Решение заданий

В11 тригонометрия

по материалам открытого банка

задач ЕГЭ по математике 2014 года

МБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития»г. Радужный

Автор: учитель математики Е.Ю. Семёнова

Задания открытого банка задач1. Найдите значение выражения .

sincossin

22

11112

Решение.

Решение.

.sinsin

sincossin

12222

2211112

Использована формула: sin 2t = 2sin t · cos t

2. Найдите значение выражения

.

coscossin

18

9922 22

.cos

coscos

coscos

sincoscos

cossin

2218

182218

922218

992218

9922 2222

Использована формула: сos 2t = cos2 t – sin2 t

Задания открытого банка задач3. Найдите значение выражения .

sincos

276333

Решение.

Решение.

Использована формула приведения: cos (90º – t) = sin t

4. Найдите значение выражения .π

sinπ

tg66

36

.

sinsin

sincos

sincos

3327

273327

27903327

6333

.π

sinπ

tg 332

3621

3

136

6636

Использована таблица значений тригонометрических функций.

5. Найдите значение выражения

.π

cosπ

sin

631

319

60

Решение.

Использованы: а) свойство нечетности функции sin t: sin (−t) = − sin t б) свойство периодичности функций sin t и cos t: sin (2πn ± t) = ± sin t, cos (2πn ± t) = cos t, где n ∈ Zв) свойство четности функции cos t: cos (−t) = cos tг) формула приведения: cos (π – t) = − cos t. д) таблица значений тригонометрических функций.

.π

cosπ

πcosπ

cosπ

sin

ππcos

ππsin

πcos

πsin

80

43

60

23

23

60

623

60

623

60

65

3

60

65

233

23

60

631

319

60

Задания открытого банка задач

Решение.

6. Найдите значение выражения .cos 750324

.

coscoscos

363122

332423

324

30324303602324750324

Использованы: а) свойство четности функции cos t: cos (−t) = cos tб) свойство периодичности функции cos t: cos (2πn ± t) = cos t, где n ∈ Zв) таблица значений тригонометрических функций.

Задания открытого банка задач

Решение.

.coscos

sinsin

sinsin

34101034

10270109034

26010034

7. Найдите значение выражения .sin

sin

26010034

Использованы формулы приведения: sin (90º + t) = cos t и sin (270º − t) = − cos t

Решение.

8. Найдите значение выражения .tgtg 2441545

Использованы: а) формулы приведения: tg (90º + t) = − ctg t и tg (180º + t) = tg t б) тождество: tg t · ctg t = 1.

.tgctg

tgtgtgtg

564645

64180649052441545

Задания открытого банка задач

Решение.

9. Найдите значение выражения .sinsin 263173

3722

.sincos

sinsinsinsin

37137

838337

83180839037

26317337

22

2222

Использованы: а) формулы приведения:

sin (90º + t) = cost и sin (180º + t) = − sin tsin2 (180º + t) = (− sin t) 2 = sin2 t

б) тождество: sin2 t + cos2 t = 1.

Задания открытого банка задач

Решение.

10. Найдите tg t, если .π;π

t,tcos

2

23

29295

.,tcostsin

tgt

tsinπ;π

tгде,tsin

tcostsin

tcos

4052

295292

022

3

29

2294

294

2925

2929

2925

129

511

29

529295

2

22

Использованы тождества: sin2 t + cos2 t = 1 и tg t = .

sin tcos t

Задания открытого банка задач

Решение.

11. Найдите −20cos 2t, если sin t = −0,8

.,,,,

,tsintcos

65280202811206402120

8021202120220 22

Использована формула: сos 2t = 1 – 2sin2 t

12. Найдите , если sin 2t = −0,7. tcostsin

2542

.,

,,tsintcos

tcostsintcostsin

5605

825

7045

2425

2242542

Решение.

Использована формула: sin 2t = 2sin t cos t

Задания открытого банка задач

Решение.

13. Найдите значение выражения

.πtcos

tπ

sintπcos

52

33

Использованы: а) свойство нечетности функции sin t: sin (−t) = − sin t б) свойство четности функции cos t: cos (−t) = cos tв) формулы приведения: cos (3π − t) = −cos t, sin (3π/2 − t) = − cos t, cos (π − t)

= − cos t.

.,tcostcos

tcostcostcos

tπcos

tπ

sintcos

πtcos

tπ

sintπcos

4052

52

5

52

3

52

33

Задания открытого банка задач

Решение.

14. Найдите значение выражения: 4tg(−3π – t) – 3tg t, если tg t = 1.

Использованы: а) свойство нечетности функции tg t: tg (−t) = − tg t б) формула приведения: tg (3π + t) = tg t.

.

tgttgttgttgttπtgtgttπtg

717

734334334

Задания открытого банка задач

Решение.

15. Найдите если sin t = 0,96, t ∈ (0; 0,5π).

,tπ

sin

23

4

.,,tcostπ

sin

tcosπ,;tгде,,tcos

,tsintcos

121280442

34

050028010028

257

62549

62549

625576

625625

2524

1960112

222

Использованы: а) формула приведения: sin (3π/2 − t) = − cos tб) тождество: sin2 t + cos2 t = 1.

Задания открытого банка задач

Решение.

16. Найдите если tg t = 0,1.,π

ttg

25

Использованы: а) формула приведения: tg (5π/2 + t) = − ctg tб) тождество: tg t · ctg t = 1.

.,tgt

ctgttπ

tgtπ

πtgπ

ttg 1010

1122

22

5

Задания открытого банка задач

Решение.

17. Найдите tg2 t, если 5sin2 t + 12cos2 t = 6.

.ttg

ttg

ttgttg

ttgttgtcos

ttg

tcostcostcos

tcostsin

tcos:tcostsin

6

6

12665

16125

16125

6125

6125

2

2

22

22

22

22

2

2

2

222

Использовано тождество: tg2 t + 1 = .cos2 t

1

.,tgt

tgt

tcostcos

tcostsin

tcostsin

tcostcos

tcostsintsintcos

:tcosгде

,tcosнадробиьзнаменателичислительПоделим

502

1513167

5367

53

67

5367

0

Задания открытого банка задач

Решение.

Использовано тождество: tg t = .cos t sin t

18. Найдите если tg t = 1.,tcostsintsintcos

5367

.

tcos

tcos

tcos

tcos

tcostgt

tcostgt

tcostcostcos

tcostsin

tcostcostsin

tcostcos

tcostsintsintcos

:tcosгде

,tcosнадробиьзнаменателичислительПоделим

25

10

555

105210

55

10210

55

10210

5510210

0

Задания открытого банка задач

Решение.

Использовано тождество: tg t = .cos t sin t

19. Найдите если tg t = 5.,tcostsintsintcos

5510210

16.tgt

tgt16costsint

cost16cost

cost:sint16cost

9cost4sint22cost7sint12

9cost4sint2cost7sint

Задания открытого банка задач

Решение.

Использовано тождество: tg t = .cos t sin t

20. Найдите tg t, если .tcostsintcostsin

29427

.,tgt

tgt

tgttcos

tcostcostsin

tcos:tcostsin

tcostcostsintsin

tcostsintcostsin

tcostsintcostsintcostsintcostsin

911019

1910

1910

1910

20212

4242012

42153441

42153

Задания открытого банка задач

Решение.

Использовано тождество: tg t = .

cos t sin t

21. Найдите tg t, если .tcostsintcostsin

41

42153

.tcos

tcostcostπ

sintcostπ

sintπcos

232

33

522

522

522

Задания открытого банка задач

Решение.

Использованы формулы приведения: cos (2π + t) = cos t, sin (π/2 − t) = cos t.

22. Найдите значение выражения

если

,tπ

sintπcos

2522

.tcos32

.cos

cossinsin

cossinsinsin

sin12

717112

719071717126

19711426

Задания открытого банка задач23. Найдите значение выражения .

sinsinsin

19711426

Решение.

Использованы:а) формула sin 2t = 2sin t · cos tб) формула приведения sin (90º – t) = cos t.

Задания открытого банка задач

Решение.

24. Найдите значение выражения .π

cosπ

sin8

138

1322

Использованы:а) формула sin 2t = 2sin t · cos tб) свойство периодичности функции sin t:

sin (2πn ± t) = ± sin t, где n ∈ Z в) свойство нечетности функции sin t: sin (−t) = − sin t г) таблица значений тригонометрических функций.

.π

sinπ

sinπ

πsin

πsin

πsin

πcos

πsin

122

24

32

43

24

342

413

28

1322

813

813

22

.,

πcos

ππcos

πcos

πcos

πsin

πcos

πsin

πcos

5429

23

33

627

6227

613

2712

13227

1213

1213

2712

1327

1213

27 2222

Задания открытого банка задач

Решение.

25. Найдите значение выражения .π

sinπ

cos12

1327

1213

27 22

Использованы:а) формула cos 2t = cos2 t – sin2 t.б) свойство периодичности функции cos t:

cos (2πn ± t) = cos t, где n ∈ Z в) таблица значений тригонометрических функций.

Задания открытого банка задач

Решение.

26. Найдите значение выражения .π

cos 188

1572 2

Использованы:а) формула cos 2t = 2cos2 t – 1.б) свойство периодичности функции cos t:

cos (2πn ± t) = cos t, где n ∈ Z в) таблица значений тригонометрических функций.

.π

cosπ

πcosπ

cos

πcos

πcos

πcos

322

234

184

4184

1518

815

21818

1521818

815

72 22

.π

cosπ

πcosπ

cos

πcos

πsin

πsin

222

224

38

43

284

118

811

288

11218

811

328 22

Задания открытого банка задач

Решение.

27. Найдите значение выражения .π

sin8

11328 2

Использованы:а) формула cos 2t = 1 – 2sin2 t.б) свойство периодичности функции cos t:

cos (2πn ± t) = cos t, где n ∈ Z в) таблица значений тригонометрических функций.