 + 306.0 - 1374.4 = 142.0 kN > 0 s < 0.20 b < 2.5, a1 = 10 2. korak: b/a1 = 2.3/10 10 3 . 23 . 2s+ = 0.187 < = 0.278 = dp/h TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA16 PRIMERI ZA VEBE 3 . 2187 . 0083 . 0 187 . 02 a = 1.274a2 = 1.27410-321103 = 26.75 kN/cm2 b = 2.3 3 . 2 32 3 . 2 332 3bbb = 0.710 Dbu = bsBhfB = 0.7100.1877553.932.05 = 1101.0 kN Dau = a2Aa2 = 26.759.82 = 262.6 kN Zau = a1Aa1 = 40.034.36 = 1374.4 kN N = 1101.0 + 262.6 - 1374.4 = -10.8 kN < 0 0.187 < s < 0.20 2.3 < b < 2.5 3. korak: b/a1 = 2.314/10 10 314 . 2314 . 2s+ = 0.188 < = 0.278 = dp/h 314 . 2188 . 0083 . 0 188 . 02 a = 1.286a2 = 1.28610-321103 = 27.02 kN/cm2 b = 2.314 314 . 2 32 314 . 2 332 3bbb = 0.712 Dbu = bsBhfB = 0.7120.1887553.932.05 = 1109.2 kN Dau = a2Aa2 = 27.029.82 = 265.2 kN Zau = a1Aa1 = 40.034.36 = 1374.4 kN N = 1109.2 + 265.2 - 1374.4 = 0 b = 2.314 , a1 = 10 Odreivanje momenta loma: ( )( )( )( ) 2 314 . 2 3 314 . 2 22 4 314 . 2 3 314 . 22 3 22 4 3b bb b + + = 0.385 zb = h (1 - s) = 53.93 (1 - 0.3850.188) = 50.03 cm Traenavrednostmomentalomadobijaseizuslovaravnoteemomenatasavijanjauodnosuna teite zategnute armature: Ma1 = 0: Dbu1 zb1 - Dbu2 zb2 + Dau (h - a2) = Mau= Mu + Nu ya1 Kakojex 25 Kako je vitkost > 25, izvijanje se mora uzeti u obzir. Ekscentricitet usled netanog izvoenja (imperfekcija) Ekscentricitet usled imperfekcije se odreuje kao: 'cm 10cm 2300lei0;li,d = 4.0 m300400e0 = 1.33 cm < 2 cm = e0,min. usvojeno e0 = 2 cm TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA24 PRIMERI ZA VEBE Ekscentricitet usled efekata teenja betona ;> 50 4 . 550.2 > 0.53 = 280/530 = /N Ng efekat teenja betona se mora uzeti u obzir Potrebno je najpre sraunati Ojlerovu kritinu silu izvijanja stuba NE: 2i2b b 2i2i b ElJ ElJ E N S obzirom da je povrina armature nepoznata, a da se ne oekuje da ona bitno utie na vrednost momenta inercijepreseka(cca.5%),doputenojeipreporuivoOjlerovukritinusiluizvijanjasraunatisa karakteristikama bruto betonskog preseka. 1225 3012d bJ3 3b = 39062.5 cm4 ; Eb = 31.5 GPa = 31.5106 kN/m2 228 6E0 . 410 5 . 39062 10 5 . 31 N = 7590 kN 7590280NNEgE = 0.0369; 5300NMegg = 0 Za element srednje debljine dm: b/d = 30/25 cm( ) 30 25 230 25 2OA 2dm+ = 13.6 cm 20 cm pretpostavljenustarostbetonautrenutkunanoenjaoptereenjat0=28dana,zaelement"napolju" (relativna vlanost sredine 70%), sledi konana vrednost koeficijenta teenja = 2.6 (lan 59. Pra-vilnika BAB 87). Ekscentricitet usled teenja betona e se sraunava iz izraza: ( ) ( )

,_

+

,_

+ 1 e 0 2 1 e e e e6 . 20369 . 0 10369 . 01g 0EE= 0.21 cm Dopunski ekscentricitet Kakoje75,(oblastumerenevitkosti),moguejekoristitimetoddopunskeekscentrinostiza uvoenjeuproraunefekatateorijeIIreda.Zavisnoododnosae1/d,dopunskiekscentricitetedse odreuje iz jednog od sledeih izraza: (a)3 . 0de01< : de1 . 010025d e1d+ (b)5 . 2de3 . 01< : 16025d ed 0 (c)5 . 3de5 . 21< :

,_

de5 . 316025d e1d 16025 4 . 5525 e 302 . 0ded1 = 4.75 cm TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA25 PRIMERI ZA VEBE Ukupan raunski ekcentricitet e2 = e1 + e0 + e + ed = 7.55 + 2.0 + 0.21 + 4.75 = 14.51 cm Za pretpostavljeno a1 0, koeficijenti sigurnosti imaju maksimalne vrednosti, pa sledi: Nu = 1.9280 + 2.1250 = 1057 kN 05 . 2 25 301057nu = 0.687 Mu = Nu e2 = 105714.5110-2 = 153.4 kNm 05 . 2 25 3010 4 . 153m22u = 0.399 Sadijagramainterakcije2.4.13(BABII,str.138)-simetrinoarmiranpresek,rebrastaarmatura, a1/d = 4.5/25 = 0.18 0.20 oitava se:1 0.53 ; 1.0 < a1 < 1.5 (a1 1.20). Ukoliko se iz-vri korekcija koeficijenata sigurnosti, sledi: ( )2 . 10 . 0 0 . 36 . 1 9 . 19 . 1G , u = 1.78 ; ( )2 . 10 . 0 0 . 38 . 1 1 . 21 . 2P , u = 1.98 Nu = 1.78280 + 1.98250 = 993.4 kN 05 . 2 25 304 . 993nu = 0.646 Mu = Nu e2 = 993.414.5110-2 = 144.1 kNm 05 . 2 25 3010 1 . 144m22u = 0.375 Sa dijagrama se oitava:1 0.475 ; 1.0 < a1 < 1.5 (a1 1.25). Nije potrebna dalja korek-cija koeficijenata sigurnosti, pa sledi: Aa1 = 0.47530252.05 / 40 = 18.26 cm2 = Aa2 Tano reenje, dobijeno analitiki: b/a1 = 3.5/1.27, Aa1 = Aa2 = 18.13 cm2 usvojeno:4R25 (t19.63 cm2) Usvojeni popreni preseci prikazani su na donjoj skici. TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA26 PRIMERI ZA VEBE DIMENZIONISANJE ZATEGE - GRANINO STANJE PRSLINA Dimenzionisati centrino zategnut tap optereen silama Zg = 200 kN i Zp = 250 kN, pravougaonog preseka, tako da karakteristina irina prslina bude max. 0.15 mm. MB 30, RA 400/500. Zbogvelikogbrojanepoznatihveliina,preseksenemoedirektnodimenzionisatitakodase zadovolji postavljeni uslov graninog stanja prslina. Stoga se presek najpre dimenzionie po teoriji granine nosivosti i usvoje oblik, dimenzije poprenog preseka i raspored armature. Za tako usvojen popreni presek se odredi karakteristina irina prslina i uporedi sa zahtevanom vrednou. Ukoliko uslovzadatkanijezadovoljen,vrisekorekcijajednogilivieparametarakojienajefikasnije dovesti do zadovoljenja postavljenog kriterijuma. DIMENZIONISANJE Zu = 1.6Zg + 1.8Zp = 1.6200 + 1.8250 = 770 kN RA 400/500v = 40 kN/cm2 40770 ZAvu. potr , a = 19.25 cm2 usvojeno:6 R 22(22.81 cm2) Usvojeni popreni presek je pravougaoni, dimenzija: b 2(a0+u) + m + (m-1)5.0 b 2(2.5+0.8) + 32.2 + 25.0 = 23.2 cm d 2(a0+u) + n + (n-1)3.0 d 2(2.5+0.8) + 22.2 + 13.0 = 14.0 cm usvojeno:b/d = 25/15 cm PRORAUN KARAKTERISTINE IRINE PRSLINA Z = Zg + Zp = 200 + 250 = 450 kN Proraun sile pri kojoj nastaje prslina MB 30fbz = 0.7fbzm = 0.72.4 = 1.68 MPa = 0.168 kN/cm2(lan 51. BAB 87) Eb = 31.5 GPa(lan 52. BAB 87)5 . 31210EEnba = 6.67 Ai = Ab + nAa = 2515 + 6.6722.81 = 527.05 cm2 Zr = fbz Ai = 0.168527.05 = 88.5 kN < Z = 450 kNpresek sa prslinom Proraun srednjeg rastojanja prslina Geometrijske veliine relevantne za proraun prslina prikazane su na skici. a0 = a1 - /2 = 4.5 - 2.2/2 = 3.4 cm = 22 mm = 2.2 cm;k1 = 0.4 (RA 400/500) e = 8.0 cm;k2 = 0.25 (isto zatezanje) TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA27 PRIMERI ZA VEBE Abz,ef. = Ab = bd = 2515 = 375 cm2 37522.81AAef. bz,aef. z, = 0.0608 = 6.08% 2 ps10 08 . 62.225 . 0 4 . 0100 . 84 . 3 2 l +

,_

+ = 12.0 cm Odreivanje napona u zategnutoj armaturi 81 . 22450AZ. aa = 19.73 kN/cm2 3. aaa10 0 . 2173 . 19E = 0.940 Proraun karakteristine irine prslina ps a a pkl 7 . 1 a '

,_

,_

4 . 00 . 1ZZ1 12r2 12II1 ar , 1 a2 1 a 2a214505 . 880 . 1 0 . 1 1) 0 t ( 0 . 1) 500 / 400 RA ( 0 . 1

,_

; = 0.961 apk = 1.7 0.961 0.94010-3 12.0 = 18.010-3 cm = 0.18 mm > apk,dop. = 0.15 mm Uslovzadatkanijezadovoljen.Uciljuoptimalnogizboraparametrakojitrebapromenitikakobi zahtevani kriterijum bio zadovoljen, sprovodi se kratka analiza. irina prslina direktno zavisi od: -srednjeg rastojanja prslina -napona u zategnutoj armaturi Veliina koeficijenta a, kojim se u proraun uvodi sadejstvo zategnutog betona izmeu prslina, je praktino irelevantna, jer je njegova vrednost veoma bliska jedinici. Poreddebljinezatitnogslojaa0,kojumoemosmatratikonstantnom,naveliinusrednjeg rastojanja prslina utiu sledei parametri: -rastojanje profila e -prenik upotrebljene armature -usvojene dimenzije preseka (b,d) - preko koeficijenta armiranja z,ef. Realnojepretpostavitidajeveliinaeminimizirana,alitakodaobezbedipravilnougraivanje betona,teseionamoesmatratikonstantnom.Preostaleveliinesuutesnojvezi:usvajanjem velikogbrojatankihprofila,smanjujeseuznunopoveanjedimenzijapreseka,odnosno smanjenjekoeficijentaz,ef.;nasuprottome,usvajanjemmalogbrojadebelihprofila,rasteuz smanjenjez,ef.;nijedanodekstremanijedobar.Topraktinoznaidatrebaizbegavatiupotrebu najtanjihinajdebljihprofila,odnosnoteitiusvajanju6-12profilaarmature.Utakvomsluaju, iskustvo pokazuje da se srednje rastojanje prslina, za uobiajenue debljine zatitnog sloja i raspored armature, kree u relativno uskim granicama (kako za savijanje, tako i za zatezanje): GA 240/360:lps = 12 15 cm RA 400/500:lps = 10 12 cm TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA28 PRIMERI ZA VEBE Preostali parametar koji utie na irinu prslina je napon u zategnutoj armaturi, kao direktna funkcija koliinearmatureupreseku.Zasluajdausvojenapovrinaarmaturemaloodstupaodraunski potrebne, mogu se oekivati sledee vrednosti napona u armaturi: GA 240/360:a = 120 140 MPaa = 0.57 0.67 RA 400/500: a = 220 240 MPaa = 1.05 1.15 Na osnovu izloenog, moe se oekivati karakteristina irina prslina u sledeim granicama: GA 240/360:lps 1.7 1.0 0.6710-3 (12.015.0) = (0.140.17) mm RA 400/500: lps 1.7 1.0 1.1510-3 (10.012.0) = (0.190.23) mm Dakle,ovosuvrednostikarakteristineirineprslinakojesemoguoekivatipriiskorienim naponimauarmaturiirelativnokompaktnimpresecima,propisnooblikovanimusmisluobezbe-enjadovoljnihzatitnihslojevaiistograstojanjaarmature.Praktino,proizilazidaseeljena irinaprslinapostieSMANJENJEMNAPONAUZATEGNUTOJARMATURIitouonom procentu koliko je prekoraenje postavljenog kriterijuma. KOREKCIJA PRESEKA I PONOVNI PRORAUN PRSLINA U konkretnom sluaju, proraunom je dobijena vrednost apk = 0.18 mm, to je 20% vee od traene vrednosti. To praktino znai da je potrebno povrinu armature u preseku poveati za cca. 20%, uz zadravanje to veeg broja ostalih parametara. Zadravaju se oblik i dimenzije preseka, a menja samo prenik usvojene armature: usvojeno:6 R 25(29.45 cm2) Ai = Ab + nAa = 2515 + 6.6729.45 = 571.35 cm2 Zr = fbz Ai = 0.168571.35 = 96.0 kN < Z = 450 kNpresek sa prslinom a0 = a1 - /2 = 4.5 - 2.5/2 = 3.25 cm = 25 mm = 2.5 cm;k1 = 0.4 (RA 400/500) e = 8.0 cm;k2 = 0.25 (isto zatezanje) 37529.45AAef. bz,aef. z, = 0.0785 = 7.85% 2 ps10 85 . 72.525 . 0 4 . 0100 . 825 . 3 2 l +

,_

+ = 11.3 cm 45 . 29450AZ. aa = 15.28 kN/cm2 3. aaa10 0 . 2128 . 15E = 0.728 2a214500 . 960 . 1 0 . 1 1) 0 t ( 0 . 1) 500 / 400 RA ( 0 . 1

,_

; = 0.955 apk = 1.7 0.955 0.72810-3 11.3 = 13.010-3 cm = 0.13 mm < apk,dop. = 0.15 mm Konano usvojeni presek je isti kao onaj prikazan na skici, samo su ipke R25 umesto R22.