Методичний посібник «Правильні многокутники»

Правильні многокутники Геометрія 9 клас

__________________________________________________________________________________ Золотоніська загальноосвітня школа І – ІІІ ступенів №3 Бузенко С.А., Лук’ященко В.І.

3

Пояснювальна записка Даний посібник містить методичні рекомендації до вивчення

теми «Правильні многокутники» в 9 класі з геометрії.

Посібник складений із матеріалів, що відповідають програмі

для загальноосвітніх навчальних закладів. Математика 5-12 (автори

М.А.Бурда, Г.В.Апостолова, В.Г. Бевз, А.Т.Мерзляк, В.В.Грінчук,

Ю.І. Мальований, Є.П. Нелін, Н.А. Тарасенкова, Т.М. Янченко, С.Є.

Яценко).

Основна мета – розширити та систематизувати відомості про

многокутники і кола, навчити будувати правильні многокутники,

розвивати вміння і навички обчислювати значення геометричних

величин (елементів многокутника, довжини кола, його дуги),

застосовувати набуті знання до розв’язування задач.

Авторами запропоновано різні форми перевірки домашнього

завдання та актуалізації опорних знань ( математичні диктанти,

самостійні роботи навчального характеру в тестовій формі).

Для контролю навчальних досягнень призначені: добірки

контрольної роботи та тестові завдання для підготовки учнів до ДПА

у двох варіантах.

У посібнику вміщено оригінальні авторські розробки

елементів уроків з використанням ІКТ, а саме презентація «Правильні

многокутники», яка містить основні означення, формули, алгоритми

побудови правильних многокутників (шестикутника, трикутника,

чотирикутника), зразки розв’язування прикладних задач, деякий

історичний матеріал.

Щоб даний матеріал краще сприймався учнями пропонуємо

нові підходи до викладання даної теми з метою зацікавити учнів

варто використати презентацію «Правильні многокутники навколо

нас», в якій показано застосування правильних многокутників у

повсякденному житті.

Пропонований матеріал є досить великим за обсягом і не

завжди може бути використаний повністю за відведений час. Учитель

на свій розсуд може вибрати те, що найбільше відповідає навчальним

можливостям класу, що вважає корисним і необхідним.

Посібник допоможе як досвідченому, так і молодому вчителеві

зробити уроки математики ще більш результативними та цікавими.

Матеріал посібника допоможе вчителю розвивати в учнів логічне



4

мислення, увагу, інтуїцію, уміння аналізувати, міркувати у

нестандартних ситуаціях.

Структура посібника й зміст завдань дозволяють

використовувати його під час роботи за будь-яким чинним

підручником з геометрії для 9 класу.



5

Зміст програми з геометрії (9 клас )

Тема. Правильні многокутники

Зміст навчального матеріалу Державні вимоги до рівня

підготовки учнів

Правильні многокутники та їх

властивості. Формули радіусів

вписаних і описаних кіл

правильних многокутників.

Побудова правильних

многокутників.

Довжина кола. Довжина дуги

кола.

Площа круга та його частин.

Формулює означення:

правильного многокутника,

кругового сектора, кругового

сегмента; теореми: про

відношення довжини кола до

його діаметра, про довжину

кола, про площу круга і його

частин.

Записує і пояснює формули: радіусів вписаного і описаного

кіл правильного многокутника;

довжини кола і дуги кола; площі

круга, сектора й сегмента.

Будує правильний трикутник,

чотирикутник, шестикутник.

Застосовує вивчені означення і

теореми для розв’язування

задач.



6

Орієнтовне календарне планування з геометрії

9 клас по темі «Правильні многокутники»

№

уроку Тема уроку Мета уроку

1

Правильні

многокутники.

Формули радіусів

вписаних і описаних

кіл правильних

многокутників

Сформувати поняття правильного

многокутника; довести теорему

про те, що кожний правильний

многокутник є вписаним у коло і

описаним навколо кола; вивести

формули для обчислення радіусів

вписаних і описаних кіл правиль-

них многокутників; сформувати

вміння застосовувати формули до

розв’язування задач

2 Побудова правильних


Ознайомити учнів з правилами

побудови правильних многокут-

ників (зокрема трикутників,

чотирикутників і шестикутників

3 Довжина кола.

Довжина дуги кола

Вивести формули для знаходження

довжини кола та довжини дуги.

Сформувати вміння застосовувати

виведені формули до розв’язування

задач

4 Площа круга та його

частин

Сформувати поняття кругового

сектора і сегмента. Вивести

формули для знаходження площі

круга, кругового сектора кругового

сегмента. Сформувати вміння

застосовувати ці формули до


5 Розв’язування задач

Узагальнення та систематизація

знань учнів із теми «Правильні

многокутники»

6 Контрольна робота

Перевірити рівень засвоєння знань

учнів із теми «Правильні многокут-

ники»



7

Правильні многокутники

1.Правильні многокутники. Формули радіусів вписаних і

описаних кіл правильних многокутників

Мета. Сформувати поняття правильного многокутника;

довести теорему про те, що кожний правильний многокутник є

вписаним у коло і описаним навколо кола; вивести формули для

обчислення радіусів вписаних і описаних кіл правильних

многокутників; сформувати вміння застосовувати формули до

розв’язування задач.

Зміст теоретичного матеріалу

1.Означення правильного многокутника.

2.Означення многокутника, вписаного у коло. Означення

многокутника, описаного навколо кола.

3.Теорема про те, що кожний правильний многокутник є вписаним у

коло і описаним навколо кола.

4.Формули для радіусів вписаних і описаних кіл правильних

многокутників.

Методичні поради

Під час викладання теоретичного матеріалу пропонуємо

використати слайди з презентації «Правильні многокутники».


Означення. Многокутник називається

правильним, якщо у нього всі сторони

рівні і всі кути рівні.

Правильний восьмикутник

Правильний шестикутник

Правильний трикутник

Правильний чотирикутник



8

Вписані і описані правильні многокутники

• Многокутникназивається вписаниму коло, якщо всі йоговершини лежать надеякому колі.

• Многокутникназивається описанимнавколо кола, якщовсі його сторонидотикаються додеякого кола.

Вписані і описані правильні многокутники

Будь-який правильний

многокутник є

одночасно вписаним і

описаним, причому

центри його описаного

і вписаного кіл

збігаються.

R

r

О



9

Теорема. Правильний многокутник є вписаним у коло й

описаним навколо кола .

Доведення

Нехай А і В – дві сусідні

вершини правильного многокутника.

Проведемо бісектриси кутів А і В, які

перетинаються в точці О. Трикутник

АОВ – рівнобедрений

(2

ОВАОАВ , де α – кут

правильного многокутника).

Сполучимо точку О з вершиною С,

що є сусідньою з вершиною В.

СВОАВО (за першою ознакою

рівності трикутників).

Із рівності трикутників випливає, що трикутник ОВС –

рівнобедрений з кутом 2

С , тобто СО – бісектриса кута С. Потім

сполучимо точку О із вершиною D, що є сусідньою з вершиною С, і

доводимо, що трикутник СOD – рівнобедрений і DO – бісектриса кута

D і т.д.

Отже, ... СДОСВОАВО . Усі ці трикутники

мають рівні бічні сторони і рівні висоти, проведені до їхніх основ.

Звідси випливає, що всі вершини многокутника лежать на колі з

центром О і радіусом, що дорівнює бічним сторонам трикутників, а

всі сторони многокутника дотикаються до кола з центром О і

радіусом, що дорівнює висотам трикутників, проведеним із вершини

О. Теорему доведено.

Виведення формул радіусів вписаного і описаного

кіл правильного многокутника

Нехай задано сторону nа правильного n – кутника знайдемо,

радіус R описаного кола і радіусів r вписаного кола.



10

Розглянемо трикутник AOB, у якому AB=nа ,

nАОВ

0360 , як центральний кут

правильного n-кутника. Проведемо

висоту ОС цього трикутника, тоді

nn

АОВАОС

00 180

2

360

2

.

Із трикутника АОС знаходимо:

;180

sin2sin 0

n

a

AOC

ACAOR n

.180

20

ntg

a

AOCtg

ACOCr n

Отже, .180

2

;180

sin200

ntg

ar

n

aR nn

Робота в групах

Завдання

для І групи

Завдання

для ІІ групи

Виразити радіуси

описаного та

вписаного кіл через

сторону правильного

трикутника





чотирикутника

Завдання

для ІІІ групи





шестикутника



11

Результати наших досліджень оформимо у вигляді таблиці

Формули для радіусів вписаних і описаних кіл

правильних многокутників

Кількість

сторін

Радіус

3n 4n 6n

n

o

naR

180sin2

3

33aR

2

24аR 6aR

n

o

n

tg

ar

1802

6

33ar

2

4аr

2

36ar

Задача

Виразіть сторону nа правильного n-кутника через радіус R описаного

навколо нього і радіус r вписаного в нього кола. Обчисліть nа , якщо

n = 3,4,6.

Результати розв’язання запишемо в таблицю

Задача

• Виразіть сторону правильного n-кутника черезрадіус R описаного навколо нього і радіус rвписаного в нього кола. Обчисліть , якщо n=3,4,6.

na

na

R r

r3

326a

4a

3a

nan

Ro180

sin2

2R

R

3R

nrtg

o1802

32r

r2

R rrR,na



12

При закріпленні нових знань і вмінь доцільно провести роботу в

парах по рядах.

Завдання. Знайти вид правильного многокутника.

1) 2) 3)

Підсумок уроку можна провести у формі математичного диктанту

(вчитель в залежності від підготовленості класу може вибрати один з

диктантів на вибір).

Математичний диктант №1


Варіант 1 Варіант 2

Дано правильний n - кутник

n = 4. n = 6.

Знайдіть:

1) Суму кутів многокутника;

2) Внутрішній кут многокутника;

3) Зовнішній кут многокутника;

4) Центральний кут многокутника;

5) Сторону многокутника, якщо його периметр

дорівнює 24 см;

6) Висоту многокутника, якщо його сторона

дорівнює 20 см.



13

Математичний диктант №2



1. Скільки сторін має правильний многокутник, зовнішній кут якого

становить:

?150 ?90

2. Дано правильний n – кутник. Знайдіть градусну міру його:

внутрішнього кута. зовнішнього кута.

3. Скільки сторін має правильний многокутник, кожний із внутрішніх

кутів якого дорівнює:

?1400 ?1600

4. Знайдіть центральний кут правильного:

вісімнадцятикутника п’ятнадцятикутника

5. Знайдіть зовнішній кут правильного многокутника, центральний

кут якого дорівнює:

?240 ?400

6. Знайдіть суму кутів:

десятикутника дванадцятикутника

Розв’язування прикладних задач

Задача

В кондитерському цехузробили круглий тортрадіусом 18 см. Дляпакування є два видикоробок: квадратної форми іформи правильногошестикутника.

В яку коробку помістимо торт, якщо сторонаквадратної коробки 36 см, а шестикутної –20 см ?



14

Розв’язання

Оскільки радіус торта дорівнює 18 см, то для розв’язаннязадачі потрібно перевірити радіуси вписаних кіл длядвох видів коробок.

Сторона квадратної коробкидорівнює 36 см, отже, радіус вписаного коладорівнює 18 см. Такимчином, торт поміститься вквадратну коробку.

Перевіримо другу коробку. Трикутник АОВпрямокутний, .о 60,30АОВ , 18cмA0,90 оo АВОA

О

BA

За співвідношеннями між сторонами і кутами

прямокутного трикутника маємо: :

смtgAB

AOBtgAOAB

o 363

3183018

Сторона коробки дорівнює

Порівняємо сторони обох коробок.

Таким чином, торт не поміститься в коробкуформи правильного шестикутника.

см312362

20 312



15

ДОДАТКОВІ ЗАВДАННЯ

№ 1

Сума зовнішніх кутів правильного многокутника разом з одним із

внутрішніх кутів становить 5320. Знайти кількість сторін

многокутника.

№ 2

Навколо правильного чотирикутника із стороною а описано коло.

Довести, що сума квадратів відстаней від довільної точки кола до

вершин чотирикутника є величиною сталою. Знайти її.

№ 3

У коло вписані квадрат і правильний трикутник. Площа квадрата

дорівнює Q. Знайдіть сторону і площу трикутника.

№ 4

В коло радіуса R вписано правильний трикутник, у цей трикутник

вписано коло, а в коло – квадрат. Знайти сторону квадрата.

РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ ПІДВИЩЕНОЇ СКЛАДНОСТІ

Завдання 12 (Апостолова Г.В. Геометрія 9)

№ 21**

У коло, радіус якого дорівнює 12см, вписано правильний

чотирикутник АВСД, в який вписано коло, а в нього – правильний

трикутник КМN. Знайдіть периметр вписаного трикутника.


R = 12см – радіус описаного кола навколо правильного

чотирикутника АВСД. Тоді сторона АВСД зі співвідношення

;180

sin20

n

aR .212

2

312245sin2 0

4 cмRa

Радіус кола, вписаного у АВСД:

.26452

212

4

180

2

00

4 смctgctga

r



16

Сторона трикутника КМN, вписаного у менше коло зі

співвідношення:

;

3

180sin2

0

3ar .66

2

326260sin2 0

3 cмra

Тоді периметр трикутника .6183 3 cмaP KMN

№ 32*

Правильний трикутник, квадрат і правильний шестикутник мають

однакові периметри. Як відносяться їхні площі.


Нехай Р – периметр правильного п – кутника. Тоді його сторона

n

Pan , а площа

nctg

n

P

nctg

n

Pn

nctg

naS n

n

020202180

4

180

4

180

4

.

а) п = 3; 312

60123

180

123

180

34

20

20202

3

Pctg

Pctg

Pctg

PS

;

б) п = 4; 16

45164

180

44

20

202

4

Pctg

Pctg

PS

;

в) п = 6; 24

330

246

180

64

20

202

6

Pctg

Pctg

PS

.

Тоді

2

3:

4

33:1

6

)3(:

4

3:

3

1

24

3:

16:

312::

2222

643

PPPSSS

36:9:346:33:4 .



17

2.Побудова правильних многокутників

Мета. Ознайомити учнів з правилами побудови правильних

многокутників (зокрема трикутників, чотирикутників і шестикутників


1. Алгоритм побудови правильного шестикутника

2. Алгоритм побудови правильного трикутника

3. Алгоритм побудови правильного чотирикутника


На даному уроці актуалізацію опорних знань учнів можна

провести у формі математичного диктанту, або виконати тестові

завдання.

Математичний диктант

Формули радіусів вписаних і описаних кіл



Дано коло, радіус якого дорівнює:

6 см. 8 см.

Знайдіть:

1) Сторону правильного трикутника, вписаного в це коло;

2) Сторону правильного трикутника, описаного навколо кола;

3) Сторону правильного чотирикутника, описаного навколо даного

кола;

4) Сторону правильного чотирикутника, вписаного в дане коло;

5) Сторону правильного шестикутника, вписаного в дане коло;

6) Периметр правильного шестикутника, описаного навколо цього

кола.



18

Тестові завдання до теми

Формули радіусів вписаних і описаних кіл


Варіант 1

Варіант 2

1. Знайдіть сторону правильного трикутника, вписаного в коло, радіус

якого дорівнює:

А) 6см.

Б) 8см В)12см. Г) 10см

2. Знайдіть радіус кола, вписаного в правильний трикутник зі

стороною:

А) 6 см3

Б) см312 . В) см318 . Г) 24 см3

3. Знайдіть сторону правильного шестикутника, описаного навколо

кола, радіус якого дорівнює:

А) 27см.

Б) 9см В) 36см Г) 18см.

4. Знайдіть периметр правильного шестикутника, вписаного в коло,

радіус якого дорівнює:

А) 13см

Б) 17см. В) 19см. Г) 23см

5. Знайдіть площу правильного чотирикутника, вписаного в коло,

діаметр якого дорівнює:

А) 16см.

Б) 8см В) 12см. Г) 24см

6. Сторона правильного трикутника, вписаного в коло, дорівнює 6 см.

Знайдіть сторону квадрата:

вписаного в це коло.

описаного навколо цього кола.



19

Алгоритми побудови правильних многокутників

(шестикутника, трикутника, чотирикутника) можна розказати

використовуючи слайди з презентації «Правильні многокутники».

Алгоритм побудови правильного шестикутника

• 1) Побудувати колодовільного радіуса.

• 2) Від довільної точкиМ кола потрібнопослідовно відкластихорди, які дорівнюютьрадіусу.

• 3) З'єднати послідовно

точки – це вершиниправильногошестикутника.

М

Алгоритм побудови правильного трикутника

• 1) Побудувати колодовільного радіуса.

• 2) Від довільної точки Мкола послідовно відкластихорди, які дорівнюютьрадіусу.

• 3) З'єднати послідовно

точки – це вершиниправильного шестикутника.

• 4) Сполучити через однувершини правильногошестикутника, отримаємоправильний трикутник.

М



20

Алгоритм побудови правильного чотирикутника

• Для побудовиправильногочотирикутникадостатньо в коліпровести дваперпендикулярнідіаметри АС і ВD.

• ЧотирикутникАВСD- квадрат.

CA

D

B

Історична довідка

Стародавні вчені, які вміли будувати будь-який ізправильних n-кутників, де n=3,4,5,6.8,10,намагалисярозв'язати цю задачу і для n=7,9. Їм це не вдалося. І лишеу кінці XVIII ст. 19-річний студент Геттінгенськогоуніверситету, в майбутньому видатний німецькийматематик Карл Фрідріх Гаусс повністю розв'язав питанняпро побудову правильних многокутників циркулем ілінійкою – це було його перше відкриття. Він довів, що задопомогою циркуля і лінійки можна побудуватиправильний 17-кутник. Взагалі він довів, що поділити коло

на n рівних частин, або, що те саме, побудувати правильний n-кутник, задопомогою циркуля і лінійки можна лише тоді, коли n є просте число видуn= , де k- ціле додатне число або нуль, наприклад: n=3,5,17,257,65537.При цьому очевидно, що коли побудовано правильний n-кутник, то легкопобудувати і правильний 2n-кутник.

Гаусс дуже пишався своїм першим відкриттям, і рисунок правильногосімнадцятикутника звелів викарбувати на своїй могильній плиті.

122



21


№ 1

За допомогою циркуля та лінійки побудуйте правильний

шестикутник за відрізком, що дорівнює його більшій діагоналі.

№ 2

Кути правильного трикутника зрізали так, що отримали правильний

шестикутник. Знайти сторону правильного шестикутника, якщо

сторона трикутника дорівнює а.

№ 3

В даний трикутник вписати квадрат так, щоб дві вершини квадрата

лежали на одній стороні трикутника, а дві інші – на двох інших

сторонах трикутника.



22

3.Довжина кола. Довжина дуги кола

Мета. Вивести формули для знаходження довжини кола та

довжини дуги. Сформувати вміння застосовувати виведені формули

до розв’язування задач.


1.Теорема про відношення довжини кола до його діаметра.

2. Формула для обчислення довжини кола.

3. Формула для обчислення довжини дуги кола.

4. Задача прикладного змісту.


На початку уроку доцільно провести актуалізацію знань з

теми «Правильні многокутники. Формули радіусів вписаних і

описаних кіл правильних многокутників» у формі самостійної роботи

Варіант 1

Обчислити:

1) внутрішній кут правильного дванадцятикутника;

2) кількість сторін правильного многокутника, кожний із кутів якого

становить 1350;

3) сторону правильного трикутника, вписаного в коло, якщо площа

квадрата, описаного навколо цього кола, дорівнює 64см2

.

Варіант 2

Обчислити:

1) внутрішній кут правильного десятикутника;



3) площу правильного чотирикутника, вписаного в коло, якщо

сторона правильного трикутника, описаного навколо кола, дорівнює

6 см.



23

Варіант 3

Обчислити:

1) внутрішній кут правильного восьмикутника;



3) сторону правильного шестикутника, вписаного в коло, якщо площа

квадрата, описаного навколо цього кола, дорівнює 36см2

.

Теорема. Відношення довжини кола до його діаметра одне й

те саме для кожного кола.

Доведення

Нехай маємо два довільних кола, радіуси яких дорівнюють 1R

і 2R , а довжина кіл - 1C і 2C . У кожне з цих кіл впишемо правильні

n-кутники з однаковим числом сторін, довжини яких дорівнюють na і

na , тоді їх периметри nP і

nP відповідно дорівнюватимуть:

nRnanP nn

0

1

180sin2 ,

nRnanP nn

0

2

180sin2 .

Тоді

2

1

2

2

R

R

P

P

n

n

.



24

Якщо значення n необмежено збільшувати, то периметри nP і

nP прямуватимуть до довжин кіл 1C і 2C , а відношення периметрів

– до відношення

2

1

С

С. Отже,

2

1

2

1

2

2

R

R

С

С , або

2

1

1

1

22 R

C

R

C , що і треба

було довести.

Відношення довжини кола С до його діаметра 2R прийнято

позначати грецькою буквою π. Число π – ірраціональне число його

наближене значення π ≈ 3,1415926.

Отже, R

С

2, звідси RC 2 .

RC 2 – формула довжини кола.

Історична довідка

Застосування в селянських ремеслах наближеного числа

Для того, щоб вставити дно в бочку, треба виміряти його

мотузкою навколо. Розмір мотузки скласти втроє – це й буде ширина

дошки, з якої можна вирізати дно з найменшої кількості обрізків.

Використовували і при заготівлі будівельного матеріалу.

При визначенні товщини дерева на пні його обтягували шнуром і

складали одержаний розмір втроє. Таким способом виміряли ширину

вікового дуба під яким любив сидіти Т.Г.Шевченко коли гостював

В.П.Максимовича на Михайловій горі.

Знаходження довжини дуги кола

Знайдемо довжину дуги кола, яка відповідає центральному

куту 0n . Оскільки розгорнутому

куту відповідає довжина півкола

R , то куту 01 відповідає дуга

довжиною 180

R, а куту

0n - дуга

довжиною 180

Rnl

.



25

- довжина дуги

R- радіус кола

n° - градуснаміра відповідногоцентральногокута

Довжина дуги

D - діаметрC= D

C - довжина кола

R – радіус кола

С=2 RДовжина кола

ПозначенняФормулаНазва формули

R

О

n°О

l

180

Rnl

Довжина кола. Довжина дуги

Розв’язування прикладної задачі

Задача

У дворі нашої школи єклумба квадратної форми. Навесні ми будемо садитиквіти на нашу клумбу. Спочатку ми будемосадити конвалії по колу, яке можна вписати вквадратну клумбу.

Потім тюльпани - в формі квадрата, який вписаний вколо. Скільки саджанців конвалій і цибулин тюльпанівпотрібно посадити, якщо розміри клумби 6х6 квадратних метрів? Садити квіти потрібно через кожні20 см.



26


Оскільки коло вписане в квадрат, то радіус коладорівнює половині сторони квадрата.

м1918.8433.142C

R2

3

С

мrR

Знайдемо кількість конвалій, потрібних для посадки. 19:0,2=95( шт )

Сторона вписаного квадрата буде дорівнювати м. Периметр цього квадрата дорівнює

Обчислимо кількість цибулин тюльпанів, необхіднихдля посадки 16,8 : 0,2 = 84 (шт)

23)(8.16212423 м

Відповідь: 95 конвалій; 84 цибулини тюльпанів


№ 1

На котушку радіусом 1,5см намотано 40см мотузки. Скільки зроблено

повних витків?

№ 2

Катети АВ і ВС рівнобедреного прямокутного трикутника АВС

дорівнюють 8см. Коло з центром в точці В дотикається гіпотенузи

трикутника. Знайти довжину дуги кола, яка міститься в середині

трикутника.

№ 3

Накреслити у зошиті коло радіусам 4см. Відкласти на ньому дугу

довжиною 3 см.

№ 4

Довжина кола радіусом 12см дорівнює довжині дуги другого кола,

яка містить 1350. Знайти радіус другого кола.

№ 5

У коло радіусом R = 1 вписано правильний дванадцятикутник і

навколо цього кола описано правильний шестикутник. Зробити

малюнок і, користуючись ним, довести, що 5.33 .



27



№ 32*

Навколо двох рівновеликих прямокутників описані кола. Чи будуть ці

кола рівновеликими? Відповідь обґрунтуйте.


Для двох рівновеликих прямокутників SbaSbaS 222111 ;

21

2

2

1

1 ;; aaa

Sb

a

Sb . Діаметр кола, описаного навколо

прямокутника, дорівнює діагоналі, тому

2

1

2

11 baD ;

2

2

2

22 baD . Тоді

2

2

22

222

1

22

11a

SaD

a

SaD .

Оскільки площа кола

4

2DS

, то

2

2

22

222

1

22

1144 a

SaS

a

SaS

.

Отже, описані кола не є рівновеликими.

№ 33*

Діаметр кола поділено на п рівних частин, і на кожній із них як на

діаметрі побудовано кола. Знайдіть залежність між довжиною даного

кола і сумою довжин побудованих кіл.


?:; Lln

Dd



28

Діаметр малого кола у п разів менше діаметра великого. Довжина

великого кола DL . Довжина великого кола n

DdL

; сума

довжин малих кіл Dn

Dnnll

.

Отже, ln

DnDL

, тому довжина великого кола дорівнює

сумі довжин побудованих кіл.



29

4. Площа круга та його частин

Мета. Сформувати поняття кругового сектора і сегмента.

Вивести формули для знаходження площі круга, кругового сектора

кругового сегмента. Сформувати вміння застосовувати ці формули до



1. Теорема про площу круга. Формула для обчислення площі круга.

2. Означення кругового сектора. Площі кругового сектора.

3. Означення кругового сегмента. Площа кругового сегмента.


Знаходження площі круга

Нагадаємо, що кругом називається частина площини,

обмежена колом. Кругом радіуса R з центром у точці О називається

точка О і всі точки площини, які містяться від точки О на відстані, не

більшій від R.

Круг обмежений колом. Його не можна розбити на

многокутники і обчислити площу як суму многокутників. Дамо

означення площі круга таким чином.

Площею круга називається величина, до якої наближається

площа вписаного в це коло

правильного многокутника за умови,

що число його сторін необмежено

збільшується.

Впишемо в коло R

правильний n – кутник. Площа

правильного многокутника

rPABrnnSS nAOBn2

1

2

1 , де

nP - периметр правильного n –

кутника.

При необмеженому збільшенні n площа правильного

многокутника nS наближається до площі круга, nP - довжина кола, r

– до R. Отже, одержуємо:



30

222

1

2

1RRRCRSкр .

Таким чином, площу круга можна обчислити за формулою 2RSкр .

Формула дозволяє знаходити площу круга за його радіусом, а

також знаходити радіус круга за відомою площею круга.

Знаходження кругового сектора

Користуючись формулою площі круга, можна вивести

формули для знаходження площі частин круга, зокрема кругового

сектора і кругового сегмента.

Круговим сектором називається частина круга, яка лежить

усередині центрального кута.

Спираючись на формулу площі круга, виведемо формулу для

площі сектора, кутова величина дуги якого дорівнює 0n .

Площа сектора, кутова величина дуги якого дорівнює 01 ,

дорівнює 360

2R, а площа сектора, кутова величина дуги якого

0n ,

дорівнює 360

2nR, тобто

360

2nRSсек

.

Ця формула пов’язує між собою три величини: ,,, nRSсек тому за допомогою цієї формули можна знаходити будь-яку одну із

цих величин, якщо будуть відомі дві інші.



31

Знаходження кругового сегмента

Круговим сегментом називається спільна частина круга і пів-

площини.

Площа сегмента, який дорівнює півкругу, дорівнює 2

2R.

Площа сегмента, який не дорівнює півкругу, обчислюється за

формулою SR

Sсегм

360

2

, де – градусна міра центрального

кута, який містить дугу кругового сектора, а S - площа трикутника з

вершинами в центрі круга і на кінцях радіусів , які обмежують даний

сектор. Знак «+» треба брати, якщо , а знак «-» - якщо

.



32

n > 180o

Sсегм - площакругового сегмента

- площа трикутника

n < 180oПлоща круговогосегмента

Sкр.с. - площакругового сектора

n° - градусна міравідповідногоцентрального кута

Площа круговогосектора

D - діаметр

S – площа кругаR – радіус круга

Площа круга

360

2

.

nRS скр

2RS

2

4

DS

О

R

n°

SSкр.с.сегмS

SSкр.с.сегмS

S

1 21

2

n°n°


№ 1

Круг діаметром 10см описаний навколо прямокутного трикутника,

гострий кут якого дорівнює 600. Знайти площі сегментів, які

відтинають сторони цього трикутника.

№ 2

У круговий сектор вписаний круг радіусом 6см. Знайти площу

сектора, у якому градусна міра дуги відповідно дорівнює 600.

№ 3

По різні боки від центра круга радіуса 3см проведені дві паралельні

хорди. Одна з хорд є стороною правильного чотирикутника,

вписаного у цей круг, а друга – стороною правильного вписаного

трикутника. Знайти площу частини круга, розміщеної між хордами.



33



№21*

Навколо круглої клумби, радіус якої дорівнює 3м, є декоративне

кільце завширшки 0,5м. Скільки треба гальки, щоб посипати доріжку,

якщо на 12м кільця потрібно 0,7

2дм гальки?


?;1

7.0;5.0;3

2

2

1 r

k

r Sм

дм

S

SмhмR

2

1

2

112

2

12 )(;)( RhRSSShRS k ;

)2(7.0))((7.0 2

1

2

1

2

1

2

1

2

1 RhhRRRhRSr

2

1 15.75.0)5.032(7.0)2(7.0 дмhRh .

№ 30*

Радіус круга дорівнює R. Знайдіть площу тієї частини круга, яка

розміщена поза вписаним у нього:

а) квадратом;

б) правильним трикутником;

в) правильним шестикутником.


Радіус описаного кола навколо правильного п – кутника R. Площа

кола 2

1 RS .

Площа п – кутника n

nRSn

02 360

sin2

1 .

Площа частини кола поза вписаним п – кутником

)360

sin2

(360

sin2

02

022

1n

nR

nR

nRSSS n .

а) п=4; )2()90sin2()4

360sin

2

4( 202

02 RRRS ;

б) п=3; )120sin2

3()

3

360sin

2

3( 02

02 RRS



34

4

334

4

33 22

RR ;

в) п=6; )60sin3()6

360sin

2

6( 02

02 RRS

2

332

2

23 22

RR .



35

5.Розвязування задач

Мета. Узагальнити та систематизувати знання учнів із

теми «Правильні многокутники»


Урок можна провести методом розв’язування доцільних

завдань.

І. Актуалізація опорних знань учнів

1.Кросворд

1. Сторони, кути і вершини многокутника?2. Многокутник з рівними сторонами і кутами?3. Геометрична фігура, яка складається з усіх точок площини, рівновіддаленихвід даної точки.4. Частина круга, обмежена хордою і відповідною їй дугою?5. Багатогранник, всі сторони якого дотикаються до кола, називається…6. Частина центрального кута кола, яку обмежує відповідна дуга цього кола.7. Внутрішня частина площини, що обмежена колом, називається…8. Кут, вершина якого знаходиться в центрі кола.9. Багатогранник, у якого всі його вершини лежать на колі, називається…10. Сума довжини сторін многокутника.11. Многокутник, який знаходиться в одній півплощині відносно прямої, щомістить будь – яку сторону, називається…

Кросворд



36

2. Самостійна робота з подальшою взаємоперевіркою


1) Знайдіть площу круга, радіус якого дорівнює:

а) 3 см; б) 2 см. а) 2 см; б) 3 см.

2) Знайдіть площу круга, довжина якого дорівнює:

8 см. 12 см.

3) Знайдіть площу кільця, розташованого між двома

концентричними колами, радіуси яких дорівнює:

3 см і 5 см. 4 см і 6 см.

4) Знайдіть площу сектора круга радіуса r, якщо градусна міра

відповідного центрального кута дорівнює

r = 5 см, 040 r = 6 см,

018 .

4) Знайдіть площу кругового сегмента, якщо

радіус кола дорівнює 10 см. а

друга містить 0150

радіус кола дорівнює 5 см. а

друга містить 030


№ 1

Дано правильний десятикутник. Знайти:

1) величину внутрішнього кута десятикутника;

2) величину зовнішнього кута десятикутника.

№ 2

Знайти радіус кола, якщо центральному куту у 2250 відповідає дуга

довжиною 10м.

№ 3

Скільки сторін має правильний многокутник, внутрішній кут якого на

1080 більший за зовнішній?

№ 4

У коло вписано правильний шестикутник з стороною 4см. Знайти

сторону квадрата, описаного навколо цього кола.

№ 5

Яку частину площі круга складає площа сектора, якщо відповідний

центральний кут дорівнює 1500?



37

№ 6

Знайдіть площу кругового сегмента, якщо його основа дорівнює 6см,

а дуга містить 1200.

№ 7

Радіус кола, описаного навколо правильного многокутника, дорівнює

4 2 см, а сторона многокутника – 8см. Знайти радіус кола, вписаного

у многокутник та кількість його сторін.

№ 7

Обчислити площу круга і довжину відповідного кола, якщо коло

вписане в рівнобічну трапецію з основами 11см і 5см і сумою бічних

сторін 10см.



38

6. Контрольна робота

Мета. Перевірити рівень засвоєння знань учнів з теми «Правильні

многокутники»

Текст контрольної роботи

Варіант 1

Початковий та середній рівні навчальних досягнень

У завданнях 1 – 6 виберіть правильну відповідь.

1. Знайдіть внутрішній кут правильного восьмикутника

А Б В Г Д 045

0105 0110

0125 0135

2. Скільки сторін має правильний многокутник, кожний із зовнішніх

кутів якого дорівнює 036 ?

А Б В Г Д

6 8 10 12 15

3. Радіус кола вписаного в квадрат, дорівнює 23 см. Знайдіть

площу квадрата.

А Б В Г Д

32 см2

18 см2

36 см2

3 см2

72 см2

4. Знайдіть довжину кола, яке обмежує круг площею 36 см.

А Б В Г Д

6 см. 24 см. 9 см. 12 см. 27 см.

5. Радіус кола дорівнює 27 см. Знайдіть довжину дуги цього кола,

градусна міра якої становить 025

А Б В Г Д

2

45см.

4

45см.

4

15см.

2

15см.

4

30см.

6. Радіус круга дорівнює 12 см. Знайдіть площу сектора цього круга,

якщо градусна міра його дуги дорівнює 075

А Б В Г Д

15 см2

. 30 см2

. 45 см2

. 60 см2

. 75 см2

.



39

Достатній рівень навчальних досягнень

7. Менша діагональ правильного шестикутника дорівнює 8см.

Знайдіть площу круга, описаного навколо шестикутника.

8. Знайдіть площу кругового сегмента, якщо радіус круга дорівнює

5см, а градусна міра дуги сегмента дорівнює 0330 .

Високий рівень навчальних досягнень

9. Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює 070 . На

висоті трикутника, яка проведена до основи і дорівнює 27см, як на

діаметрі побудовано коло. Знайдіть довжину дуги кола, яка належить

трикутнику.

Варіант 2

Початковий та середній рівні навчальних досягнень

У завданнях 1 – 6 виберіть правильну відповідь.

1. Знайдіть зовнішній кут правильного дванадцятикутника.

А Б В Г Д 030

045 060

060 0120

2. Скільки сторін має правильний многокутник, кожний із внутрішніх

кутів якого дорівнює 0150 ?

А Б В Г Д

6 8 10 12 15

3. Радіус кола описаного навколо квадрата, дорівнює 22 см.

Знайдіть площу квадрата.

А Б В Г Д

2 см2

32 см2

4 см2

16 см2

64 см2

4. Знайдіть довжину кола, яке обмежує круг площею 25 см.2

А Б В Г Д

10 см 5 см 25 см 15 см 20 см

5. Чому дорівнює площа круга, вписаного в квадрат зі стороною 10 см

А Б В Г Д

10 см2

100 см2

5 см2

25 см2

30 см2



40

6. Обчисліть площу сектора, якщо радіус круга дорівнює 12 см., а

градусна міра дуги дорівнює 075

А Б В Г Д

15 см2

30 см2

45 см2

60 см2

75 см2

Достатній рівень навчальних досягнень

7. Менша діагональ правильного шестикутника дорівнює 8 см.

Знайдіть площу круга, описаного навколо шестикутника.

8. Знайдіть площу кругового сегмента, якщо радіус круга дорівнює 5

см, а градусна міра дуги сегмента дорівнює 0330 .

Високий рівень навчальних досягнень

9. Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює 070 . На

висоті трикутника, яка проведена до основи і дорівнює 27см, як на

діаметрі побудовано коло. Знайдіть довжину дуги кола, яка належить

трикутнику.



41

Тестові завдання для підготовки учнів до ДПА

Завдання 1-12 мають по чотири варіанти відповідей, з яких

тільки ОДНА відповідь правильна. Виберіть правильну, на Вашу

думку, відповідь.

Тест №1


1. Знайдіть кількість сторін правильного многокутника, зовнішній кут

якого дорівнює 600.

А) 8 сторін Б) 5 сторін В) 7сторін Г) 6 сторін

2. Знайдіть центральний кут, якщо відповідна йому дуга становить 3

1

кола.

А) 1200 Б) 60

0 В) 90

0 Г) 30

0

3. Знайдіть внутрішній кут при вершині правильного шестикутника.

А) 1500 Б) 100

0 В) 90

0 Г) 120

0

4. Центральний кут правильного многокутника дорівнює 300.

Визначити кількість сторін многокутника.

А) 12 сторін Б) 6 сторін В) 18 сторін Г) 10 сторін

5. Скільки сторін має правильний многокутник, кут якого дорівнює

1400?


6. Знайдіть кут правильного двадцятикутника.

А) 1440 Б) 160

0 В) 162

0 Г) 164

0



42

7. У правильному шестикутнику центральний кут дорівнює:

А) 600 Б) 30

0 В) 90

0 Г) 120

0

8. Сума внутрішніх кутів дванадцятикутника дорівнює:

А) 21600 Б) 360

0 В) 1800

0 Г) 1080

0

9. Сума кутів опуклого многокутника дорівнює 10800.Чому дорівнює

кількість його сторін?

А) 6 Б) 8 В) 10 Г) такий многокутник не

існує

9. Сума зовнішніх кутів правильного многокутника разом з одним із

внутрішніх кутів становить 5320. Знайдіть кількість сторін

многокутника.


10. Визначити кількість сторін правильного многокутника, у якого

зовнішній кут становить 3

2 внутрішнього.


11. Визначити кількість сторін правильного многокутника, в якого

зовнішній кут на 1560 менший від внутрішнього.


12. Якого найбільшого значення може набувати зовнішній кут

правильного многокутника?

А) 1200 Б) 140

0 В) 160

0 Г) 60

0



43



думку, відповідь

Тест № 2

Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних


1. Радіус кола дорівнює 2 3 см. Знайдіть сторону правильного

трикутника, описаного навколо цього кола.

А) 12 см Б) 6 см В) 6 3 см Г) 3 3 см

2. Чому дорівнює радіус, описаного навколо правильного трикутника

зі стороною 12 см?

А) 12 3 см Б) 6 3 см В) 4 3 см Г) 2 3 см

3. У коло вписано квадрат зі стороною 9 2 см. Знайдіть сторону

правильного трикутника, описаного навколо цього кола.

А) 9 3 см Б) 3 3 см В) 6 3 см Г) 18 3 см

4. Чому дорівнює діагональ квадрата, якщо радіус описаного навколо

нього кола дорівнює 6 см?

А) 3 2 см Б) 6 2 см В) 6 см Г) 12 см

5. Периметр правильного трикутника дорівнює 15 3 см. Знайдіть

радіус кола, вписаного в цей трикутник.

А) 5 см Б) 2,5 см В) 2,5 3 см Г) 7,5см



44

6. Радіус описаного кола навколо правильного шестикутника

дорівнює 6 3 см. Чому дорівнює радіус вписаного кола цього

шестикутника?

А) 9 см Б) 6 см В) 3 3 см Г) 4 3 см

7. Навколо кола описано правильний шестикутник зі стороною

8 3 см. Знайдіть сторону квадрата, вписаного в це коло.

А) 12 см Б) 6 2 см В) 12 3 см Г) 6 см

8. Чому дорівнює радіус кола, вписаного в правильний трикутник зі

стороною 18 см?

А) 18 3 см Б) 9 3 см В) 6 3 см Г) 3 3 см

9. Знайдіть периметр правильного трикутника, якщо радіус кола,

описаного навколо нього, дорівнює 2 см:

А) 6 см Б) 3 3 см В) 6 3 см Г)2 3 см

10. Площа квадрата дорівнює 36 см. Знайдіть радіус кола описаного

навколо даного квадрата.

А) 3 см Б) 6 см В) 3 2 см Г) 9см

11. Сторона правильного трикутника, вписаного в коло дорівнює

6 см. Знайти сторону квадрата, вписаного в це коло.

А) 2

6см Б) 4 см В) 2см Г) 3см

12. Якщо правильний дванадцятикутник вписано в коло радіуса R, то

його сторона дорівнює:

А) R 32 Б) R 22 В) R 32 Г) R 23



45



думку, відповідь

Тест № 3

Довжини кола, довжина дуги кола. Площа круга та його частин

1. Довжина кола дорівнює 6 см. Знайдіть його радіус.

А) 3 см Б) 6 см В)

3 см Г)

6 см

2. Яка градусна міра дуги кола, радіус якого становить 6 см. а

довжина дуги дорівнює см ?

А) 300 Б) 45

0 В) 15

0 Г) 60

0

3. Знайдіть площу кругового сектора радіуса 5 см, центральний кут

якого дорівнює 720.

А) 10 см2

Б) 20 см2

В) см2

Г) 5 см2

4. Коло вписано у правильний шестикутник зі 4стороною 4 3 см.

Знайдіть площу круга, обмеженого даним колом.

А) 6 см2

Б) 36 см2

В) 48 см2

Г) 16 см2

5. Знайдіть довжину дуги кола, градусна міра якої дорівнює 600

,

якщо радіус кола дорівнює 3 см.

А)

1 см Б) 2 см В) см Г)

2

см

6. Площа круга, вписаного в квадрат, дорівнює 4 см2

. Знайдіть

довжину сторони квадрата.

А)

4см Б) 2 см В) 4 см Г)

2 см

7. Чому дорівнює довжина кола, яка обмежує кут площею 25 см2

?

А) 5 см Б) 10 см В) 20 см Г) 25 см



46

8. Радіус кола дорівнює 27 см. Знайдіть довжину дуги цього кола,

градусна міра якої становить 250.

А) 2

45см Б)

4

45см В)

4

15см Г)

2

15см

9. Радіус круга дорівнює 12 см. Знайдіть площу сектора цього круга,

якщо градусна міра його дуги дорівнює 750

.

А) 15 см2

Б) 30 см2

В) 45 см2

Г) 60 см2

10. Чому дорівнює площа круга, вписаного в квадрат зі стороною

10 см?

А) 10 см2

Б) 100 см2

В) 5 см2

Г) 25 см2

11.Чому дорівнює відношення площі круга до площі вписаного в

нього квадрата?

А)

2 Б)

2

В)

4 Г)

4

12. Сторона правильного трикутника дорівнює 4 см. Знайдіть

довжину кола, вписаного в цей трикутник.

А) 3

32 см Б)

3

38 см В) 4 см Г)

3

34 см



47

Щоб даний матеріал краще сприймався учнями пропонуємо

нові підходи до викладання даної теми з метою зацікавити учнів

варто використати презентацію «Правильні многокутники навколо

нас», в якій показано застосування правильних многокутників у

повсякденному житті.

Математика володієне тільки істиною, але й вищою, відточеноюсуворою, піднесеною чистоюкрасою і прагне досправжньоїдосконалості, щопритаманнанайбільшим зразкаммистецтва.

Бертран РасселПравильні

многокутникинавколо нас



48

З давніх-давен правильні многокутники застосовуються вархітектурі, у живопису. Правильні чотирикутники,

шестикутники і восьмикутники зустрічаються в старовиннихвавілонських і єгипетських пам’ятках у вигляді зображень на

стінах, прикрас, викарбуваних з каменю.

Правильні многокутники вархітектурі

Національна бібліотека в Білорусії, Мінськ.

В основі будівлі – правильнийшестикутник

У Вашингтоні одна з будівель побудована уформі правильного п’ятикутника



49

Побудова правильних многокутників, тобтоподіл кола на рівні частини дозволяє

розв’язувати практичні задачі:

1) Створення колеса зі спицями

2) Поділ циферблата годинників

3)Побудова античних театрів

В живому світі ми можемо розгледітиправильні многокутники



50

В рослинному світі ми теж можеморозгледіти правильні многокутники

Сніжинки падають на землю правильнимишестикутниками. Природа ще раз підтверджує нам

свою досконалість.



51

Калейдоскоп, дитяча гра, в якійзачаровують симетричні узори, що

змінюються

Правильні многокутники вдитячих іграшках



52

Знайти правильні многокутникиу предметах, які оточують нас у

повсякденному житті

Правильні многокутники увишивці



53

Правильні многокутники увишивці

Правильні многокутники вповсякденному житті



54

Правильні многокутники вповсякденному житті

Правильні многокутники вмозаїці



55

Правильні многокутники вмозаїці

Правильні многокутники в плитці



56

Правильні многокутники в

смачних стравах



57

Правильні многокутникинавколо нас

Правильні многокутникив природі



58

Чи знають бджоли математику ?

Учені, які досліджували бджолиністільники, переконалися: всі кути, щоутворюють шестикутник бджолиної чарункисаме такі, для яких чарунка найбільшмістка і при цьому на неї йде найменшевоску. Начебто бджоли, будуючи своїстільники, користуються складнимиматематичними обчисленнями. Побудованіними без усяких креслень стільники знайбільшою точністю відтворили розміриідеальної споруди розрахованої за всімаправилами науки.

Порівняймо периметри правильного трикутника, чотирикутника і шестикутника , які мають однакові площі:

Sтр = Sчот = Sш = S.

Для трикутника з стороною a дістанемо:

, звідки .

Отже, для периметра трикутника Pтр матимемо такий вираз:

4

32aS

Упевнимося в тому, що бджоли “малирацію” вибравши саме правильний

шестикутник.

32

Sa

Spкв 4

36

Spтр

Периметр квадрата P з тією самою площею S дорівнюватиме:



59

Для правильного шестикутника з стороною b матимемо:

, звідки .

Таким чином,

Звідси матимемо:

2

33 2bS

33

2Sb

33

266

Sbpш

816.0:877.0:163

1:3

3

2:1

33

26:4:

36:: 4

SS

Sppp Шквтр

БудуючиБудуючи шестикутнішестикутні чарункичарунки, , бджолибджолинайбільшнайбільш економноекономно використаливикористалистільникистільники припри найменшійнайменшій витратівитраті воскувоску..

ОтжеОтже, , бждолибждоли, , ненезнаючизнаючи математикиматематики, , правильноправильно ““визначиливизначили””, , щощоправильнийправильний шестикутникшестикутникматимематиме найменшийнайменшийпериметрпериметр..



60

Список використаної літератури

1. Апостолова Г.В. Геометрія: 9: дворівн. підруч. для загальноосвіт.

навч. закл./ Г.В. Апостолова. – К. : Генеза, 2009. – 304с. : іл.

2. О.С. Істер, Збірник завдань для державної підсумкової атестації з

математики: 9кл./ О.С. Істер, О.І. Глобін, О.В. Комаренко.- К.: Центр

навч.- метод. л-ри, 2012.-112с.:іл.

3. Каплун О.І. Алгебра + геометрія.9 клас: Навчально-методичний

посібник.- Харків: ФОП Співак В.Л.,2010.-368 с.

4. Корнес А.І. Алгебра. Геометрія. 9 клас: Зошит для контрольних і

самостійних робіт / А.І.Корнес, С.П.Бабенко. – Х.: Видавництво

«Ранок», 2009. – 96 с.

5. Мерзляк А.Г., Полянський В.Б., Рабинович Ю.М., Якір М.С.

Збірник задач і завдань для тематичного оцінювання з геометрії для 9

класу. – Харків, Гімназія, 2003. – 136с.: іл..

6. Мерзляк А.Г., Полянський В.Б., Якір М.С. Геометрія: Підруч. для 9

кл. з поглибл. вивченням математики. – Х.: Гімназія, 2009. – 240 с.

7. Роганін О.М. Геометрія: 9 клас: Плани – конспекти уроків.-Х.: Світ

дитинства, 2005.- 322 с.(Серія «Майстер- клас»).

8. Староіва О.О. Геометрія. 9 клас. – Х. : Вид. група «Основа», 2009. –

144с. – (Серія «Мій конспект»).

Education

Методичний посібник «Правильні многокутники»