инстр. исслед. в пу 2017-тема 3

РАЗДЕЛ 3 - МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Е М О Д Е Л И Р О В А Н И Е Э К О Н О М И Ч Е С К И Х П Р О Ц Е С С О В . П Р И К Л А Д Н Ы Е М О Д Е Л И О П Т И М И З А Ц И И Э К О Н О М И Ч Е С К И Х П Р О Ц Е С С О В .

Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Е М О Д Е Л И Э К О Н О М И Ч Е С К И Х С И С Т Е М

ЛИТЕРАТУРА

1. Математические модели в экономике: учебное по-

собие / И.А. Печерских, А.Г. Семенов; Кемеровский

технологический институт пищевой

промышленности. – Кемерово, 2011. – 191 с.

2. Региональная экономика и пространственное

развитие. В 2 т. Т.1. Региональная экономика. Теория,

модели и методы: учебник для бакалавриата и

магистратуры / под общ. ред. Л.Э. Лимонова. – М.:

Издательство Юрайт, 2014. – 397 с. – Серия:

Бакалавр и магистр. Академический курс.

© Е. Колчинская, 2017,

ekolch.ucoz.ru

ВВЕДЕНИЕ


ekolch.ucoz.ru

МОДЕЛИРОВАНИЕМ НАЗЫВАЕТСЯ

замена

прямого

исследования

какой-то

системы

(«оригинала»)

исследованием

другой системы


ekolch.ucoz.ru

ОСНОВНЫЕ ЦЕЛИ МОДЕЛИРОВАНИЯ В РАЗНЫХ СИТУАЦИЯХ

1. Понимание и объяснение причин определенного поведения оригинала

2. Предсказание поведения оригинала

3. Разработка и проектирование технических систем или экономических планов


ekolch.ucoz.ru

ОСНОВНЫЕ ЦЕЛИ МОДЕЛИРОВАНИЯ В РАЗНЫХ СИТУАЦИЯХ

(ПРОДОЛЖЕНИЕ)

4. Автоматизация управления техническими системами и устройствами

5. Улучшение (оптимизация) характеристик той или иной искусственной системы (технической или экономической). Модели, которые строятся с этой целью, называются оптимизационными

6. Обучение (студентов, персонала и т.п.)


ekolch.ucoz.ru

ОСНОВНЫЕ ВИДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ХАРАКТЕРА ПОЛУЧАЕМОЙ

МОДЕЛИ

1. Вербальная модель –

это просто словесное

описание оригинала

2. Графическое – модель

представляется в виде

некоего изображения


ekolch.ucoz.ru

ОСНОВНЫЕ ВИДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ХАРАКТЕРА ПОЛУЧАЕМОЙ МОДЕЛИ

(ПРОДОЛЖЕНИЕ)

3. Натурное

моделирование, при

котором оригинал

заменяется своим

физическим подобием

(макетом)

4. Математическое

моделирование


ekolch.ucoz.ru

ПО ХАРАКТЕРУ ЗАВИСИМОСТИ ОТ ВРЕМЕНИ

математические модели

статические динамические

непрерывные дискретные


ekolch.ucoz.ru

СПОСОБЫ ПОЛУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ

СИСТЕМЫ-ОРИГИНАЛА

Теоретическое моделирование

Эмпирическое моделирование


ekolch.ucoz.ru

ВАЖНЕЙШИЕ СВОЙСТВА МОДЕЛЕЙ

• Наличие всех существенных для целей рассмотрения модели характеристик объекта Полнота

• Прежде всего, поведение адекватной модели должно приближенно отображать основные качественные особенности поведения оригинала

Адекватность

• В зависимости от целей моделирования точность моделей, признаваемых адекватными, может быть различной

Точность


ekolch.ucoz.ru

ОСОБЕННОСТИ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

По масштабу моделируемой системы модели делятся на:

1. Макроэкономические модели.

2. Микроэкономические модели.


ekolch.ucoz.ru

ОСОБЕННОСТИ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

стохастические детерминированные


ekolch.ucoz.ru

СХЕМА ПРОЦЕССА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ


ekolch.ucoz.ru

Математические модели в экономике: учебное по-собие / И.А. Печерских, А.Г. Семенов; Кемеровский технологический институт пищевой промышленности. – Кемерово, 2011. – 191 с.

НА ЭТАПЕ ФОРМАЛИЗАЦИИ:

1. Определяются характеристики системы, которые разделяются на

• параметры модели (характеристики, которые должны быть известны для построения модели)

•переменные модели, которые должны быть определены в результате моделирования.

2. Вводятся символические обозначения используемых величин.

3. Производится математическое описание взаимосвязей между элементами и характеристиками системы – строится собственно экономико-математическая модель.


ekolch.ucoz.ru

ВИДЫ РЕШЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

•При таком решении результат получается в виде готовых формул для вычисления функций или отдельных величин по значениям параметров процесса.

1. Точное, или аналитическое.

•получается с некоторой погрешностью, которая не может быть до конца устранена. Примером приближенного метода решения является графическое решение.

2. Приближенное

решение

•обычно проводится на компьютере. Результат имеет вид не формулы, а числа или таблицы чисел, получаемых в результате выполнения компьютерной програм-мы, реализующей некий алгоритм.

3. Численное решение


ekolch.ucoz.ru

ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

• обычно осуществляется путем сравнения

результатов моделирования с характеристиками

реальной системы. Лучше всего для этого

попытаться применить модель к какой-то уже

существующей системе с известными

характеристиками.


ekolch.ucoz.ru

П Р И К Л А Д Н Ы Е М О Д Е Л И О П Т И М И З А Ц И И Э К О Н О М И Ч Е С К И Х П Р О Ц Е С С О В - Л И Н Е Й Н О Е П Р О Г Р А М М И Р О В А Н И Е


ekolch.ucoz.ru

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ (ЛП)

область математики, разрабатывающая теорию и

численные методы решения задач нахождения

экстремума линейной функции многих

переменных при наличии линейных ограничений,

связывающих эти переменные.


ekolch.ucoz.ru

ПРИМЕР

• Молочный комбинат освоил выпуск новых сортов сыра:

«Нежный» и «Петровский». Ожидаемый спрос на них может составить, соответственно, не более 15 и 12 т в

месяц. Поскольку комбинат выпускает также

традиционные виды продукции, каждый из 4 цехов может

выделить на производство сыров ограниченный месячный

ресурс времени. Выделяемые лимиты времени, а также затраты времени работы каждого цеха на осуществление

технологического процесса при выработке 1 т сыра

каждого сорта, приведены в таблице на сл. слайде, где

также представлены оптовые цены сыров. Определить

оптимальный объем выпуска сыра каждого сорта, обеспечивающий максимальную выручку от продажи.


ekolch.ucoz.ru

Задача и ее решение из: Математические модели в экономике: учебное пособие / И.А. Печерских, А.Г. Семенов; Кемеровский технологический институт пищевой промышленности. – Кемерово, 2011. – 191 с.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ЗАДАЧИ


ekolch.ucoz.ru

ИСКОМЫЕ НЕИЗВЕСТНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

x1 – объем выпуска сыра «Нежный» (т

сыра / месяц);

x2 – объем выпуска сыра «Петровский» (т сыра / месяц).


ekolch.ucoz.ru

ЦЕЛЕВАЯ ФУНКЦИЯ В ВИДЕ СУММЫ ДОХОДА ОТ ПРОДАЖИ СЫРОВ «НЕЖНЫЙ»

И «ПЕТРОВСКИЙ»

• доход от продажи сыра «Нежный» равен 156*Х1

тыс. руб. в месяц, а от продажи сыра

«Петровский» – 168*Х2 тыс. руб. в месяц.


ekolch.ucoz.ru

ВОЗМОЖНЫЕ ОБЪЕМЫ ПРОИЗВОДСТВА СЫРОВ X1 И X2 ОГРАНИЧИВАЮТСЯ СЛЕДУЮЩИМИ

УСЛОВИЯМИ:

• затраты времени работы каждого цеха на производство сыров обоих сортов, не могут превышать месячного лимита времени по цехам

временными затратами

• согласно результатам изучения рыночного спроса объ-ем производства сыра «Нежный» не должен превышать 15 т в месяц, а сыра «Петровский» - 12 т в месяц

рыночным спросом на сыры

• объемы производства сыров не могут быть отрицатель-ными

неотрицательностью объемов производства


ekolch.ucoz.ru

ОГРАНИЧЕНИЯ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ ВРЕМЕННЫМИ ЗАТРАТАМИ

по второму, третьему и четвертому цехам:

по первому цеху:


ekolch.ucoz.ru

ОГРАНИЧЕНИЯ ПО ОБЪЕМУ ПРОИЗВОДСТВА СЫРОВ СОГЛАСНО

РЫНОЧНОМУ СПРОСУ


ekolch.ucoz.ru

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭТОЙ ЗАДАЧИ ИМЕЕТ ВИД:


ekolch.ucoz.ru

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ И ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ


ekolch.ucoz.ru

ШАГ 1. ПОСТРОЕНИЕ ОБЛАСТИ ДОПУСТИМЫХ РЕШЕНИЙ

• систему ограничений-неравенств запишем в

виде уравнений


ekolch.ucoz.ru


Для первой линии при x1 = 0, x2 = 9.43, а при x2 = 0,

x1 = 33.

x1

x2

9,43

33 © Е. Колчинская, 2017,

ekolch.ucoz.ru


Аналогичным образом делаем для всех остальных неравенств

Где на рисунке область, общая для всех неравенств?


ekolch.ucoz.ru

ШАГ 2. ПРИРАВНЯЕМ ЦЕЛЕВУЮ ФУНКЦИЮ К НУЛЮ


ekolch.ucoz.ru

ШАГ 3. СТРОИМ ВЕКТОР-ГРАДИЕНТ


ekolch.ucoz.ru

ШАГ 4. ПЕРЕМЕЩАЯ ПРЯМУЮ ФУНКЦИИ ПАРАЛЛЕЛЬНО САМОЙ СЕБЕ В НАПРАВЛЕНИИ

ВЕКТОРА-ГРАДИЕНТА


ekolch.ucoz.ru

ШАГ 4. ПЕРЕМЕЩАЯ ПРЯМУЮ ФУНКЦИИ ПАРАЛЛЕЛЬНО САМОЙ СЕБЕ В НАПРАВЛЕНИИ

ВЕКТОРА-ГРАДИЕНТА

Решив эту систему, получим, что х1 = 15, х2=0.

Что комбинат будет производить?

Только сыр «Нежный»

Какой будет максимальная прибыль?

Какой будет максимальная прибыль?

Fmax=156*15 + 168*0 = 2340 руб


ekolch.ucoz.ru

Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Е М О Д Е Л И Э К О Н О М И Ч Е С К И Х С И С Т Е М - П Р О И З В О Д С Т В Е Н Н Ы Е Ф У Н К Ц И И


ekolch.ucoz.ru

ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ

Q = f (X1, X2, …Xn) Q – объем выпуска продукта

X – количество ресурсов

1, 2,…, n – ресурсы для производства продукта


ekolch.ucoz.ru

ПРИМЕРЫ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ - СТЕПЕННАЯ ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ


ekolch.ucoz.ru

ПРИМЕРЫ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ - ФУНКЦИЯ КОББА-ДУГЛАСА


ekolch.ucoz.ru

Математические модели в экономике: учебное пособие / И.А. Печерских, А.Г. Семенов; Кемеровский технологический институт пищевой промышленности. – Кемерово, 2011. – 191 с.

ПРИМЕРЫ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ - ФУНКЦИЯ КОББА-ДУГЛАСА

Например, для экономики

СССР за 1960-1985 гг. по результатам анализа

экономических показателей была

построена производственная

функция:

Для экономики США за

1950-1979 гг. аналогичная функция имеет вид


ekolch.ucoz.ru

Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Е М О Д Е Л И Э К О Н О М И Ч Е С К И Х С И С Т Е М - Б А ЛА Н С О ВА Я М ОД Е Л Ь Л Е О Н Т Ь Е ВА


ekolch.ucoz.ru

В.В. ЛЕОНТЬЕВ (1906-1999)

• В. В. Леонтьев родился в Санкт-

Петербурге.

• В 1925 г. окончил Ленинградский

университет.

• В 1925-28 гг. учился в Берлинском

университете.

• В 1928 г., после получения степени

доктора философии, становится

сотрудником Института мировой

экономики при Кильском



ekolch.ucoz.ru

В.В. ЛЕОНТЬЕВ (1906-1999)

• Затем работал экономическим советником в

Нанкине (Китай).

• В 1931 г. Леонтьев переезжает в США, где

работает в течение 44 лет в Гарвардском


• С 1948 г. директор Службы экономических

исследований.

• С 1975 г. профессор Нью-Йоркского

университета.

• Основатель Института экономического анализа.

• С 1989 г. также консультант при ООН.


ekolch.ucoz.ru

В 1973 г. В. Леонтьев становится лауреатом

Нобелевской премии по экономике «за развитие

метода «затраты—выпуск» и за его применение к

важным экономическим проблемам». © Е. Колчинская, 2017,

ekolch.ucoz.ru

ОСНОВНЫЕ ТРУДЫ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ

В 1941 г. В. В. Леонтьев выпускает книгу «Структура американской экономики, 1919-1929»

«Общеэкономические проблемы межотраслевого анализа» [Леонтьев, 2006-2007].


ekolch.ucoz.ru

УПРОЩЕННАЯ ТАБЛИЦА МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА ТРЕХСЕКТОРНОЙ ЭКОНОМИКИ

Выпуск/

Затраты

Сектор1

с/х

Сектор 2

Промышленн

ость

Сектор 3

Дом.

Хозяйство

Общий

выпуск

Сектор 1, с/х 25 20 55

100

бушелей

зерна

Сектор 2

Промышленно

сть

14 6 30 50 ядров

ткани

Сектор 3

Дом.

Хозяйство

(труд)

80 180 - 260 чел-лет

труда


ekolch.ucoz.ru

ОСОБЕННОСТИ МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА

Рассматривается экономика, в которой каждая отрасль выпускает один и только свой вид продукта;

Взаимосвязь между выпуском и затратами описывается линейными уравнениями (линейная и постоянная технология);

Вектор спроса на товары считается заданным, т.е. в модели отсутствуют как таковые оптимизационные задачи потребителей;

Вектор выпуска товаров вычисляется, исходя из спроса, т.е. отсутствуют как таковые оптимизационные задачи фирм;

Равновесие понимается как строгое равенство спроса и предложения


ekolch.ucoz.ru

ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ

Пусть имеется сектор: отраслей и сектор конечного спроса (сектор

домашних хозяйств),

- выпуск сектора ;

- количество продукции сектора , доставляемое сектору конечного спроса

- текущие затраты продукции отрасли на выпуск отрасли

– затраты -той продукции на производство единицы -той продукции -

коэффициент прямых затрат продукта в секторе

– квадратная матрица порядка – технологическая

матрица


ekolch.ucoz.ru

МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА В ВЕКТОРНО-МАТРИЧНОЙ ФОРМЕ (Т.Е. МОДЕЛЬ «ЗАТРАТЫ-ВЫПУСК»)

где – вектор - столбец валовых выпусков,

– вектор - столбец конечной продукции

– единичная матрица.

X=AX + Y

(I – A)X = Y

статическая система межотраслевых связей:

матричный

мультипликатор


ekolch.ucoz.ru

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА ЛЕОНТЬЕВА

B

По другому называется мультипликатором

Леонтьева или матрицей коэффициентов

полных затрат

Её элементы - коэффициенты показывают потребность в валовом выпуске

продукции отрасли для производства единицы конечной продукции отрасли . Таким

образом, это коэффициенты матричного мультипликатора, показывающего полный

прирост выпуска, первоначальным источником которого является конечный спрос на

продукцию.


ekolch.ucoz.ru

ПРИМЕР. ЗАДАНА МАТРИЦА СТРУКТУРНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ (AIJ)

потребители

производители

Сектор1 с/х

Сектор 2 Промышленность

Сектор1. С/х 0,25 0,40

Сектор 2. Промышленность

0,14 0,12

Как будет выглядеть

матрица (I-A)?

Как будет выглядеть

матрица B?


ekolch.ucoz.ru

ПОЛУЧАЕМ Т.о.:

(6)

Если , то , .

Из вышеизложенного можно выделить следующие коэффициенты:

Коэффициенты полных затрат

Коэффициенты прямых затрат

И, соответственно, коэффициенты косвенных затрат


ekolch.ucoz.ru

Education

инстр. исслед. в пу 2017-тема 3