Правильні Правильні многограннмногогранн

икиики

Вчитель математикиЗШ І-ІІІ ступенів №3 м.Кіровограда

Пінчук Анна Сергіївна

Одного дня звичайний англійський хлопчик Джеймс, захопившись

«магією» виготовлення моделей многогранників, написав в листі до

батька: «…я зробив тетраедр, додекаедр та ще два едра, для

яких не знаю правильної назви». Ці слова знаменували народження в

ще нічим не примітному хлопці великого фізика Джеймса Клерка

Максвелла.

Джеймс Клерк Максвелл

(≈ 428 – 348 до н.е.)(≈ 428 – 348 до н.е.)

Кожний з нас знайомий з найпростішими просторовими

математичними фігурами - многогранниками.

З деякими з них ви почали знайомитися ще в дитинстві,

граючись кубиками та збираючи конструктор.

Найпоширеніша дитяча іграшка -кубик дає нам первинні знання про

куб – один із видів правильних многогранників.

ОзначенняОзначення

Правильними опуклими многогранниками називають опуклі

многогранники, всі грані яких є рівними правильними многокутниками, а в

кожній вершині многогранника сходиться одна й та ж кількість ребер.

Правильний Правильний тетраедртетраедр::

складений з чотирьох

рівносторонніх трикутників;

кожна його вершина є

вершиною трьох трикутників.

Отже, сума плоских кутів при кожній

вершині дорівнює180º.

Складений з восьми рівносторонніх трикутників.

Кожна вершина октаедра є вершиною чотирьох трикутників.

Правильний Правильний октаедроктаедр

Отже, сума плоских кутів при кожній

вершині 240º.

Правильний Правильний ікосаедрікосаедр

Отже, сума плоских кутів при кожній вершині рівна 300º.

Складений з двадцяти

рівносторонніх трикутників.

Кожна вершина ікосаедра є

вершиною п'яти трикутників.

Складений з шести квадратів.

Кожна вершина куба є вершиною трьох квадратів.

Куб (гексаедр)Куб (гексаедр)

Отже, сума плоских кутів при кожній

вершині рівна 270º.

Правильний Правильний додекаедрдодекаедр

Складений з дванадцяти правильних

п'ятикутників. Кожна вершина

додекаедра є вершиною трьох правильних

п'ятикутників. Отже, сума плоских

кутів при кожній вершині рівна 324º.

Чому існування шостого правильного многогранника неможливе?

Число многокутників, прилеглих до однієї вершини, має бути не меншим, ніж три, але таким, щоб сума кутів, прилеглих до однієї вершини, була меншою від 360º, інакше жодний многогранний кут цих многокутників утворити неможливо.

Кути правильного шестикутника дорівнюють 120º і навіть три шестикутника не можуть утворити тригранний кут. Так само, як і будь-які правильні n-кутники, де n>6.

Отже, існує лише п'ять типів правильних многогранників.

Чи буде фігура, складена з семи кубів (“тривимірний хрест”), правильним многогранником?

Чи буде фігура, складена з двох тетраедрів (біпіраміда), правильним многогранником?

Правильні многогранники іноді називають Платоновими тілами, оскільки вони займають визначне

місце в філософській картині світу, розробленій великим мислителем

Давньої Греції - Платоном.

Правильні Правильні многогранники многогранники

в філософській картині в філософській картині світу Платонасвіту Платона

Платон (≈ 428 – 348 до н.е.)(≈ 428 – 348 до н.е.)

Платон вважав, що світ будується з чотирьох «стихій» – вогню, землі, повітря і води, атоми цих «стихій» мають

форму чотирьох правильних многогранників, а п’ятий же многогранник символізував Всесвіт..

тетраедртетраедр октаедроктаедр ікосаедрікосаедр гексаедргексаедр додекаедрдодекаедр

вогоньвогонь повітряповітря водавода земляземля всесвітвсесвіт

АрхімедАрхімед (287– 212 рр. до н.е)(287– 212 рр. до н.е)

Відомо ще багато досконалих тіл, які отримали назву

напівправильних многогранників або Архімедових тіл.

У них всі многогранні кути рівні і всі грані – правильні

многокутники, але не одного типу.

Існує 13 Архімедових тіл, п'ять з них отримують з Платонових тіл в результаті їх зрізання.

Конструювання Архімедового зрізаного ікосаедра

з Платонового ікосаедра

Архімедові Архімедові тілатіла

Кеплер першим почав вивчати так звані зірчасті многогранники, які на відміну від Платонових і Архімедових тіл є правильними неопуклими многогранниками.

Французький математик і механік Луї Пуансо (1777-1859) відкрив існування ще двох видів правильних неопуклих многогранників. Отак, завдяки роботам Кеплера та Пуансо стали відомими чотири типи таких фігур.

У 1812 р. О. Коші довів, що інших правильних зірчастих многогранників не існує.

Правильні зірчасті многогранники Правильні зірчасті многогранники (тіла Пуансо)(тіла Пуансо)

 Два з них Кеплер відкрив,Потім Пуансо продовжив.

А Коші усім довів, Що п'ятий існувать не може.

Великий зірчастий додекаедр

Великий зірчастий ікосаедр

Маленький зірчастий додекаедр

Великий зірчастий додекаедр

«Космічний кубок» «Космічний кубок» КеплераКеплера

Кеплер висунув гіпотезу, про зв'язок між п'ятьма правильними

многогранниками і шістьма відкритими до того часу планетами Сонячної

системи.

Модель Сонячноїсистеми І. Кеплера

Згідно цієї гіпотези, в сферу орбіти Сатурна можна вписати куб, в який вписується сфера орбіти Юпітера. В неї, в свою чергу, вписується тетраедр, описаний навколо сфери орбіти Марса. В сферу орбіти Марса вписується додекаедр, у який вписується сфера орбіти Землі. А вона описана навколо ікосаедра, в який вписана сфера орбіти Венери. Сфера цієї планети описана навколо октаедра, в який вписується сфера Меркурія.

Отже, було з'ясовано, що правильних многогранників рівно п'ять.

А як визначити в них кількість ребер, граней, вершин?

Це неважко порахувати у многогранників з невеликою кількістю ребер, а як, наприклад, одержати такі відомості для ікосаедра?

Це можна зробити за допомогою теореми Ейлера.

Теорема Ейлера - математичне твердження, що пов'язує між собою число ребер, граней і вершин многогранників.

Ця теорема була відкрита французьким вченим Рене Декартом ще 1640 року, потім забута більш, ніж на сто років, і лише 1752 року заново відкрита російським математиком Леонардом Ейлером, ім'я якого вона носить.

Рене Декарт

(1596-1650)

Сума числа граней і вершин

будь-якого многогранника дорівнює числу ребер,

збільшеному на 2.

Г + В = Р + 2або

Г + В – Р = 2

Теорема ЕйлераТеорема Ейлера

Л.Ейлер

(1707-1783)

ТаблицяТаблиця

ТаблицяТаблиця

Визначте кількість граней, вершин і

ребер многогранника, зображеного на

рисунку . Перевірте виконання формули Ейлера для даного

многогранника.

Задача 1

Учень пояснює : “Кожна призма – це многогранник, тому кожна правильна призма – це

правильний многогранник. Так само і кожна правильна піраміда є

правильним многоранником”.Чи правильно це?

Задача 2

Правильні многогранники Правильні многогранники в архітектурі та в архітектурі та образотворчому образотворчому

мистецтвімистецтві

Математика володіє не тільки істиною, а й вищою красою –

красою відточеною й точною, піднесено чистою, яка

наближається до справжньої досконалості, що властива лише

найвеличнішим зразкам мистецтва.

Бертран Рассел

АрхітектураАрхітектура

Пам‘ятник футбольному м‘ячу,Пам‘ятник футбольному м‘ячу, ХарківХарків

Унікальний пам'ятник футбольному м'ячу відкрито

24 серпня на алеї саду Шевченка у Харкові.

Бронзового м'яча діаметром у півтора метра встановлено

на постамент із чорного граніту на місці, де зазвичай

не один рік у недалекому минулому збиралися

харківські футбольні фанати.

АрхітектураАрхітектура

““Кубічна голова”, Кубічна голова”, НіццаНіцца

А в Ніцці, оспіваної багатьма письменниками, в

тому числі і Л. Толстим, стоїть "Tete au carre" - Кубічна Голова. От що

буває від великого розуму, про це ще Екклезіаст

попереджав. Хоча, голова корисна - оскільки в ній

розміщується адміністрація міської бібліотеки.

Цей напівправильний многогранник – національна республіканська бібліотека у Мінську

Величезний скляний

напівправильний многогранник з фантастичними прибудовами -

білоруська національна

республіканська бібліотека.

“Чотири тіла” (М. К. Ешер)

На гравюрі Ешер зобразив перетин основних

правильних многогранників, розташованих

на одній осі симетрії,

крім цього многогранники півпрозорі, і крізь будь-який із

них

можна побачити інші.

“Порядок и хаос” (М.К. Ешер)

Зірчастий додекаедр, який поміщений

всередину скляної сфери, можна знайти в роботі Ешера "Порядок і хаос“.

Аскетична краса цієї конструкції контрастує з хаотично розкиданим

на столі сміттям.

““Рептилії” (М. К. Ешер)Рептилії” (М. К. Ешер)

Літографія,1943Літографія,1943

В гравюрі "Рептилії" маленькі

крокодили граючи вириваються з

тюрми двомірного простору стола,

проходять кругом, щоб знову

перетворитися в двомірні фігури.

««Таємна вечеряТаємна вечеря» » (Сальвадор Далі)(Сальвадор Далі)

На картині Христос зі своїми

учнями зображений на

фоні величезного прозорого

додекаедра.

Форму додекаедра, як вважали раніше, мав ВСЕСВІТ , тобто вважалось, що ми живемо всередині зводу, який

має форму поверхні правильного додекаедра.

““Дівчинка на кулі” (Пабло Пікассо)Дівчинка на кулі” (Пабло Пікассо)

Пікассо звернувся до контрасту:

могучий атлет, який сидить на стійкій основі, і тендітна акробатка, що втримує рівновагу на

великій кулі.

Головне місце в картині Пікассо «Дівчинка на кулі»

займає чоловік на кубі.

ПравильніПравильні многогранники многогранники

в природів природі

Живі організмиЖиві організмиНімецький біолог початку ХХ ст. Еге Геккель

дослідив, що скелет одноклітинного організму феодарії за формою нагадує ікосаедр.

Феодарія (Circjgjnia

icosahtdra)

Мабуть, тим, що з усіх многогранників з однаковим числом граней саме ікосаедр має найбільший об'єм при найменшій площі поверхні. Ця властивість допомагає морському організму долати тиск водяної товщі.

Чим же викликана така природна геометризація феодарій?

ВірусиВіруси Віруси мають просту будову.

Кожна вірусна частинка складається з невеликої кількості генетичного матеріалу (ДНК або РНК), поміщеного в білкову оболонку (капсид).

Капсид являє собою найчастіше правильний многогранник (додекаедр чи ікосаедр) або оболонку спіральної форми.

Аденовірус (вірус ОРЗ) БактеріофагМімівірус

Кристалкухонної солі NaCl

Правильні многогранники – самі «вигідні» фігури. І природа цим широко користується. Підтвердженням тому є форма деяких кристалів.

Взяти хоча б кухонну сіль, без якої ми не можемо обійтись. Відомо, що вона розчинна у воді, служить провідником електричного струму. А кристали кухонної солі можуть мати форму куба, тетраедра.

Форму правильних многогранників можуть мати й кристали інших речовин. Кристал сурменістого сірчистого натрію має форму тетраедра; кристал алмаза - форму октаедра; кристали бора - форму ікосаедра; кристали сірчистого колчедану - форму додекаедра.

Кристал алмаза

Кристал сірчистого колчедану

КристалиКристали

Використані джерела інформації Бевз, Г. ПБевз, Г. П. Математика: 11 клас [Текст]: підруч. / Г. П. Бевз, В. Г. Бевз. – К.: Генеза, 2011. – 320 с.. Математика: 11 клас [Текст]: підруч. / Г. П. Бевз, В. Г. Бевз. – К.: Генеза, 2011. – 320 с. Погорєлов, О. В. Геометрія: 7-11 клас [Текст]: підруч. / О. В. Погорєлов. – К.: Освіта, 1992. – 351 с.Погорєлов, О. В. Геометрія: 7-11 клас [Текст]: підруч. / О. В. Погорєлов. – К.: Освіта, 1992. – 351 с. Бабенко С.П. Усі уроки геометрії. 11 клас. Академічний рівень. – Х.: Вид. група “Основа”, 2011. – 299, Бабенко С.П. Усі уроки геометрії. 11 клас. Академічний рівень. – Х.: Вид. група “Основа”, 2011. – 299, [[55]] с. – (Серія “Усі уроки”). с. – (Серія “Усі уроки”). http://www.physbook.ru/index.php/A._Строение_кристаллов http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321065.htm http://www.absoluteastronomy.com/topics/Regular_polyhedron http://rudocs.exdat.com/docs/index-99638.html http://uk.wikipedia.org/wiki/Правильний_багатогранник http://ru.wikipedia.org/wiki/%CF%EE%EB%F3%EF%F0%E0%E2%E8%EB%FC%ED%FB%E9_%EC%ED%EE%E3%EE%E3%F0%E0%ED%

ED%E8%EA http://ru.wikipedia.org/wiki/Поваренная_соль http://en.wikipedia.org/wiki/Mimivirus http://ru.wikipedia.org/wiki/Бактериофаги http://do.gendocs.ru/docs/index-234573.html http://www.modernlib.ru/books/karcev_vladimir_petrovich/maksvell/read_3/ http://school4.k-ur.ru/20091201.html http://shkolyar.in.ua/mnogogrannyly/pranylni-mnogogrannyky http://znaimo.com.ua/Правильний_багатогранник http://artudm.ru/index.php/kodda-vinchi.html?showall=1 http://www.biorosinfo.ru/archive/news/566/ http://bugs.microorganisms.com/List_of_Microorganisms.htm http://boingboing.net/2011/03/23/the-largest-known-vi.htmlhttp://boingboing.net/2011/03/23/the-largest-known-vi.html http://figyru-tela.at.ua/index/kosmicheskij_kubok_keplera/0-16http://figyru-tela.at.ua/index/kosmicheskij_kubok_keplera/0-16 http://figyru-tela.at.ua/index/mnogogranniki_v_prirode/0-14http://figyru-tela.at.ua/index/mnogogranniki_v_prirode/0-14 http://www.pereplet.ru/obrazovanie/stsoros/801.htmlhttp://www.pereplet.ru/obrazovanie/stsoros/801.html http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/014a/02322578.htmhttp://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/014a/02322578.htm http://www.telegraf.in.ua/culture/6390-6390.htmlhttp://www.telegraf.in.ua/culture/6390-6390.html http://timekilla.ru/photo/strannye_pamjatniki/blockhead/3-0-2490http://timekilla.ru/photo/strannye_pamjatniki/blockhead/3-0-2490 http://www.chins.by/chinforum/topic1176-20.htmlhttp://www.chins.by/chinforum/topic1176-20.html http://p-i-f.livejournal.com/910281.htmlhttp://p-i-f.livejournal.com/910281.html http://5klass.net/geometrija-10-klass/Mnogogranniki-vokrug-nas/027-Na-kartine-khudozhnika-Salvadora-Dali-Tajnaja-Vecherja-KHristos-http://5klass.net/geometrija-10-klass/Mnogogranniki-vokrug-nas/027-Na-kartine-khudozhnika-Salvadora-Dali-Tajnaja-Vecherja-KHristos-

so.htmlso.html