лекция 5.2 эмм в менеджменте

Экономико-математические методы в планировании и управленииУральский федеральный университет

2014

им. первого Президента России Б.Н.Ельцина

Кафедра «Экономика и управление строительством и рынком недвижимости»

Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова, доцент 2

Тема 5. Конверсия валют и наращение процентов (продолжение)

План Основные понятия и определения; Конверсия валюты и наращение по

простой процентной ставке; с предварительной конверсией СКВ в

рубли; с предварительной конверсией суммы в

рублях в СКВ; Конверсия валюты и наращение по

сложной процентной ставке; с предварительной конверсией СКВ в

рубли; с предварительной конверсией суммы в

рублях в СКВ.


Основные понятия и определенияВведем обозначения:

js , j ставка простых и сложных процентов по валютным депозитам;

is , is ставка простых и сложных процентов по рублевым депозитам;

P начальная сумма в СКВ; Pr начальная сумма в рублях; S наращенная сумма в СКВ; Sr наращенная сумма в рублях; K0 курс обмена в начале операции

(курс СКВ в рублях); K1 курс обмена в конце операции; n срок депозита.


Конверсия валюты и наращение по сложной процентной ставке При наращении без конверсии источником дохода является только процентная ставка. Наращенную сумму легко рассчитать по известным формулам для сложной ставки:

При наращении с конверсией существуют два источника дохода:

процентная ставка безусловный фактор,

изменение курса СКВ условный фактор.

(1 ) (1 )n nv v r rS P j S P i


Конверсия валюты и наращение по сложной процентной ставке: СКВ Руб. Руб. СКВ

Рассмотрим случай наращения по сложной ставке процента по следующей схеме:

1-й шаг обмен СКВ на рубли: 2-й шаг наращение процентов по

сложной ставке i:

3-й шаг конвертирование наращенной в рублях суммы в исходную валюту. Итоговую сумму в СКВ рассчитаем по формуле:

0 1. .К КiСКВ Руб Руб СКВ

0r vP K P

0(1 ) (1 )n nr r vS P i K P i

0

1 1

(1 )nvrv

K P iSS

K K



Отношение курса СКВ в конце операции K1 к курсу СКВ в начале операции K0 обозначим через k. Тогда формула примет вид:

, где

Коэффициент при P является множителем наращения при наличии конверсии:

Найдем эквивалентную ставку, то есть ставку, при которой множитель наращения без конверсии равен множителю наращения с конверсией:

1

0

Kk

K1 (1 )nv vS k P i

1 (1 )nk i

1(1 ) (1 )n nэj k i


Конверсия валюты и наращение по сложной процентной ставке: СКВ Руб. Руб. СКВСтавка оценивает доходностьоперации наращения по сложной процентной ставке с конверсией.

Зависимость эквивалентной ставки от соотношения курсов СКВ jэ= f(k) - гипербола.

11э n

ij

k


Конверсия валюты и наращение по сложной процентной ставке: СКВ Руб. Руб. СКВТочку пересечения графика с осью k найдем, приравнивая jэ к нулю:

Получим критическое значение соотношения курсов k=k*, при котором эквивалентная ставка jэ равна 0 :

Таким образом, при k=k* доходность операции

конверсии равна 0 ; при k>k* операция конверсии

убыточна (доходность меньше нуля, так как jэ<0 );

при k<k* операция конверсии приносит доход.

11 0э n

ij

k

* (1 )nk i


Задача: Определить максимально допустимое значение kmax , при котором множители наращения с конверсией и без конверсии по ставкам депозитов i и j , объявленным банками, равны?Приравняем множители наращения:

Откуда получаем: .Выводы:

При заданном K0 и K1*=k*K0

первоначальная сумма Pv сохраняется, не принося дохода.

При заданном K0 и K1max=kmaxK0

первоначальная сумма Pv наращивается с одинаковой скоростью в любой валюте.


max

(1 )(1 )

nn ij

k

max

1

1

ni

kj


Конверсия валюты и наращение по сложной процентной ставке: Руб. СКВ СКВ Руб.Рассмотрим случай второй случай:

1-й шаг обмен рублей на СКВ:

2-й шаг наращение процентов по ставке js :

3-й шаг конвертирование наращенной в СКВ суммы в рубли. Итоговую сумму в рублях рассчитаем по формуле:

0 1. .К КjРуб СКВ СКВ Руб

0

rv

PP

K

0

(1 ) (1 )n nrv v

PS P j j

K

11

0

(1 )nrr v

K P jS S K

K


Конверсия валюты и наращение по сложной процентной ставке : Руб. СКВ СКВ Руб.Обозначив отношение курса СКВ в конце операции K1 к курсу СКВ в начале операции K0 через k, перепишем формулу в виде:

, где

Коэффициент при Pr является множителем наращения при наличии конверсии:

Найдем эквивалентную ставку для этого случая.Для этого приравняем множители наращения для операций без конверсии и с конверсией:

1

0

Kk

K(1 )nr rS P k j

(1 )nk j

(1 ) (1 )n nэi k j


Конверсия валюты и наращение по сложной процентной ставке : Руб. СКВ СКВ Руб.Ставка показывает, какую ставку необходимо назначить по депозитам в рублях, чтобы доход был таким же, как с конверсией.

Характерзависимостиопределяетсязначением срокафинансовойоперации n.

(1 ) 1nэi k j


Конверсия валюты и наращение по сложной процентной ставке : Руб. СКВ СКВ Руб.При n=1 зависимость эквивалентной ставки от соотношения курсов СКВ - линейная. ( ) (1 ) 1эi k k j


Конверсия валюты и наращение по сложной процентной ставке : Руб. СКВ СКВ Руб.При n<1 (1/n>1) зависимость эквивалентной ставки от соотношения курсов - параболического типа, симметричная относительно оси ординат.

1

( ) (1 ) 1nэi k k j


Конверсия валюты и наращение по сложной процентной ставке : Руб. СКВ СКВ Руб.При n>1 (1/n<1) зависимость эквивалентной ставки от соотношения курсов - параболического типа, симметричная относительно прямой iэ=-1 .

1

(1 ) 1nэi k j


Приравнивая iэ к нулю, найдем точку пересечения графиков с осью абсцисс:

Получим критическое значение соотношения курсов k=k*, при котором эквивалентная ставка iэ равна 0 :

Таким образом, при k=k* доходность операции

конверсии равна 0 ; при k>k* операция конверсии

приносит доход; при k<k* операция конверсии

убыточна.

Конверсия валюты и наращение по сложной процентной ставке : Руб. СКВ СКВ Руб.

* (1 ) 1 0nэi k j

* 1

(1 )nk

j


Конверсия валюты и наращение по сложной процентной ставке : Руб. СКВ СКВ Руб.Задача: Определить минимально допустимое значение kmin , при котором множители наращения с конверсией и без конверсии по ставкам депозитов i и j, объявленным банками, равны?Приравняем множители наращения:

Выводы:

При заданном K0 и K1*=k*K0

первоначальная сумма Pr сохраняется, не принося дохода.

При заданном K0 и K1min=kminK0

первоначальная сумма Pr наращивается с одинаковой скоростью в любой валюте.

min min

1(1 ) (1 )

1

n

n n ii k j k

j


Спасибо за внимание

Education

лекция 5.2 эмм в менеджменте