лекция 1 эмм в менеджменте

Экономико-математические методы

в планировании и управлении

Уральский федеральный университет

2014

им. первого Президента России Б.Н.Ельцина

Кафедра «Экономика и управление

строительством и рынком недвижимости»

Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 2

Тема 1. Предмет финансовой математики

План

Предмет и задачи финансовой математики.

Фактор времени в финансовых операциях.

Виды процентных ставок.

Операции наращения и дисконтирования.

Сравнение процессов наращения и дисконтирования по разным видам процентных ставок

Финансовая математика - инструмент количественного анализа финансовых операций.


Задачи финансовой математики

Измерение конечных финансовых результатов операций (сделки, контракта) для каждой из участвующих сторон;

Разработка планов финансовых операций, в том числе планов погашения задолженности;

Оценка зависимости конечных результатов операции от основных ее параметров и определение допустимых критических значений этих параметров;

Оптимизация портфеля активов и портфеля задолженности;

Сравнение и выбор инвестиционных проектов.

Предметом финансовой математики является совокупность современных методов количественного финансового анализа, применяемых на практике для решения важных экономических задач.


Принципы финансовой математики

«Время-деньги»

В основе методов финансового анализа лежат

два принципа:

принцип неравноценности денег, относящихся к

разным моментам времени (time-value of

money), или принцип изменения ценности денег

во времени;

принцип финансовой эквивалентности или

равенство (эквивалентность) финансовых

обязательств сторон участвующих в операции.


Принцип изменения ценности денег во времени

Предпосылки неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени:

Инфляция как процесс обесценения (уменьшения стоимости) денег, снижение их покупательной способности, проявляющийся прежде всего в общем росте цен;

Доходность денежных инвестиций: имеющиеся сегодня в распоряжении деньги могут быть инвестированы и принести доход в будущем, при этом полученный доход может быть неоднократно реинвестирован.

Следствием принципа изменения ценности денег во времени является неправомерность простого суммирования денежных величин, относящихся к разным моментам времени, особенно при принятии финансовых решений долгосрочного характера.


Принцип эквивалентности финансовых обязательств

Эквивалентными считаются платежи, которые, будучи приведены к одному моменту времени, оказываются равными;

Изменение условий контрактов не нарушает взаимной ответственности сторон, участвующих в финансовой операции.

Как следствие принцип эквивалентности обязательств позволяет изменять уровень процентных ставок, их вид, сроки исполнения обязательств, распределение платежей во времени и т.д. (разумеется с согласия контрагента) в рамках одной операции, не нарушая взаимной ответственности.


Ссудный процент

Простейший вид финансовой сделки - однократное предоставление в долг некоторой суммы (PV – present value) с условием, что через некоторое время будет возвращена большая сумма (FV – future value).

Формы долга:

выдача ссуды,

продажа в кредит,

помещение денег на депозит,

покупка облигации (сертификата),

учет векселя.

Процентные деньги или проценты это абсолютная величина дохода от предоставления денег в долг в любой его форме, то есть FV-PV .


Виды процентных ставок

Ставка –это относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени. Ставка рассчитывается по одной из двух формул:

темп прироста

темп снижения

Обе ставки взаимосвязаны:

или 1

tt

t

di

d

1

tt

t

id

i

t

FV PVi

PV

t

FV PVd

FV


Операции наращения и дисконтирования

Процесс, в котором заданы исходная сумма и ставка

начисления процентов на эту сумму, в финансовых

вычислениях называется процессом наращения, а

ставка - процентной ставкой.

Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к

получению (возвращаемая сумма) и скидка с

конечной суммы задолженности, называется

процессом дисконтирования, а ставка - ставкой

дисконтирования.

Временной интервал, за который начисляются

проценты, называется периодом начисления.


Способы начисления процентов

Проценты различаются по базе их начисления.

База это сумма, на которую начисляются проценты или с которой производится скидка.

Если база постоянна, то начисляемые на нее проценты называются простыми Ставка простых процентов обозначается is . Аналогично, простая учетная ставка обозначается ds.

Если база последовательно изменяется за счет начисленных на нее на предыдущем этапе времени процентов, то проценты называются сложными.Ставка сложных процентов обозначается i . Аналогично, сложная учетная ставка – d.

Если проценты присоединяются к основной сумме долга, то происходит их капитализация.


Наращение по простой процентной ставке

Пусть исходная сумма ссуды (долга, депозита,

инвестиций) равна P, а is - годовая процентная

ставка, тогда каждый год приносит проценты:

За n лет процентные деньги составят:

Наращенной суммой S называется первоначальная

сумма с начисленными на нее процентами в конце

указанного срока:

год sI P i

sI P n i

(1 )

s

s

S P I P P n i

S P n i


Наращение по простой процентной ставке

Графическое представление формулы наращения по

простой процентной ставке:

Множитель в этой формуле

называется множителем наращения.

1si sMH n i

Авто: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 13

Дисконтирование и учет

по простым процентным ставкам

Формулировка задачи, обратной наращению: Какую первоначальную сумму P надо дать в долг, чтобы получить в конце срока n сумму S, если проценты на долг начисляются по простой процентной ставке is? Два вида дисконтирования:

Математическое дисконтирование;Банковский учет.

Математическое дисконтирование – это формальное решение задачи, обратной наращению:

- формула математического дисконтирования по простой процентной ставке.

(1 )s

SP

n i


График изменения современной стоимости Р в

зависимости от времени

Коэффициент называется

дисконтным множителем, который показывает,

какую долю составляет первоначальная сумма P в

окончательной сумме S.

Дисконтирование и учет

по простым процентным ставкам

1

1si

s

DMn i


Банковский учет или учет векселей

Вексель это денежный документ, представляющий собой письменное обязательство уплатить кому-нибудь определенную сумму денег S через определенное время n. Операция покупки банком или другим кредитным учреждением векселя у его владельца по цене более низкой, чем указано в векселе, называется банковским учетом векселя с дисконтом.При этом проценты начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока, а размер дисконта равен:Сумма к получению равна:

- формула дисконтирования по простой учетной ставке.

sD S n d

(1 )s sP S S n d S n d


График изменения суммы к получению в зависимости от времени учета до даты погашения

Как видно, при величина дисконтного

множителя равна 0, т.е. при относительно большом сроке векселя учет может привести к нулевой и даже отрицательной сумме к получению.

Банковский учет или учет векселей

1n

d


Наращение по простой учетной ставке

Если требуется проставить в векселе сумму на

указанную в нем дату при известной сумме текущего

долга, т. е. требуется определить S при заданном P

по учетной ставке ds, то решается задача, обратная

дисконтированию:

- формула наращения по простой учетной ставке.

Множитель наращения в этом случае равен:

При , , т.е. наращенная

сумма становится бесконечно большой.

1

1sd

s

МНn d

1 s

PS

n d

1n

d

sdМН


График наращения по простой учетной ставке в зависимости от времени учета до даты погашения

Как видно, для того, чтобы S не было отрицатель-ным, необходимо выполнение условия :

Поэтому произвол в выборе n и ds недопустим.

Наращение по простой учетной ставке

1n

d


Наращение по сложной процентной ставке

Присоединение начисленных процентов к базе их

начисления называется капитализацией процентов.

Пусть исходная сумма ссуды (долга, депозита) равна

P, а i - годовая ставка сложных процентов, тогда

1-й год принесет проценты:

а наращенная к концу 1-го года сумма будет равна:

Сумма S1 берется за базу для начисления процентов

во 2-м году:

Наращенная сумма к концу 2-го года:

1I P i

2 (1 )I P i i

1 1 (1 )S P I P P i P i

2

2 1 2 1 1 1(1 ) (1 )(1 ) (1 )S S I S S i S i P i i P i



Аналогично для 3-го года:

Наращенная сумма 3-го года:

Процентные деньги за k-й год:

Наращенная сумма за k лет:

Формула наращения по сложным процентам:

где - множитель наращения.(1 )n

iMH i

2

3 2 (1 )I S I P i i

2 3

3 2 3 2 2 2 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )S S I S S i S i P i i P i

1

1 (1 )k

k kI S I P i i

1 1 1 1

1

(1 )

(1 ) (1 ) (1 )

k k k k k k

k k

S S I S S i S i

P i i P i

(1 )nS P i



График зависимости наращенной суммы от времени

Процентные деньги за n лет составят:

или

1

1 1

(1 )n n

k

k

k k

I I P i i

(1 ) [(1 ) 1]n nI S P P i P P i


Наращение процентов несколько раз в году

Задача: Найти наращенную сумму депозита за n лет, если задана годовая (номинальная) ставка сложных процентов i, а проценты начисляются m раз в году.

В этом случае количество периодов начисления будет равно mn , а в конце каждого периода начисление процентов осуществляется по ставке i/m . Тогда

Годовая ставка сложных процентов, которая дает такой же множитель наращения при начислении процентов раз в год, что и m разовое начисление процентов по ставке i/m называется эффективной.

(1 ) 1m

эфi i m

1 (1 )

m n

n

эф

iS P P i

m

1 1)mэфi m i


Математическое дисконтирование – задача,

обратная наращению, то есть необходимо найти

современную стоимость P заданной суммы S при

известной сложной процентной ставке i :

где

- дисконтный

множитель, а

Дисконтирование по сложной ставке процента

(1 )

n

n

SP S

i

1

(1 )i

1

(1 )

n

nДМ

i


Операции со сложной учетной ставкой

При учете по сложной учетной ставке d толькопервый раз она применяется к заданной сумме S, а затем каждый раз применяется к сумме, уже дисконтированной на предыдущем шаге.

Алгоритм:

Дисконт за 1-й год составит:

тогда

Полученная сумма берется за базу для

дисконтирования в следующем году, так, что дисконт

за 2-ой год составит:

а сумма после дисконтирования во втором году

будет равна 2 1 2 1 1 1

2

2

(1 )

(1 )(1 ) (1 )

P P D P P d P d

P S d d S d

1 1 (1 )P S D S d 1D S d

2 1 (1 )D P d S d d


Операции со сложной учетной ставкой

Аналогично за 3-й год:а современная стоимость на начало 3-го года будет равна:

Дисконт за k-й год составит:

Сумма после дисконтирования в k-м году:

Формула дисконтирования по сложной учетной ставке: а дисконтный множитель равен

2

3 2 (1 )D P d S d d

1

1 (1 )k

k kD P d S d d

3 2 3 2 2 2

2 3

3

(1 )

(1 ) (1 ) (1 )

P P D P P d P d

P S d d S d

1 1 1 1

1

(1 )

(1 ) (1 ) (1 )

k k k k k k

k k

k

P P D P P d P d

P S d d S d

(1 )nP S d (1 )nДМ d


Номинальная и эффективная учетные ставки

Задача: Найти современную стоимость векселя за n лет, если известно, что учет проводится по сложной годовой (номинальная) учетной ставке d, а дисконтирование производится m раз в году.

В этом случае дисконтирование будет произведено mn раз по учетной ставке d/m . Тогда

Годовая учетная ставка, при которой дисконтный множитель при дисконтировании 1 раз в году будет таким же, как при дисконтировании m раз в году по учетной ставке d/m называется эффективной.

1 (1 )m

эфd d m

1 (1 )

m n

n

эф

dP S S d

m

1 1 )mэфd m d


Сравнение процессов наращения и дисконтирования

по разным видам процентных ставок

Сводная таблица формул наращения и дисконтирования

Ставки Прямая задача Обратная задача

is S=P(1+nis )

наращение

P=S/(1+nis )

дисконтирование

ds P=S(1-nds )


S=P/(1-nds )

наращение

i S=P(1+i)n

наращение

P=S/(1+i )n


d P=S(1-d )n


S=P/(1-d ) n

наращение




Таблица множителей наращения и дисконтирования

Ставки Множитель

наращения

Дисконтный

множитель

is МНis =1+nis ДМis =1/(1+nis )

ds МНds =1/(1-nds) ДМds =1-nds

i МНi =(1+i)n ДМi =1/(1+i )n

d МНd =1/(1-d ) n ДМd =(1-d )n




Графики зависимостей множителей наращения отвремени по разным видам ставок

При n=0 МНis = МНi = МНds = МНd = 1;

при n<1 МНi < МНis < МНds < МНd ;

при n=1 МНis = МНi = 1+is; МНds = МНd = 1/(1-ds);

при n>1 МНis < МНi < МНd < МНds .

s si i d d



по разным видам процентных ставокГрафики зависимостей дисконтных множителей отвремени по разным видам ставок

При n=0 ДМis = ДМi = ДМds = ДМd = 1;

при n<1 ДМi > ДМis > ДМds > ДМd ;

при n=1 ДМis = ДМi = 1/(1+is); ДМds = ДМd = 1-ds;

при n>1 ДМis > ДМi > ДМd > ДМds .

s si i d d


Погашение задолженности частями

Необходимым условием финансовой или кредитной

операции является сбалансированность вложений и

отдачи.

Пример: Сcуда D выдана на срок T. В течение этого срока в

счет погашения задолженности производятся платежи

R1, R2, R3.….Rn через заданные промежутки времени

t1, t2, t3......tn соответственно. В конце срока выплачивается

непогашенный остаток Rn.

На рисунке представлена

схема платежей.

Необходимым условием финансовой или кредитной

операции в любом её виде (ссуда, депозит, заем и т.д.)

является сбалансированность вложений и отдачи.

где D0 – размер кредита, is , i– ставки процентов по кредиту.Авторы: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова, доцент, к.т.н. В.К.Рожнева 32

Уравнение эквивалентностиУравнение эквивалентности

1 0 1 1

2 1 2 2

3 2 3 3

1

(1 )

(1 )

(1 )

(1 )

s

s

s

n n n s n

K D t i R

K K t i R

K K t i R

K K t i R

1

2

3

1 0 1

2 1 2

3 2 3

1

(1 )

(1 )

(1 )

(1 ) n

t

t

t

t

n n n

K D i R

K K i R

K K i R

K K i R

Авторы: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова, доцент, к.т.н. В.К.Рожнева 33

Уравнение эквивалентности

Баланс кредита и погасительных платежей имеет место в том случае, когда последний платёж замыкает контур, то есть

Для случая сложной процентной ставки и n=3 уравнение эквивалентности примет вид:

Таким образом, сбалансированность вложений и отдачи выражается в равенстве наращенной первоначальной задолженности за весь период и наращенных погасительных платежей за срок с момента платежа и до конца срока операции.

1 1(1 ) 0 (1 ) 0nt

n n s n n nK t i R или K i R

3

32

31 2

2 3

1 2 3

0 1 2 3

(1 ) 0

(1 ) (1 ) 0

(1 ) (1 ) (1 ) 0

t

tt

tt t

K i R

K i R i R

D i R i R i R

3 3 31 2 2

0 1 2 3(1 ) (1 ) (1 ) (1 )t t tt t t

D i R i i R i R

Авторы: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова, доцент, к.т.н. В.К.Рожнева 34


Умножим правую и левую часть уравнения на на дисконтный множитель:

Получим:

Таким образом, сумма современных стоимостей погасительных платежей на момент выдачи кредита равна первоначальной сумме этого кредита.

В общем случае с n погасительными платежами при постоянной процентной ставке на всём протяжении операции имеем 2 вида уравнения эквивалентности:

Уравнения эквивалентности позволяют : 1) измерить доходность от операции; 2) изменять условия контракта, не нарушая баланса финансовых обязательств сторон; 3) находить точку окупаемости инвестиционных проектов.


1 2 3( )(1 )

t t ti

1 2 31 1 2 ( )( )

0 1 2 3(1 ) (1 ) (1 )t t tt t t

D R i R i R i

1 1

0 0

1 1

(1 ) (1 ) ..... ..... (1 )

k k

j j

j j

T t tn nT

k k

k k

D i R i и D R i


Спасибо за внимание

Education

лекция 1 эмм в менеджменте