Skripta riješenih zadataka
Kolegij: Otpornost materijala 1
Pripremili:
Škec Leo
Literatura:• .: Otpornost materijala I, Školska knjiga, Zagreb, 2002.• .: Otpornost materijala II, Školska knjiga, Zagreb, 2002.• ,
2004.• , •• Bazjanac D.: .• Timošenko S.: .• Timošenko S.: .• Benham P.P., Crawford R.J.: Mechanics of Engineering Materials, Longman
Scientific and Technical, Harlow, 1988.• Beer F.P., Johnston E.R.: Mechanics of Materials, McGraw-Hill, London, 1992.• Stanek M., Turk G.: Osnove mehanike trdnih teles, Fakulteta za gradbeništvo in
geodezijo Univerze v Ljubljani, Ljubljana, 1996.• : .• : .
2
1. Zadatak
zr unati naprezanja i nacrtati dijagram naprezanja.
2
2
11
11
mm
NMPa
m
NPa
=
=
Vrijednosti uzdužnih sila na pojedinim segmentima :
NFFFN
FFN
NFN
I
II
III
4123
21
41
104
0
102
⋅=−+=
=+−=⋅−=−=
Vrijednosti naprezanja na pojedinim segmentima :
MPaPaA
NA
N
MPaPaA
N
II
III
IIIIII
401040
0
201020
6
6
=⋅==
==
−=⋅−==
σ
σ
σ
mb
ma
mcmA
PaE
NF
NFF
1
2
1010
102,2
104
102
232
11
43
421
==
==
⋅=
⋅=
⋅==
−
3
F
F
F
1
2
3
(1)
(2)
(3)
l 1
l 2
l 3
120 cm
x
2. Zadatak
, 40 i 80 cm od slobodnog kraja aksijalnim silama F1= 15 kN, F2= 10 kN i F3= 5 kN.
unati naprezanja u pojedinim dijelovima stupa i pomak slobodnog kraja.
24422
321
5
1056,124
104
4
403
;120
4
102
md
A
cmL
llllcmL
cmd
MPaE
−−
⋅=⋅
==
======
=⋅=
ππ
Naprezanja po dijelovima:
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( ) MPaPa
m
N
A
N
kNFFFN
cmx
MPaPam
N
A
N
kNFFN
cmx
MPaPam
N
A
N
kNFN
cmx
2410241056,12
1030
30
120803
2010201056,12
1025
25
80402
1210121056,12
1015
15
4001
624
33
3
3213
624
32
2
212
624
31
1
11
−=⋅−=⋅⋅−
==
−=−−−=<≤
−=⋅−=⋅⋅−
==
−=−−=<≤
−=⋅−=⋅⋅−
==
−=−=<≤
−
−
−
σ
σ
σ
K
K
K
Pomak slobodnog kraja:
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
mmllll
mmmNkl
mmmNkl
mmmNkl
N
m
AE
lk
NkNNNAE
lllll
ii
112,0
048,01080,4103010159,0
04,01000,4102510159,0
024,010415,2101510159,0
10159,01021056,12
4,0
321
53833
53822
53811
8114
3
1321321
−=∆+∆+∆=∆
−=⋅−=⋅−⋅⋅=⋅=∆
−=⋅−=⋅−⋅⋅=⋅=∆
−=⋅−=⋅−⋅⋅=⋅=∆
⋅=⋅⋅⋅
==
⋅=++=∆+∆+∆=∆
−−
−−
−−
−−
=∑
4
A
B
1
2
FB
1
2
l t
Bl
E1 1A
E 2A2
1
2
T
l
l
FAA
B
1
2
1
2
E1 1A
E 2A2
1
2
l
l
3. Zadatak
δodrediti naprezanja u štapu pri promjeni temperature za + T .
Ukoliko nema vanjskog otpora izduženju štapa, nema niti naprezanja u štapu.
Sve dok je δ≤∆ tl u štapu nema naprezanja.
Ukoliko je tendencija štapa da se izduži za δ>∆ tl štap
na, odnosno s predznakom – (minus).
– realno izduženje
Iz uvjeta ravnoteže štapa: BABA FFFF =→=− 0
0,0
0,02211
≠>→>∆=>→≤∆
∆+∆=∆
σεδσεδ
αα
t
t
t
l
l
TlTll
( )( )
( )3
2)(
1
22
2
11
1
2211
K
K
K
AE
lF
AE
lFl
Tlll
ll
BBB
t
Bt
+=∆
∆+=∆
∆−∆=
ααδ
( ) ( ) ( ) [ ]
[ ]
[ ]
+
−∆+−=−=
+
−∆+−=−=
+
−∆+=⇒→
22
11
1
212
112211
22
22
11
1
21
12211
11
22
11
1
21
112211
1
)(
1
)(
1
)(13;2
AE
AE
l
llA
AETll
A
F
AE
AE
l
ll
ETll
A
F
AE
AE
l
ll
AETllF
Bx
Bx
B
δαασ
δαασ
δαα
5
S1
S
A
BC
2
1 AE 1
2E A2
1S
D
E oo
F
2S
acba
b
b
HG
2
1
E oo
4. Zadatak
njihova produljenja.
mc
mb
ma
kNF
MpaE
Mpadop
1
2
3
100
102
1405
====
⋅=
=σ
ml
ml
2
2222
2
221
==+=
kNSSSSM
kNFSFSM
C
H
8,17645sin3
575
45sin3
50345sin50
751004
3
4
30340
2112
22
=°⋅
=°⋅
=→=⋅°⋅−⋅⇒=∑
===→=⋅−⋅⇒=∑
Dimenzioniranje:
)15,6(2861,24
4
36,510536,010140
1075
)85,13(4201,44
4
6,121026,110140
108,176
221
22
22
2
2236
32
2
211
11
21
1
2236
31
1
cmAmmdusvojenocmA
dd
A
cmmS
A
cmAmmdusvojenocmA
dd
A
cmmS
A
SA
A
S
doppot
doppot
doppotdopx
=→=→→==⇒=
=⋅=⋅⋅
=≥
=→=→→==⇒=
=⋅=⋅⋅
=≥
≥⇒≤=
−
−
ππ
σ
ππ
σ
σσσ
6
cmmAE
lSl
cmmAE
lSl
MPaMPaA
S
MPaMPaA
S
dopx
dopx
12,010195,121015,6102
21075
18,010056,181085,13102
22108,176
štapovaaProduljenj
1409,1211015,6
1075
1406,1271085,13
108,176
Kontrola
4411
3
22
222
4411
3
11
111
4
3
2
22
4
3
1
11
=⋅=⋅⋅⋅
⋅⋅==∆
=⋅=⋅⋅⋅
⋅⋅==∆
=<=⋅⋅
==
=<=⋅⋅
==
−−
−−
−
−
σσ
σσ
7
F
2S1S
CD
B
A B CD
VA
HA
5. Zadatak
AH , AV , S1 , S2 ).Uz tri uvjeta ravnoteže postavljamo dodatnu jednadžbu na deformiranom sustavu na principu
Iz uvjeta ravnoteže sila :
( )
( )
( )30sin0
2cos0cos0
10sin0
12
11
1122
K
K
K
=++−→=Σ
=→=−→=Σ
=−−→=Σ
V
HH
A
RSFSY
SASAX
aSaSFlM
α
αα
α
Iz plana pomaka :
αδδ
sin; 1
2
ll BC
∆=∆≡ ( )4...
( )512
Kaa
BC δδ=
Iz Hookovog zakona :
22
222
11
111 ;
AE
lSl
AE
lSl =∆=∆ ( )6...
)5()4( →αsin1
1
2
2
a
l
a
l ∆=
∆ ( )7...
8
)7()6( →
αsin111
11
222
22
aAE
lS
aAE
lS=
( )
+
=⇒→
=
α
α
22
2
21
1
2
22
112
21
2
1
1
2
22
1121
sin1
1
sin
a
a
l
l
AE
AEa
FlSS
a
a
l
l
AE
AESS
Naprezanja u štapovima:
2
22
1
11
A
S
A
S
=
=
σ
σ
Vertikalni pomak to ( 2lC ∆≡δ ):
222
22
22
2 aAE
llS
a
ll
la DDC =∆=⇒= δδδ
9
A B C D
E
1 2
F
A ,E1 A ,E2
E=∞
200 cm 150 cm 150 cm 100 cm
300
cm
α α
6. Zadatak
u sile F iz uvjeta da naprezanja u štapovima BE i CE ne 140=dopσ MPa.
E = 2,0 ⋅ 105 N/mm2
A1 = 4,0 cm2
A2 = 1,5 A1= 6,0 cm2
m,,ll 3543513 2221 =+==
A α α
200 cm 150 cm 150 cm 100 cm
S1 S2F
A
B'
C'D'
1 2
E=∞
δB
δD
δC
∆l 1
∆l2
α α
α
B C D
Iz plana pomaka
)2(5
2
52KCB
CB δδδδ=→=
°=→== 43630251
3,,
,tg αα
( )1065sin2sin
0
21 K=⋅−⋅+⋅
=∑FSS
M A
αα
)4(
)3(
22
11
K
K
αδ
δα
αδ
δα
sinll
sin
sinll
sin
CC
BB
∆=→∆=
∆=→∆=
10
Uvrštavanjem jednadžbi (3) i (4) → (2) uz 1
111 EA
lSl =∆ i
1
22
1
22
2
222 3
2
2
3 EA
lS
AE
lS
EA
lSl =
⋅⋅==∆ slijedi:
)(SSlllSlS
EA/EA
lS
EA
lS
ll
sin/sin
l
sin
l
515
4)(
15
4
3
2
5
25
25
2
21212211
11
22
1
11
21
21
K=→==
⋅⋅=
∆=∆
⋅∆
=∆ α
αα
(5) → (1)
F,Fsinsin
FSFsinsinS
FSsinSsin
2124183
90
15
836
6)515
8(
65215
4
22
22
===→=+
=⋅+⋅⋅
αααα
αα
Uvrstimo li dobivenu vrijednost sile u štapu 2 S2 u (5) dobivamo S1 u ovisnosti o sili F:
F,Fsin
S 3233083
90
15
41 ==
α .
vrijednosti naprezanja:
kNNF
mmmm
NA
FA
F
A
S
dop
dopdopdop
dop
214,173173214
3233,0
400140
3233,0
3233,02
21
1
1
11
=≤
⋅=
⋅≤→≤
≤=
σσ
σσ
kNNF
mmmm
NA
FA
F
A
S
dop
dopdopdop
dop
284,6969284
2124,1
600140
2124,1
2124,12
22
2
2
22
=≤
⋅=
⋅≤→≤
≤=
σσ
σσ
Mjerodavno je kNNFdop 284,6969284 =≤ .
11
2
2cossin
5
4
6
53
2
cos5
3
6
52sin
==
====
ββ
ααl
l
l
l
7. Zadatak
1) i drveni kosnik pravokutnog 2 = 10A1 ako je F=155 kN a dopuštena naprezanja
12 ·107 N/m2 i drvo 6·106 N/m2.
ll
l
llllll
l
3
2
32
6
5
36
25
9
4
43
2
2
2
2
22222
1
=
⋅=
==+=
+
=
Plan pomaka :
F
2S
1S
B2l
Lo1l
B'D'
C'
A C DB
DC
bh
AA
EEm
NE
m
NE
m
Nm
N
dop
dop
2
10
20
101
102
106
1012
12
21
210
2
211
1
26
2
27
1
===
⋅=
⋅=
⋅=
⋅=
σ
σ
12
Sile u štapovima :
( )
( )
( )
( )
kNSkNSFFF
S
SSSlAE
lAES
SlAE
lAES
AE
lS
AE
lS
AE
lSl
AE
lSl
ll
lSlSFlM
DC
CDDc
A
4,353;9,5838,02
6
1
5
12sin4sin3
1
16252610
2335202
sin
sin2
sin2
sin2
sinsin;
sinsin
22
3
2
3
1
103
1sin
3
2sin0
122
212
12
121
2122
2111
22
22
11
11
11
111
22
222
21
==→=
+
=+
=⇒
⇒→=⇒⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=
=→=⇒
=∆
==∆
=
=→=
=−−→=∑
αβ
βα
βα
ααδ
ββδ
δδδδ
βα
K
K
Dimenzioniranje :
cmh
cmb
cmA
bcmbhbA
cmAA
cmdcmmd
Sd
SdA
A
S
dopdopdop
74,27
87,13
87,132
8,384
28,3842
8,38448,381010
7606,0
1012
104,35344
4
2222
212
7
3
1
1
1
12
111
11
=
=
===⇒==⋅=
=⋅==
=→=≥
⋅⋅⋅⋅
=≥→≥=→≤=ππσσ
πσσ
Kontrola naprezanja :
MPaMPaA
S
MPaMPaA
S
dop
dop
653,11087,132
109,58
12084,91
4
107
104,353
242
3
2
22
142
3
1
11
=≤=⋅⋅
⋅==
=≤=⋅
⋅==
−
−
σσ
σπ
σ
13
8. Zadatak
Odrediti naprezanja u štapovima ukoliko se temperatura štapa 2 T :
E 1A1AE 22
12
1E 1A
F2
1F1F
2l
l1
T1
l12l D
D''D'
F2l
tl T1.
F22.
izdužiti,
Štap 2 se izduži za t
2
Bštapovi s brojem 1. 1 uje
Iz uvjeta ravnoteže sila :( )1cos20cos20 2121 KFFFFY ==−→=Σ αα
Iz plana pomaka :
( )2coscos 212
1
1
2 Kαα lll
l
l
l∆=∆→
∆∆
==
Iz Hookovog zakona :
( )311
111 K
AE
lFl =∆ ( )4
22
222222 K
AE
lFlTlll Ft −⋅∆⋅=∆−∆=∆ α
Ukupno izduženje 2l∆ = utjecaj temp. + utjecaj ne sile : predznak –)
( )
22
2122
11
11
22
2222
11
11
cos2
cos)5()1(
)5...(cos)()2()4(,3
AE
lFlT
AE
lF
AE
lFlT
AE
lF
ααα
αα
−⋅∆⋅=→
−⋅∆⋅=→
14
F2
1F1F
2l
l1 D
D'
→= αcos12 llα
αα3
22
11
2112
1
cos21
cos
AE
AEATE
F+
∆=
α
ααα
3
22
11
3112
212
cos21
cos2cos2)1(
AE
AEATE
FFF+
∆=⇒=→
Naprezanja u štapovima: 2
22
1
11 ;
A
F
A
F−== σσ
pretpostaprodužiti).
Iz uvjeta ravnoteže sila :( )1cos20cos20 2121 KFFFFY =−=+→=Σ αα
Iz plana pomaka :
( )2coscos 212
1
1
2 Kαα lll
l
l
l∆=∆→
∆∆
==
Iz Hookovog zakona :
( )311
111 K
AE
lFl =∆ ( )422
22
222 KlT
AE
lFl ⋅∆⋅+=∆ α
Ukupno izduženje 2l∆
( )
2222
21
11
11
2222
22
11
11
cos2
cos)5()1(
)5...(cos)()2()4(,3
lTAE
lF
AE
lF
lTAE
lF
AE
lF
⋅∆⋅+−=→
⋅∆⋅+=→
αα
α
αα
→= αcos12 llα
αα3
22
11
2112
1
cos21
cos
AE
AEATE
F+
∆=
α
ααα
3
22
11
3112
212
cos21
cos2cos2)1(
AE
AEATE
FFF+
∆−=→−=→
Naprezanja u štapovima: 2
22
1
11 ;
A
F
A
F== σσ
15
9. Zadatak
Odrediti naprezanja u štapovima ako je srednji štap izveden
F
E A11
22E 2A
AE 11
1
F 1
2
F
1l
2l
strelice - smjer deformiranja
D
D''
D'
1
1l2l
1
D''
Iz uvjeta ravnoteže sila :
( )1cosF2F0cosF2F0Y 1212 Kα=→=α−→=Σ
Iz plana pomaka :
( )2cos
1)(
cos
cos
11
11
22
2212
2
1
1
2
Kα
δα
δ
δα
AE
lF
AE
lFll
l
l
l
l
+−
=∆
+∆=
∆−∆
==
( ) ( )
( ) δαδ
αδ
αδα
δαδ
αδ
αδα
αα
δα
αδ
δ
2223
211
32211
1222
211
22211
2
2223
211
22211
1222
211
22111
11
1
22
21
11
11
22
21
cos)(2
cos2
cos)(2
cos21
cos)(2
cos
cos)(2
cos
cos
1cos2
cos
1cos
)(221
lAElAE
AEAE
lAElAE
AEAEF
lAElAE
AEAE
lAElAE
AEAEF
AE
l
AE
lF
AE
lF
AE
lF
+−=
+−=⇒
+−=
+−=
+
−=+
−=⇒→
Naprezamja u štapovima1
11 A
F−=σ
2
22 A
F=σ
22
222
11
111
)(
AE
lFl
AE
lFl
δ−=∆
=∆
16
10. Zadatak
2. Dužina
mm. Odrediti sile u štapovima i izduženje srednjeg štapa ako je izvršena prinudna montaža sustava.
hlll
EAAEAEAE
======
321
332211
A
a
B
h
a a
2 31
E oo
S2
S3
S1
1l2l
3l-A
B
VA
HA
EA
hSl
EA
hSl
EA
hSl 3
32
21
1 ;)(
; =∆∆−
=∆=∆
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
mmmEA
hSl
kNS
kNS
kNS
kNSh
h
h
EASS
kNSSS
kNh
EASSS
h
h
h
EAS
SSSaSaSaSM
Sh
h
h
EAS
EA
hS
EA
hSll
a
l
a
l
SSEA
hS
EA
hSll
a
l
a
l
A
429,01029,4101101,2
)106,01(1090)(
54
05,90
18
05,902
2
5431
181014
29)
2(232,1
3320320
222)(
22
13333
4311
332
2
3
2
1
121
131
1111
321321
1212
2121
1313
1313
=⋅=⋅⋅⋅
⋅−⋅⋅=
∆−=∆
=
=
=
=∆−
−∆∆−
=⇒→
==⇒→
=∆∆−
=→−∆−
−∆−∆
=⇒→
−=⇒=+−→=Σ
∆−−∆
∆−=⇒−∆=
∆−⇒∆−∆=∆⇒
∆−∆=
∆
=⇒=⇒∆=∆⇒∆
=∆
−−
−
K
K
K
17
1 2
A B C
E D
50 cm 100 cm
100
cm
A,E A,E
E=∞
+∆T
∆
11. Zadatak
Greda ABC,promjera d ∆ od potrebne duljine, te se pri njegovoj montaži morala upotrijebiti sila.Potrebno je odrediti:a) naprezanja u štapovima AE i CD ako se temperatura š 25=∆T K, b)
mm1=∆E = 2,1 ⋅ 105 MPa
51001 −⋅= ,Tα K-1
d = 2 cm
mmmmmml 999110001 =−=ml 0,12 =
222
1434
2
4cm,
dA ===
ππ
A B C
1 2
S1 S2
A B C
1 2
A'
C'
∆l2
∆-∆l1
∆l1
∆
Produljenja štapova 1 i 2 definiramo kao:
EA
lSl 111 =∆ i 2
222 lT
EA
lSl T ∆+=∆ α
( )12
00,15,0
0
21
21
KSS
SS
M B
==⋅−⋅
=∑
( ) ( )22
5001
12
12
...ll
,
l
,
l
∆−∆=∆
∆−∆=
∆
18
Uvrštavanjem produljenja 1l∆ i 2l∆ u (2) dobivamo:
( )32 112
22 K
−∆=∆+
EA
lSlT
EA
lSTα
Uvrštavanjem (1) → (3) slijedi
( ) ( )mmKKmmmmmm
mmmm
N
lTll
EAS
lTEA
l
EA
lS
EA
lSlT
EA
lS
T
T
T
1000251011299941000
314101,22
4
24
222
15
22
5
212
2
212
2
122
22
⋅⋅⋅−⋅⋅+
⋅⋅=∆−∆
+=
∆−∆=
+
−∆=∆+
−−α
α
α
kNNS 098,235,230972 ==
kNNSS 196,46461952 21 ===
Naprezanja u štapovima iznose:
MPamm
N
A
S
MPamm
N
A
S
56,73314
23098
12,147314
46196
22
22
21
11
===
===
σ
σ
mmmmmml
mmKKmm
mm
NmmN
lTEA
lSl T
6,025,035,0
100025101314101,2
100023098
2
15
22
52
222
=+=∆
⋅⋅⋅+⋅⋅
⋅=∆+=∆ −−α
19
12. Zadatak
Za zadani popa) Odrediti momente površine drugog reda (momente tromosti) zI , yI i zyI s obzirom na težište
b) Odrediti glavne momente povr
8 8 8
88
y
z
1
1
8
22 73,2694881624 cmA =−⋅−⋅= π .
cmy
cmz
T
T
95,873,269
844)88(8)1624(
85,1073,269
8420)88(12)1624(
2
2
=⋅−⋅⋅−⋅⋅
=
=⋅−⋅⋅−⋅⋅
=
π
π
8 8 8
88
y
z
1
1
8 Tz
y
10,85 13,15
7,05
8,95
2,85 5,15
0,95
20
y
z
1
1
z
y
u
v
18,43°
Momenti površine drugog reda zI , yI i zyI
4224
23
23
4224
23
23
9,1263085,2)4(64
815,9)88(
12
8815,1)1624(
12
2416
6,638295,0)4(64
895,4)88(
12
8895,0)1624(
12
1624
cmI
cmI
y
z
=
⋅+
⋅+⋅⋅+
⋅−⋅⋅+
⋅=
=
⋅+
⋅+⋅⋅+
⋅−⋅⋅+
⋅=
ππ
ππ
[ ]4
2
1,2343
)95,0()85,2()4(0)95,4(15,9)88(0)95,0(15,1)1624(0
cmI
I
zy
zy
=
−⋅−⋅++−⋅⋅⋅+−−⋅⋅⋅+= π
0≠zyI
Glavni mo
18,390575,9506
1,23434)9,126306,6382(2
1
2
9,126306,6382
4)(2
1
2
2,1
222,1
222,1
±=
⋅+−±+
=
+−±+
=
I
I
IIIII
I zyyzyz
42
41 57,560193,13411 cmIcmI ==
yz II < vrijedi:
42min
41max
57,5601
93,13411
cmIII
cmIII
u
v
===
===
g presjeka:
oo 43,1887,362
75,09,126306,6382
1,234322
=→=
=−
⋅−=
−−=
ϕϕ
ϕyz
zy
II
Itg
Recommended