лекция 4 эмм в менеджменте

Экономико-математические методы

в планировании и управлении

Уральский федеральный университет

2014

им. первого Президента России Б.Н.Ельцина

Кафедра «Экономика и управление

строительством и рынком недвижимости»

Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 2

Тема 5. Другие виды постоянных финансовых

рент

План

Ренты пренумерандо;

Ренты с выплатами в середине периодов;

Отложенные ренты;

Вечная рента;

Ренты с постоянным относительным приростом

платежей; Годовая рента постнумерандо с постоянным

относительным приростом;Вечная рента постнумерандо с постоянным

относительным приростом; Рента р-срочная постнумерандо с постоянным

относительным приростом;


Ренты пренумерандо

Рента пренумерандо – это рента с платежами в начале периода.

Схема годовой постоянной ренты пренумерандо:

На 1-й член начисляются проценты один раз в году по процентной ставке i в течение срока, равного n лет(против (n-1) для ренты постнумерандо), на 2-й (n-1)года, на 3-й член (n-2) лет и т.д., на n-ый член 1 год.



Наращенная сумма потока платежей будет равна:

где S – наращенная сумма потока платежей годовой постоянной ренты постнумерандо.

То есть на каждый член ренты пренумерандо проценты начисляются на один период больше, чем у ренты постнумерандо. Таким образом, для получения наращенной суммы ренты пренумерандо каждый член ренты постнумерандо надо умножить на соответствующий знаменатель прогрессии.

1(1 ) (1 ) ...

... (1 ) (1 ) ,

n nS R i R i

R i i S



Тогда для годовой постоянной ренты пренумерандо

с начислением процентов один раз в конце года:

Для годовой постоянной ренты пренумерандо с

начислением процентов m раз в году:

(1 ) 1(1 ) (1 ) ,

niS S i R i

i

1 1

1 1 ,

1 1

mn

m m

m

i

i imS S R

m mi

m



Для постоянной p-срочной ренты пренумерадо с

начислением процентов один раз в конце года:

Для постоянной p-срочной ренты пренумерандо с

одновременным начислением процентов (p=m) :

1 1

1

1 (1 ) 1(1 ) (1 ) ,

(1 ) 1

np p

p

iS S i R i

pi

1 1

1 1 ,

mni

i imS S R

m i m




начислением процентов m-раз в году (pm):

1 11

1 1 ,

1 1

mn

m m

p p

m

p

i

i imS S R

m p mi

m



По формуле взаимосвязи обобщающих параметров

потоков платежей, современная стоимость ренты

пренумерандо равна:

Тогда

то есть для современных стоимостей рент

пренумерандо и постнумерандо существует

зависимость, аналогичная наращенным суммам

рент пренумерандо и постнумерандо.

.(1 )n

SA

i

(1 )(1 ) (1 ),

(1 ) (1 )n n

S i SA i A i

i i







1 (1 )(1 ) (1 ) ,

niA A i R i

i

1 1

1 1 ,

1 1

mn

m m

m

i

i imA A R

m mi

m







1 1

1

1 1 (1 )(1 ) (1 ) ,

(1 ) 1

np p

p

iA A i R i

pi

1 1

1 1 ,

mni

i imA A R

m i m





1 11

1 1 ,

1 1

mn

m m

p p

m

p

i

i imA A R

m p mi

m


Ренты с выплатами в середине периодов

Схема платежей годовой постоянной ренты с выплатами в середине периодов

На 1-й член начисляются проценты один раз в году по процентной ставке i в течение срока, равного (n-1/2) лет (против (n-1) для ренты постнумерандо), на 2-й (n-3/2) года, на 3-й член (n-5/2) лет и т.д., на n-ый член 1/2 года.



Наращенная сумма потока платежей равна:

где S – наращенная сумма потока платежей годовой постоянной ренты постнумерандо.

То есть на каждый член ренты с выплатами в середине периода проценты начисляются на полпериода больше, чем у ренты постнумерандо.

Таким образом, для получения наращенной суммы рент с выплатами в середине периода каждый член ренты постнумерандо надо умножить на соответст-вующий знаменатель прогрессии в степени 1/2.

1 11

2 21

21 1

2 2

(1 ) (1 ) ...

... (1 ) (1 ) .

n n

S R i R i

R i i S





1 1

2 21/ 2

1 (1 )(1 ) (1 ) ,

niA A i R i

i

1 1

2 21/ 2

(1 ) 1(1 ) (1 ) ,

niS S i R i

i





2 2

1/ 2

1 1

1 1 ,

1 1

mn

m m

m

i

i imS S R

m mi

m

2 2

1/ 2

1 1

1 1 ,

1 1

mn

m m

m

i

i imA A R

m mi

m





1 1

2 2

1/ 2 1

1 1 (1 )(1 ) (1 ) ,

(1 ) 1

np p

p

iA A i R i

pi

1 1

2 2

1/ 2 1

1 (1 ) 1(1 ) (1 ) ,

(1 ) 1

np p

p

iS S i R i

pi





1 1

2 2

1/ 2

1 1

1 1 ,

mni

i imS S R

m i m

1 1

2 2

1/ 2

1 1

1 1 ,

mni

i imA A R

m i m





2 2

1/ 2

1 11

1 1 ,

1 1

mn

m m

p p

m

p

i

i imA A R

m p mi

m

2 2

1/ 2

1 11

1 1 ,

1 1

mn

m m

p p

m

p

i

i imS S R

m p mi

m


Отложенные ренты

Отложенной рентой называется такая рента, у

которой начало платежей сдвинуто вперед

относительно начального момента времени.

Схема платежей отложенной ренты:



Сдвиг платежей во времени не влияет на величину

наращенной суммы ренты, так как количество и

суммы платежей не меняются, а проценты

начисляются на выплаченные суммы.

Изменится величина современной стоимости:

современная стоимость отложенной ренты на

момент времени О получится дисконтированием

современной стоимости немедленной ренты на

момент времени О’, т. е.

где

t S S

1, .

1

t

t A Ai



Задача: Годовая рента постнумерандо делится

между двумя участниками, причем каждый получает

50% ее капитализированной стоимости. Общий срок

ренты n, член R, процентная ставка i.

Определить сроки, в течение которых каждый

участник получает выплаты.

Решение:

Первый участник получает немедленную ренту в

течение неизвестного срока n1, современная

стоимость которой равна1

11 ,

1 (1 ),

n

n i

iA Ra R

i



Второй участник получает отложенную ренту в

течение срока n2=n - n1, современная стоимость

которой равна:

Приравняем современные стоимости этих рент:

1 1

1

( )1 (1 ) 1 (1 ) 1

.(1 )

n n n

n

i iR R

i i i

1

2

1

2 ,

2

1 (1 ).

n

t n i

nn

A A Ra

iA R

i



Произведя сокращения, после приведения к

общему знаменателю, получим:

Прологарифмируем последнее выражение:

1

2ln(1 ) ln ,

1 (1 ) nn i

i

1 1 1

1 1

1

1

(1 ) 1 (1 ) 1 (1 ) (1 ) ,

(1 ) 1 1 (1 ) (1 ) ,

(1 ) 1 (1 ) 2

2(1 ) .

1 (1 )

n n nn

n nn

n n

n

n

i i i i

i i i

i i

ii



Откуда получаем

Результат зависит только от общего срока ренты и размера процентной ставки. Зная n1, получим n2=n - n1.

1

2ln

1 (1 ).

ln(1 )

nin

i


Вечная рента

Вечная рента − это ряд платежей, количество

которых не ограничено, т.е. платежи выплачиваются

теоретически в течение бесконечного числа лет.

Из формул для наращенных сумм ясно, что при

n наращенные суммы S .

Рассчитаем современную стоимость вечной ренты.

Для этого устремим в полученных нами формулах для

современных стоимостей различных рент n :

lim .n

A A



Для вечной годовой постоянной ренты

постнумерандо получим:

Для вечной годовой постоянной ренты

постнумерандо с начислением процентов m-раз в

году:

1 (1 )

lim .

(1 ) 11 1

mn

mn m

i

RmA Riimm

1 (1 )lim .

n

n

i RA R

i i



Для p-срочной постоянной ренты постнумерандо с


Для p-срочной постоянной ренты постнумерандо с

одновременным начислением процентов (m=p) раз

в году 1 (1 )

lim .

mn

n

i

RmA Ri i

1 1

1 (1 ) 1lim .

(1 ) 1 (1 ) 1

n

np p

R i RA

p pi i



Для постоянной p-срочной ренты постнумерандо с

начислением процентов m-раз в году (pm) :

1 1

lim

1 1

1.

(1 ) 1

mn

mn

p

m

p

i

R mA

pi

m

RA

p i

m


Переменные потоки платежей

Изменение членов потока платежей связано с объективными обстоятельствами: изменение условий сбыта, производства, влияние случайных факторов, инфляции и т.п.

Если члены потока платежей изменяются по какому-либо закону, то поток платежей является рентой, если закона нет поток нерегулярный (не является рентой).

На практике размеры членов ренты изменяются во времени:

с постоянным абсолютным приростом (арифметическая прогрессия);

с постоянным относительным приростом (геометрическая прогрессия).


Ренты с постоянным относительным

приростомПусть постоянный относительный прирост за год

равен k (темп прироста).

Тогда текущий член может быть выражен формулой:

где q=1+k – темп роста.

Изменения членов ренты происходят согласно

геометрической прогрессии:

1 (1 ) ,t t t t tR R k R R k R q

2 3 1, , , ,... .nR Rq Rq Rq Rq


Годовая рента постнумерандо с постоянным

относительным приростомСхема годовой ренты постнумерандо с постоянным

относительным приростом

Дисконтируем все платежи на начало и

просуммируем:2 2 3 1... .n nA R Rq Rq Rq


Годовая рента постнумерандо с постоянным

относительным приростомЧлены суммы представляют собой геометрическую прогрессию со знаменателем q и первым членом R. Вычислим эту сумму:

- формула для вычисления современной стоимости годовой переменной ренты с постоянным относительным приростом.Наращенную сумму вычислим, используя известную зависимость между обобщенными параметрами потоков платежей:

( ) 1.

1

nqA R

q

( ) 1 1 ( )( ) ( ) .

1 1

n nn nq q

S A q R q Rq q

1

1R

q


Вечная годовая рента с постоянным

относительным приростом (формула Гордона)Найдем современную стоимость вечной годовой

ренты с постоянным относительным приростом. Для

этого устремим n→∞ и учтем, что qν<1:

( ) 1lim lim

1

1 1 1

1 11

n

n n

qA A R

q

R R Rqq

q


Вечная годовая рента с постоянным

относительным приростом (формула Гордона)Преобразуем полученное выражение, подставляя :

Получим известную формулу Гордона для расчета стоимости реверсии (терминальной стоимости) при использовании метода дисконтированных денежных потоков для определения стоимости неизнашиваемых активов:

1 1 1

1 (1 ) (1 )A R R R

i k i kq

1

1 i

1q k


Годовая рента пренумерандо с постоянным

относительным приростомДля рент пренумерандо также следует использовать

полученные ранее зависимости:

1

( ) 1( ) ( ),

1

( ) 1( ) ( ) .

1

n

nn

qA A q R q

q

qS S q R q

q


Рента р-срочная постнумерандо с

постоянным относительным приростомСхема р-срочной ренты постнумерандо с постоянным относительным приростом

В этом случае платежи R производятся р раз в году, проценты начисляются один раз в год по ставке i, под k понимается относительный прирост, а q темп роста за период, равный 1/p.



постоянным относительным приростомЧлены ренты в этом случае образуют последовательность из np членов.

Дисконтируем все платежи на начало ренты и просуммируем:

Члены полученной суммы представляют собой геометрическую прогрессию со знаменателем, равным . Современную стоимость найдем по формуле для суммы членов геометрической прогрессии

1 2 3

2 1...

np

npp p p pA R Rq Rq Rq

11

1 1

( ) 1 ( ) 1.

1

p np np

p p

q qA R R

q q



постоянным относительным приростомТак как проценты начисляются один раз в год, то

наращенная сумма будет равна:

1

1 1

( )

1 1 ( )( )

p np

n nn

p p

S A q

q qS R q R

q q


Спасибо за внимание

Education

лекция 4 эмм в менеджменте