Геометрія

9 клас

Правильні многокутники. Побудова

правильних многокутників.

3

6 10 7

12 5 8

4

Правильним називається опуклий многокутник, в якого всі кути рівні і всі

сторони рівні.

Многокутник називається

вписаним у коло, якщо всі його

вершини лежать на деякому колі.

Це коло називається описаним навколо

многокутника.

А

Е

D

С

В

Многокутник називається описаним навколо кола, якщо всі його сторони дотикаються до деякого кола.

Це коло називається вписаним у многокутник.

А

D

С

В

Е

Теорема 1. Правильний опуклий многокутник є вписаним у коло і описаним навколо кола.

Нехай А і В – дві сусідні вершини многокутника. З вершин А і В проведемо Бісектриси кутів многокутника. Нехай О –точка їх перетину. Трикутник АОВ рівнобедрений з основою АВ і кутами при основі /2, де -кут многокутника.

Доведення:

Сполучимо точку О із сусідньою з В вершиною С. ∆АВО=∆СВО за першою ознакою рівності трикутників (ОВ - спільна; АВ=ВС, як сторони многокутника; кути при вершині В дорівнюють /2. З цього випливає, що ∆ОВС -рівнобедрений з кутом при вершині С=/2, тобто

СО – бісектриса кута С. Тепер сполучаємо точку О із сусідньою з С вершиною D і доводимо, що

∆СОD - рівнобедрений і

DО – бісектриса кута D

многокутника. І так далі.

У результаті дістанемо, що кожний трикутник, у якого однією стороною

є сторона многокутника, а протилежною вершиною – точка О,

рівнобедрений. Усі ці трикутники мають рівні бічні сторони і рівні

висоти, опущені на їх основи. Звідси випливає, що всі вершини

многокутника лежать на колі з центром О і радіусом, що дорівнює

бічним сторонам трикутників, а всі сторони многокутника дотикаються

до кола з центром О і радіусом, що дорівнює висотам трикутників,

опущеним з вершини О.

Теорему доведено.

Вписане і описане кола правильного многокутника мають один і той самий центр,

який називають центром многокутника.

Кут, під яким видно сторону правильного многокутника з його центра, називається

центральним кутом многокутника.

Теорема 2: Сторона правильного шестикутника, вписаного в коло, дорівнює

радіусу цього кола.

Оскільки всі сторони вписаного шестикутника рівні, то рівні і стягувані ними дуги, і відповідні їм центральні кути. Сума всіх шести центральних кутів (при їх спільній вершині О) дорівнює 360º, тому кожен з них дорівнює 360º:6=60º. ∆ОА1А2 –

рівнобедрений, бо ОА1=ОА2, як радіуси кола. Якщо ж кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 60º, то цей трикутник рівносторонній,

А2А1=ОА1.

Теорема доведена.

Доведення:

Побудова правильного трикутника.

Виконується за побудовою трикутника за трьома сторонами – треба сполучити дві довільні точки площини і взяти утворений відрізок за сторону правильного трикутника.

Також правильний трикутник, вписаний у задане коло, можна побудувати, скориставшись співвідношенням

r3=R3/2.

O

AC

B

D

K

γ

O

A C

B

R

r

1) OD→OK=KD;

2) AC ⊥ OD y т. К3) (OD) ∩ γ = B.

Аналіз

Діагоналі квадрата є взаємно перпендикулярними діаметрами описаними навколо нього кола.

План побудови.

1.Креслимо коло з центром О, проводимо діаметр АВ.

2.Будуємо пряму, перпендикулярну до АВ у точці О, - маємо діаметр СD. Чотирикутник АВСD – шуканий.

Побудова правильного чотирикутника.

BO

A

C

a4r4

D

Доведення.

За побудовою маємо: АВ і СD

– діаметри, АВСD.

Довести: АВСD – квадрат.

1)Кути чотирикутника прямі,

бо спираються на діаметри.

Тоді АВСD – прямокутник.

2)Градусні міри дуг АС і СВ

рівні (становлять по 90).

Тоді хорди АС і СВ рівні і

АВСD – квадрат. Щ.т.д.

Побудова правильного чотирикутника.

BO

A

C

γ

D

Нагадайте, що:

навколо кожного трикутника можна описати коло і тільки одне;

в будь-який трикутник можна вписати коло і тільки одне;

коло можна вписати тільки в такий чотирикутник, сума двох протилежних сторін якого дорівнює сумі двох інших його сторін;

коло можна описати тільки навколо такого чотирикутника, сума двох протилежних кутів якого дорівнює 180º.