ΕΠΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

2013

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0, να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο σημείο αυτό.

Μονάδες 7

Απάντηση Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελ. 217

ΘΕΜΑ Α Α2. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Fermat.

Μονάδες 4

Απάντηση Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελ. 260

ΘΕΜΑ Α Α3. Έστω συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Ποια σημεία

λέγονται κρίσιμα σημεία της f; Μονάδες 4

Απάντηση Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελ. 261

ΘΕΜΑ Α Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. Μονάδες 10 α) Σωστό

β) Λάθος

γ) Σωστό

δ) Λάθος

ε) Σωστό

ΘΕΜΑ Β Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z και w για τους οποίους ισχύουν η εξίσωση

22x w 4 3i x 2 z , x ¡ έχει μια διπλή ρίζα, την x = 1 B1. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των z στο μιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ1= 1, καθώς επίσης ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο Κ(4,3) και ακτίνα ρ2= 4.

Μονάδες 8

Απάντηση

Η δοσμένη σχέση γίνεται:

2 2 w 4 3i

2x w 4 3i x 2 z x x z 0 (1)2

Αφού το τριώνυμο έχει διπλή ρίζα την x=1 ισχύει με χρήση των τύπων Vieta:

ΘΕΜΑΒ Β1. Απάντηση

1 2

w 4 3iw 4 3iS

2 w 4 3i 4 w (4 3i) 422

S x x 2

άρα ο

γεωμετρικός τόπος των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο Κ(4,3) και ακτίνα ρ2= 4 Επίσης από την (1) αφού το x=1 είναι ρίζα έχουμε με αντικατάσταση:

2 4(1) : 1 1 z 0 1 2 z 0 z 1

2 , άρα ο γεωμετρικός τόπος των

εικόνων των z στο μιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ1= 1 (σχήμα 1)

ΘΕΜΑ Β B2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός μιγαδικός αριθμός, η

εικόνα του οποίου ανήκει και στους δύο παραπάνω γεωμετρικούς τόπους.

Μονάδες 5

Απάντηση Ισχύει για την διάκεντρο των κύκλων :

2 21 2(OK) 4 5 5 ρ ρ άρα οι δύο κύκλοι εφάπτονται

εξωτερικά, άρα υπάρχει μοναδικός μιγαδικός, του οποίου η εικόνα ανήκει και στους δύο γεωμετρικούς τόπους.

ΘΕΜΑ Β B3. Για τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z, w του ερωτήματος

Β1 να αποδείξετε ότι: z w 10 και z w 10

Μονάδες 6

Απάντηση Έστω Μ(z), Λ(w) οι εικόνες των μιγαδικών z,w αντίστοιχα. Η απόσταση των εικόνων τους ισχύει 1 20 z w 2(ρ ρ ) αφού εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο Γ. (σχήμα 2)

σχήμα 2

ΘΕΜΑ Β B3.Απάντηση Άρα 1 20 z w 2(ρ ρ ) 2 1 4 10 z w 10 Η ισότητα (μέγιστη τιμή) λαμβάνεται για τα αντιδιαμετρικά σημεία Α(z),Β(w). Για το w ισχύει:

2 2(OK) ρ w (OK) ρ 1 w 9 άρα

2 z w 10 z w 10

Όμως z w z w από την τριγωνική ανισότητα,

άρα z w 10

ΘΕΜΑ Β B3.Απάντηση Εδώ πρέπει να τονιστεί εδώ ότι η σχέση z w z ( w) που εκφράζει την απόσταση των εικόνων του z από τις εικονες του -w πού είναι συμμετρικός του w ως πρός την αρχή των αξόνων. Άρα θα μπορούσε να λυθεί ακριβώς όμοια με πριν

1 20 z w 2(ρ ρ ) 2 1 4 10 z w 10 (σχήμα 3)

σχήμα 3

Â1Åðáíáë_2013.ggb

ΘΕΜΑ Β B4. Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z του ερωτήματος

Β1 να βρείτε εκείνους, για τους οποίους ισχύει: 22z 3z 2zz 5

Μονάδες 6

Απάντηση Έστω z=x+yi με x,y∈ℝ , έχουμε z x yi και z z 2yi .

22z 3z 2zz 5 z(2z 3 2z) 5 z 2z 3 2z 5

22 22(z z) 3 5 3 4yi 5 ( 3) 4y 5 9 16y 25 2y 1 άρα y=1 ή y= -1

Όμως 2 2 2z 1 x y 1 x 1 1 x 0 άρα z i ή z i .

ΘΕΜΑ Γ Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ ⟶ ℝ για την οποία ισχύουν:

22xf(x) x f (x) 3 f (x) για κάθε x∈ℝ

1

f(1)2

Γ1. Να αποδείξετε ότι 3

2

xf(x) , x

x 1

¡

και στη συνέχεια ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ Μονάδες 6

Απάντηση Έχουμε 2 2 22xf(x) x f (x) 3 f (x) 2xf(x) x f (x) 3x f (x)

2 2 3 2 3x f(x) x f(x) x f(x) x f(x) x f(x)

άρα υπάρχει c ¡ ώστε 2 3x f(x) x f(x) c

ΘΕΜΑ Γ Γ1. Απάντηση

... όμως 1

f(1)2

άρα για x=1 έχουμε:

2 3 1 11 f(1) 1 f(1) c 1 c c 0

2 2 .

Άρα 3

2 32

xx f(x) x f(x) f(x)

x 1

για κάθε x ¡ .

Παραγωγίζοντας την f έχουμε:

2 2 3 4 2 4

2 22 2

3x (x 1) x 2x 3x 3x 2xf (x)

x 1 x 1

4 2 2 2

2 22 2

x 3x x (x 3)f (x) 0

x 1 x 1

για κάθε x ¡ .

Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ.

ΘΕΜΑ Γ Γ2. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της

συνάρτησης f του ερωτήματος Γ1. Μονάδες 4

Απάντηση H f είναι παραγωγίσιμη στο ¡ άρα συνεχής στο ¡ οπότε κατακόρυφες ασύμπτωτες δεν έχει.

Τώρα για πλάγιες: 3 3 3

3 32x x x x

f(x) x x xlim lim lim lim 1

x x x xx x 1

Ομοίως x

f(x)lim 1

x .

3 3

2x x x

x xlim (f(x) x) lim x lim

x 1

3x2 2x x

x x 1lim lim 0

x 1 x 1 x

Ομοίως xlim (f(x) x) 0

.

Άρα η (ε):y=x πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο και στο .(σχήμα 4)

ΘΕΜΑ Γ Γ2. Απάντηση

ΘΕΜΑ Γ Γ3. Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών την

ανίσωση:

2 3 2 2f 5(x 1) 8 f 8(x 1)

Μονάδες 7

Απάντηση

(Γ1.)f

2 3 2 2 2 3 2 2f 5(x 1) 8 f 8(x 1) 5(x 1) 8 8(x 1) Z

2 2 2 3(x 1) 1 0

2 3 2 22 2

(x 1) 85(x 1) 8 (x 1) 1

(x 1) 1 5

(Γ1.)f

2f(x 1) f(2) Z

2 2x 1 2 x 1 10 x 1

ΘΕΜΑ Γ Γ4. Γ4. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ∈(0, 1) τέτοιο,

ώστε:

3ξ ξ 2 3

0f(t)dt ξ 3ξ 1 f(ξ ξ)

Μονάδες 8

Απάντηση

Έστω η συνάρτηση 3x x

0

F x x· f t dt, x 0, 1

Εφαρμόζουμε Θεώρημα Rolle την F στο [0,1] Η F(x) είναι συνεχής στο [0,1] άρα παραγωγίσιμη στο (0,1) και ισχύει:

3 0

0

0

F 0 0· f t dt 0

και 3 1

0

1 0

0

F 1 1· f t dt f t dt 0

άρα

F 0 F 1 0 , οπότε...

ΘΕΜΑ Γ Γ4. Απάντηση … οπότε, από Θ. Rolle, υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ 0, 1 , τέτοιο ώστε

3ξ ξ

3 2

0

F ξ 0 ξ · f t dt ξ· f ξ ξ · 3ξ 1 0

3ξ ξ

2 3

0

f t dt ξ· 3ξ 1 ·f ξ ξ

ΘΕΜΑ Δ Δίνεται συνάρτηση f: [0,+∞)⟶ℝ, δύο φορές παραγωγίσιμη, με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο [0,+∞), για την οποία ισχύουν:

2χ

1 1

u (f (t))dt

f(t)duf(x) x

για κάθε x > 0

f(x)f (x) 0 για κάθε x > 0 και f (0) = 0 Θεωρούμε επίσης τις συναρτήσεις:

f (x)g(x)

f(x)

με x>0 και 3

h(x) f (x) με x≥0

Δ1. Να αποδείξετε ότι

2f(x)f (x) 1 f (x) για κάθε x>0

Μονάδες 4

ΘΕΜΑ Δ Δ1. Απάντηση Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (0, ) ¡ ως παραγωγίσιμη στο ¡ και αφού f(x)·f (x) 0 , θα είναι f(x) 0 για κάθε x>0 .

Επίσης η f'(x) είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη , άρα 2f (x) συνεχής ,

επομένως 2f (x) 1

f(x)

συνεχής ως πηλίκο συνεχών, άρα η

2u

1

f (t) 1dt

f(t)

συνεχής ως παραγωγίσιμη , επομένως:

2x u

1 1

f (t) 1dt du

f(t)

, παραγωγίσιμη .

Και παραγωγίζοντας έχουμε:

2x

1

f (t) 1f (x) 1 dt

f(t)

και

2

2f (x) 1f (x) f(x)·f (x) 1 f (x) .

f(x)

ΘΕΜΑ Δ Δ2.α) Να βρείτε το πρόσημο των συναρτήσεων f και f′ στο (0,+∞)

(μονάδες 4)

Απάντηση Αφού f(x) 0 για κάθε x>0 και f συνεχής στο (0, ) , άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο σε αυτό. Αλλά έχω f(1)=1>0, άρα f(x)>0 για κάθε x (0, ) . Αφού f (x) 0 για κάθε x>0 και f' συνεχής στο (0, ) , άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο σε αυτό. Αλλά έχω f'(1)=1>0, άρα f'(x)>0 για κάθε x (0, ) .

ΘΕΜΑ Δ Δ2.β) Να αποδείξετε ότι f΄(0) = 1 (μονάδες 3) Απάντηση Η f' είναι συνεχής στο [0, ) , άρα αφού από (Δ1)

2f(x)f (x) 1 f (x) για κάθε x>0

f συνεχής

2 2

x 0 x 0(f (0)) lim(f (x)) lim f(x)·f (x) 1 f(0)·f (0) 1 1

.

Επίσης f (0) 0 γιατί f'(x)>0 κοντά στο 0x 0 , άρα

x 0lim f (x) 0 f (0) 0

. Άρα f 0 1 .

ΘΕΜΑ Δ Δ3. Δεδομένου ότι η συνάρτηση g είναι κυρτή στο (0, +∞) , να

αποδείξετε ότι: α. g(x) 2 x για κάθε x∈(0, +∞) (μονάδες 2)

Απάντηση Από (Δ1) και τη σχέση 2

f(x)·f (x) 1 f (x) για x=1 έχουμε:

2 21f(1)·f (1) 1 f (1) ·f (1) 1 f ( )1 1 0

Θα βρούμε την εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της g στο A(1,g(1)):

f (1)g(1) 1

f(1)

και

2

2

f (x)·f(x) f (x)g (x)

f(x)

, άρα

2

2

f (1)·f(1) f (1)g (1) 1

f(1)

.

Έτσι η εφαπτόμενη είναι η (ε) : y 1 1(x 1) y 2 x . H g ως κυρτή, έχει γραφική παράσταση που θα βρίσκεται πάνω από την (ε) (εκτός από το σημείο επαφής Α) , άρα g(x) 2 x για κάθε x>0.

ΘΕΜΑ Δ

Δ3. β) 1

0(2 x)f(x)dx 1 (μονάδες 4)

Απάντηση Έχουμε: g(x) 2 x από (Δ3.α) και f(x)>0 από (Δ2.α) άρα θα είναι: g(x)f(x) (2 x)·f(x) f(x)·g(x) (2 x)·f(x) 0 διάφορο του μηδέν για κάθεx [0,1] .

Άρα 1

0

f(x)·g(x) (2 x)·f(x) dx 0 1 1

0 0

f(x)·g(x)dx (2 x)·f(x)dx .

Όμως για το πρώτο ολοκλήρωμα έχουμε: 1 1 1

10

0 0 0

f (x)f(x)·g(x)dx f(x)· dx f (x)dx [f(x)] f(1) f(0) 1 0 1

f(x)

Άρα 1 1

0 0

1 (2 x)·f(x)dx (2 x)·f(x)dx 1

ΘΕΜΑ Δ Δ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

παράσταση της συνάρτησης h, τον άξονα x′x και τις ευθείες x = 0 και x = 1 Μονάδες 8

Απάντηση Αφού 3

h x f x , x 0 είναι συνεχής και h x 0 , για κάθε x 0

το ζητούμενο εμβαδόν είναι ίσο με

1 1 1

3

0 0 0

E h x dx h x dx f x dx

1 1

3 2

0 0

E f (x) dx f (x)· f (x) dx και κάνοντας παραγοντική

ολοκλήρωση έχουμε: 112

00

E f(x)· f (x) 2f(x)·f (x)·f (x)dx

Όμως 2f(x)f (x) 1 f (x) 2

f(x)·f (x) f (x) 1 , άρα

1

2

0

E 1 2· f (x)· f (x) 1 dx 1

0

E 1 2 E 2· f (x)dx

E 1 2 E 2 E 1