Предсказание кризисных ситуаций на Предсказание кризисных ситуаций на финансовых рынках на основе финансовых рынках на основе

мультифрактального и вейвлет мультифрактального и вейвлет анализаанализа

Российская экономическая академия Российская экономическая академия

им. Г.В. Плехановаим. Г.В. Плеханова

Романов В.П. Романов В.П.,, Бачинин Ю.Г., Московой И.Н., Бадина М.В.Бачинин Ю.Г., Московой И.Н., Бадина М.В.

Предсказание кризисных ситуаций на финансовых рынках является сложной задачей из-за нелинейной структуры процессов. Это не позволяет нам эффективно использовать такие известные методы как ARIMA или MACD ввиду их инерционности.

Эффективность методов мультифрактального и вейвлет анализа основана на том факте, что они используют фрактальные свойства временных рядов, которые существенно различаются в «нормальных» и «кризисных» условиях

ВведениеВведение

a) Изменение курса доллара за период 01.08.1997-01.11.1999 (период дефолта в России)

b) Американский индекс Доу Джонса для Чёрного Понедельника 1987 на период 17.10.1986-31.12.1987

с) Dow Jones Industrial

e) Nasdaq

d) RTSI

07.10.1999 -06.10.2008

07.10.1999 -06.10.2008

07.10.1999 -06.10.2008

Падение индексов DJI, RTS.RS, NASDAQ,S&P 500 в период кризиса

1 месяцСентябрь 15,2008 – Октябрь 17, 2008

Обвал на фондовых биржах аналитики связывают с негативным внешним фоном. Американские индексы завершили неделю 29.09 – 6.09 падением, несмотря на то, что Конгресс США одобрил план по спасению экономики.

Инвесторы опасаются, что принятый план объемом $700 млрд., который предполагает выкуп у банков неликвидных активов, не сможет улучшить ситуацию на кредитном рынке и предотвратить падение в экономике страны.

3 месяца Июль 17,2008 – Октябрь 17, 2008

В том числе, азиатские фондовые индексы обвалились до минимума более чем за три года. Негативные новости не оставили российскому рынку выбора - он

начал стремительно падать. 

6 месяцев Апрель 17,2008 – Октябрь 17, 2008

Гипотеза эффективного рынка (EMH) говорит о том, что цена финансового актива отражает всю доступную публичную информацию и реагирует только на неожиданные новости. Если это так, невозможно для инвестора предсказать, будут ли цены расти или падать.

Модель CAPM (The Capital Assets Pricing Model ) связывает процент доходности актива с уровнем риска. Ожидаемый доход от более волатильных ценных бумаг выше, однако дисперсия дохода также выше. Модель CAPM предполагает, что инвесторы склонны к риску, т. е. что они предпочтут инвестиции с большим уровнем риска, если они обещают более высокий доход.

APT (арбитражная ценовая теория) является альтернативой CAPM. APT не накладывает ограничений на распределение функции полезности или доходности ценных бумаг.

Гипотеза эффективного рынка против Гипотеза эффективного рынка против гипотезы фрактального рынкагипотезы фрактального рынка

Гипотеза эффективного рынка Гипотеза эффективного рынка ((EMHEMH))

Гауссовское предположение нормального распределение цен

Слабая форма EMH с чисто случайным распределением цен подвергается критике

Полусильная форма ЕMH, в которой вся доступная информация отражается в ценах, используется профессионалами

Изменение цен в долгосрочной перспективе не проявляет наличие «памяти»

Гипотеза фрактального рынкаГипотеза фрактального рынка

Цены проявляют лептоэксцессное распределение (“толстые хвосты”)

Картина динамики изменения цен одинакова для отрезка времени в день, неделю, месяц (фрактальная структура)

Уменьшение надежности предсказания с увеличением его периода

Цены проявляют кратковременную и долговременную корреляцию и тренды (эффект обратной связи)

Хаотическая активность рынка при некоторых условиях (критические уровни)

ФракталыФракталы – это математические объекты, – это математические объекты, которые проявляют самоподобие, таким образом, что части которые проявляют самоподобие, таким образом, что части объекта каким-то образом подобны целому. объекта каким-то образом подобны целому.

Второе свойство, которое характеризует фракталы, это Второе свойство, которое характеризует фракталы, это дробная размерность.дробная размерность. Слово Слово фракталфрактал произошло от произошло от fractional valuesfractional values - дробные - дробные величины, которые может принимать размерность величины, которые может принимать размерность фрактальных объектовфрактальных объектов

ФракталыФракталы могут порождаться применением Итерируемой могут порождаться применением Итерируемой Системы Функций. Системы Функций.

Изображение, которое является единственной неподвижной Изображение, которое является единственной неподвижной точкой ИСФ, называется аттрактором точкой ИСФ, называется аттрактором

Определение фракталаОпределение фрактала

Хаос и динамика финансового рынкаХаос и динамика финансового рынка

Рыночные цены стремятся к уровню естественного равновесия в пределах диапазона цен

Эти уровни или диапазоны могут быть описаны как «аттракторы»

Однако данные в пределах этих диапазонов остаются случайными

Точечные аттракторыТочечные аттракторы• Простейшая форма аттрактора. Теоретически Простейшая форма аттрактора. Теоретически

совместима с равновесием спроса и предложения в совместима с равновесием спроса и предложения в экономике или с рыночным равновесиемэкономике или с рыночным равновесием

• Представляют рыночную волатильность Представляют рыночную волатильность относительно равновесия или относительно равновесия или ““маркет-шуммаркет-шум””

• Отображает множественные колебания Отображает множественные колебания различной амплитуды, которые содержатся различной амплитуды, которые содержатся внутри множества аттрактора предельного внутри множества аттрактора предельного цикла, называемого «фазовым пространствомцикла, называемого «фазовым пространством».».

Аттракторы предельного циклаАттракторы предельного цикла

Странные или фрактальные аттракторыСтранные или фрактальные аттракторы

Типы аттракторовТипы аттракторов

Треугольник Треугольник СерпинскогоСерпинского

Примеры фракталовПримеры фракталов

Другие примеры фракталовДругие примеры фракталов

Фрактальные аттракторы и Фрактальные аттракторы и финансовые рынкифинансовые рынки

Акции и фьючерсы – классические примеры ценных бумаг. Прибыль от покупки и продажи сравнима с колебаниями маятника

Каждая ценная бумага или фьючерсный контракт располагаются в своем собственном фазовом пространстве

Долгосрочное прогнозирование сильно зависит от точности измерения начальных условий рынка

Фракталы на рынке капиталаФракталы на рынке капитала Финансовый рынок описывается

нелинейной функцией активности трейдеров

Традиционные методы технического анализа базируются на линейных уравнениях и евклидовой геометрии и неадекватны

Рыночные переходы роста и спада являются нелинейными

Методы технического анализа являются плохими индикаторами взаимосвязи тренда и трейдинговых решений

Фракталы позволяют описывать такие явления, которые не описываются в евклидовой геометрии

Стохастический процесс {x(t)} называется мультифрактальным, если он имеет стационарные приращения и удовлетворяет условию

,

где c(q) – предиктор, E-оператор математического ожидания, , – интервалы на вещественной оси. Скейлинг-функция принимает во внимание влияние времени на моменты q

1)())(()|(| qq

lll lqcxxE

Мультифрактал

QqBt

)(q

Определение индекса фрактальной Определение индекса фрактальной размерностиразмерности

Фрактальная размерность объекта (Фрактальная размерность объекта (FDIFDI))::

NS(1/2NS(1/2nn))– число блоков с длиной стороны 1/2– число блоков с длиной стороны 1/2nn, которое , которое необходимо, чтобы покрыть необходимо, чтобы покрыть S S – треугольник Серпинского.– треугольник Серпинского.

Где Где NNAA (1/(1/nn) –число блоков с длиной стороны, равной 1/) –число блоков с длиной стороны, равной 1/nn, ,

необходимое для того, чтобы покрыть множество А.необходимое для того, чтобы покрыть множество А.

)ln(

))/1(ln(lim

n

nNd A

n

58,1)2ln(

)3ln(

)2ln(

)3ln(lim

n

n

nsd

Фрактальное Множество

А

Индекс фрактальной Индекс фрактальной размерностиразмерности

Определяет персистентность персистентность или антиперсистентность антиперсистентность рынка

Персистентный Персистентный рынок слабо колеблется относительно рыночного тренда

Антиперсистентный Антиперсистентный рынок проявляет существенную волатильность волатильность относительно тренда

Антиперсистентный Антиперсистентный рынок имеет более изрезанный ценовой график и более часто проявляет изменение тенденций

Техника предсказания Техника предсказания кризисных ситуацийкризисных ситуаций

Поскольку нашей целью является предсказание кризисных ситуаций, мы пытаемся вначале выяснить лучший индикатор, используя методологии мультифрактального и вейвлет анализа.

Далее мы тестируем различные виды предварительной обработки оригинального временного ряда, чтобы обнаружить лучший индикатор.

Экспонента Хёрста

Ttzzx ttt ,...,1,lnln 1

11

1,),(

t

t

uu xxxxtx

),(min),(max)(11

txtxRtt

1

21)(

uu xxS

log)(

)(log SR

H

В зависимости от значения экспоненты Хёрста свойства процесса различают следующим образом:

•При H=0,5 имеет место процесс случайных блужданий, который подтверждает гипотезу EMH.

•При H >0,5, процесс имеет долговременную память и является персистентным, т.е. имеет положительную корреляцию для различных временных шкал.

•При H<0,5 временной ряд является антиперсистентным с переключающимся время от времени средним значением.

Разбиение временных рядов Временной ряд: {xt}; t [0, T].

Вычисляем: Z={zt}, zt= lnxt+1-lnxt; t [0,T];

Делим интервал [0, T]на N подынтервалов, 1 ≤ N ≤ Nmax, в результате формируется множество интервалов

Каждый элемент этого множества содержит int (T/N)=A значений Z;

Для каждого подынтервала K; 1 ≤ K ≤ N обозначим текущий индекс lK; 1 ≤ lK ≤ A; t = (K-1) А+ lK

Поскольку мы стараемся найти наилучший возможный индикатор, мы испытываем несколько различных вариантов предварительной обработки исходного временного ряда.

Предварительная обработка временного ряда

1. Оригинальный временной ряд: Z={zt};

2. Временной ряд предварительной обработки Z1={ }, K=1,2,…N, где

3. Центрированное и нормированное значение отсчетов

исходного временного ряда,

где

4. Центрированное значение отсчетов временного ряда без нормализации Z3={ }

A

llK

K

Kz

AZ

10

1KZ

K

KlAK

S

ZZZ K

10

2

A

lKlK

K

KZZ

AS

1

2

0

1

KlAK ZZK

10

Функции партицийДля каждой версии временных рядов вычисляем функцию

партиций:

N

K

q

AKKAN ZTZqZ1

)1(0)(00 |)(|),(

N

K

qKKN ZTZqZ

11

1 |)(|),(

N

K

qAKN ZKAZqZ

1

)1(222 |)(|),(

N

K

q

AKKAN ZZqZ1

)1(3)(33 ||),(

Скейлинг функции

A

NAqZq

NN log

loglog),(log)(

00

A

NAqZq

NN log

loglog),(log)(

11

A

NAqZq

NN log

loglog),(log)(

22

A

NAqZq

NN log

loglog),(log)(

33

Оценка мультифрактального спектра сингулярности

1. Локальная экспонента Липшица-Хёльдера:

, где i = 1, 2, 3, 4.

2. Мультифрактальный спектр сингулярности :

)])()([min(arg)]([minarg)( qqqqqf iiq

iq

I

qqqqqdq

d iiii

i

/)(/))1()((

Попытка использования ширины мультифрактального спектра сингулярности в

качестве индикатора крушения

Мультифрактал может состоять из двух или бесконечного числа монофракталов с непрерывным изменением α-переменной. Ширина α-спектра может быть оценена как разность между максимальным и минимальным значением α:

Δ = max - min ,

Выполняя преобразование Лежандра, мы пытаемся использовать нашу программу, оценивая Δ, чтобы найти различия в ее значениях до и после кризиса.

Скейлинг-функции

Нелинейная скейлинг-функция (q) (мультифрактальный процесс)

Изменения курса валюты на период Российского дефолта

1998 года

Оценка мультифрактального

спектра сингулярности на период 09.07.96-21.07.98

Оценка мультифрактального

спектра сингулярности на 18.11.96-30.11.98

Скриншоты оценки мультифрактального спектра

сингулярности

Скейлинг-функции

Индекс Dow Jones Industrial, предкризисная ситуация

19.12.2006-06.10.2008

Нелинейная скейлинг-функция (q)

(мультифрактальный процесс)

Скейлинг-функции

Индекс RTSI, предкризисная ситуация

19.12.2006-06.10.2008

Нелинейная скейлинг-функция (q)

(мультифрактальный процесс)

Линейная скейлинг-функция (q) (монофрактальный процесс)

Оценка ширины мультифрактального центра

сингулярности RTSI за период 16.05.2000 -30.05.2002

Скейлинг-функции

Скриншоты оценки мультифрактального спектра

сингулярности

Оценка мультифрактального спектра сингулярности DJI

на период 19.12.2006-08.10.2008

Оценка мультифрактального спектра сингулярности RTSI

на период 16.12.2003-10.01.2006

“Иглы”, определяющие расширение мультифрактального спектра на почасовом графике 5.2008-11.2008

Результаты экспериментов

График Российского дефолта на август 1998 (курс валют)

График оценки ширины фрактального спектра сингулярности (Δ(t)=αmax-αmin) для разных периодов времени

Американский индекс Доу Джонса на «Черный Понедельник» 1987 периода 17.10.1986-31.12.1987

График оценки ширины фрактального спектра сингулярности (Δ(t)=αmax-αmin) на «Черный Понедельник»

0

0,10,2

0,30,4

0,50,6

one yearbeforedefolt

11.07.96-23.07.98

19.07.96-31.07.98

29.07.96-10.08.98

06.08.96-18.08.98

14.08.96-26.08.98

00,050,1

0,150,2

0,250,3

График оценки ширины фрактального спектра сингулярности (Δ(t)=αmax-αmin) на российском индексе РТС на

период 07.10.1999-07.11.2008Интервал Qmin Qma

xN ∆

1-51207.10.1999 –18.10.2001

-2 6 47 0,964151-662

16.05.2000 -30.05.2002-2 6 103 0,495

301-81215.12.2000 -31.12.2002

-2 6 129 1,62451-962

25.07.2001 -11.08.2003-2 5 31 0,81

601-111228.02.2002 -17.03.2004

-2 6 170 1,77751-1262

03.10.2002 -19.10.2004-2 6 129 2,17

901- 141215.05.2003 -02.06.2005

-2 6 129 1,9271051-1562

16.12.2003 -10.01.2006-2 5 43 0,952

1201-171226.07.2004 -15.08.2006

-2 5 21 0,8681351-1862

04.03.2005 -26.03.2007-2 5 22 0,89

1501-201206.10.2005 -25.10.2007

-2 5 23 0,8481651-2162

19.05.2006 -07.06.2008-2 5 40 0,927

1801-224619.12.2006 -06.10.2008

-2 7 145 2,1331765-2277

25.09.2006 -07.11.2008-2 7 161 2,177

Результаты экспериментов (PTC)

График оценки ширины фрактального спектра сингулярности (Δ(t)=αmax-αmin) на российском индексе РТС на период 07.10.1999-07.11.2008

За 4 года объем выданных ипотечных кредитов и займов в России вырос более чем в 16 раз - с 3,6 млрд. руб. в 2002

году до 58,0 млрд. руб. в 2005 году. В количественном выражении - с 9.000 кредитов в 2002 году до 78.603 в 2005

году.

Почему ипотека развивается так стремительно? Факторов много. Это и увеличение реальных доходов населения, и спад недоверия к ипотеке, как со стороны потенциальных покупателей, так и со стороны продавцов, и общее снижение среднестатистической процентной ставки ипотечного кредитования с 14 до 11% годовых, и приход московских банков в регионы, и активизация на рынке средних и малых банков.

Предкризисная ситуация: июль 2008 – начало сентября 2008

Интервал Qmin Qmax N ∆

1-51207.10.1999 –18.10.2001

-2 5 164 1,84151-662

16.05.2000 -30.05.2002-2 4 5 0,717

301-81215.12.2000 -31.12.2002

-2 5 134 1,77451-962

25.07.2001 -11.08.2003-2 5 65 1,01

601-111228.02.2002 -17.03.2004

-2 5 74 1,108751-1262

03.10.2002 -19.10.2004-2 4 11 0,791

901- 141215.05.2003 -02.06.2005

-2 4 38 0,8031051-1562

16.12.2003 -10.01.2006-2 4 50 0,815

1201-171226.07.2004 -15.08.2006

-2 4 53 0,8841351-1862

04.03.2005 -26.03.2007-2 4 57 0,973

1501-201206.10.2005 -25.10.2007

-2 4 29 0,8641651-2162

19.05.2006 -07.06.2008-2 4 11 0,836

1801-226319.12.2006 -06.10.2008

-2 5 151 2,324

График оценки ширины фрактального спектра сингулярности (Δ(t)=αmax-αmin) на американском индексе Dow

Jones Industrial на период 07.10.1999-07.11.2008

1765-228425.09.2006 -07.11.2008

-2 5 174 1,984

Наблюдалось резкое падение индекса и 9 октября 2002 DJIA достиг промежуточного минимума со значением 7286,27.

Промышленный индекс Dow Jones 15 сентября 2008 года упал на 4,42 процента до 10917 пунктов - это самое крупное его падение за один день со времени 9 октября 2002 года, сообщает France Presse. Мировой фондовый рынок испытал резкое снижение основных индексов в связи с банкротством

инвестбанка Lehman Brothers.

График оценки ширины фрактального спектра сингулярности (Δ(t)=αmax-αmin) на американском индексе Dow Jones Industrial на период 07.10.1999-07.11.2008

Результаты экспериментов (DJ)

3 мая 1999, индекс достиг значения 11014,70. Своего максимума — отметку 11722,98 — Доу-Джонс индекс достиг 14

января 2000 года.

Предкризисная ситуация: июль 2008 – начало сентября 2008

Интервал Qmin

Qmax N ∆

1-51207.10.1999 –18.10.2001

-2 6 47 0,91151-662

16.05.2000 -30.05.2002-2 6 57 0,935

301-81215.12.2000 -31.12.2002

-2 6 86 1,092451-962

25.07.2001 -11.08.2003-2 5 25 0,74

601-111228.02.2002 -17.03.2004

-2 5 31 0,821751-1262

03.10.2002 -19.10.2004-2 5 129 1,385

901- 141215.05.2003 -02.06.2005

-2 4 9 0,7261051-1562

16.12.2003 -10.01.2006-2 4 13 0,765

1201-171226.07.2004 -15.08.2006

-2 4 19 0,781351-1862

04.03.2005 -26.03.2007-2 4 19 0,792

1501-201206.10.2005 -25.10.2007

-2 4 15 0,7781651-2162

19.05.2006 -07.06.2008-2 4 5 0,772

1801-226319.12.2006 -06.10.2008

-2 5 77 1,185

График оценки ширины фрактального спектра сингулярности (Δ(t)=αmax-αmin) на американском индексе

NASDAQ Composite на период 07.10.1999-07.11.2008

1765-228425.09.2006 -07.11.2008

-2 6 207 1,067

Результаты экспериментов(NASDAQ) График оценки ширины фрактального спектра сингулярности (Δ(t)=αmax-αmin) на американском индексе NASDAQ Composite на период 07.10.1999-07.11.2008

В августе 2002−го NASDAQ закрывает свой филиал в Японии, так же закрывая филиалы в Европе, и вот сейчас настал черед

европейского отделения, где за два года количество компаний, чьи акции торгуются на бирже, сократилось с 60 до 38.

После чего произошло обвальное падениеВ 2000 году он достигал даже пятитысячной отметки, но после всеобщего

падения рынка компьютерных и информационных технологий находится сейчас в районе до двух тысяч пунктов.

Индекс высокотехнологичных компаний NASDAQ Composite достиг своего пика в

марте 2000 года.

Предкризисная ситуация: июль 2008 – начало сентября 2008

Детектор дефолта 1998 года

Данные min max

11.08.98 2,837 3,337 0,5

12.08.98 2,837 3,335 0,498

13.08.98 2,838 3,325 0,487

14.08.98 2,839 3,344 0,505

17.08.98 1,8 3,36 1,56

18.08.98 1,97 3,3 1,33

19.08.98 1,355 3,26 1,905

20.08.98 1,499 3,264 1,765

21.08.98 1,499 3,4 1,901

24.08.98 1,5 3,249 1,749

a)

b)

Часть мультифрактального спектра данных, соответствующий графику b)

Красная линия показывает, что ширина мультифрактального спектра начинает увеличиваться в то же самое время, как и изменяется курс валюты, но более явно.

Вейвлет-анализ

где ,(t)– фукнция с нулевым средним значением,

центрированным относительно нуля с временным

масштабом и временным горизонтом . Семейство вейвлет-векторов, порожденное из

материнской функции путем замещения и

масштабирования

,)()(),( , dtttxW

)(1

)(

tt

Представление временного ряда f(t) вейвлет-функциями

где jo – константа, представляющая собой наивысший уровень разрешения, для которого извлечены самые тонкие детали

),()()( ,,,

0

00tttf kj

kkj

jjkj

kj

dtttf kjkj )()( ,, 00

dtttf kjkj )()( ,,

Эксперимент - 1 В нашем исследовании мы использовали вейвлет-

функции разложения Добеши (db-4 и db-12).

Целью эксперимента было извлечение сигнала, который мог бы предсказать резкие изменения. Данные по курсам валют (USD) к рублю были взяты с сайта www.rts.ru за период 1.09.1995 – 12.02.1999

Общее количество пронумерованных по порядку отсчетов во временном ряде за период 1.09.1995 – 12.02.1999 составляло 862 значения.

График изменения RTS за период 1.09.1995 – 12.02.1999

0

5

10

15

20

25

 01.0

9.1

995 

 04.1

1.1

995 

 22.0

1.1

996 

 27.0

3.1

996 

 04.0

6.1

996 

 09.0

8.1

996 

 14.1

0.1

996 

 18.1

2.1

996 

 25.0

2.1

997 

 05.0

5.1

997 

 10.0

7.1

997 

 12.0

9.1

997 

 18.1

1.1

997 

 27.0

1.1

998 

 02.0

4.1

998 

 10.0

6.1

998 

 14.0

8.1

998 

 19.1

0.1

998 

 24.1

2.1

998 

Разделение временных рядов на диапазоны

Для достижения цели данный временной ряд был подразделен на 7 перекрывающихся интервалов, расположенных неравномерно, таким образом, что интервал 4 (242-753) непосредственно предшествовал моменту дефолта, а последующие интервалы захватывали момент дефолта.

Каждый интервал состоял из 512 значений: 1-512, 101-612, 201-712, 242-753, 251-762, 301-812, 351-862.

Предсказание кризиса при помощи вейвлет-анализа

# Интервал Максимум для всех уровней

Разность максимальных значений коэффициентов

1 1-512 0,068796 -

2 101-612 0,140859 0,072062

3 201-712 0,150173 0,009314

4 242-753 11,234599 11,084426

5 251-762 11,850877 0,616278

6 301-812 7,944381 -3,906496

7 351-862 9,802439 1,858058

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

 13.02.1998   10.07.1998   07.09.1998   18.09.1998   30.11.1998   12.02.1999 

# Интервал Среднее значение

Разность средних значений

1 1-512 5,249121 -

2 101-612 5,518002 0,268881

3 201-712 5,759273 0,241271

4 242-753 5,926961 0,167688

5 251-762 6,077492 0,150531

6 301-812 7,124922 1,047431

7 351-862 8,672407 1,547484

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

 13.02.1998   10.07.1998   07.09.1998   18.09.1998   30.11.1998   12.02.1999 

График изменения разностных коэффициентов, полученных из отношения среднего значения курса валют текущего интервала к значению предыдущего интервала за период 19.09.1997-12.02.1999 (даты взяты по правой границе, т.е. с 512 значения).

График изменения разностных коэффициентов от максимальных значений коэффициентов разложения по Добеши-12 за период 19.09.1997-12.02.1999 (даты взяты по правой границе, т.е. с 512 значения)

-20000

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

20000№

Интервал

Максимум по всем уровням

Разность максимальных значений коэффициентов

1 1-128 13083,070 --------------

2 64-192 223,834 -12859,235

3 96-224 262,039 38,204

4 106-234 258,122 -3,916

5 111-239 262,371 3,917

6 114-242 14785,540 14523,169

7 124-252 789,933 -13995,607

8 126-254 1298,050 508,117

9 177-305 475,376 -822,673 График изменения разности максимальных значений коэффициентов разложения по Добеши-12 (17.10.1986-31.12.1987).

Разности коэффициентов разложения Добеши-12

Детектор «Черного Понедельника»

На предыдущем слайде мы можем наблюдать положительный пик ранее 01.10.87 и отрицательный пик ранее 15.10.87. Это более, чем за 4 дня до «Черного Понедельника». Резкая линия соединяет эти два пика. Очевидно, это информация может послужить детектором надвигающегося кризиса.

42 дня до дефолта Из рисунка видно, что за начало дефолта, соответствующего резкому скачку курса

доллара, может быть принята точка 742 (21.08.1998), а пиковое значение соответствует 754 точке (07.09.1998).

Как мы можем видеть из предыдущего слайда в случае обработки данных по Российскому дефолту по умолчанию, если мы будем использовать индикатор разности усредненных значений интервалов, тогда мы можем обнаружить, что резкий прирост происходит 18.09.1998, т.е. с запозданием по крайней мере на 11 дней. В то же время график коэффициентов разложения по вейвлет-функциям показывает нам, что начало резких изменений разностей коэффициентов вейвлет-разложений относится к точке 712 (10.07.1998).

Мы можем, по-видимому, прогнозировать наступление дефолта по крайней мере за 42 дня (10.07.1998 - 21.08.1998). При этом прирост максимального значения (рис. 4) такого индикатора в начальный момент составил 74,5 раза (начальное значение = 0,15; следующее значение = 11,23)

Эксперимент - 2

В нашем эксперименте №2 мы использовали вейвлет-функции разложения Добеши (db-12).

Целью эксперимента было извлечение сигнала, который мог бы предсказать резкие изменения индекса DJI (Dow Jones Index - Индекс Доу-Джонс). Данные по DJI были взяты с сайта http://finance.yahoo.com за период 7.10.1999 – 6.10.2008

Общее количество пронумерованных по порядку отсчетов во временном ряде за период 7.10.1999 – 6.10.2008 составило 2263 значения.

График изменения DJI за период 7.10.1999-6.10.2008

7000

7500

8000

8500

9000

9500

10000

10500

11000

11500

12000

12500

13000

13500

14000

14500ок

т.99

фев

.00

июн.

00

окт.

00

фев

.01

июн.

01

окт.

01

фев

.02

июн.

02

окт.

02

фев

.03

июн.

03

окт.

03

фев

.04

июн.

04

окт.

04

фев

.05

июн.

05

окт.

05

фев

.06

июн.

06

окт.

06

фев

.07

июн.

07

окт.

07

фев

.08

июн.

08

окт.

08

График изменения максимальных коэффициентов по всем уровням разложения по Добеши-12 за период 7.10.1999 - 6.10.2008 (DJ)

№ ИнтервалМаксимум по

всем уровням

1 1-512 1954,161187

2 151-662 2326,932148

3 301-812 2475,435072

4 451-962 1792,637529

5 601-1112 1981,99312

6 751-1262 2931,138643

7 901-1412 1166,101445

8 1051-1562 1292,677785

9 1201-1712 949,2859849

10 1351-1862 906,6151828

11 1501-2012 1703,875851

12 1651-2162 2103,951908

13 1752-2263 2364,574186

500

1000

1500

2000

2500

3000

1-512 151-662

301-812

451-962

601-1112

751-1262

901-1412

1051-1562

1201-1712

1351-1862

1501-2012

1651-2162

1752-2263

Построение графика изменения показателя Хёрста за период 7.10.1999-6.10.2008 (DJ)

С помощью программы MatLab был вычислен показатель Хёрста для входящих в исследуемый интервал отрезков:

№ Интервал Вектор 1 Вектор 2 Вектор 3

1 1-512 0,543009 0,498046 0,452023

2 151-662 0,532399 0,484101 0,27548

3 301-812 0,494417 0,497379 0,464322

4 451-962 0,461101 0,457196 0,433508

5 601-1112 0,41562 0,421605 0,527681

6 751-1262 0,304119 0,29804 0,414117

7 901-1412 0,395083 0,394632 0,455711

8 1051-1562 0,475853 0,494124 0,366426

9 1201-1712 0,510703 0,438463 0,444203

10 1351-1862 0,506749 0,412502 0,339065

11 1501-2012 0,410994 0,34161 0,522356

12 1651-2162 0,39805 0,393607 0,567343

13 1752-2263 0,359393 0,269061 0,499643

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

0,55

0,6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

751-126203.10.2002 -19.10.2004

Сопоставление графика изменения DJI за период 7.10.1999 – 6.10.2008 (1), графика изменения максимальных коэффициентов по всем уровням разложения по Добеши-12 за тот же период (2) и графика изменения

показателей Херста (3)

7000

8000

9000

10000

11000

12000

13000

14000

15000

1 60 119

178

237

296

355

414

473

532

591

650

709

768

827

886

945

1004

1063

1122

1181

1240

1299

1358

1417

1476

1535

1594

1653

1712

1771

1830

1889

1948

2007

2066

2125

2184

2243

5001000

150020002500

30003500

1-512 151-662 301-812 451-962 601-1112 751-1262 901-1412 1051-1562 1201-1712 1351-1862 1501-2012 1651-2162 1752-2263

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

0,55

0,6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

(1)

(2)

(3)

751-126203.10.2002 -19.10.2004