ชุดที่ 1 59-ลำดับและอนุกรม-p1-p48-blog

คณิตศาสตร์ชุด ลําดับและอนุกรม ลิมิต การต่อเนืองของฟังก์ชันและ ฟังก์ชันลู่เข้ ลู ่ออก เรียบเรียงโดย อ. สุทธิ –อ.อารยา คุณวัฒนานนท์ หน้าที 1

อนุกรมเลขคณิต

หมายถึง ผลบวกของอันดับเลขคณิต

รูปแบบทั่วไป ของผลบวก n เทอม คือ

푎 + 푎 + 푎 + ⋯ + 푎 เขียนแทนดวย 푠 หรือ 푎

นั่นคือ 푠푛 = 푎1 + 푎2 + 푎3 + ⋯ + 푎푛 푠 = 푎 + (푎 + 푑) + (푎 + 2푑) + ⋯ + [푎

+ (푛 − 1)푑 ]

푠 =푛2 [2푎 + (푛 − 1)푑 ]

푠 =푛2

[푎 + 푎 + (푛 − 1)푑 ] =푛2 [푎 + 푎 ]

เรื่องนี้ เราจะใชคูกับสูตรของ summation ที่มีสูตรดังนี ้

1) 퐶 = 퐶 + 퐶 + 퐶 + … . . +퐶 เปนคาคงท่ี บวกกัน ตัว

= 푛퐶

2) 푛 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 푛 =푛2 (푛 + 1)

3) 푛 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 푛

=푛6 (2푛 + 1)(푛 + 1)

4) 푛 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 푛 = 푛

5) 푐푎 = 푐 푎 โดยที่ 푐 เปนคาคงที ่

6) (푎 ± 푏 ) = 푎 ± 푏


퐸푥1 จงหาคาของ 3 + 5 + 7 + ⋯ + 푎

วิธีทํา จากสูตร 푆푛 = 푛

2[2푎1 + (푛 − 1)푑 ]

จากโจทย 푎1 = 3, 푑 = 2, 푛 = 20

∴ 푆 = 202 [2(3) + (20 − 1)2]

∴ 푆 = 10[6 + 38] = 440 퐴푛푠. 퐸푥2 จงหาคาของ 1 + 4 + 7 + ⋯ . . +28

วิธีทํา จากโจทย 푎1 = 1 , 푎푛 = 28 , 푑 = 4 − 1 = 3

และ 푛 =푎푛−푎1

푑+ 1 =

28−1

3+ 1 = 10

สูตร 푆푛 = 푛

2[푎1 + 푎푛] =

10

2[1 + 28] = 145 퐴푛푠.

퐸푥3 จงหาคาของ 푙푛3 + 푙푛9 + 푙푛27 + ⋯ + 푎

วิธีทํา จากโจทย 푎 = 푙푛3 , 푑 = 푙푛9 − 푙푛3 = 푙푛 = 푙푛3 , 푛 = 10

จากสูตร 푆푛 = 푛

2[2푎1 + (푛 − 1)푑

∴ 푆 = [2푙푛3 + (10 − 1)푙푛3]

∴ 푆 = 5[2푙푛3 + 9푙푛3] = 55푙푛3 퐴푛푠. 퐸푥4 จงหาผลบวก 7 วงเล็บ ของ (3) + (5 + 7 + 9) + (11 + 13 + 15 + 17 + 19) + ⋯

วิธีทํา จํานวนตัวเลขในแตละวงเล็บมีทั้งหมด = (1 จํานวน) + (3จํานวน) + (5 จํานวน) + … . 7 วงเล็บ

หาจํานวนตัวเลขทั้งหมด จากสูตร 푆푛 =푛

2[2푎1 + (푛 − 1)푑]

∴ 푆 =72

[2(1) + (7 − 1)(2)] = 49 จํานวน

เม่ือเปดวงเล็บแลวจะไดอนุกรมดังนี้ 3 + 5 + 7 + ⋯ + 푎

∴ 푆 =492

[2(3) + (49 − 1)(2)] = 2499 퐴푛푠.

1. จงหาคาของ 3 + 7 + 11 + ⋯ + 푎 2 จงหาคาของ 7 + 10 + 13 + ⋯ . . +97 3. จงหาคาของ 푙푛2 + 푙푛4 + 푙푛8 + ⋯ + 푎

4. จงหาผลบวก 10 วงเล็บ ของ

(2) + (5 + 8) + (11 + 14 + 17) + ⋯


퐸푥5 ในอันดับเลขคณิตที่กําหนดให 푎 = 3, 푎 = −6

จงหา 푎5 + 푎6 + 푎7 + 푎8 + 푎9 + 푎10

วิธีทํา จากสูตร 푑 =푎푛−푎푘

푛−푘=

푎6−푎3

6−3=

(−6)−(3)

3= −3

จากสูตร 푎푛 = 푑푛 + 푐 ∴ 푐 = 푎푛 − 푑푛

จาก 푑 = −3 , 푛 = 6, 푎6 = −6 ∴ 푐 = 푎 − 푑푛 = (−6) − (−3)(6) = 12 ∴ 푎 = 푑푛 + 푐 = −3푛 + 12

∴ 푎 + 푎 + 푎 + 푎 + 푎 + 푎 = (푎 + 푎 )

푎 = −3(5) + 12 = −3 , 푎 = −3(10) + 12 = −18

푛 = จํานวนเทอมทั้งหมด =10 − 5

1 + 1 = 6

∴ 푎 + 푎 + 푎 + 푎 + 푎 + 푎

= (−3 − 18) = −63 퐴푛푠.

퐸푥6 ในอันดับเลขคณิตที่กําหนดให 푎 + 푎 = 8 , 푎 + 푎 = 20

จงหาคาของ 푆10 และ 푎15 − 푎3

วิธีทํา จากสูตร 푑 =(푎푚 + 푎푛) − (푎푟 + 푎푠)

(푚 + 푛) − (푟 + 푠)

∴ 푑 =(푎 + 푎 ) − (푎 + 푎 )

(7 + 3) − (1 + 5) =20 − 810 − 6 =

124 = 3

จากสูตร 푎푛 = 푑푛 + 푐 ∴ 푎 = 3(1) + 푐 = 3 + 푐 ∴ 푎 = 3(5) + 푐 = 15 + 푐

จาก 푎1 + 푎5 = 8 ∴ (3 + 푐) + (15 + 푐) = 8

∴ 18 + 2푐 = 8 ดังนั้นจะได 퐶 = −5

จากสูตร 푎푛 = 푑푛 + 푐 ∴ 푎푛 = 3푛 − 5

จากสูตร 푆푛 =푛

2(푎1 + 푎푛)

มี 푎1 = 3(1) − 5 = −2 , 푎10 = 3(10) − 5 = 25

∴ 푆10 =10

2(−2 + 25) = 115 퐴푛푠.

และ 푎 − 푎 = [3(15) − 5] − [3(3) − 5] = 36 퐴푛푠.

5. ในอันดับเลขคณิตที่กําหนดให 푎 = 19, 푎 = 31

จงหา 푎6 + 푎7 + 푎8 + ⋯ + 푎12

6. ในอันดับเลขคณิตที่กําหนดให 푎 + 푎 = 25 , 푎 + 푎 = 40 จงหาคาของ 푆 และ 푎 − 푎


퐸푥7 ในอันดับเลขคณิตที่กําหนดให

푎 = 80 , 푎 = 230 จงหาคาของ 푎

วิธีทํา จาก 푎푛 = 푎1 + 푎2 + 푎3 + 푎4 + 푎5 = 80

5

푛=1

∴ 52

[2푎 + 4푑] = 80

∴ 5푎 + 10푑 = 80 … … … . (1)

푎 = 푎 + 푎 = 80 + 230 = 310

∴ 푎 = 310

∴ 10

2[2푎 + (10 − 1)푑] = 310

∴ 10푎 + 45푑 = 310 … … … (2) (1) × 2, 10푎 + 20푑 = 160 … … … . (3) (2) − (3), 25푑 = 150 ∴ 푑 = 6

แทนคา 푑 = 6 ในสมการที่ (3) จะได 10푎 + 20(6) = 160 ∴ 푎 = 4

∴ 푎 = 푎 + (푛 − 1)푑 = 4 + (푛 − 1)(6) = 6푛 − 2 ∴ 푎 = 6푛 − 2 ∴ 푎 = 6(11) − 2 = 64 , ∴ 푎 = 6(15) − 2 = 88

จาก 푎푛 = 푎11 + 푎12 + 푎13 + 푎14 + 푎15

15

푛=11

=52 (푎 + 푎 )

∴ 푎푛 =5

2(푎11 + 푎15)

15

푛=11

=5

2(64 + 88)

= 380 퐴푛푠.

7. ในอันดับเลขคณิตที่กําหนดให

푎 = 190 , 푎 = 590

จงหาคาของ 푎


퐸푥8 ถา 푥 เปนจํานวนเต็มที่อยูชวงตั้งแต 55 ถึง 275

จะมีก่ีจํานวนที่ 푥 หารดวย 6 หรือ 4 ไมลงตัว แนวคิดเพื่อแกปญหาโจทย จํานวนที่หารดวย 6 หรือ 4 ไมลงตัว = จํานวนทั้งหมด − (จํานวนที่ 6 หรือ 4 หารลงตัว)

จํานวนที่ 6 หรือ 4 หารลงตัว = (จํานวนที่ 6 หารลงตัว) + (จํานวนที่ 4 หารลงตัว) −

−(จํานวนที่ 6 และ 4 หารลงตัว)

วิธีทํา ใชัสูตร 푛 = 푎푛 − 푎1

푑+ 1 และ

푆 =푛2 (푎 + 푎 )

1) จํานวนที่หารดวย 6 ลงตัวไดแก 60,66,72, … ,270

จะมีจํานวนทั้งหมด =270 − 60

6+ 1 = 36 จํานวน

∴ ผลบวกของจํานวนที่ 6 หารลงตัว =36

2(60 + 270)

= 5940 퐴푛푠.



4+ 1 = 55 จํานวน


2(56 + 272)

= 9020 퐴푛푠.



12+ 1 = 18 จํานวน


2(60 + 264)

= 2916 퐴푛푠.

4) ผลบวกของจํานวนที่หารดวย 6 หรือ 4 ลงตัว = 5,940 + 9,020 – 2916 = 12,044 퐴푛푠.

5) จํานวนทั้งหมดไดแก 55,56,57, … , 275


1+ 1 = 221 จํานวน

มีผลบวกทั้งหมด =221

2(55 + 275) = 36465

จํานวนที่หารดวย 6 หรือ 4 ไมลงตัว มีทั้งหมด = 36,465 − 12,044 = 24,421 퐴푛푠.

8. จงหาผลบวกของจํานวนเต็มที่อยูชวงตั้งแต 47 ถึง 389

ที่หารดวย 6 หรือ 9 ไมลงตัว


퐸푥9 จงหาคาของ 1 + (1 + 3) + (1 + 3 + 5) + ⋯ + (1 + 3 + 5 + ⋯ + 29)

วิธีทํา วงเล็บสุดทาย 1 + 3 + 5 + ⋯ + 29

จะมีจํานวนตัวเลขทั้งหมด =29 − 1

2+ 1 = 15 จํานวน

∴ 1 + 3 + 5 + ⋯ + 29 =152

(1 + 29) = 225 = 15

∴ 1 + (1 + 3) + (1 + 3 + 5) + ⋯+ (1 + 3 + 5 + ⋯ + 29)

= 1 + 4 + 9 + ⋯ + 225 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 15

= 푛 =156

(31)(16) = 1240 퐴푛푠.

퐸푥10 ชาย 2 คนอยูหางกัน 255 กม. ตองการเดินทางมาพบ

กันโดยเริ่มเดินทางพรอมกัน โดยชายคนแรกเดินทางดวย

ความเร็ว 20,19,18, … กม. ตอวันและชายอีกคนเดินทาง

ดวยความเร็ว1,3,5, … กม. ตอวันชาย 2 คนนี้จะเดินทาง

มาพบกันในเวลาก่ีวัน วิธีทํา ใหคนที ่1 ใชเวลาทั้งหมด 푛 วัน ไดทาง 푆1 กม.

ใหคนที ่2 ใชเวลาทั้งหมด 푛 วัน ไดทาง 푆 กม.

∵ 푆 = [2(20) + (푛 − 1)(−1)] = [41 − 푛]

และ 푆2 =푛

2[2(1) + (푛 − 1)(2)] = 푛2

∴ 푆 + 푆 = 255

∴ 푛2

[41 − 푛] + 푛 = 255

∴ [ 41푛 − 푛 ] + 2푛 = 510 ∴ 푛 + 41푛 − 510 = 0 ∴ ( 푛 + 51)(푛 − 10) = 0 ∴ 푛 = −51 , 10

เนื่องจาก 푛 > 0 ∴ 푛 = 10 퐴푛푠.

9. จงหาคาของ 1 + (1 + 3) + (1 + 3 + 5) + ⋯

+ (1 + 3 + 5 + ⋯ + 39)

10. ชาย 2 คนอยูหางกัน 438 กม. ตองการเดินทางมาพบกัน โดยเริ่มเดินทางพรอมกัน โดยชายคนแรกเดินทางดวยความเร็ว

30,28,26, … กม. ตอวันและชายอีกคนเดินทางดวยความเร็ว

1,4,7, … กม. ตอวันชาย 2 คนนี้จะเดินทางมาพบกันในเวลาก่ีวัน


퐸푥11 ในการเรียงฝาเบียรเปนพีระมิดโดยมีฐานเปนสี่เหลี่ยม

จัสตุรัสใหแถวบนมีฝาเบียรนอยกวาแถวลางที่ติดกัน1ฝาเสมอ

และแถวบนสุดมีฝาเบียรดานละ 4 ฝา และแถวลางสุดมี

ฝาเบียรดานละ 11ฝา จงหาวา จะมีฝาเบียรทั้งหมดก่ีฝา

วิธีทํา สมมุติใหแถวลางสุดมีฝาเบียร 푛 ฝา

∴ 푛 =116

(23)(12) −36 (7)(4)

∴ 푛 = 506 − 14 = 492 퐴푛푠.

퐸푥12 ฝาเบียรกองหนึ่งเรียงซอนกันเปนรูปพีระมิดฐานสาม เหลี่ยมดานเทา โดยช้ันลางสุดมีฝาเบียรดานละ 푛 ฝา

ช้ันถัดข้ึนไปมีฝาเบียรนอยกวาช้ันลางที่อยูติดกัน1 ฝาเสมอ

ถาช้ันบนสุดมีฝาเบียรเพียง 1 ฝาแลว

จงหาวากองฝาเบียรนี้จะมีฝาเบียรทั้งหมดเทาไร วิธีทํา ช้ันบนสุดมีฝาเบียร = 푆1 = 1 ฝา

ช้ันที่ 2 จากบนสุดมีฝาเบียร = 푆 = 1 + 2 ฝา

ช้ันที่ 3 จากบนสุดมีฝาเบียร = 푆 = 1 + 2 + 3 ฝา ช้ันที่ 4 จากบนสุดมีฝาเบียร = 푆 = 1 + 2 + 3 + 4 ฝา … … … … … … ช้ันที่ลางสุดมีเบียร = 푆푛 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 푛

=푛2

(푛 + 1) =12

(푛 + 푛)

ฝาเบียรทั้งหมดจะมี = 푆1 + 푆2 + 푆3 + ⋯ + 푆푛

= 푠 =12

(푛 + 푛) =12

(푛 + 푛)

=12 푛 + 푛

=12 [

푛6

(2푛 + 1)(푛 + 1) +푛2

(푛 + 1)]

=12

푛6

(푛 + 1)[(2푛 + 1) + 3]

=12

푛6

(푛 + 1)[2푛 + 4] =푛6

(푛 + 1)(푛 + 2)

∴ 푛 =푛6

(푛 + 1)(푛 + 2) สูตรที่ตองจดจํา

∴ ฝาเบียรทั้งหมดจะมี =푛

6(푛 + 2)(푛 + 1) 퐴푛푠. (สูตร)

11. ในการเรียงฝาเบียรเปนพีระมิด โดยมีฐานเปนสี่เหลี่ยม

จัสตุรัสใหแถวบนมีฝาเบียรนอยกวาแถวลางที่ติดกัน 1 ฝาเสมอ

และแถวบนสุดมีฝาเบียรดานละ 6 ฝา และแถวลางสุดมีฝาเบียร ดานละ 20ฝา จงหาวา จะมีฝาเบียรทั้งหมดก่ีฝา

12. ฝาเบียรกองหนึ่งเรียงซอนกันเปนรูปพีระมิดฐานสามเหลี่ยม

ดานเทาโดยช้ันลางสุดมีฝาเบียรดานละ 30 ฝา ช้ันถัดข้ึนไปจะมี

ฝาเบียรนอยกวาช้ันลางที่อยูติดกัน 1 ฝาเสมอ

ถาช้ันบนสุดแตละดานมีฝาเบียรดานละ 10 ฝา

จงหาวากองฝาเบียรนี้จะมีฝาเบียรทั้งหมดเทาไร


퐸푥 13 เสากองหนึ่งวางซอนกันเปนช้ันๆสํารวจพบวาจํานวน

เสาในแตละช้ันที่อยูติดกันช้ันลางมีเสามากกวาช้ันบนจํานวน

3 ตนเสมอถาช้ันบนสุดมีเสา 61 ตนและช้ันลางสุดมีเสา

118 ตน จงหาวา เสากองนี้มีก่ีช้ันและมีทั้งหมดก่ีตน วิธีทํา แตละช้ันจะมีจํานวนเสาดังนี้ 61,64,67, … . ,118

∴ จะได 푎 = 61 , 푑 = 3 , 푎 = 118

จาก 푛 = 푎푛 − 푎1

푑+ 1 ∴ 푛 =

118 − 61

3+ 1 = 20

จากสูตร 푆 =푛2

(푎 + 푎 )

∴ 푆 =202

(61 + 118) = 1790 ตน 퐴푛푠.

퐸푥14

นาย ก เดินดวยความเร็ว 5 , 9, 13 , 17 , … ก. ม./ ช. ม. นาย ข เดินดวยความเร็ว 10 , 15, 20 , … . ก. ม./ ช. ม.

ทั้งสองคนเดินทางพรอมกันในทิศทางเดียวกันโดยนาย ก

อยูหนานาย ข 45 ก. ม.

จงหาวา นาย ข จะว่ิงทันนาย ก ตองใชเวลาก่ี ช. ม.

วิธีทํา สมมุติให นาย ข ใชเวลา 푛 ช. ม. วิ่งทันนาย ก

푆ก = 5 + 9 + 13 + ⋯ + 푎

∴ 푆ก =푛2

[2(5) + (푛 − 1)4] = 푛(2푛 + 3)

푆ข = 10 + 15 + 20 + ⋯ + 푎

∴ 푆ข =푛2

[2(10) + (푛 − 1)5] =푛2 (5푛 + 15)

นาย ก อยูหนานาย ข 45 ก. ม. จะทันกันก็ตอเม่ือ

푆ข = 45 + 푆ก

∴ 푛2

(5푛 + 15) = 45 + 푛(2푛 + 3)

∴ 푛2

(5푛 + 15) = 2푛 + 3푛 + 45

5푛 + 15푛 = 4푛 + 6푛 + 90 푛 + 9푛 − 90 = 0 ∴ (푛 − 6)(푛 + 15) = 0 ∴ 푛 = 6 , −15 แต 푛 ∈ 퐼 ∴ 푛 = 6

นาย ข จะวิ่งทันนาย ก ตองใชเวลา 6 ช่ัวโมง 퐴푛푠.

13. เสากองหนึ่งวางซอนกันเปนช้ันๆสํารวจพบวา จํานวนเสาใน

แตละช้ันที่อยูติดกันช้ันลางมีเสามากกวาช้ันบนเปนจํานวน

4 ตนเสมอ ถาช้ันบนสุดมีเสา 35 ตนและช้ันลางสุดมีเสา 195 ตน

จงหาวา เสากองนี้มีก่ีช้ันและมีทั้งหมดก่ีตน

14. นาย ก เดิน ดวยความเร็ว 20,22,24, , … . ก. ม./ ช. ม.

นาย ข เดิน ดวยความเร็ว 1 , 7, 13 , … . ก. ม./ ช. ม.

ถาทั้งสองคนเดินทางพรอมกันในทิศทางเดียวกันโดยที่ นาย ก ตอใหนาย ข อยูขางหนา 27 ก. ม.

จงหาวา นาย ก จะวิ่งทันนาย ข ตองใชเวลาก่ี ช. ม.


เรื่องที่ 3 ลําดับและอนุกรมเรขาคณิต

퐺푒표푚푒푡푟푖푐 푝푟표푔푟푒푠푠푖표푛푠

พิจารณาลําดับตอไปนี้ 5,10,20,40, …

จะเห็นวา แตละพจนเกิดจากการคูณดวย 2 ไปเรื่อยๆ 2 เปนคาที่เอามาคูณ เรียกคานี้วา อัตราสวนรวม " 푟 "

(푐표푚푚표푛 푟푎푡푖표)

ลําดับ ดังกลาวเรียกวา ลําดับเรขาคณิต 퐺. 푃. (퐺푒표푚푒푡푟푖푐 푃푟표푔푟푒푠푠푖표푛푠)

ลักษณะของ 퐺. 푃. ∶ 푎1, 푎 푟, 푎 푟 , … , 푎 푟 ∴ 푎 = 푎 푟 , ∴ 푎 = 푎 푟

∴ 푟 =푎

푎 หรือ 푟 =푎푎

อนุกรมเรขาคณิต 푠 = 푎 + 푎 + 푎 + ⋯ + 푎 푆 = 푎 + (푎 푟) + 푎 푟 + ⋯ + 푎 푟 푟푆 = (푎 푟) + 푎 푟 + ⋯ + 푎 푟 + 푎 푟 푆 − 푟푆 = 푎 − 푎 푟 (1 − 푟)푆 = 푎 (1 − 푟 )

∴ 푆 =푎 (1 − 푟 )

(1 − 푟) , |푟| < 1

∴ 푆 =푎 (푟 − 1)

(푟 − 1) , |푟| > 1

∴ 푆∝ =푎

(1 − 푟)

퐸푥43 ในลําดับเรขาคณิต 8 , 16 , 32 , … จงหา 푎

วิธีทํา จากโจทย 푎1 = 8 , 푟 =푎푛

푎푛−1=

16

8= 2

จากสูตร 푎푛 = 푎1푟푛−1

∴ 푎푛 = (8)2푛−1 = 23 ∙ 2푛−1 = 2푛+2 퐴푛푠

43.1 ในอันดับเรขาคณิต 5 , 10 , 20 , … จงหา 푎 43.2 ในอันดับเรขาคณิต 6 , 18 , 54 , … จงหา 푎 43.3 ในอันดับเรขาคณิต 15 , 75 , 375 , … จงหา 푎


퐸푥44 ในอันดับเรขาคณิตที่มี 푎 = 5 , 푎 = 40 จงหาคา 푟 และ 푎7

วิธีทํา จากสูตร 푟푚−푘 =푎푚

푎푘 ∴ 푟5−2 =

푎5

푎2

∴ 푟 =405 = 8 ∴ 푟 = √8 = 2 퐴푛푠.

จากสูตร 푎푛 = 푎푚푟푛−푚 = 푎2푟푛−2

푎 = 푎 푟 = 5 ∙ 2 = 160 퐴푛푠.

퐸푥45 ถา 5, 푎, 푏, 푐, 80 เรียงเปนอันดับเรขาคณิตแลว

จงหาคา 푟 และ 푎 + 푏 + 푐

วิธีทํา จากโจทยจะไดวา 푎1 = 5 , 푎5 = 80

จากสูตร 푟푚−푘 =푎푚

푎푘 ∴ 푟5−1 =

푎5

푎1

∴ 푟 =805 = 16 ∴ 푟 = ±2 퐴푛푠.

กรณีที่ 푟 = 2 จะไดวา ∴ 푎 = 10 , 푏 = 20, 푐 = 40 ∴ 푎 + 푏 + 푐 = 10 + 20 + 40 = 70 퐴푛푠.

กรณีที่ 푟 = −2 จะไดวา ∴ 푎 = −10 , 푏 = 20, 푐 = −40 ∴ 푎 + 푏 + 푐 = −10 + 20 − 40 = −30 퐴푛푠.

44.1 ในอันดับเรขาคณิตที่มี 푎 = 6 , 푎 = 48 จงหาคา 푟 และ 푎푛

44.2 ในอันดับเรขาคณิตที่มี 푎 = 6 , 푎 = 54 จงหาคา 푟 และ 푎8

45. ถา 32 , 푎, 푏, 푐, 푑, 48 เรียงเปนอันดับเรขาคณิตแลว

จงหาคา 푟 และ 푎 + 푏 + 푐


퐸푥46 จงหาคาของ 푆 จากอนุกรม

2 + 6 + 18 + ⋯ + 푎

วิธีทํา จากสูตร 푟 =푎2

푎1=

6

2 = 3

จากสูตร 푆 =푎 (푟 − 1)

(푟 − 1) , |푟| > 1

∴ 푆 =2(3 − 1)

(3 − 1) = 3 − 1 ,

∴ 푆 = 3 − 1 퐴푛푠.

퐸푥47 จงหาคา 푛 ที่ทําให 3 + 6 + 12 + ⋯ + 푎 = 189

วิธีทํา จากสูตร 푟 =푎푛

푎푛−1

∴ 푟 =푎푎 =

63 = 2

จากโจทย 푎1 = 3 , 푆푛 = 189

จากสูตร 푆푛 =푎1(푟푛 − 1)

푟 − 1

∴ 189 = 3(2 − 1)

2 − 1 ∴ 189 = 3(2 − 1)

∴ 63 = 2 − 1 ∴ 2 = 64 = 2 ∴ 푛 = 6 퐴푛푠.

퐸푥48 จงหาคาของ 푆∝ เม่ือ 푆∝ = 5 +59 +

581 + … …

วิธีทํา จากสูตร 푆∝ = 푎1

1 − 푟

โดยที่ 푎1 = 5 , 푟 =푎3

푎2=

58159

=5

81

9

5=

1

9

∴ 푆∝ = 푎

1 − 푟 =5

1 − 19

=5

9 − 19

=5(9)

8

=458 퐴푛푠.

46. จงหาคาของ 푆 จากอนุกรม

1 + 2 + 4 + ⋯ + 푎

47. จงหาคา 푛 ที่ทําให 1 + 3 + 9 + 27 + ⋯ + 푎 = 364

48.1. จงหาคาของ 푆∝ เม่ือ 푆∝ = 4 +45 +

425 + … …

48.2. จงหาคาของ 푆∝ เม่ือ 푆∝ = 5 −32 +

34 −

38 … …


퐸푥49 ในอันดับเรขาคณิต ถามี 푎 = 2, 푆∝ = 10 จงหาคา 푟


1 − 푟

∴ 10 = 2

1 − 푟 ∴ 5(1 − 푟) = 1

∴ 5 − 5푟 = 1 ∴ 4 = 5푟 ∴ 푟 =45 퐴푛푠.

퐸푥50 ในอันดับเรขาคณิต ถามี 푟 = 2 , 푆 = 1533 จงหาคาของ 푎

วิธีทํา จากสูตร 푆푛 =푎1(푟푛−1)

푟−1

จากโจทย 푛 = 9 , 푆9 = 1533, 푟 = 2 ∵ 푆 = ( ) ∴ 1533 = ( )

∴ 1533 = 푎 (512 − 1)

푎 = = 3

จากสูตร 푎푛 = 푎1푟푛−1

∴ 푎 = 푎 푟 ∴ 푎 = (3)(2 ) = 12 퐴푛푠.

49.1 ในอันดับเรขาคณิต ถามี 푎 = 3, 푆∝ =154

จงหาคา 푟

49.2 ในอันดับเรขาคณิต ถามี 푎 = 10, 푆∝ = 30 จงหาคา 푟

50. ในอันดับเรขาคณิต ถามี 푟 =12 , 푆 = 63

จงหาคาของ 푎8


퐸푥51 ถาเด็ก 3 คนมีเงินอยูคนละ 10,18,30 บาท จงหาวา

จะใหเงินเพิ่มคนละเทาๆกันจะทําใหเงินของเด็ก3 คนเรียงกัน

เปนอันดับเรขาคณิต

วิธีทํา สมมุติใหเงินเด็กทุกคน คนละ 푥 บาท

∴ เด็กแตละคนจะมีเงินดังนี้ 10 + 푥, 18 + 푥, 30 + 푥

เงินของเด็กเรียงเปนอันดับเรขาคณิต ∴ 푟1 = 푟2

∴ 18 + 푥10 + 푥 =

30 + 푥18 + 푥

∴ (18 + 푥) = (10 + 푥)(30 + 푥) 324 + 36푥 + 푥 = 300 + 40푥 + 푥

24 = 4푥 ∴ 푥 = 6 퐴푛푠.

퐸푥52 เม่ือปลอยใหลูกบอลตกลงพื้นแลวกระดอนข้ึนลงจนกวา

จะหยุดพบวา แตละครั้งลูกบอลจะกระดอนข้ึนสูงเพียง 푟 ของ

ความสูงครั้งกอน โดยที่ 0 < 푟 < 1

จงหาวาถาปลอยลูกบอลจากความสูง ℎ เมตร แลวลูกบอล

จะข้ึนลงไดระยะรวมกันทั้งหมดเทาไร

วิธีทํา ระยะที่ไดทั้งหมดหาไดดังนี้ 푆∝ = ℎ + 2ℎ푟 + 2ℎ푟 + 2ℎ푟 + … …. 푆∝ = ℎ + 2ℎ푟[1 + 푟 + 푟 + … … . ]

푆∝ = ℎ + 2ℎ푟1

1 − 푟 เมตร 퐴푛푠.

퐸푥53 สี่เหลี่ยมจตุรัสรูปหนึ่งยาวดานละ 푥 นิ้ว ถาสรางสี่เหลี่ยม

จตุรัสเพิ่มข้ึนเร่ือยๆโดยการตอจุดก่ึงกลางของรูปสี่เหลี่ยมเดิม

จงหาวาผลบวกของสี่เหลี่ยมจตุรัสทั้งหมดที่เกิดจะมีคาเทาไร

วีธีทํา จะหาผลบวกของสี่เหลี่ยมจตุรัสทั้งหมด ไดดังนี้

푆∝ = 푥 +12

(푥 ) +14

(푥 ) +18

(푥 ) + ⋯

푆∝ = 푥 1 +12 +

14 +

18 + ⋯ = 푥

1

1 − 12

푆∝ = 푥 = 2푥 ตารางนิ้ว 퐴푛푠.

51. ถาเด็ก 3 คนมีเงินอยูคนละ 2,26,98 บาท จงหาวาจะใหเงิน

เพิ่มคนละเทาๆกันจะทําใหเงินของเด็ก 3 คนเรียงกันเปน

อันดับเรขาคณิต

52. เม่ือปลอยใหลูกบอลตกลงพื้นแลวกระดอนข้ึนลงจนกวา

จะหยุดพบวา แตละครั้งลูกบอลจะกระดอนข้ึนสูงเพียง 3

4ของ

ความสูงครั้งกอนจงหาวาถาปลอยลูกบอลจากความสูง 200เมตร

แลวลูกบอลจะข้ึนลงไดระยะรวมกันทั้งหมดเทาไร

53. สี่เหลี่ยมจตุรัสรูปหนึ่งยาวดานละ 10นิ้ว ถาสรางสี่เหลี่ยม

จตุรัสเพิ่มข้ึนเรื่อยๆโดยการตอจุดก่ึงกลางของรูปสี่เหลี่ยมเดิม

จงหาวาผลบวกของสี่เหลี่ยมจตุรัสทั้งหมดที่เกิดข้ึนจะมีคาเทาไร


퐸푥54 จงหาคาของ 푥 เม่ือ 1 + (푥 − 1) + (푥 − 1) + (푥 − 1) + ⋯ = 4


1 − 푟

∴ 1

1 − (푥 − 1) = 4 ∴ 1

2 − 푥 = 4

∴ 1 = 8 − 4푥 ∴ 푥 =74 퐴푛푠.

퐸푥55 จงหาคาของ 0. 2̇1̇

วิธีทํา 0. 2̇1̇ = 0.212121 … …

0. 2̇1̇ = 0.21 + 0.0021 + 0.000021 + ⋯

=21

100 + 21

10000 + 21

1000000 + ⋯

=2110 +

2110 +

2110 + ⋯

=21

10 1 +1

10 + 1

10 + ⋯

=2110

1

1 − 110

=2110

10100 − 1 =

2199 퐴푛푠.

퐸푥56 ถา 5 , 푥 , 20 เปนอันดับ 퐴푃. มี 푆 = 푎 และ 5, 푦, 20 เปนอันดับ 퐺푃. มี 푎 = 푏 และ 푦 > 0 จงหา 푎 + 푏

วิธีทํา 5 , 푥 , 20 เปนอันดับ 퐴푃 ∴ 푑 =20 − 5

3 − 1= 7.5

푆 =122

[2(5) + (12 − 1)(7.5)] = 555

5, 푦, 20 เปนอันดับ 퐺푃.

จากสูตร 푟 =푎푎 ∴ 푟 =

푎푎 =

205 = 4

∴ 푟 = 4 ∴ 푟 = ±2

แตคา 푦 > 0 แสดงวา 푟 > 0 ∴ 푟 = 2

จาก 푎 = 푎 푟 ∴ 푎 = (5)(2) = 5(32) = 160

∴ 푎 + 푏 = 555 + 160 = 715 퐴푛푠.

54. จงหาคาของ 푥 เม่ือ 1 + |푥 − 1| + |푥 − 1| + |푥 − 1| + ⋯ = 5

55. จงหาคาของ 0. 4̇3̇

56. ถา 3 , 푥 , 7 เปนอันดับ 퐴푃. มี 푆 = 푎 และ 4, 푦, 16 เปนอันดับ 퐺푃. มี 푎 = 푏 โดยที่ 푦 > 0 จงหา 푎 + 푏


퐸푥57 ใน 퐺푃 มี 푎 = 10 , 푆∝ = −9 จงหา 푎 และ 푆

วิธีทํา จาก 푎2 = 10 ∴ 푎1푟 = 10 … … . . (1)

จาก 푆∝ = −9 ∴ 푎1

1 − 푟= −9

∴ 푎 = −9(1 − 푟)

แทนคา 푎1 ใน (1)จะได − 9(1 − 푟)푟 = 10

−9푟 + 9푟 = 10 ∴ 9푟 − 9푟 − 10 = 0

(3푟 − 5)(3푟 + 2) = 0 ∴ 푟 =53 , −

23

∵ 푟 =53 ใชไมไดเพราะ |푟| ≥ 1 หาคา 푆∝ไมได,

∴ 푟 = −23

แทน 푟 = −2

3 ใน (1) จะได 푎1 −

2

3= 10

∴ 푎 = −15 จาก 푎 = 푎 푟

∴ 푎 = 푎 푟 = (−15) −23 = −

8027 퐴푛푠.

จาก 푆 =푎 (1 − 푟 )

1 − 푟

∴ 푆 =푎 (1 − 푟 )

1 − 푟 =(−15) 1 − − 2

3

1 − − 23

∴ 푆 =(−15) 1 + 32

24353

= −21127 퐴푛푠.

퐸푥58 ถา 푥 − 1 , 푥 + 1 ,2푥 + 5 เปน 퐺푃. จงหาคา 푥

วิธีทํา ∴ (푥 + 1)2 = (푥 − 1)(2푥 + 5) 푥 + 2푥 + 1 = 2푥 + 3푥 − 5 푥 + 푥 − 6 = 0 ∴ (푥 + 3)(푥 − 2) = 0 ∴ 푥 = 2, − 3 퐴푛푠.

57. ใน 퐺푃 มี 푎 = 2 , 푆∝ = 9 จงหา 푎 และ 푆

58. ถา 푥 − 2 , 푥 + 2 ,5푥 − 2 เปน 퐺푃. จงหาคา 푥


퐸푥 59 สามเหลี่ยมดานเทายาวดานละ 푥 นิ้ว ถาสรางรูปสาม เหลี่ยมโดยการตอจุดก่ึงกลางของดานทั้งสามของสามเหลี่ยม รูปเดิมและสรางแบบนี้กับสามเหลี่ยมรูปใหมตอไปเรื่อยๆ จงหาวา พื้นที่ สามเหลี่ยมทุกรูปที่ปรากฎจะมีพื้นที่เทาไร

วิธีทํา ให 푤 = พ. ท.△ ดานเทายาวดานละ 푥 = √3

4 푥2

∴ พ. ท.△ รูปแรก = 푤 =√3

4 푥2

∴ พ. ท.△ รูปที ่2 =1

4พ. ท.△ รูปที ่1 =

1

4푤

∴ พ. ท.△ รูปที ่3 =1

4พ. ท.△ รูปที ่2 =

1

4

2

푤

∴ พ. ท.△ รูปที ่4 =1

4พ. ท.△ รูปที ่3 =

1

4

3

푤

∴ พ. ท.△ รูปที ่푛 =1

4พ. ท.△ รูปที ่푛 − 1 =

1

4

푛

푤

∴ พ. ท.△ ทั้งหมด

= 푤 +14 푤 +

14 푤 + … …

= 푤 1 +14 +

14 +

14 + … …

= 푤1

1 − 14

=43 푤 =

43

√34 푥 =

푥√3

퐴푛푠.

퐸푥60 ถา 푎 =12 จงหาคา 푎 เม่ือกําหนดให

푎푎 + 푎 +

푎푎 + 푎 +

푎푎 + 푎 + ⋯ +

푎푎 + 푎 = 16

วิธีทํา 푎

푎 + 푎 +푎

푎 + 푎 +푎

푎 + 푎 + ⋯ +푎

푎 + 푎 = 16

1

1 + 푎푎

+1

1 + 푎푎

+1

1 + 푎푎

+ ⋯ +1

1 + 푎푎

= 16

11 + 푟 +

11 + 푟 +

11 + 푟 + ⋯ +

11 + 푟 = 16

11 + 푟 8 = 16 ∴

11 + 푟 = 2

∴ 1 = 2 + 2푟 ∴ 푟 = −12

จาก 푎푛 = 푎푚푟푛−푚

∴ 푎 = 푎 푟 =12 (−

12) =

1128 퐴푛푠.

59.1 สามเหลี่ยมดานเทายาวดานละ 6 นิ้ว ถาสรางสามเหลี่ยม

โดยการตอจุดก่ึงกลางของดานทั้งสามของสามเหลี่ยมรูปเดิมและ

สรางแบบนี้กับสามเหลี่ยมรูปใหมตอไปเรื่อยๆไมสิ้นสุด

จงหาวา พื้นที่ สามเหลี่ยมทุกรูปที่ปรากฎจะมีพื้นที่เทาไร









60 . ถา 푎 =12 จงหาคา 푎 เม่ือกําหนดให

푎푎 − 3푎 +

푎푎 − 3푎 +

푎푎 − 3푎 + ⋯ +

푎푎 − 3푎

= 20


เรื่องที่ 4 อันดับและอนุกรมฮารโมนิค

ถา 푎1, 푎2, 푎3, … , 푎푛 เปนอันดับเลขคณิต 퐴푃

แลว 1

푎1,

1

푎2,

1

푎3, … ,

1

푎푛 เปนอันดับฮารโมนิค 퐻푃

퐸푥61 ถา 48,24,16, … เปน 퐻푃 จงหา 푎 และ 푆

วิธีทํา ถา 48,24,16, … เปน 퐻푃 แลวจะไดวา

อันดับ 1

48 ,1

24 ,1

16 , … . เปนอันดับเลขคณิต

โดยมี 푎 =1

48 , 푎 =1

24,

∴ 푑 =1

24 −1

48 = 2 − 1

48 =1

48

จากสูตร 푎푛 = 푎1 + (푛 − 1)푑

∴ 푎 =1

48 + (푛 − 1)1

48 =푛

48

∴ ใน 퐻푃 มี 푎 = 48푛 ∴ 푎 =

484 = 12

∴ ใน 퐻푃 มี 푆 = 푎 + 푎 + 푎 + 푎 ∴ ใน 퐻푃 มี 푆 = 48 + 24 + 16 + 12 = 100 퐴푛푠.

퐸푥62 ในอันดับ ฮารโมนิค มี 푎 = 2 , 푎 = 4 จงหา 푎

วิธีทํา ในอันดับเลขคณิตจะมี 푎1 =1

2, 푎2 =

1

4

∴ 푑 =14 −

12 = −

14

∴ 푎 =12 + (5 − 1)(−

14) = −

12

∴ ในอันดับ ฮารโมนิค มี 푎 = −2 퐴푛푠.

∴ ในอันดับ 퐻푃 มี 푎 + 푎 =67 + −

67 = 0 퐴푛푠.

61. ถา 90,45,30, … เปน 퐻푃 จงหา 푎 และ 푆

62. ในอันดับ ฮารโมนิค มี 푎 = 4 , 푎 = 8 จงหา 푎


퐸푥63 ในอันดับ ฮารโมนิค มี 푎 =6

11 , 푎 =65

จงหา 푎5 + 푎12

วิธีทํา ∴ ในอันดับเลขคณิตจะมี 푎3 =11

6, 푎6 =

5

6

∴ 푑 =푎 − 푎6 − 3 =

56 − 11

63 =

−13

จาก 푎 =116 ∴ 푎 + 2 −

13 =

116

∴ 푎 =116 +

23 =

156 =

52

∴ 푎 =52 + (5 − 1) −

13 =

52 −

43 =

76

∴ 푎 =52 + (12 − 1) −

13 =

52 −

113 = −

76

∴ ในอันดับ ฮารโมนิค มี 푎 =67 , 푎 = −

67 퐴푛푠.

퐸푥64 ใน เดินทางจากเมือง 퐴ไปเมือง 퐵 ระยะทาง 100 กม.

ใชความเร็ว 50 ก. ม. ตอช่ัวโมงและเดินทางตอไปเมือง 퐶

ระยะทาง 200 ก. ม. ใชความเร็ว 40 ก. ม. ตอ ช่ัวโมง และ เดินทางตอไปเมือง 퐷 ระยะทาง 300 ก. มใชความเร็ว 60

ก. ม. ตอ ช่ัวโมง แลวเดินทางกลับมายังเมือง푛 퐴 โดยใชเสน

ทางเดิมแตใชความเร็ว 100 ก. ม. ตอ ช่ัวโมง ตลอดเสนทาง

จงหาวาเขาใชความเร็วเฉลี่ยในการเดินทางทั้งหมดเทาไร

วิธีทํา 퐻. 푀. =∑ 푓푖

푓1푥1

+푓2푥2

+푓3푥3

+ ⋯ +푓푛푥푛

ทํานองเดียวกันจะไดวา 푉เฉลี่ย =ระยะทางทั้งหมด

เวลาทั้งหมด

푉เฉลี่ย = 푆 + 푆 + 푆 + 푆 푡 + 푡 + 푡 + 푡

푉เฉลี่ย = 푆 + 푆 + 푆 + 푆 푠푣 + 푠

푣 + 푠푣 + 푠

푣

푉 เฉลี่ย = 100 + 200 + 300 + 600 10050 + 200

40 + 30060 + 600

100

푉เฉลี่ย = 1200

2 + 5 + 5 + 6 =1200

18 =200

3

푉เฉลี่ย = 66.67 ก. ม. ตอ ช่ัวโมง 퐴푛푠.

จงหา 푎 + 푎 64. ใน เดินทางจากเมือง 퐴 ไปเมือง 퐵 ระยะทาง 300 กม.

ใชความเร็ว 60 ก. ม. ตอ ช่ัวโมง และเดินทางตอไปเมือง 퐶

ระยะทาง100 ก. ม. ใชความเร็ว 50 ก. ม. ตอ ช่ัวโมง และเดินทาง

ไปเมือง 퐷 ระยะทาง 200 ก. ม. ใชความเร็ว 40 ก. ม. ตอ ช่ัวโมง

แลวเดินทางกลับมายังเมือง 퐴 โดยใชเสนทางเดิมแตใชความเร็ว

150 ก. ม. ตอ ช่ัวโมง ตลอดเสนทาง

จงหาวาเขาใชความเร็วเฉลี่ยในการเดินทางทั้งหมดเทาไร

63. ในอันดับ ฮารโมนิค มี 푎 =57 , 푎 =

13


เรื่องที่ 5 ความสัมพันธของตัวกลางชนิดตางๆ

กําหนดให 푎, 푏, 푐 เปนจํานวนเต็ม บวก

1. ถา 푎, 푏, 푐 เปนอันดับเลขคณิตแลวจะไดวา

ตัวกลางเลขคณิต(퐴. 푀)คือ 푏 โดยที่ 푏 =푎 + 푐

2

พิสูจน ถา 푎, 푏, 푐 เปนอันดับเลขคณิตแลว จะไดวา

푏 − 푎 = 푐 − 푏 ∴ 2푏 = 푎 + 푐 ∴ 푏 =

เรียก 푏 วา ตัวกลางเลขคณิต ( 퐴. 푀. )

2. ถา 푎, 푏, 푐 เปนอันดับเรขาคณิตแลวจะไดวา

ตัวกลางเรขาคณิต(퐺. 푀)คือ 푏 โดยที ่ 푏 = √푎푐

พิสูจน ถา 푎, 푏, 푐 เปนอันดับเรขาคณิตแลว จะไดวา 푏푎 =

푐푏 ∴ 푏 = 푎푐 ∴ 푏 = √푎푐

เรียก 푏 วา ตัวกลางเรขาคณิต ( 퐺. 푀. )

3. ถา 푎, 푏, 푐 เปนอันดับฮารโมนิคแลวจะไดวา

ตัวกลางฮารโมนิค(퐻. 푀)คือ 푏 โดยที่ 푏 =2푎푐

푎 + 푐

พิสูจน ถา 푎, 푏, 푐 เปนอันดับฮารโมนิคแลว จะไดวา , , เปนอันดับเลขคณิต ∴ − = −

∴ 1푏 +

1푏 =

1푎 +

1푐 ∴

2푏 =

푎 + 푐푎푐

∴ = ∴ 푏 =

เรียก 푏 วา ตัวกลางฮารโมนิค ( 퐻. 푀. )

4. ในอันดับ 푎, (퐴. 푀), 푏 อันดับ 푎, (퐺. 푀), 푏

และอันดับ 푎, (퐻. 푀), 푏 จะสรุปไดวา

1) 퐴. 푀 > 퐺. 푀 > 퐻. 푀

2) 퐺. 푀 = (퐴. 푀)(퐻. 푀)

สูตร ที่ใชใน อนุกรมแบบแตงเติมผสมผสาน ถา 푎1, 푎2, 푎3, … 푎푛 , เปนอันดับเลขคณิต แลวจะไดวา

1) 푎 − 푎 + 푎 − 푎 + ⋯ + 푎 = −푛푑2 ,

เม่ือ 푛 เปนเลขคู 2) 푎 − 푎 + 푎 − 푎 + ⋯ + 푎 − 푎

= −푑 푆 , เม่ือ 푛 เปนเลขคู

3) 1

푎 .푎+

1푎 .푎

+1

푎 .푎+ ⋯ +

1푎 푎

= (1푎

−1

푎)

4) 1

푎 .푎+

1푎 .푎

+1

푎 .푎+ … … … =

1푑 (

1푎 )

5) 1

푎 .푎 푎 +1

푎 푎 푎 +1

푎 푎 푎 + ⋯ +1

푎 푎 푎

= 1

2푑 (1

푎 푎 −1

푎 푎 )

6) 1

푎 .푎 푎 +1

푎 푎 푎 +1

푎 푎 푎 + ⋯

= 1

2푑 (1

푎 푎 )

7) 1

√푎 + √푎+

1

√푎 + 푎+ ⋯ .

1푎 + 푎

= 푎 − √푎

푑

8) √푛 + 1 − √푛

푛(푛 + 1)=

1√푎

−1

√푏 + 1


퐸푥66 ถา 푎 + 푏, 2푏, 푏 + 푐 เปนอันดับเลขคณิต

แลว 푎, 푏, 푐 เปนอันดับแบบใด

วิธีทํา ถา 푎, 푏, 푐 เปนอันดับเลขคณิตแลว 푏 =푎 + 푐

2

เชนเดียวกัน ถา 푎 + 푏 , 2푏 , 푏 + 푐 เปนอันดับเลขคณิต

แลว จะไดวา 2푏 =(푎 + 푏) + (푏 + 푐)

2

∴ 4푏 = 푎 + 2푏 + 푐 ∴ 2푏 = 푎 + 푐

∴ 2푏 = 푎 + 푐 ∴ 푏 =푎 + 푐

2

∴ 푎, 푏, 푐 เปนอันดับเลขคณิต 퐴푛푠.

퐸푥67 ถา 푎푏, 푏 , 푐 เปนอันดับเลขคณิตแลวจงพิจารณาวา

푏, 푐, 2푏 − 푎 เปนอันอับแบบใด

วิธีทํา ถา 푎, 푏, 푐 เปนอันดับเลขคณิตแลว 푏 =푎 + 푐

2

เชนกัน ถา 푎푏, 푏2, 푐2เปนอันดับเลขคณิตแลว 푏2 =푎푏 + 푐2

2

∴ 2푏 = 푎푏 + 푐 ∴ 푐 = 2푏 − 푎푏 = 푏(2푏 − 푎)

∴ 푐 = 푏(2푏 − 푎)

∴ 푏, 푐, 2푏 − 푎 เปนอันดับฮารโมนิค 퐴푛푠.

퐸푥68 ถา 푥 + 푧 , 푥 − 푧 , 푥 − 2푦 + 푧 เปนอันดับเรขาคณิต

แลว 푥, 푦, 푧 เปนอันดับแบบใด

วิธีทํา ถา 푥 + 푧 , 푥 − 푧 , 푥 − 2푦 + 푧 เปนอันดับเรขาคณิต ∴ (푥 − 푧) = (푥 + 푧)(푥 − 2푦 + 푧) ∴ 푥 − 2푥푧 + 푧 = 푥 − 2푥푦 + 푥푧 + 푥푧 − 2푧푦 + 푧 ∴ 0 = −2푥푦 − 2푧푦 + 4푥푧 ∴ 2푥푦 + 2푧푦 = 4푥푧

∴ (푥 + 푧)푦 = 2푥푧 ∴ 푦 =2푥푧

푥 + 푧

∴ 푥, 푦, 푧 เปนอันดับฮารโมนิค 퐴푛푠.

66. ถา 푥 + 3 , 6 , 푦 + 3 เปนอันดับเลขคณิต

แลว 푥, 3, 푦 เปนอันดับแบบใด

67. ถา 푦, 푧, 2푦 − 푥 เปนอันดับเรขาคณิต

แลวจงพิจารณาวา 푥푦, 푦 , 푧 เปนอันอับแบบใด

68. ถา 푎 + 푐 , 푎 − 푐 , 푎 − 2푏 + 푐 เปนอันดับเรขาคณิตแลว 푎, 푏, 푐 เปนอันดับแบบใด


퐸푥69 ถา 푎, 푏, 푐 เปนอันดับเรขาคณิต และ 푎 = 푏 = 푐 แลว 푥 , 푦 , 푧 เปนอันดับแบบใด

วิธีทํา ถา 푎, 푏, 푐 เปนอันดับเรขาคณิตแลวจะไดวา 푏 = 푎푐 จาก 푏 = 푎푐 ∴ (푏 ) = (푎푐) ∴ 푏 = 푎 푐 ∴ 푏 = 푏 푐 ∴ 푏 = 푐 ∴ (푏 ) = (푐 ) ∴ 푏 = (푐 ) ∴ 푏 = (푏 ) ∴ 푏 = 푏 ∴ 2푥푧 − 푦푧 = 푥푦 ∴ 2푥푧 = 푥푦 + 푦푧

∴ 2푥푧 = 푦(푥 + 푧) ∴ 푦 =2푥푧

푥 + 푧

∴ 푥, 푦, 푧 เปนอันดับฮารโมนิค 퐴푛푠.

퐸푥70 ถา 푎, 푏, 푐 เปนอันดับฮารโมนิค

และ 푎, 푐, 푏 เปนอันดับเรขาคณิต

แลว 푏 , 푎 , 푐 เปนอันดับแบบใด

วิธีทํา ถา 푎, 푏, 푐 เปนอันดับฮารโมนิคแลวจะไดวา

푏 = ∴ 푏(푎 + 푐) = 2푎푐 ∴ 푎푏 + 푏푐 = 2푎푐

จาก 푎, 푐, 푏 เปนอันดับเรขาคณิต ∴ 푐2 = 푎푏 ∴ จาก 푎푏 + 푏푐 = 2푎푐 ∴ 푐 + 푏푐 = 2푎푐

∴ 푐 + 푏 = 2푎 ∴ 푎 =푏 + 푐

2

∴ 푏, 푎, 푐 เปนอันดับเลขคณิต 퐴푛푠.

69. ถา 푏푐, 푐푎, 푎푏 เปนอันดับฮารโมนิค

แลว 푎 , 푏 , 푐 เปนอันดับแบบใด

70. ถา 푎, 푏, 푐 เปนอันดับฮารโมนิค

และ 푏 , 푎 , 푐 เปนอันดับเลขคณิต

แลว 푎, 푐, 푏 เปนอันดับแบบใด


เรื่องที่ 6 อนุกรมแบบแตงเติมผสมผสาน

퐸푥71 จงหาคาของ 5 – 7 + 9 – 11 + … . – 47

วิธีทํา อันดับ 5,7,9, … ,47 เปนอันดับเลขคณิต

푛 =47 − 5

2 + 1 = 22

∴ 5 – 7 + 9 – 11 + … . +45– 47 = (5 – 7) + ( 9 – 11) + … . +(45– 47)

=222

(−2) = −22 퐴푛푠.

퐸푥72 จงหาคา

1

5 ∙ 8 +1

8 ∙ 11 +1

11 ∙ 14 + ⋯ +1

44 ∙ 47

วิธีทํา 1

5 ∙ 8+

1

8 ∙ 11+

1

11 ∙ 14+ ⋯ +

1

44 ∙ 47

=13

15 −

18 +

13

18 −

111 +

13

111 −

114 + ⋯ +

13

144 −

147

=13

15

−18

+18

−1

11 +

111

−1

14 + ⋯ +

144

−1

47

=13

15 −

147 =

13

42235 =

14235 =

7235 퐴푛푠.

퐸푥73 จงหาคา 1

1.3.5 +1

3.5.7 +1

7.8.9 + … ..

วิธีทํา 1

1 ∙ 3 ∙ 5+

1

3 ∙ 5 ∙ 7+

1

7 ∙ 8 ∙ 9+ … ..

=14

11 ∙ 3 −

13 ∙ 5 +

14

13 ∙ 5 −

15 ∙ 7 +

14

15 ∙ 7 −

17 ∙ 9 + … ..

=14

11 ∙ 3 −

13 ∙ 5 +

13 ∙ 5 −

15 ∙ 7 +

15 ∙ 7 … . .

=14

11 ∙ 3 =

112 퐴푛푠.

71. จงหาคาของ 3 – 7 + 11 – 15 + … . +43– 47

72 . จงหาคา 1

2 ∙ 6 +1

6 ∙ 10 +1

10 ∙ 14 + ⋯ +1

42 ∙ 46

73. จงหาคา 15 ∙ 9 ∙ 13 +

19 ∙ 13 ∙ 17 +

113 ∙ 17 ∙ 21

+ … ..


퐸푥74 จงหาคาของ 5 − 9 + 13 − 17 + ⋯ + 45 − 49

วิธีทํา 5,9,13, … ,49 เปนอันดับเลขคณิต

มี 푛 = + 1 = 12

∴ (5 − 9 ) + (13 − 17 ) + ⋯ + (45 − 49 ) = (5 − 9)(5 + 9) + (13 − 17)(13 + 17) + ⋯

+(45 − 49)(45 + 49) = (−4)(5 + 9) + (−4)(13 + 17) + ⋯ … . +(−4)(45 + 49) = (−4)[(5 + 9) + (13 + 17) + ⋯ + (45 + 49)]

= (−4) (5 + 49) = −1296 퐴푛푠.

퐸푥75 จงหาคาของ

1√7 + √11

+1

√11 + √15+

1√15 + √18

+ ⋯ +1

√43 + √47

วิธีทํา

1

√7 + √11+

1√11 + √15

+1

√15 + √18+ ⋯ +

1√43 + √47

=1

√7 + √11√7 − √11√7 − √11

+1

√11 + √15√11 − √15√11 − √15

+

+ ⋯ +1

√43 + √47√43 − √47√43 − √47

=√7 − √11(7 − 11) +

√11 − √15(11 − 15) + ⋯ +

√43 − √47(43 − 47)

=√7 − √11

−4+

√11 − √15−4

+ ⋯ +√43 − √47

−4

= −14 √7 − √11 + √11 − √15 + √15 − √19 + ⋯ + √43 − √47

= −14 √7 − √47

=14 √47 − √7 퐴푛푠.

74. จงหาคาของ 3 − 8 + 13 − 18 + ⋯ + 53 − 58

75. จงหาคาของ

1√2 + √7

+1

√7 + √12+

1√12 + √17

+ ⋯

+1

√52 + √57


∗∗∗∗∗ แบบ 퐴. 퐴. 푃 ใชสูตร 푆 = 푎

퐸푥76 จงหาผลบวก 10 วงเล็บแรกของ (2 ∙ 4), (3 ∙ 7), (4 ∙ 10), …

วิธีทํา เนื่องจาก 2,3,4, … เปนอันดับเลขคณิต มี 푑 = 2 − 1 = 1

จากสูตร 푎 = 푎 + (푛 − 1)푑 ∴ 푎 = 푛 + 1

เนื่องจาก 4,7,10, … เปนอันดับเลขคณิต

มี 푑 = 7 − 4 = 3 ∴ 푎 = 3푛 + 1

ดังนั้น (2 ∙ 4) + (3 ∙ 7) + (4 ∙ 10) + ⋯ จะมี 푎푛 = (푛 + 1)(3푛 + 1) = 3푛2 + 4푛 + 1

จากสูตร 푆 = 푎

푆 = (3푛 + 4푛 + 1)

푆 = 3 푛 + 4 푛 + 1

푆 = 3106 (21)(11) + 4

102 (11) + 10

푆 = 1155 + 220 + 10 = 1385 퐴푛푠.

76. 1. จงหาผลบวก10 วงเล็บแรกของ (2 ∙ 4), (7 ∙ 8), (12 ∙ 12), …

76. 2. จงหาผลบวก12 วงเล็บแรกของ (1 ∙ 3), (5 ∙ 8), (9 ∙ 13), …


การหาผลบวก แบบ A. G. P 퐸푥77 จงหาผลบวก 8 พจนแรกของ

(5 ∙ 2), (8 ∙ 4), (11 ∙ 8), … วิธีทํา เนื่องจาก 5,8,11, … เปนอันดับเลขคณิต มี 푑 = 3

∴ 푎 = 3푛 + 2 ∴ 푎 = 26

เนื่องจาก 2,4,8, …. เปนอันดับเรขาคณิต มี 푟 = 2

จาก 푎푛 = 푎1푟푛−1 ∴ 푎8 = (2)28−1 = 28

ดังนั้นกําหนดให 푆 = (5 ∙ 2) + (8 ∙ 4) + (11 ∙ 8) + … + (26 ∙ 2 ) 푆 = (5 ∙ 2) + (8 ∙ 4) + (11 ∙ 8) + ⋯ + (23 ∙ 2 )

+ (26 ∙ 2 ) … (1)

สมการ(1) × ดวยคา 푟 = 2 ตลอดสมการ

แลวตั้งเยื้องใหคา ตัวหลังตรงกันจะได 2푆 = (5 ∙ 4) + (8 ∙ 8) + ⋯ + (23 ∙ 2 ) + (26 ∙ 2 ) … (2)

สมการที่(2) − สมการที(่1) จะได 푆 − 2푆 = (5 ∙ 2) + [(3 ∙ 4) + (3 ∙ 8) + ⋯ + (3 ∙ 2 )] − (26 ∙ 2 ) −푆 = (5 ∙ 2) + (3 ∙ 4)[1 + 2 + ⋯ + 2 ] − (26 ∙ 2 )

−푆 = (5 ∙ 2) + (3 ∙ 4)[(1)(2 − 1)

2 − 1 ] − (26 ∙ 2 )

−푆 = (5 ∙ 2) + (3 ∙ 4)(2 − 1) − (26 ∙ 2 ) −푆 = (10) + (12)(127) − (26 ∙ 512) −푆 = (10) + (1524) − (13312) = −11778 푆 = 12546 퐴푛푠.

퐸푥78 จงหา 푆∝ = 7 + + + + … …

วิธีทํา จาก 7,11,15,19, … .. เปนอันดับเลขคณิต มี 푑 = 4

และมี 1, , , , …. เปนอันดับเรขาคณิต มี 푟 =

∴ 푆∝ = 7 +113 +

159 +

1927 + … … (1)

∴ (1) ×13, 푆∝ =

73 +

119 +

1527 + … … (2)

∴ (1) − (2), 푆∝ −13

푆∝ = 7 + 43

+49

+4

27+ … …

∴ 23 푆∝ = 7 +

43 1 +

13 +

19 + … …

= 7 +43

1

1 − 13

= 9

∴ 푆∝ = 272 = 13.5 퐴푛푠.

77. จงหาผลบวก 10 พจนแรกของ (2 ∙ 1), (5 ∙ 2), (8 ∙ 4), …

78 . จงหา 푆∝ = 5 + + + + … …


퐸푥79 จงหาผลบวก 10 พจนแรกของ 5,55,555, …

วิธีทํา ให 푆 = 5 + 55 + 555 + ⋯ + 푎

푆 = 5 + 55 + 555 + ⋯ + 5555555555

95 푆 = 9 + 99 + 999 + ⋯ + 9999999999

95 푆 = (10 − 1) + (10 − 1) + (10 − 1) + ⋯

+ (10 − 1)

95 푆 = ( 10 + 10 + 10 + ⋯ + 10 ) − 10

95 푆 =

10(10 − 1)10 − 1 − 10

95 푆 =

109 −

109 − 10 =

109 −

1009

=100(10 − 1)

9

푆 =500(10 − 1)

81 퐴푛푠.

퐸푥80 จงหาผลบวก 10 พจนแรกของอันดับ

0.2,0.22,0.222, … วิธีทํา ให 푆 = 0.2 + 0.22 + 0.222 + ⋯ + 푎

푆 = 0.2 + 0.22 + 0.222 + ⋯ + 0.2222222222

92 푆 = 0.9 + 0.99 + 0.999 + ⋯ + 0.9999999999

92 푆 = (1 −

110) + (1 −

110 ) + (1 −

110 ) + ⋯

+ (1 −1

10 )

92 푆 = 10 −

110 +

110 +

110 + ⋯ +

110

92 푆 = 10 −

110 1 − 1

101 − 1

10= 10 −

110 1 − 1

10 910

92 푆 = 10 −

19 1 −

110 = 10 −

19 +

19 ∙ 10

푆 =209 −

281 +

29 ∙ 10 =

17881 +

29 ∙ 10

푆 =178 ∙ 10 + 18

9 ∙ 10 퐴푛푠.

79. จงหาผลบวก 10 พจนแรกของ 7 + 77 + 777 + ⋯

80. จงหาผลบวก 10 พจนแรกของ

0.5 + 0.55 + 0.555 + ⋯


ลิมิตและการตอเน่ืองของฟงกชัน ( 퐿푖푚푖푡 푎푛푑 푐표푛푡푖푛푢표푢푠 푓푢푛푐푡푖표푛푠 )

ลิมิต หมายถึง ขอบเขต ขีดจํากัดหรือคาที่เขาใกลที่สุด

นิยาม ลิมิตของ 푓(푥) คือ คาที่เกิดจากคาของ 푥 ที่ เขาใกล 푎

จนเกือบจะถึงคา 푎 แต ไมเทากับ 푎 มีคาเทากับ 푙 เพียงคาเดียว เรียก 푙 วาลิมิตของ 푓(푥) เม่ือ 푥 เขาใกล 푎

เขียนเปนสัญลักษณไดดังนี ้ 푙푖푚→

푓(푥) = 푙

นิยาม ลิมิตของ 푓(푥) ทางขวา คือ คาที่เกิดจากคาของ 푥

ที่ 푥 > 푎 เขาใกล 푎 ทางขวาจนเกือบจะถึงคา 푎 แต ไมเทากับ 푎 มีคาเทากับ 푙 เพียงคาเดียว เรียก 푙 วา ลิมิตของ 푓(푥) ทางขวา

เขียนเปนสัญลักษณไดดังนี้ 푙푖푚→

푓(푥) = 푙

นิยาม ลิมิตของ 푓(푥) ทางซาย คือ คาที่เกิดจากคาของ 푥

ที่ 푥 < 푎 เขาใกล 푎 ทางซายจนเกือบจะถึงคา 푎 แต ไมเทากับ 푎 มีคาเทากับ 푙 เพียงคาเดียว เรียก 푙 วา ลิมิตของ 푓(푥) ทางขวา

เขียนเปนสัญลักษณไดดังนี ้ 푙푖푚→

푓(푥) = 푙

นิยาม 푓(푥) จะมีลิมิต ที ่ 푥 = 푎 ก็ตอเม่ือ 푙푖푚

→푓(푥) = 푙푖푚


→푓(푥) = 푙

นิยาม 푓 จะมีความตอเนื่อง ที่จุด 푥 = 푎 ก็ตอเม่ือ 푙푖푚



→푓(푥) = 푓(푎)

นิยาม ถา 푙푖푚푥→푥1

푓(푥) = 퐴 , 푙푖푚푥→푥1

푔(푥) = 퐵

โดยที่ 퐴 ≠ 0 และ 퐵 ≠ 0 และ 푐 เปนคาคงที ่ 1) 푙푖푚

→푐 = 푐

2) 푙푖푚→

푐푓(푥) = 푐 푙푖푚→

푓(푥) = 푐퐴

3) 푙푖푚→

푓(푥) ± 푔(푥)푓(푥) ∙ 푔(푥) =

푙푖푚→

푓(푥) ± 푙푖푚→

푔(푥)

푙푖푚→

푓(푥) ∙ 푙푖푚→

푔(푥)

=퐴 ± 퐵

퐴퐵

4) 푙푖푚→

푓(푥) = 푙푖푚→

푓(푥) = 퐴

5) 푙푖푚→


푓(푥) = √퐴

6) 푙푖푚→

푙표푔 푓(푥) = 푙표푔 푙푖푚→

푓(푥) = 푙표푔퐴

7) 푙푖푚→

푎 ( ) = 푎 →( )

= 푎

퐸푥81 จากรูปกราฟที่กําหนดให จงหา 1) 푙푖푚

→푓(푥)

2) 푙푖푚→

푓(푥)

3) 푙푖푚→

푓(푥)

เฉลย จากรูปกราฟจะไดวา 1) 푙푖푚

→푓(푥) = 3

2) 푙푖푚→

푓(푥) = 4

3) ไมมีคา 푙푖푚→

푓(푥)

เพราะวา 푙푖푚→

푓(푥) ≠ 푙푖푚→

푓(푥)

6

4

2

xx

y=f(x)

y=f(x)

3

2

4


퐸푥82 กําหนดให

푓(푥) = 푥 − 4 , 푥 < 35 , 푥 = 3푥 + 2 , 푥 > 3

จงหาวา 1) 푙푖푚

→푓(푥)

2) 푙푖푚→

푓(푥)

3) 푙푖푚→

푓(푥)

4) 푓(푥) มีความตอเนื่องที่ จุด 푥 = 3

หรือไม เพราะเหตุใด

เฉลย

1) 푙푖푚

→푓(푥) = 푥 − 4

∴ 푓(3) = 3 − 4 = 5 2) 푙푖푚

→푓(푥) = 푥 + 2

∴ 푓(3) = 3 + 2 = 5 3) 푙푖푚

→푓(푥) = 5 ∴ 푓(3) = 5

4) 푓(푥) มีความตอเนื่องที่ 푥 = 3 เพราะวา ∴ 푙푖푚


→푓(푥) = 푓(3) = 5 퐴푛푠.

82.1 กําหนดให 푓(푥) = 푥 − 푥 + 1 , 푥 < 27 , 푥 = 29 − 푥 , 푥 > 2

จงหาวา 1) 푙푖푚→

푓(푥) 2) 푙푖푚→

푓(푥)

3) 푙푖푚→

푓(푥)

4) 푓(푥) มีความตอเนื่องที ่จุด 푥 = 2 หรือไม เพราะเหตุใด

82.2 กําหนดให 푓(푥) = 푥 + 푥 + 5 , 푥 < 18 , 푥 = 18 − 푥 , 푥 > 1


→푓(푥) 2) 푙푖푚

→푓(푥)

3) 푙푖푚→

푓(푥)


82.3 กําหนดให 푓(푥) = 푥 − 푥 − 5 , 푥 < 515 , 푥 = 510 − 푥 , 푥 > 5


→푓(푥) 2) 푙푖푚

→푓(푥)

3) 푙푖푚→

푓(푥)


6

4

2

-2

-4

xx

y=x2-4

f(x)=x+2

3

5


วิธีการหาลิมิต รูปแบบที ่1 푙푖푚

푥→푥1

푓(푥)

푔(푥)=

푓(푥1)

푔(푥1) โดยที่ 푔(푥1) ≠ 0

เม่ือแทนคา 푥 = 푥1 แลว สวนไมเปน 0 หรือ 푔(푥1) ≠ 0 แลวคาที่แทนไดจะเปน คาของลิมิตไดเลย( คําตอบที่ตองการ) 퐸푥83 ให 푓(푥) = จงหาคาของ 푙푖푚

→푓(푥)

วิธีทํา 푙푖푚 푥→5

푓(푥) = 푙푖푚 푥→5

2푥2 − 3푥 + 1

푥 − 3

=2(5) − 3(5) + 1

5 − 3 =50 − 15 + 1

2 =362 = 18 퐴푛푠.

รูปแบบที ่2 푙푖푚→

( )( )

= ( )( )

= โดยที่ 퐴 ≠ 0

จะสามารถสรุปไดวา ไมมีลิมิต เปนคําตอบ

퐸푥84 ถา 푓(푥) =푥 − 푥 + 1

푥 − 1 จงหาคาของ 푙푖푚→

푓(푥)

วิธีทํา 푙푖푚 푥→1

푓(푥) = 푙푖푚 푥→1

푥2 − 푥 + 1

푥 − 1

=(1) − (1) + 1

1 − 1 =10

∴ สรุปไดวา ไมมีลิมิต 퐴푛푠.

รูปแบบที ่3 푙푖푚→

( )( )

= ( )( )

= หรือ ∝∝

หรือ ∝ −∝

จะมีวิธีการหาคาลิมิตได 3 วิธี คือ 1 ) การแยกตัวประกอบของเศษและสวน แลวตัดทอน

ตัวประกอบที่ซ้ํากัน แลวแทนคา 푥 ก็จะไดคาลิมิต 2 ) ทําการ 퐶표푛푗푢푔푎푡푒 เศษสวน แลวตัดทอนตัวประกอบ

ที่ซ้ํากัน แลวแทนคา 푥 ก็จะไดคาลิมิต 3 ) ใชกฎ โลปทาล ( 퐿’ 퐻표푝푖푡푎푙’푠 푅푢푙푒 )

푙푖푚→

( )( )

= 푙푖푚→

( )( )

= ( )( )

= โดยที่ 퐵 ≠ 0

แลว คา 퐴퐵 จะเปนคาของลิมิตที่ตองการ

แตถา 퐵 = 0 หรือแทนคาแลวสวนยังคงเปน 0

ให 퐷푖푓푓 ทั้งเศษและสวน ตอไปเรื่อย ๆ จนกวา แทนคา

แลวสวนจะไมเปน ศูนย ก็จะไดคาลิมิตที่ตองการ

แบบทดสอบความเขาใจ

83.1. ถา 푓(푥) =3푥 − 2푥 + 5


푓(푥)

83.2. ถา 푓(푥) =푥 − 5√푥 − 6

√푥 − 3 จงหาคาของ 푙푖푚

→푓(푥)

84.1. ถา 푓(푥) =푥 + 푥 − 10

푥 − 2 จงหาคาของ 푙푖푚 →

푓(푥)

84.2. ถา 푓(푥) =푥 − 25푥 − 8 จงหาคาของ 푙푖푚

→푓(푥)


퐸푥85 ถา 푓(푥) =푥 − 2푥 − 15푥 − 3푥 − 10

จงหาคาของ 푙푖푚→

푓(푥)

วิธีทํา จาก 푓(푥) =푥2−2푥−15

푥2−3푥−10 ตรวจสอบคา 푓(5)

∴ 푓(5) =5 − 2(5) − 155 − 3(5) − 10 =

00 แสดงวายังไมใชคาลิมิต

∴ 푙푖푚→


푥 − 2푥 − 15푥 − 3푥 − 10

= 푙푖푚→

(푥 − 5)(푥 + 3)(푥 − 5)(푥 + 2)

= 푙푖푚→

(푥 + 3)(푥 + 2) =

(5 + 3)(5 + 2) =

87 퐴푛푠.

퐸푥86 ถา 푓(푥) =푥 − 27

푥 − 2푥 − 3 จงหาคาของ 푙푖푚→

푓(푥)

วิธีทํา จาก 푓(푥) =푥3 − 27

푥2 − 2푥 − 3 ตรวจสอบคา 푓(3)

푓(3) =3 − 27

3 − 2(3) − 3 =00 แสดงวายังไมใชคาลิมิต

∴ 푙푖푚→


푥 − 27푥 − 2푥 − 3

= 푙푖푚→

(푥 − 3)(푥 + 3푥 + 3 )(푥 − 3)(푥 + 1)

= 푙푖푚→

(푥 + 3푥 + 9)(푥 + 1)

=(3 + 3(3) + 9)

(3 + 1) =274 퐴푛푠.

퐸푥87 ถา 푓(푥) =푥 − 25


푓(푥)

วิธีทํา จาก 푓(푥) =푥2−25

푥−5 ตรวจสอบคา 푓(5)

∴ 푓(5) =5 − 25

5 − 5 =00 แสดงวายังไมใชคาลิมิต

∴ 푙푖푚→


푥 − 25푥 − 5

= 푙푖푚→

(푥 − 5)(푥 + 5)(푥 − 5)

= 푙푖푚→

(푥 + 5) = (5 + 5) = 10 퐴푛푠.

85. ถา 푓(푥) =푥 − 4푥 − 21푥 − 2푥 − 35 จงหาคาของ 푙푖푚

→푓(푥)

86. ถา 푓(푥) =푥 + 216

푥 + 3푥 − 18 จงหาคาของ 푙푖푚→

푓(푥)

87. ถา 푓(푥) =푥 − 125푥 − 25 จงหาคาของ 푙푖푚

→푓(푥)


퐸푥88 ถา 푓(푥) =푥 − 5푥 + 7푥 − 2

푥 − 9푥 + 10


푓(푥)

วิธีทํา จาก 푓(푥) =푥3 − 5푥2 + 7푥 − 2

푥3 − 9푥 + 10 ตรวจสอบคา 푓(2)

푓(2) =2 − 5(2) + 7(2) − 2

2 − 9(2) + 10 =00

แสดงวา ยังไมใชคาลิมิต

และยังไดวา (푥 − 2) เปนตัวประกอบของเศษและสวน

เนื่องจากแทนคา 푥 = 2 แลว เศษได 0 และสวนได 0 เชนกัน ดังนั้นเราจะใชหาเฟคเตอรแบบหารสังเคราะหไดดังนี้ ถา (푥 − 2)เปนตัวประกอบของ 푥3 − 5푥2 + 7푥 − 2

จะหาตัวประกอบที่เหลือไดดังนี ้

∴ 푥3 − 5푥2 + 7푥 − 2 = (푥 − 2)(푥2 − 3푥 + 1)

ถา (푥 − 2)เปนตัวประกอบของ 푥3 − 9푥 + 10

จะหาตัวประกอบที่เหลือไดดังนี ้

∴ 푥3 − 9푥 + 10 = (푥 − 2)(푥2 + 2푥 − 5)

∴ 푙푖푚→


푥 − 5푥 + 7푥 − 2푥 − 9푥 + 10

= 푙푖푚→

(푥 − 2)(푥 − 3푥 + 1)(푥 − 2)(푥 + 2푥 − 5)

= 푙푖푚→

(푥 − 3푥 + 1)(푥 + 2푥 − 5)

=(2 − 3(2) + 1)(2 + 2(2) − 5) =

−13 퐴푛푠.

88. ถา 푓(푥) =푥 − 3푥 + 푥 − 3

푥 − 2푥 − 1


푓(푥)


퐸푥89 ถา 푓(푥) =√푥 + 4 − 2

푥 จงหาคาของ 푙푖푚→

푓(푥)

วิธีทํา จาก 푓(푥) = √푥+4−2

푥 ตรวจสอบคา 푓(0)

∴ 푓(0) =√0 + 4 − 2

푥 =00 แสดงวายังไมใชคาลิมิต

∴ 푙푖푚→


√푥 + 4 − 2푥

= 푙푖푚→

√푥 + 4 − 2푥

√푥 + 4 + 2√푥 + 4 + 2

= 푙푖푚→

√푥 + 4 − 2푥 √푥 + 4 + 2

= 푙푖푚→

푥 + 4 − 4푥 √푥 + 4 + 2

= 푙푖푚→

푥 푥 √푥 + 4 + 2

= 푙푖푚→

1 √푥 + 4 + 2

=1

√0 + 4 + 2=

14 퐴푛푠.

퐸푥90 ถา 푓(푥) =√5 − 푥 − 2√2 − 푥 − 1


푓(푥)

วิธีทํา จาก 푓(푥) = √5−푥−2

√2−푥−1 ตรวจสอบคา 푓(1)

∴ 푓(1) =√5 − 1 − 2√2 − 1 − 1

=00 แสดงวายังไมใชคาลิมิต

∴ 푙푖푚→


√5 − 푥 − 2√2 − 푥 − 1

= 푙푖푚→

√5 − 푥 − 2√2 − 푥 − 1

√5 − 푥 + 2√5 − 푥 + 2

√2 − 푥 + 1√2 − 푥 + 1

= 푙푖푚→

√5 − 푥 − 2

√2 − 푥 − 1

√2 − 푥 + 1√5 − 푥 + 2

= 푙푖푚→

(5 − 푥) − 4(2 − 푥) − 1

√2 − 푥 + 1√5 − 푥 + 2

= 푙푖푚→

(1 − 푥)(1 − 푥)

√2 − 푥 + 1√5 − 푥 + 2

= 푙푖푚→

√2 − 푥 + 1√5 − 푥 + 2

=√2 − 1 + 1√5 − 1 + 2

=√1 + 1√4 + 2

=24 =

12 퐴푛푠.

89. ถา 푓(푥) =√푥 + 64 − 8

푥 จงหาคาของ 푙푖푚→

푓(푥)

90. ถา 푓(푥) =√10 − 푥 − 3√26 − 푥 − 5


푓(푥)


퐸푥91 ถา 푓(푥) = √√


푓(푥)

วิธีทํา จาก 푓(푥) = √푥−8

√푥3 −4 ตรวจสอบหาคา 푓(64)

∴ 푓(64) =√64 − 8√64 − 4

=8 − 84 − 4 =

00 ยังไมใชคาลิมิต

∴ 푙푖푚→


√푥 − 8√푥 − 4

= 푙푖푚→

√푥 − 8√푥 − 4

√푥 + 8√푥 + 8

√푥 + 4√푥 + 4√푥 + 4√푥 + 4

= 푙푖푚→

√푥 − 8

√푥 − 4

√푥 + 4√푥 + 4√푥 + 8

= 푙푖푚→

푥 − 64푥 − 64

√푥 + 4√푥 + 4√푥 + 8

= 푙푖푚→

√푥 + 4√푥 + 4√푥 + 8

= √64 + 4√64 + 4

√64 + 8

=16 + 4(4) + 16

8 + 8 =4816 = 3 퐴푛푠.

퐸푥92 จงหาคาของ 푙푖푚→

9 − 6 ∙ 3 + 23 + 2 + 2 ∙ 3

วิธีทํา จาก 푙푖푚푛→∞

9 − 6 ∙ 3푛 + 2푛

3 + 2푛 + 2 ∙ 3푛

= 푙푖푚→

9 − 6 ∙ 3 + 23

3 + 2 + 2 ∙ 33

∗∗∗∗∗∗ ใหเอาพจนที่มีคามากสุดหารทั้งเศษและสวน ∗∗∗∗

= 푙푖푚→

93 − 6 ∙ 3

3 + 23

33 + 2

3 + 2 ∙ 33

∗∗∗∗∗∗ แยกเปนเศษสวนยอย ∗∗∗∗

= 푙푖푚

→

93 − 푙푖푚

→

6 ∙ 33 + 푙푖푚

→

23

푙푖푚→

33 + 푙푖푚

→

23 + 푙푖푚

→

2 ∙ 33

∗∗∗∗∗∗ กระจายลิมิตเขาไปยังทุกพจน ∗∗∗∗

= 0 − 6 푙푖푚

→

33 + 푙푖푚

→

23

0 + 푙푖푚→

23 + 2 푙푖푚

→

33

∗∗ 푙푖푚→

푎 = 0 เม่ือ 0 < |푎| < 1 ซึ่งเปนฟงกชันลด ∗∗

= 0 − 6(1) + 00 + 0 + 2(1) = −3 퐴푛푠.

91. ถา 푓(푥) =√푥 − 1√푥 − 1


푓(푥)

92. จงหาคาของ 푙푖푚→

5 − 6 ∙ 푛 + 8푛2 − 4푛 + 2 ∙ 푛


퐸푥92.1 จงหาคาของ 푙푖푚→

100 − 4 ∙ 5 + 22 + 4 + 2 ∙ 5


100 − 4 ∙ 5푛+2 + 2푛+30

2 + 4푛+40 + 2 ∙ 5푛−1

= 푙푖푚→

0 − 4 ∙ 5 + 00 + 0 + 2 ∙ 5

= 푙푖푚→

−4 ∙ 52 ∙ 5

= 푙푖푚→

−2 ∙ 5( ) ( )

= 푙푖푚→

(−2 ∙ 5 ) = −250 퐴푛푠.


66 − 2 ∙ 5 + 9 ∙ 23 + 5 + 3 ∙ 2


66 − 2 ∙ 5푛+3 + 9 ∙ 23푛+1

3 + 5푛+4 + 3 ∙ 23푛−1

= 푙푖푚→

0 − 0 + 9 ∙ 2 0 + 0 + 3 ∙ 2

= 푙푖푚→

9 ∙ 23 ∙ 2 = 3. 2 = 12 퐴푛푠.


4푛2푛 + 푛 + 1 −

6푛3푛 − 1

วิธีทํา 푙푖푚푛→∞

4푛3

2푛2 + 푛 + 1−

6푛2

3푛 − 1

= 푙푖푚→

4푛 (3푛 − 1) − (6푛 )(2푛 + 푛 + 1)(2푛 + 푛 + 1)(3푛 − 1)

= 푙푖푚→

12푛 − 4푛 − (12푛 + 6푛 + 6푛 )(2푛 + 푛 + 1)(3푛 − 1)

= 푙푖푚→

12푛 − 4푛 − 12푛 − 6푛 − 6푛 )(2푛 + 푛 + 1)(3푛 − 1)

= 푙푖푚→

−10푛 + 6푛(2푛 + 푛 + 1)(3푛 − 1)

= 푙푖푚→

−10푛6푛 =

−106 =

−53 퐴푛푠.

92. 1 จงหาคาของ 푙푖푚→

14 ∙ 3 + 9 ∙ 2 + 52 ∙ 3 + 3 ∙ 2 + 5

93.1. จงหาคาของ

푙푖푚→

4 − √4 ∙ 9 + 9 ∙ 23 + √9 + 25 ∙ 4

93.2. จงหาคาของ

푙푖푚→

4 − √4 ∙ 9 (2 ∙ 3 )(3 − 5)(√9 − 25 ∙ 2 + 5)


2푛푛 + 푛 + 1 −

6푛 − 53푛 − 2


퐸푥95 ถา 푓(푥) = 푥 + 푎푥 + 푏 − 푥 จงหาคาของ 푙푖푚

→∝푓(푥)

วิธีทํา จาก 푓(푥) = 푥2 + 푎푥 + 푏 − 푥 ตรวจสอบคา 푓(∝) ∴ 푓(∝) = ∝ −∝ แสดงวายังไมใชคาลิมิต

∴ 푙푖푚→∝

푓(푥) = 푙푖푚→∝

푥 + 푎푥 + 푏 − 푥

= 푙푖푚→∝

푥 + 푎푥 + 푏 − 푥√푥 + 푎푥 + 푏 + 푥√푥 + 푎푥 + 푏 + 푥

= 푙푖푚→∝

√푥 + 푎푥 + 푏 − 푥√푥 + 푎푥 + 푏 + 푥

= 푙푖푚→∝

(푥 + 푎푥 + 푏) − 푥푥 + 푥

= 푙푖푚→∝

(푎푥 + 푏)2푥

= 푙푖푚→∝

푎푥2푥 = 푙푖푚

→∝

푎2 =

푎2 퐴푛푠.

สรุปวา 푙푖푚푥→∝

푥2 + 푎푥 + 푏 − 푥 =푎

2

และ 푙푖푚푥→∝

(푥 + 푎)(푥 + 푏) − 푥 =푎 + 푏

2

퐸푥96 ถา 푓(푥) = (푥 − 3)(푥 + 7) − 푥

จงหาคาของ 푙푖푚→∝

푓(푥)

วิธีทํา จาก 푓(푥) = (푥 − 3)(푥 + 7) − 푥

ตรวจสอบคา 푓(∝) ∴ 푓(∝) = ∝ −∝ แสดงวายังไมใชคาลิมิต

∴ 푙푖푚→∝

푓(푥) = 푙푖푚→∝

(푥 − 3)(푥 + 7) − 푥

= 푙푖푚→∝

푥 + 4푥 − 21 − 푥√푥 + 4푥 − 21 + 푥√푥 + 4푥 − 21 + 푥

= 푙푖푚→∝

√푥 + 4푥 − 21 − 푥√푥 + 4푥 − 21 + 푥

= 푙푖푚→∝

(푥 + 4푥 − 21) − 푥푥 + 푥

= 푙푖푚→∝

(4푥 − 21)2푥

= 푙푖푚→∝

4푥2푥

= 푙푖푚→∝

42

= 2 퐴푛푠.

95.1 ถา 푓(푥) = 푥 − 10푥 + 2 − 푥 จงแสดงวิธีหาคาของ 푙푖푚

→∝푓(푥)

จงหาคําตอบโดยใชวิธีลัด

95.2 ถา 푓(푥) = 푥 − 10푥 + 2 − 푥 จงหาคาของ 푙푖푚

→∝푓(푥)

96.1. ถา 푓(푥) = (푥 − 5)(푥 − 25) − 푥


푓(푥)

96.2. ถา 푓(푥) = (푥 + 7)(푥 + 23) − 푥


푓(푥)

96.3. ถา 푓(푥) = (푥 − 2)(푥 + 34) − 푥


푓(푥)

96.4. ถา 푓(푥) = (푥 + 9)(푥 − 15) − 푥


푓(푥)



2푥 − 2√26 + 푥 − 3

วิธีทํา 푙푖푚푥→1

2푥 − 2

√26 + 푥3 − 3

= 푙푖푚→

2푥 − 2√26 + 푥 − 3

√26 + 푥 + 3 √26 + 푥 + 3

√26 + 푥 + 3 √26 + 푥 + 3

= 푙푖푚→

(2푥 − 2)

√26 + 푥 − 3√26 + 푥 + 3 √26 + 푥 + 3

= 푙푖푚→

2(푥 − 1)(26 + 푥) − 27

√26 + 푥 + 3 √26 + 푥 + 3

= 푙푖푚→

2(푥 − 1)(푥 − 1) √26 + 푥 + 3 √26 + 푥 + 3

= 푙푖푚→

2 √26 + 푥 + 3 √26 + 푥 + 3

= 2 √26 + 1 + 3 √26 + 1 + 3

= 2[(3) + 3(3) + 3 ] = 54 퐴푛푠.


1푥

1√푥 + 1

− 1

วิธีทํา 푙푖푚푥→0

1

푥

1

√푥 + 1− 1

= 푙푖푚→

1푥

1 − √푥 + 1√푥 + 1

= 푙푖푚→

1푥

1 − √푥 + 1√푥 + 1

1 + √푥 + 11 + √푥 + 1

= 푙푖푚→

1푥

1 − (푥 + 1)√푥 + 1

11 + √푥 + 1

= 푙푖푚→

1푥

−푥√푥 + 1

11 + √푥 + 1

= 푙푖푚→

−1√푥 + 1

11 + √푥 + 1

= √ √

= − 퐴푛푠.


2푥 − 4√6 + 푥 − 2


푥3 − √9 − 푥


ตัวอยาง เร่ือง ความตอเน่ืองของฟงกชัน

퐸푥99. กําหนดให 푓(푥) =2푥 + 7 , 푥 ≤ 2

5푥 + 1 , 2 < 푥 < 4 4푥 + 5 , 푥 ≥ 4

จงหาวา 푓 เปนฟงกช่ันตอเนื่องทุกจุดของ 푥 หรือไม วิธีทํา 푓 เปนฟงกช่ันตอเนื่อง ที่จุด 푥 = 푎 ก็ตอเม่ือ

푙푖푚→


푓(푥) = 푓(푎)

ตรวจสอบที่จุด 푥 = 2

푙푖푚 →


(2푥 + 7) = 2(2) + 7 = 11

푙푖푚 →


(5푥 + 1) = 5(2) + 1 = 11

푓(2) = 2(2) + 7 = 4 + 7 = 11

∴ 푓(푥)เปนฟงกช่ันที่มีความตอเนื่องที่จุด 푥 = 2

เพราะวา 푙푖푚 푥→2−

푓(푥) = 푙푖푚푥→2+

푓(푥) = 푓(2)

ตรวจสอบที่จุด 푥 = 4 จะพบวา 푙푖푚→


(5푥 + 1) = 5(4) + 1 = 21

푙푖푚→


(4푥 + 5) = 4(4) + 5 = 21

푓(4) = 4(4) + 5 = 16 + 5 = 21

∴ 푓(푥)เปนฟงกช่ันที่มีความตอเนื่องที่จุด 푥 = 4

เพราะวา 푙푖푚→


푓(푥) = 푓(4)

∴ 푓 เปนฟงกช่ันตอเนื่องทุกจุดของ 푥 퐴푛푠.

퐸푥100. กําหนดให 푓(푥) =

2푥 + 12푥 − 1 , 푥 < 0

퐴푥 + 퐵 , 0 ≤ 푥 < 2 푥 − 4푥 , 푥 ≥ 2

푓 เปนฟงกช่ันตอเนื่องทุกจุดของ 푥 จงหาคาของ 푓(2퐴 − 퐵)

วิธีทํา ถา 푓(푥) มีความตอเนื่องที่จุด 푥 = 0 แสดงวา

푙푖푚→


푓(푥) = 푓(0)

푙푖푚→

2푥 + 12푥 − 1 = 푙푖푚

→(퐴푥 + 퐵)

∴ 2(0) + 12(0) − 1 = 퐴(0) + 퐵 ∴ − 1 = 퐵

ถา 푓(푥) มีความตอเนื่องที่จุด 푥 = 2 แสดงวา

푙푖푚→


푓(푥) = 푓(2)

푙푖푚→

(퐴푥 + 퐵) = 푙푖푚→

(푥 − 4푥)

∴ 퐴(2) + (−1) = 2 − 4(2)

∴ 2 퐴 − 1 = −4 ∴ 퐴 = −32 = −1.5

∴ 2퐴 − 퐵 = 2(−1.5) − (−1) = −2

∴ 푓(2퐴 − 퐵) = 푓(−2) =2(−2) + 12(−2) − 1

=−3−5

=35

퐴푛푠.

99. กําหนดให 푓(푥) =3푥 + 10 , 푥 < −3푥 − 8 , − 3 ≤ 푥 ≤ 2 푥 − 푥 − 9 , 푥 > 2

จงหาวา 푓 เปนฟงกช่ันตอเนื่องทุกจุดของ 푥 หรือไม

100. กําหนดให 푓(푥) =3푥 − 푥 + 1 , 푥 < −2푥 − 8푥 + 퐴 , −2 ≤ 푥 < 2 푥 + 퐵 , 푥 ≥ 2

และ 푓 เปนฟงกช่ันตอเนื่องทุกจุดของ 푥

จงหาคาของ 푓( 퐴 + 퐵)


퐸푥101. กําหนดให

푓(푥) =

⎩⎪⎨

⎪⎧ 푥 + 4푥 + 9푥 + 10

푥 + 2 , 푥 < −2

퐴푥 + 퐵 , − 2 ≤ 푥 < 4 푥 − 5푥 + 9푥 − 20

푥 − 4 , 푥 ≥ 4

푓 เปนฟงกช่ันตอเนื่องทุกจุดของ 푥 จงหาคาของ 푓(3퐴 − 퐵)

วิธีทํา ถา 푓(푥) มีความตอเนื่องที่จุด 푥 = −2 แสดงวา

푙푖푚→( )

푓(푥) = 푙푖푚→( )

푓(푥) = 푓(−2)

푙푖푚 →( )

푥 + 4푥 + 9푥 + 10푥 + 2

= 푙푖푚 →( )

(퐴푥 + 퐵)

푙푖푚 →( )

(푥 + 2)(푥 + 2푥 + 5)(푥 + 2)

= 푙푖푚 →( )

(퐴푥 + 퐵)

푙푖푚 →( )

(푥 + 2푥 + 5) = 푙푖푚 →( )

(퐴푥 + 퐵)

∴ (−2) + 2(−2) + 5 = 퐴(−2) + 퐵

∴ 5 = 퐵 − 2퐴 ∴ 퐵 − 2퐴 = 5 … … … (1)

ถา 푓(푥) มีความตอเนือ่งที่จุด 푥 = 4 แสดงวา

푙푖푚→


푓(푥) = 푓(4)

푙푖푚→


푥 − 5푥 + 9푥 − 20푥 − 4

푙푖푚→


(푥 − 4)(푥 − 푥 + 5)(푥 − 4)

푙푖푚→


(푥 − 푥 + 5)

퐴(4) + 퐵 = 4 − 4 + 5 = 17

∴ 4퐴 + 퐵 = 17 … … … (2)

จาก 퐵 − 2퐴 = 5 … … … (1)

∴ (2) − (1), จะได (4퐴 + 퐵) − (퐵 − 2퐴) = 17 − 5

∴ 6퐴 = 12 ∴ 퐴 = 2

แทน 퐴 ใน(1) จะได 퐵 − 2(2) = 5 ∴ 퐵 = 9

∴ 푓(3퐴 − 퐵) = 푓(6 − 9) = 푓(−3)

∴ 푓(3퐴 − 퐵) = 푓(−3) =(−3) + 4(−3) + 9(−3) + 10

(−3) + 2

∴ 푓(3퐴 − 퐵) = 푓(−3) =−27 + 36 − 27 + 10

−1= 8 퐴푛푠.

101. กําหนดให 푓(푥) =

⎩⎪⎨

⎪⎧ 푥 − 1

푥 − 1 , 푥 < −1퐴푥 + 퐵 , − 1 ≤ 푥 < 2 푥 − 8푥 − 2 , 푥 ≥ 2

푓 เปนฟงกช่ันตอเนื่องทุกจุดของ 푥 จงหาคาของ 푓(퐴 + 퐵)


101.1. จงพิจารณาวา 푓(푥) = 2푥 + 7 , 푥 ≤ 25푥 + 1 , 푥 > 2

เปนฟงกชันตอเนื่องที่จุด 푥 = 2 หรือไมเพราะอะไร

101.2. จงพิจารณาวา 푓(푥) =√ , 푥 < 1

2푥 − 푥 − , 푥 ≥ 1

เปนฟงกชันตอเนื่องที่จุด 푥 = 1 หรือไมเพราะอะไร

101.3. จงพิจารณาวา 푓(푥) =| | , 푥 < −1

3푥 + 2 , 푥 ≥ −1

เปนฟงกชันตอเนื่องที่จุด 푥 = −1 หรือไมเพราะอะไร

101.4. กําหนดให 푓(푥) = , 푥 < 3

, 푥 ≥ 3

เปนฟงกชันตอเนื่องที่จุด 푥 = 3 จงหาคา 퐴

101.5. กําหนดให 푓(푥) =3푥 + 퐴 , 푥 > 1 4 , 푥 = 1

퐵푥 − 3 , 푥 < 1

เปนฟงกชันตอเนื่องที่จุด 푥 = 1 จงหาคา 푓(퐴 + 퐵)

101.6. กําหนดให 푓(푥) =2푥 + 퐴 , 푥 > 2 5 , 푥 = 2

3푥 + 퐵 , 푥 < 2



101.7. กําหนดให 푓(푥) = 푥 + 퐴 , 푥 > 3 17 , 푥 = 3 푥 + 퐵 , 푥 < 3


101.8. กําหนดให 푓(푥) = |푥 − 3| + 2 , 푥 > −3

퐴 , 푥 = −3 2푥 + 퐵 , 푥 < −3

เปนฟงกชันตอเนื่องที่จุด 푥 = −3 จงหาคา 푓(퐴 + 퐵)

101.9. ให 푓(푥) =

⎩⎨

⎧(푥 − 4) √푥 + 2 퐴√푥 − 2

, 푥 > 4

16 , 푥 = 4 푥 − 퐵 , 푥 < 4

เปนฟงกชันตอเนื่องที่จุด 푥 = 4 จงหาคา 푓(퐴 +퐵

16)


การเปน 퐶표푛푣푒푟푔푒푛푡 หรือ 퐷푖푣푒푟푔푒푛푡 ของอันดับ มีหลักเกณฑในการพิจารณามีดังนี้ 1. อันดับใดๆที่หาคาของ 푎 ได หรือ 푙푖푚

→푎 = 푙 โดยที่ 푙 ∈ 푅 แลวเรียกอันดับเหลานี้

วา อันดับลูเขา ( 퐶표푛푣푒푟푔푒푛푡 푆푒푞푢푒푛푐푒)

2. อันดับใดๆที่หาคาของ 푎 ไมได หรือ 푙푖푚

→푎 → 훼 แลว จะเรียกอันดับเหลานี้

วา เปน อันดับลูออก ( 퐷푖푣푒푟푔푒푛푡 푆푒푞푢푒푛푐푒)

퐸푥102 จงหาวาอันดับอนันตที่มี

푎 = 10 − 2 ∙ 5 + 22 + 4 + 8 ∙ 5

เปนอันดับ Con. หรือ Di.


푎푛 = 푙푖푚푛→∞

10 − 2 ∙ 5푛 + 2푛+20

2 + 4푛+30 + 8 ∙ 5푛−1

= 푙푖푚→

0 − 2 ∙ 5 + 00 + 0 + 8 ∙ 5

= 푙푖푚→

−2 ∙ 58 ∙ 5

= 푙푖푚→

−5 ( )

4

= −54

แสดงวา อันดับอนันตนี้เปนอันดับ 퐶표푛.

เพราะวาหาคาของ 푙푖푚→

푎 ได Ans.

จงพิจารณาวาอันดับอนันตตอไปนี้เปนอันดับลูเขาหรือลูออก

102.1. 푎 = ∙∙

ตอบ………..

102.2 푎 = ∙∙

ตอบ………..

102. 3 푎 = (푛 − 30)(푛 − 8) − 푛 ตอบ………..

102.4. 푎 = 2푛 − 5 ตอบ………..

102.5. 푎 = ตอบ………..

102.6. 푎 = ตอบ………..

102.7. 푎 = ตอบ………..

102.8. 푎 = 7 ตอบ………..

102.9. 푎 = 3 ตอบ………..

102.10. 푎 = 5 ตอบ………..


อันดับท่ีเปน 퐶표푛. หรือ 퐷푖푣푒푟푔푒푛푡 โดยพ้ืนฐาน 1) มีดังนี้อันดับ คงที่เปน อันดับ 퐶표푛푣푒푟푔푒푛푡

퐸푥103.1 อันดับ 5,5,5,5, … เปนอันดับ 퐶표푛. หรือ 퐷푖.

ตอบ เปนอันดับ 퐶표푛. เพราะเปนอันดับคาคงที่สามารถหาคา 푙푖푚

→∝푎 = 5

2) อันดับเลขคณิต ยกเวน 푑 = 0 เปนอันดับ 퐷푖.

퐸푥103.2 อันดับ 2,5,8,11, … เปนอันดับ 퐶표푛. หรือ 퐷푖.

ตอบ เปนอันดับ 퐷푖. เพราะเปนอันดับเลขคณิต ไมมีคา 푙푖푚

→∝푎 หรือ 푙푖푚

→∝푎 =∝

3) อันดับฮารโมนิคทุกอันดับ เปน อันดับ 퐶표푛.

퐸푥103.3 อันดับ 37 ,

310 ,

313 , … เปนอันดับ 퐶표푛. หรือ 퐷푖.

ตอบ เปนอันดับ 퐶표푛. เพราะเปนอันดับฮารโมนิค

หาคา ลิมิตไดดังนี้ 푙푖푚 →∝

푎 = 푙푖푚 →∝

33푛 + 4 = 0

4) อันดับเรขาคณิต ที่มี |푟| ≤ 1 เปนอันดับ 퐶표푛.


34 ,

38 , … มี 푟 =

12 เปนอันดับ 퐶표푛.

5) อันดับเรขาคณิตที่มี |푟| > 1 เปน อันดับ 퐷푖.


94 ,

278 , … มี 푟 =

32 เปนอันดับ 퐷푖.

จงพิจารณาวาอันดับอนันตตอไปนี้เปนอันดับลูเขาหรือลูออก 103.1. 3,5,7,9, … ตอบ………..

103.2. 20,18,16,14, … ตอบ………..

103.3. 20,20,20,20, … ตอบ………..

103.4. , , , … ตอบ………..

103.5. , , , … ตอบ………..

103.6. , , , … ตอบ………..

103.7. 10 , 10 , 10 , 10 , … b ตอบ………..

103.8. (푠푖푛35°) , (푠푖푛35°) (푠푖푛35°) , …

ตอบ………..

103.9. (푠푖푛65°) , (푠푖푛65°) (푠푖푛65°) , …

ตอบ………..

103.10. (푐표푠15°) , (푐표푠15°) (푐표푠15°) , …

ตอบ………..

103.11. (푐표푠75°) , (푐표푠75°) (푐표푠75°) , …

ตอบ………..

103.12. (푡푎푛25°) , (푡푎푛25°) (푡푎푛25°) , …

ตอบ………..

103.13. (푙표푔 2) , (푙표푔 2) , (푙표푔 2) , …

ตอบ………..

103.14. (푙표푔 7) , (푙표푔 7) , (푙표푔 7) , …

ตอบ………..

103.15. , , , …

ตอบ………..


การเปน 퐶표푛. หรือ 퐷푖. ของ อนุกรม มีหลักเกณฑในการพิจารณามีดังนี้ 1. อนุกรมที่หาคาของ 푆 ได หรือคาของ 푙푖푚

→푆 = 푙 โดยที่ 푙 ∈ 푅

แลวเรียก อนุกรมนี้ วา อนุกรมลูเขา ( 퐶표푛. )

2. อนุกรมใดๆที่หาคาของ 푆 ไมได หรือ 푙푖푚→

푆 = 훼

แลวอนุกรมนี้จะเปนอนุกรมลูออก 퐷푖.

3. อนุกรม 퐶표푛. ทุกอนุกรมจะมี 푙푖푚→

푎 = 0 เสมอ

∴ อนุกรมที่มี 푙푖푚푛→훼

푎푛 ≠ 0 แลวอนุกรมนี้จะเปน 퐷푖.

แตมีอนุกรม 퐷푖. บางอนุกรมมี 푙푖푚→

푎 = 0

เชน อนุกรมฮารโมนิค

퐸푥 104.1 จงพิจารณาวาอนุกรมอนันตที่มี 푆 =3 + 2

3

เปนอนุกรม 퐷푖. หรือ 퐶표푛.

วิธทีํา 푙푖푚푛→∝

푆푛 = 푙푖푚푛→∝

3푛+2 + 2

3푛 = 9

อนุกรมอนันตที่มี 푆 =3 + 2

3 เปนอนุกรม 퐶표푛. 퐴푛푠.

퐸푥104.2 จงพิจารณาวาอนุกรม 10푛 − 32푛 + 1

∝

เปนอนุกรม 퐷푖. หรือ 퐶표푛.

วิธีทํา อนุกรมนี้มี 푎푛 =10푛 − 3

2푛 + 1

ถาเราหาไดวา 푙푖푚→∝

푎 ≠ 0 จะสรุปไดวาเปน 퐷푖.

∴ 푙푖푚→∝

푎 = 푙푖푚→∝

10푛 − 32푛 + 1 = 5

อนุกรมอนันตนี้เปนอนุกรม 퐷푖 . 퐴푛푠

∵ อนุกรม 퐶표푛. ทุกอนุกรมจะมี 푙푖푚푛→훼

푎푛 = 0 เสมอ

จงพิจารณาวาอนุกรมอนันตตอไปนี้เปนแบบลูเขาหรือลูออก

104.1. 푆 =

ตอบ………………………………………………………..

เพราะ … … … … … … … … … … … … … … … ..

104.2. 푆 = (푛 − 3)(푛 + 7) − 푛 ตอบ………………………………………………………..

เพราะ … … … … … … … … … … … … … … … ..

104.3. 푆 = ..

ตอบ………………………………………………………..

เพราะ … … … … … … … … … … … … … … … ..

104.4 อนุกรม 10푛 − 32푛 + 1

∝

ตอบ………………………………………………………..

เพราะ … … … … … … … … … … … … … … … ..


4. อนุกรมที่เปน 퐶표푛. หรือ 퐷푖. แนนอนแลว มีดังนี้ 1) อนุกรมเลขคณิตทุกอนุกรม เปน อนุกรม 퐶표푛.

2) อนุกรมฮารโมนิคทุกอนุกรม เปน อนุกรม 퐷푖.

3) อนุกรมเรขาคณิตที่ |푟| < 1 เปน อนุกรม 퐶표푛.

4) อนุกรมเรขาคณิตที่ |푟| ≥ 1 เปน อนุกรม 퐷푖.

5) สหอนุกรม 퐴퐺푃 ที่มี |푟| < 1 เปน อนุกรม 퐶표푛.

6) สหอนุกรม 퐴퐺푃 ที่มี |푟| ≥ 1 เปน อนุกรม 퐷푖.

7) อนุกรม 1

1 +1

2 +1

3 +1

4 + ⋯

เรียก อนุกรมนี้วา อนุกรม 푃 − 푠푒푟푖푒푠

푝 − 푠푒푟푖푒푠 จะเปน 퐶표푛. ก็ตอเม่ือมี 푝 > 1

퐸푥105.1. จงพิจารณาวา 35 +

38 +

311 + ⋯

เปนอนุกรม 퐶표푛. หรือ 퐷푖.

ตอบ เปน 퐷푖. เพราะเปนอนุกรมฮารโมนิค


259 +

12527 + ⋯

เปนอนุกรม 퐶표. หรือ 퐷푖.

วิธีคิด เปนอนุกรมเรขาคณิต 푟 = = ∙ =

ตอบ เปน 퐷푖. เปนเรขาคณิต มี |푟| ≥ 1


79 +

727 + ⋯


วิธีคิด เปนอนุกรมเรขาคณิต มี 푟 = = ∙ =

ตอบ เปน 퐶표푛. เพราะเปนเรขาคณิตมี |푟| < 1


105.1. + + + ⋯

ตอบ……………..เพราะ … … … … … … … … … … … ..

105.2. + + + ⋯

ตอบ……………..เพราะ … … … … … … … … … … … ..

105.3. + + + + ⋯

ตอบ……………..เพราะ … … … … … … … … … … … ..

105.4. + + + + ⋯

ตอบ……………..เพราะ … … … … … … … … … … … ..

105.5. √

+√

+√

+√

+ ⋯

ตอบ……………..เพราะ … … … … … … … … … … … ..

105.6. + + + + ⋯

ตอบ……………..เพราะ … … … … … … … … … … … ..



109 +

1527 + ⋯


วิธีคิด เปนอนุกรม 퐴퐺푃 มี 푑 = 5, 푟 =1

3

ตอบ เปน 퐶표푛. เพราะเปนเรขาคณิตมี |푟| < 1 퐸푥105.5. จงพิจารณาวา

1 +1

√2+

1√3

+1

√4+ ⋯


วิธีคิด อนุกรมนี้เปนอนุกรมแบบ 푃 − 푠푒푟푖푒푠 คือ

1

1+

1

2+

1

3+

1

4+ ⋯ มี 푃 =

13

∴ อนุกรมนี้เปนอนุกรม 퐷푖. เพราะ 푃 ≤ 1 퐴푛푠.

퐸푥105.6. จงพิจารณาวา 1 +12 +

13 +

14 + ⋯


วิธีคิด อนุกรมนี้เปนอนุกรมแบบ 푃 − 푠푒푟푖푒푠 ที่ 푃 = 2 ∴ อนุกรมนี้เปนอนุกรม 퐶표푛. เพราะ 푃 > 1 퐴푛푠.

퐸푥105.7 จงพิจารณา 푛

푛 + 1

∝

วาเปนอนุกรม 퐶표푛푣푒푟푔푒푛푡 หรือ 퐷푖푣푒푟푔푒푛푡

วิธีทํา อนุกรมนี้มี 푎푛 =푛

푛 + 1

∴ 푙푖푚→

푎 = 푙푖푚→

푛푛 + 1 = 1

푙푖푚→

푎 ≠ 0 ∴ อนุกรมนี้เปน 퐷푖푣푒푟푔푒푛푡 퐴푛푠.


105.7. 0.7 + 0.77 + 0.777 + ⋯

ตอบ……………..เพราะ … … … … … … … … … … … ..

105.8. √

+√

+√

+ ⋯

ตอบ……………..เพราะ … … … … … … … … … … … ..

105.9. √

+√

+√

+ ⋯

ตอบ……………..เพราะ … … … … … … … … … … … ..

105.10. + + + + ⋯

ตอบ……………..เพราะ … … … … … … … … … … … ..

105.11. √

+√

+√

+√

+ ⋯

ตอบ……………..เพราะ … … … … … … … … … … … ..

105.12. .

+.

+.

+.

+ ⋯

ตอบ……………..เพราะ … … … … … … … … … … … ..


5. ถาอนุกรม 푎∝

และอนุกรม 푏∝

มี 푎 > 푏

ถา อนุกรม 푏∝

เปน 퐷푖푣푒푟푔푒푛푡

แลวจะไดวาอนุกรม 푏∝

เปน 퐷푖푣푒푟푔푒푛푡 ดวยเสมอ

6. ถาอนุกรม 푎∝

และอนุกรม 푏∝

มี 푎 < 푏

ถา อนุกรม 푏∝

เปน 퐶표푛푣푒푟푔푒푛푡

แลวจะไดวาอนุกรม 푏∝

เปน 퐶표푛푣푒푟푔푒푛푡 ดวยเสมอ

퐸푥106 จงพิจารณา

19 +

17 + 2 +

17 + 2 +

17 + 2 + ⋯


วิธีทํา อนุกรมนี้มี 푎푛 =1

7 + 2푛 ถา 푏푛 =1

2푛

∴1

2 ∝

เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี |푟| < 1 เปน 퐶표푛.

เนื่องจาก 1

7 + 2푛 <1

2푛 ∴ 푎푛 < 푏푛

∵ 푏 เปน 퐶표푛.∝

∴ 푎 เปน 퐶표푛.∝

ดวย เพราะวา

อนุกรมที่มีคานอยกวาอนุกรม퐶표푛. ตองเปน 퐶표푛. ดวย퐴푛푠.

106.1. จงพิจารณา 3푛

푛 + 푛 + 1

∝

วาเปนอนุกรม 퐶표푛푣푒푟푔푒푛푡 หรือ 퐷푖푣푒푟푔푒푛푡 106.2. จงพิจารณา

110 +

17 + 3 +

17 + 3 +

17 + 3 + ⋯



퐸푥107 จงพิจารณาวา 1

2푛 ∝




2푛 ∝

=18

1푛

∝


1푛 เปน 푃 − 푠푒푟푖푒푠 ที่ 푃 = 3

∝

ดังนั้น 18

1푛 เปนอนุกรม 퐶표푛푣푒푟푔푒푛푡

∝

เพราะเปนอนุกรมแบบ 푃 − 푠푒푟푖푒푠 ที่ 푃 > 1 퐴푛푠.

퐸푥108 จงพิจารณาวา 푛 + 1

푛 ∝


วิธีทํา เนื่องจาก 푛 + 1

푛2

∝

푛=1

=1

푛+

1

푛2

∝

푛=1

จะเห็นวา1

푛+

1

푛2 >1

푛

∝

푛=1

เพราะวา 1

푛2 > 0

∝

푛=1

เนื่องจาก1

푛

∝

푛=1

เปนอนุกรม 퐷푖푣푒푟푔푒푛푡 เพราะเปนฮโมนิค

∴ 푛 + 1

푛 เปนอนุกรม 퐷푖푣푒푟푔푒푛푡 ∝

เพราะมีคามากกวาอนุกรม 퐷푖. ตองเปน 퐷푖. ดวย 퐴푛푠.

107. จงพิจารณาวา 1

2푛 − 3 ∝


108. จงพิจารณาวา 푛 + 7

2푛 ∝



퐸푥109 จงพิจารณาวา 1

푛 + 3 ∝




푛2 เปน 푃 − 푠푒푟푖푒푠 ที่ 푃 = 2

∝

푛=1

1

푛 เปนอนุกรม퐶표푛푣푒푟푔푒푛푡เพราะมี 푃 > 1 ∝

1

푛 + 3 ∝

<1

푛 ∝

∴1

푛 + 3 เปนอนุกรม퐶표푛푣푒푟푔푒푛푡 ดวย 퐴푛푠.∝

109. จงพิจารณาวา 푛

푛 + 2 ∝


Education

ชุดที่ 1 59-ลำดับและอนุกรม-p1-p48-blog