פרק 3א גיאומטריה אנליטית ישרים מאונכים ומקבילים

לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג

כתב וערך: יוסי דהן אנליטית מאונך/מקביל -א' 3חלק

1

1

30803יחידה שלישית :

א' 1חלק

חקירות פונקציה:

פונקציה מסוג פולינום , אחד חלקי איקס , שורש

'ב1חלק

משוואת משיק


2חלק

אינטגרל : פונקציה קדומה ומציאת שטח

פונקציה של פולינום בלבד

א'0חלק

מטריה אנליטית: מאונך מקבילגיאו

ב'0חלק

גיאומטריה אנליטית: מעגל

4חלק

בעיות קיצון :


3חלק

בעיות מילוליות:

תנועה, קנייה ומכירה,

כתב וערך: יוסי דהן



2

2

2332רק תשס"ו מועד חצב ב 30303מבחן בגרות :1שאלה מספר

חותכים את הצירים –ו הישרים

כמתואר בציור C –ו A ,Bבנקודות

4נתון כי המשוואה של אחד הישרים היא 21 xy

.נמק מתאימה המשוואה הנתונה ? או לאיזה ישר)א(

.האנך חותך את x –העלו אנך לציר ה Bמנקודה ( ב)

.3הוא BDאורך הקטע . Dבנקודה הישר

.Dמצא את שיעורי הנקודה (1)

.Bמצא את שיעורי הנקודה (2)

, Eנפגשים בנקודה –ו הישרים (ג)

–ו . מבין הישרים CEהיא אמצע הקטע Dוהנקודה

המשוואה הנתונה. מצא את משוואת הישר שמשוואתו אינה

פתרון:

.נמק מתאימה המשוואה הנתונה ? או לאיזה ישר )א(

4מתאים למשוואה ישר 21 xy

ולמשוואה יש שיפוע שלילי ( לישר 1)

בציר החיובי. y( הישר והמשוואה חותך את ציר ה 2)

.האנך חותך את x –עלו אנך לציר ה ה Bמנקודה ( ב)

.0הוא BDאורך הקטע . Dבנקודה הישר

.Dמצא את שיעורי הנקודה (1)

.B( מצא את שיעורי הנקודה 2)

Dכמו לנקודה x=2יש אותו ערך של BDלאנך

B)0,2(היא Bלכן נקודה

)3,2(

2

1

34

2

1

2

1

D

x

x

x

Dנקודה

43

3

4

21

21

x

y

xy

A

E

C D

B

),0( y

3d

x

y

)3,(x

)0,(x



3

3

. CEהיא אמצע הקטע D, והנקודה Eנפגשים בנקודה –ו הישרים (ג)

תונה.מצא את משוואת הישר שמשוואתו אינה המשוואה הנ –ו מבין הישרים

. C( נמצא את נקודה 1)

.CEהיא אמצע הקטע Dהנקודה

. E( נמצא את נקודה 2)

, Eנפגשים בנקודה –ו הישרים (ג)

–ו הישרים . מביןCEהיא אמצע הקטע Dוהנקודה

מצא את משוואת הישר שמשוואתו אינה המשוואה הנתונה.

:סופית תשובה

1)ג( B)0,2( (2)ב D)3,2( (1)ב )א( ישר 21 xyAB

BEמשוואת

21

)2(10

1)0,2(

)( 11

xy

xy

m

xxmyy

BEשיפוע

1

12

2

)2()4(

)0()2(

),(),(

)2,4()0,2(

12

12

2211

BE

BE

m

m

xx

yym

yxyx

EB

.Cנקודה

)4,0(

0

4)0(

0

4

21

21

C

y

y

x

xy

4

04

2

)0(2

2

2

2

2

21

x

x

x

xxxM

2

46

2

)4(3

2

2

2

2

21

y

y

y

yyyM

)2.4(E

11 ,

)4,0(

yx

MM yx ,

)3,2(

),( 22 yx E D C

A

E

C D

B

),0( y

x

y

)3,2(

)0,2(

A

E

C D

B

)4,0(

x

y

)3,2(

)0,2(

A

E

C D

B

)4,0(

x

y

)3,2(

)0,2(

)2,4(



4

4

מלבן.

מועד חורף תשס"ח 03330בגרות : מבחן 2שאלה מספר

y –מונח על ציר ה ABCDשל המלבן Cדקוד ק

( ) ראה ציור x –של המלבן מונח על ציר ה Bוקדקוד

. 11הוא Aשל קדקוד x -שיעור ה

82היא ABומשוואת הצלע xy

BCשל הצלע המשוואהאת ו Bדקוד מצא את שיעורי הק (א)

CDשל הצלע המשוואהאת ו .Cדקוד מצא את שיעורי הק ( ב)

D –ו Aמצא את שיעורי הקדקודים (ג)

ABCDבן )ד( מצא את שטח המל

פתרון:

BCשל הצלע המשוואהאת ו Bמצא את שיעורי הקדקוד (א)

CDשל הצלע המשוואהאת ו .Cמצא את שיעורי הקדקוד ( ב)

BCמשוואת

2

)4(0

)0,4(

)(

21

21

21

11

xy

xy

m

xxmyy

BCשיפוע

212 BCAB mm

שיפוע הופכי נגדי

Bנקודה

)0,4(

4

28

820

0

82

B

x

x

x

y

xy

Cנקודה

)2,0(

2

2)0(

0

2

21

21

C

y

y

x

xy

),0( y

)0,(x

x

A

C

B

D

y ),10( y

),0( y

)0,4(

x

A

C

B

D

y ),10( y

),0( y

)0,4(

x

A

C

B

D

y ),10( y



5

5

D -ו Aמצא את שיעורי הקדקודים (ג)

ABCDת שטח המלבן )ד( מצא א

: סופית תשובה

)0,4(2 )א( 21 xymB )2,0(22)ב( xyC

)12,10()14,6()ג( DA (ד )60ABCDS

CDשיפוע

22 CDAB mm

קווים מקבילים

שיפועים זהים

CDמשוואת

22

)0(22

2)2,0(

)( 11

xy

xy

m

xxmyy

Aנקודה

)12,10(

12

8)10(2

10

82

A

y

y

x

xy

ADשיפוע

2

1

2

1 ADBC mm



ADמשוואת

17

125

)10(12

)12,10(

)(

21

21

21

21

11

xy

xy

xy

m

xxmyy

Dנקודה

6

152

2172

1722

21

21

21

x

x

xx

xx

yy ADCD

)14,6(

14

2)6(2

6

22

D

y

y

x

xy

)2,0(

)0,4(

x

A

C

B

D

y ),10( y

D

)2,0(

)0,4(

x

A

C

B

D

y )12,10(

)2,0(

)0,4(

x

A

C

B

D

y

)12,10(



6

6

מועד ב' תש"ע 03830מבחן בגרות : 0שאלה מספר

)3,4()1,0( הם : ABCDקדקודים סמוכים במלבן שני AB (ראה ציור).

6היא BDמשוואת האלכסון 43 xy

.ABמצא את השיפוע של הצלע (1)(א)

.ADמצא את משוואת הצלע ( 2)

.Dמצא את שיעורי הקדקוד . (ב)

חשב את שטח המלבן. . (ג)

פתרון:

.ABמצא את השיפוע של הצלע ( 1א)

.ADמצא את משוואת הצלע ( 2א)

ABשיפוע

2

1

2

1

4

2

)0()4(

)1()3(

),(),(

)3,4()1,0(

12

12

2211

AB

AB

m

m

xx

yym

yxyx

BA

ADמשוואת

12

)0(21

2)1,0(

)( 11

xy

xy

m

xxmyy

ADשיפוע

221 ADAB mm


)3,4(

)1,0( x A

C

B

D

y

)3,4(

)1,0( x A

C

B

D

y



7

7

.Dמצא את שיעורי הקדקוד . (ב)

חשב את שטח המלבן. . (ג)


(1א)2

1ABm (2א) 12 xyAD

40ABCDS ( ג) D)9,4( (ב)

Dנקודה

4

15

216

612

41

43

43

x

x

xx

xx

yy BDAD

)9,4(

9

1)4(2

4

12

D

y

y

x

xy

.ABטע אורך הק

47.4

20

)13()04(

)()(

),(),(

)3,4()1,0(

222

2

12

2

12

2

2211

AB

AB

d

d

d

yyxxd

yxyx

BA

ADאורך הקטע

94.8

80

)19()04(

)()(

),(),(

)9,4()1,0(

222

2

12

2

12

2

2211

AD

AD

d

d

d

yyxxd

yxyx

DA

שטח המלבן

40

94.847.4

ABCD

ABCD

ABCD

S

S

ADABS

)3,4(

)1,0(

)9,4(

x A

C

B

D

y

)3,4(

)1,0( x A

C

B

D

y

)3,4(

)1,0(

)9,4(

A

C

B

D



8

8

מועד חורף תש"ע 03830מבחן בגרות : 4מספר שאלה

)4,6()10,3(הנקודות BC שני קדקודים סמוכים במלבן הןABCD,

.) ראה ציור ( x -מקביל לציר ה ACהאלכסון

.BCת השיפוע של מצא א( 1)(א)

.ABמצא את משוואת הישר שעליו מונחת הצלע ( 2)

.Aדקוד מצא את השיעורים של הק( 0)

.DCמצא את משוואת הישר שעליו מונחת הצלע ( ב)

,Eבנקודה y -חותכת את ציר ה DCהצלע ( ג)

Fבנקודה y -חותך את ציר ה ACוהאלכסון

.EFהקטע מצא את אורך

פתרון:

.BCמצא את השיפוע של הצלע (1א)

.ABמצא את משוואת הישר שעליו מונחת הצלע ( 2א)

BCשיפוע

2

3

6

36

104

),(),(

)4,6()10,3(

12

12

2211

BC

BC

m

m

xx

yym

yxyx

CB

ABמשוואת

5.8

105.1

)3(10

)10,3(

)(

21

21

21

21

11

xy

xy

xy

m

xxmyy

AB

ABשיפוע

2

12 ABBC mm


)10,3(

)4,6(

x

A C

B

D

y

x -מקביל לציר ה

m=0

)10,3(

)4,6(

x

A C

B

D

y


m=0



9

9

.Aמצא את השיעורים של הקדקוד ( 0א)

.DCמצא את משוואת הישר שעליו מונחת הצלע ( ב)

Eבנקודה y - ה חותכת את ציר DCהצלע ( ג)

.EFמצא את אורך הקטע Fבנקודה - yחותך את ציר ה ACוהאלכסון

E)ג( נמצא את נקודה


(1א)

21m (2א) 5.8

21 xyAB

(ב) A)4,9((0א)

121 xyDC

3EF (ג)

Aנקודה

)4,9(

9

5.4

5.84

45.8

21

21

21

A

x

x

x

x

yy ACAB

CDמשוואת

1

43

)6(4

)4,6(

)(

21

21

21

21

11

xy

xy

xy

m

xxmyy

DC

CDשיפוע

2

12 DCBC mm


Fנקודה

)1,0(

1

1)0(

0

1

21

21

F

y

y

x

xy

FEמרחק

3

)1,0()4,0(

EFd

FE

ACשיפוע

0ACm

xמקביל לציר

ACמשוואת

4

)6(04

)4,6(0

)( 11

y

xy

Cm

xxmyy

AC

)10,3(

)4,6(

x

A C

B

D

y


m=0

)10,3(

)4,6(

x

A C

B

D

y

4y )4,9( F

E

)4,0(



11

11

מקבילית

מועד א' תשס"ו 03330מבחן בגרות : 3שאלה מספר

נתון: ,ABCDמקבילית נתונה

6מונחת על הישר ADהצלע 21 xy ,

3מונחת על הישר DCהצלע xy ,

y –נמצא על ציר ה Cדקוד הק

.C דקוד מצא את שיעורי הק א(

מונחת עליו. BCמצא את משוואת הישר שהצלע ב(

x –מקביל לציר ה DBנתון גם כי האלכסון ג(

מצא את השיעורים של נקודת מפגש האלכסונים במקבילית

D -ו B)ד( מצא את שיעורי הנקודות

:פתרון

.Cמצא את שיעורי הקדקוד א()

מונחת עליו. BCמצא את משוואת הישר שהצלע ב()

x –מקביל לציר ה DBנתון גם כי האלכסון ג()

מצא את השיעורים של נקודת מפגש האלכסונים במקבילית

Cנקודה

)3,0(

3

3)0(1

0

31

C

y

y

x

xy

BCשיפוע

2

1

2

1 BCAD mm


זהים ים שיפוע

BDמשוואת

3

)0(3

)3,0(

)(

21

21

21

11

xy

xy

m

xxmyy

1.

Dנקודה מציאת

2

31

361

631

21

21

21

x

x

xx

xx

yy ADDC

)5,2(

5

3)2(1

2

31

D

y

y

x

xy

),0( y x

A

C

B D

y

)3,0( x

A

C

B D

y

M

D

)3,0( x

A

C

B

y



11

11

M נקודת מפגש האלכסונים במקבילית


3 )ב( C)3,0()א( 21 xyBC )5,1()ג(M )5,4()5,2()ג( DB

2.

DB משוואת

5

)2(05

)5,2(0

)( 11

y

xy

Dm

xxmyy

0.

Bנקודה

)5,4(

4

2

35

35

35

21

21

21

21

B

x

x

x

x

xyy

yy

BCDB

BCDB

DB שיפוע


0DBm

)5,2(

)3,0( x

A

C

B D

y

M

)5,2(

)3,0( x

A

C

B D

y

M 5y

)5,2(

)3,0( x

A

C

B D

y

M 5y

)5,4(

1

2

)4()2(

2

21

M

M

M

x

x

xxx

5

2

)5()5(

2

21

M

M

M

y

y

yyy

)5.1(M

11 ,

)5,2(

yx

),( MM yx

22 ,

)5,4(

yx

B M D



12

12

תשס"ט מועד חורף 03830מבחן בגרות : 2שאלה מספר

בראשית הצירים Oקדקוד OABCנתונה מקבילית

)ראה ציור( x –על ציר ה Cוקדקוד

∢090OAC : נתון A)4,2(הם Aדקוד שיעורי ק

OAמצא את משוואת הצלע ( א)

.ACמצא את משוואת האלכסון ( ב)

.Cד דקומצא את השיעורים של ק (1)(ג)

.Bדקוד מצא את השיעורים של הק( 2)

פתרון:

OAמצא את משוואת הצלע ( א)

.ACמצא את משוואת האלכסון ( ב)

.Cמצא את השיעורים של קדקוד (1ג)

OAמשוואת

xy

xy

m

xxmyy

2

)0(20

2)0,0(

)( 11

AOשיפוע

22

4

)0()2(

)0()4(

),(),(

)4,2()0,0(

12

12

2211

OAm

xx

yym

yxyx

AO

AEשיפוע

2

12 ACOA mm


AEמשוואת

5

41

)2(4

)4,2(

)(

21

21

21

21

11

xy

xy

xy

m

xxmyy

Cנקודה

)0,10(

10

5

50

0

5

21

21

21

C

x

x

x

y

xy

x

A

C

B

O

y

)4,2(

)0,0(

x

A

C

B

O

y

)4,2(

)0,0( )0,(x

)0,(x

x

A

C

B

O

y

)4,2(

)0,0( )0,(x



13

13

.Bמצא את השיעורים של הקדקוד ( 2)ג


xyOC (א) 2 (ב) 521 xyAC (1ג ))0,10(C (2ג .))4,12(B

BCשיפוע

22 BCAO mm



BCמשוואת

202

)10(20

2)0,10(

)( 11

xy

xy

m

xxmyy

Bנקודה

)4,12(

12

224

2204

2024

B

x

x

x

x

yy BCAB

AB שיפוע

0ABm


AB משוואת

4

)2(04

)4,2(0

)( 11

y

xy

Am

xxmyy

AB

x

A

C

B

O

y

)4,2(

)0,0( )0,10(

x

A

C

B

O

y

)4,2(

)0,0( )0,8(

x

A

C

B

O

y

)4,2(

)0,0( )0,8(



14

14

מועד ב' תשס"ח 03330מבחן בגרות : 7שאלה מספר

)7,1(הוא ABCDאחד מקודקודי המקבילית B

מונחת על הישר. CDהצלע

xy

מונח על הישר ACהאלכסון 7

18

7

1 xy

.C. מצא את שיעורי הקדקוד א

.ABמצא את משוואת הישר שעליו מונחת הצלע (1 ב.

.Aמצא את שיעורי הקדקוד ( 2

, CDהורידו אנך לצלע A. מקדקוד ג

) ראה ציור ( Eהחותך אותה בנקודה

.Eמצא את שיעורי הנקודה

פתרון:

.Cמצא את שיעורי הקדקוד (א)

.ABמצא את משוואת הישר שעליו מונחת הצלע (1ב)

.Aמצא את שיעורי הקדקוד ( 2)ב

ABשיפוע

11 ABCD mm



ABמשוואת

61

711

)1(17

1)7,1(

)( 11

xy

xy

xy

m

xxmyy

Cנקודה

3

1

1

718

76

718

71

7

18

71

x

x

xx

xx

yy ACCD

)3,3(

3

)3(1

3

1

C

y

y

x

xy

Aנקודה

4

3

61

61

73

76

718

71

7

18

71

x

x

xx

xx

yy ABAC

)2,4(

2

6)4(1

4

61

A

y

y

x

xy

x

A

C

B

D y E

)7,1(

x

A

C

B

D y E

)7,1(

)3,3(

x

A

C

B

D y E

)7,1(

)3,3(



15

15

) ראה ציור( E,החותך אותה בנקודה CDהורידו אנך לצלע Aמקדקוד (ג)

.Eמצא את שיעורי הנקודה


)3,3()א( C 6( 1)ב xyAB 2,4(( 2)ב( A )1,1( )ג(E

AEשיפוע

11 AECD mm


AEמשוואת

21

241

)4(12

1)2,4(

)( 11

xy

xy

xy

m

xxmyy

Eנקודה

1

22

112

121

x

x

xx

xx

yy CDAE

)1,1(

1

)1(1

1

1

E

y

y

x

xy

)2,4( A

C

B

D E

)7,1(

)3,3(

)2,4( A

C

B

D E

)7,1(

)3,3(



16

16

מעוין

תשס"ה ברק / מועד חצב 03330 מבחן בגרות: 8שאלה מספר

)4,4(הם , B נתון : השיעורים של קדקוד ABCDבמעוין B

22היא ACמשוואת האלכסון xy

.BDמצא את משוואת האלכסון א.

ין.ל נקודת המפגש של האלכסונים במעומצא את השיעורים ש ב.

Cדקוד מצא את השיעורים של ק 4הוא Aדקוד של ק y –נתון כי שיעור ה ג.

פתרון:

.BDמצא את משוואת האלכסון ( א) ם מאונכים זה לזההאלכסוניבמעוין

מצא את השיעורים של נקודת המפגש של האלכסונים במעוין. ( ב)

BDשיפוע

2

12 BDAC mm


BDמשוואת

2

42

)4(4

)4,4(

)(

21

21

21

21

11

xy

xy

xy

m

xxmyy

Oנקודה

0

02

222

222

21

21

21

x

x

xx

xx

yy BDAC

)2,0(

2

2)0(2

0

22

O

y

y

x

xy

x

y

)8,3(

)4,4(

A

C

B O

)4,(x

D

C

x

y

)4,4(

A

B

O

)4,(x

D



17

17

Cמצא את השיעורים של קדקוד 4הוא Aשל קדקוד yנתון כי שיעור ה ( ג)

תשובה סופית:

2)א( 21 xyBD )2,0()ב( O )4,3()8,3( )ג( CA

Aנקודה

)4,3(

3

26

224

224

4

22

A

x

x

x

x

y

xy

3

30

2

)3(0

2

2

2

2

21

x

x

x

xxxM

8

44

2

)4(2

2

2

2

2

21

y

y

y

yyyM

)8.3( C

11 ,

)4,3(

yx

),( 22 yx

MM yx ,

)2,0(

C O A

x

y

)2,0(

)4,4(

A

C

B O

)4,(x

D



18

18

ח"תשס מועד א' 03330מבחן בגרות :9שאלה מספר

)6,3()1,6( שני קדקודים הם : ABCDבמעוין AB

אחד מאלכסוני המעוין מונח על הישר 2

14

2

1 xy

ציור ראה

מצא את משוואת האלכסון השני של המעוין א.

Oאלכסוני המעוין נפגשים בנקודה (1) ב.

.Oמצא את שיעורי הנקודה

חשב את שטח המעוין (2)

פתרון:

מצא את משוואת האלכסון השני של המעוין ( א)

.Oמצא את שיעורי הנקודה Oים בנקודה אלכסוני המעוין נפגש (1ב)

ACשיפוע

22

1 ACBD mm

הופכי נגדי שיפוע

ACמשוואת

132

1122

)6(21

2)1,6(

)( 11

xy

xy

xy

m

xxmyy

Oנקודה

7

172

4132

4132

21

21

21

21

21

21

x

x

xx

xx

yy BDAC

)1,7(

1

13)7(2

7

132

O

y

y

x

xy

y

x

)6,3(

A

C

B

D )1,6(

O

y

x

)6,3(

A

C

B

D )1,6(

O



19

19

חשב את שטח המעוין (2ב)

.משולשים 4 –אחד ונכפיל ב משולשע"י כך שנחשב שטח המעויןנחשב שטח


132)א( xyAC 1,7(( 1)ב( O 50( 2)בABCDS

BOאורך הקטע

18.11

125

)61()37(

)()(

),(),(

)1,7()6,3(

222

2

12

2

12

2

2211

BO

BO

d

d

d

yyxxd

yxyx

OB

AOאורך הקטע

24.2

5

)11()67(

)()(

),(),(

)1,7()1,6(

222

2

12

2

12

2

2211

AO

AO

d

d

d

yyxxd

yxyx

OA

AOBשטח משולש

52.12

2

24.218.11

22

AOB

AOB

a

S

S

BOAOhaS

שטח המעוין

5052.124

4

ABCD

AOBABCD

S

SS

y

x

)6,3(

A

C

B

D )1,6(

O )1,7(



21

21

תשע"ב 2312מועד חורף 03830מבחן בגרות : 13שאלה מספר

ABCDלפניך מעוין

)ראה ציור( Mהמעוין נפגשים בנקודה אלכסוני

)1,4()5,8( :נתון AC

.Mמצא את שיעורי הנקודה )א(.

.BDסון מצא את משוואת האלכ .(ב)

,x -נמצאת על ציר ה Dנתון שהנקודה .(ג)

.B –ו Dמצא את שיעורי הנקודות

מצא את שטח המעוין .(ד)

פתרון:

.Mמצא את שיעורי הנקודה )א(.

.BDמצא את משוואת האלכסון .(ב)

DBשיפוע

33

1 BDAC mm


BDמשוואת

93

363

)2(33

3)3,2(

)( 11

xy

xy

xy

m

xxmyy

ACשיפוע

3

1

12

4

)8()4(

)5()1(

),(),(

)1,4()5,8(

12

12

2211

ACm

xx

yym

yxyx

CA

2

2

)8()4(

2

21

M

M

M

x

x

xxx

3

2

)5()1(

2

21

M

M

M

y

y

yyy

)3.2(M

11 ,

)1,4(

yx

),( MM yx

22 ,

)5,8(

yx

A M C

)1,4(

)5,8( A

C

B

D

M

x

y

)1,4(

)5,8( A

C

B

D

M

)0,(x

)3,2(

x

y



21

21

.B –ו Dמצא את שיעורי הנקודות ,x -ר הנמצאת על צי Dנתון שהנקודה .(ג)

מצא את שטח המעוין .(ד) 2המעוין לפי הנוסחה מכפלת האלכסונים חלקי נחשב שטח

: ה סופיתתשוב

93 )ב( M)3,2( )א( xyBD

)0,3()6,1()ג( BD )40)דABCDS

Dנקודה

)0,3(

3

93

930

0

93

D

x

x

x

y

xy

1

34

2

)3(2

2

2

2

2

21

x

x

x

xxxM

6

06

2

)0(3

2

2

2

2

21

y

y

y

yyyM

)6.1(B

11 ,

)0,3(

yx

),( 22 yx

MM yx ,

)3,2(

B M D

BDאורך האלכסון

324.6

40

)60()13(

)()(

),(),(

)0,3()6,1(

222

2

12

2

12

2

2211

BDd

d

d

yyxxd

yxyx

DB

ACאורך האלכסון

65.12

160

)51()84(

)()(

),(),(

)1,4()5,8(

222

2

12

2

12

2

2211

ACd

d

d

yyxxd

yxyx

CA

שטח המעוין

40

2

65.12324.6

2

ABCD

ABCD

ACBD

ABCD

S

S

ddS

)1,4(

)5,8( A

C

B

D

M

)0,(x

)3,2(

x

y

)1,4(



22

22

תשע"א חורףמועד 30803מבחן בגרות : 11שאלה מספר

)1,5(,)5,2( נתונים הקודקודים: ABCDבמעויין AB .)ראה ציור(

12אחד מאלכסוני המעוין מונח על הישר xy

מונח על הישר הנתון ? BDאו AC –איזה מבין האלכסונים )א(

מצא את משוואת האלכסון השני של המעוין. )ב(

) ראה ציור( Mאלכסוני המעוין נפגשים בנקודה )ג(

.Mמצא את שיעורי הנקודה

.Dמצא את שיעורי הנקודה )ד(

.AMBחשב את שטח המשולש )ה(

פתרון:

מונח על הישר הנתון ? BDאו AC –איזה מבין האלכסונים א()

12הישר xy מונח על האלכסוןAC

. y –השיפוע שלילי וחותך ב + את ציר ה

מצא את משוואת האלכסון השני של המעוין. )ב(

ר( ) ראה ציו Mאלכסוני המעוין נפגשים בנקודה )ג(

.Mמצא את שיעורי הנקודה

BDשיפוע

2

12 BDAC mm


BDמשוואת

21

21

21

21

21

21

11

1

12

)5(1

)1,5(

)(

xy

xy

xy

m

xxmyy

Mנקודה

1

22

112

112

21

21

21

21

21

21

x

x

xx

xx

yy BDAC

)1,1(

1

1)1(2

1

12

M

y

y

x

xy

)5,2( A

C

B

M

)1,5(

D

x

y

)5,2( A

C

B

M

)1,5(

D

x

y



23

23

.Dמצא את שיעורי הנקודה )ד(

.AMBחשב את שטח המשולש )ה(


12)א( xyAC )ב( 21

21 1 xyBD

)1,1()ג( M )3,3()ד( D (ה )15AMBS

BMאורך הקטע

47.4

20

)11()51(

)()(

),(),(

)1,1()1,5(

222

2

12

2

12

2

2211

BMd

d

d

yyxxd

yxyx

MB

AMאורך הקטע

7.6

45

)51()21(

)()(

),(),(

)1,1()5,2(

222

2

12

2

12

2

2211

AMd

d

d

yyxxd

yxyx

MA

AMBשטח המשולש

15

2

7.647.4

22

AMB

AMB

a

S

S

BMAMhaS

)5,2( A

C

B

M

)1,5(

D

x

y

)1,1(

3

52

2

)5(1

2

2

2

2

21

x

x

x

xxxM

3

12

2

)1(1

2

2

2

2

21

y

y

y

yyyM

)3.3( D

11 ,

)1,5(

yx

),( 22 yx

MM yx ,

)1,1(

D M B



24

24

מועד חצב/ ברק תשע"א. 03830מבחן בגרות :12שאלה מספר

.x –מקביל לציר ה ACהאלכסון .ABCDמעוין בציור שלפניך

M - המפגש של האלכסונים. נקודת

)1,8(,)2,8( -:נתון כי MB

.Dמצא את שיעורי הקדקוד )א(

.ACמצא את משוואת האלכסון )ב(

ABנתון כי משוואת הישר שעליו מונחת הצלע )ג(

5 :היא 43 xy מצא את שיעורי הנקודהA.

.ABCDמצא את שטח המעוין )ד(

פתרון:

.Dאת שיעורי הקדקוד )א( מצא

.ACמצא את משוואת האלכסון )ב(

ABנתון כי משוואת הישר שעליו מונחת הצלע )ג(

5היא : 43 xy מצא את שיעורי הנקודהA.

8

816

2

)8(8

2

2

2

2

21

x

x

x

xxxM

5

14

2

)1(2

2

2

2

2

21

y

y

y

yyyM

)5.8( D

11 ,

)1,8(

yx

),( 22 yx

MM yx ,

)2,8(

D M B

Aנקודה

)2,4(

4

3

25

25

43

43

43

A

x

x

x

x

yy ACAB

AC שיפוע

0ACm


AC משוואת

2

)8(02

)2,8(0

)( 11

y

xy

Mm

xxmyy

AB

)2,8(

)5,8(

A C

B

M

)1,8(

D

x

)2,8(

)5,8(

A C

B

M

)1,8(

D

x

xמקביל לציר ה

)2,8(

)5,8(

A C

B

M

)1,8(

D

x

2y



25

25

.ABCDוין מצא את שטח המע ד() .4ונכפיל אותו פי AMBחישוב שטח המשולש ע"י המעויןנחשב שטח


)5,8()א( D )2 )בACy )2,4( )ג( A 24ABCDS)ד(

MB הקטעאורך

3

9

)12()88(

)()(

),(),(

)2,8()1,8(

222

2

12

2

12

2

2211

BMd

d

d

yyxxd

yxyx

MB

MA קטעאורך ה

4

16

)22()48(

)()(

),(),(

)2,8()2,4(

222

2

12

2

12

2

2211

AMd

d

d

yyxxd

yxyx

MA

AMBשטח המשולש

6

2

34

2

AMB

AMB

a

S

S

haS

ABCDשטח המעוין

24

64

4

ABCD

ABCD

AMBABCD

S

S

SS



26

26

תשע"ב 2312חצב/ברק 30803מבחן בגרות : 10שאלה מספר

ראשית בצירים(. Oנמצאות על הצירים ) A ,B ,Cבציור שלפניך הנקודות

82מונחת על הישר שמשוואתו ABהצלע xy

.AOBמשטח המשולש 2גדול פי ABCשטח המשולש

.B –ו Aמצא את שיעורי הנקודות )א(

.Cמצא את שיעורי הנקודה )ב(

.ABCDהוא אלכסון של המקבילית ACנתון כי )ג(

.Dמצא את שיעורי הנקודה ( 1)

היא מעוין? נמק. ABCDהאם המקבילית (2)

פתרון:

.B –ו A)א( מצא את שיעורי הנקודות

.Cמצא את שיעורי הנקודה )ב(

.AOBמשטח המשולש 2ול פי גד ABCשטח המשולש

Aנקודה

)8,0(

8

8)0(2

0

82

A

y

y

x

xy

Bנקודה

)0,4(

4

82

820

0

82

B

x

x

x

y

xy

ב.

ABCשטח משולש

ABC

ABC

ABCAOB

S

S

SS

32

162

2

א.

AOBשטח משולש

16

2

84

22

0

AOB

BA

a

AOB

S

S

OAOBhaS

ד.

Cנקודה

)0.12(

12848

C

xx BC

.ג

BCצלע

ABCמשולש

BC

BC

BC

OABChaS a

ABC

8

864

2

832

22

A

C B )0,(x

D

x

y

)0,(x

),0( y

A

C B )0,4(

D

x

y

)0,(x

)8,0(

)0,0( 4d

8d

BCd



27

27

.D. מצא את שיעורי הנקודה ABCDהוא אלכסון של המקבילית ACנתון כי (1)ג

: במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה.משפט

.Mא. נמצא את מרכז האלכסונים

Dנקודה א. נמצא את

היא מעוין? נמק. ABCD האם המקבילית( 2)ג : במעוין אורך כל הצלעות שווים זה לזה. 1 משפט

: במעוין האלכסונים מאונכים זה לזה 2משפט

AB =8.94אורך הצלע

BC =8אורך הצלע

המקבילית לא מעוין תשובה סופית:

)08()0,4()א( BA )0,12()ב(C ( 1)ג)8,8(D (2ג) המקבילית לא מעוין

ABרך הצלע או

94.8

80

)80()04(

)()(

),(),(

)0,4()8,0(

222

2

12

2

12

2

2211

ABd

d

d

yyxxd

yxyx

BA

6

2

)12()0(

2

21

M

M

M

x

x

xxx

4

2

)0()8(

2

21

M

M

M

y

y

yyy

)4.6(M

11 ,

)8,0(

yx

),( MM yx

22 ,

)0,12(

yx

C M A

8

412

2

)4(6

2

2

2

2

21

x

x

x

xxxM

8

08

2

)0(4

2

2

2

2

21

y

y

y

yyyM

)8,8(D

11 ,

)0,4(

yx

),( 22 yx

MM yx ,

)4,6(

D M B

BCאורך הצלע

8

64

)00()412(

)()(

),(),(

)0,12()0,4(

222

2

12

2

12

2

2211

BCd

d

d

yyxxd

yxyx

CB

A

C B )0,4(

D

x

y

)0,12(

)8,0(

)0,0(

M

A

C B )0,4(

D

x

y

)0,12(

)8,0(

)0,0(

M

)4,6(

)0,12(

A

C B )0,4(

D )8,0(

M

)4,6(

)8,8(



28

28

טרפז

.2312 א' קיץ תשע"ב מועד 30803מבחן בגרות : 14שאלה מספר

שקודקודיו הם: ABCDבציור שלפניך מרובע

)8,4()10,14()17,10(,)16,5(

יור.)א( התאם כל קדקוד לאות המתאימה לו בצ

( מצא את השיפועים של ארבע צלעות המרובע.1)ב( )

הוא טרפז. ABCD( הסבר מדוע המרובע 2)

הוא גובה הטרפז מצא את: AE)ג( נתון כי

.AE( המשוואה של 1)

.E( שיעור הנקודה 2)

פתרון:

)א( התאם כל קדקוד לאות המתאימה לו בציור.

)16,5()17,10(,)10,14()8,4( ABCD

מצא את השיפועים של ארבע צלעות המרובע.( 1)ב

הוא טרפז. ABCD( הסבר מדוע המרובע 2)ב .לא זהים BCו ADקווים מקבילים השיפועים לכן ה זהים CDו ABהשיפועים

בעל זוג אחד בלבד של צלעות מקבילות נקרא טרפזמרובע

בע שבשאלה טרפז.לכן המרו

ABשיפוע

5

1

)5()10(

)16()17(

),(),(

)17,10()16,5(

12

12

2211

AB

AB

m

m

xx

yym

yxyx

BA

ADשיפוע

8

1

8

)5()4(

)16()8(

),(),(

)8,4()16,5(

12

12

2211

AD

AD

m

m

xx

yym

yxyx

DA

CDשיפוע

5

1

10

2

)14()4(

)10()8(

),(),(

)8,4()10,14(

12

12

2211

CD

CD

m

m

xx

yym

yxyx

DC

CBשיפוע

4

31

4

7

)14()10(

)10()17(

),(),(

)17,10()10,14(

12

12

2211

CB

CB

m

m

xx

yym

yxyx

BC

)16.5(

)10,14(

x

A

C

B

D

y

E

)8,4(

)17,10(



29

29

.AEהמשוואה של הוא גובה הטרפז מצא את AE( נתון כי 1)ג

.Eשיעור הנקודה מצא את:(2)ג

סופית: תשובה

)8,4()10,14(,)17,10()16,5()א( ABCD

( 1)ב5

1,

4

31,

5

1,8 ABBCCDAD mmmm

לא זהים לכן המרובע הוא טרפז. BCו ADהשיפועים מקבילים זהים קווים CDו ABהשיפועים ( 2)ב

415( 1)ג xyAE ( 2)ג)2

121 8,6(E

AEמשוואת

415

16255

)5(516

5)16,5(

)( 11

xy

xy

xy

m

xxmyy

AEשיפוע

55

1 AEDC mm


)16.5(

)10,14(

x

A

C

B

D

y

E

)8,4(

)17,10(

1.

DCמשוואת

51

51

54

51

51

51

11

7

8

)4(8

)8,4(

)(

xy

xy

xy

m

xxmyy

DC

2.

Eנקודה

5.6

335

7415

4157

54

51

51

51

51

51

x

x

xx

xx

yy AECD

)5.8,5.6(

5.8

41)5.6(5

415

E

y

y

xy

)16.5(

)10,14(

x

A

C

B

D

y

E

)8,4(

)17,10(

)16.5(

)10,14(

x

A

C

B

D

y

E

)8,4(

)17,10(



31

31

משולש

מועד א' תשס"ד 03330מבחן בגרות : 13שאלה מספר

.BCהיא אמצע הצלע Dהנקודה ABCבמשולש

DE היא אנך לצלעBC ) ראה ציור (

5היא ADמשוואת התיכון 43 3

y x

1היא DEמשוואת האנך 43 3

y x

.Dמצא את שיעורי הנקודה א.

91היא ABנתון כי משוואת הצלע ב.2 2

y x

.B –ו Cמצא את שיעורי הקדקודים

פתרון:

.Dהנקודה מצא את שיעורי .(א)

BCהיא אנך לצלע BC DEמצא את משוואת הצלע )ב(

.B –ו Cמצא את שיעורי הקדקודים )ג(

.BCהיא אמצע הצלע Dהנקודה


83)ב( D)2,2()א( xyBC 1,3()5,1( ()ג( BC

.BCשיפוע

33

1 BCDB mm


ACמשוואת

83

263

)2(32

3)2,2(

)( 11

xy

xy

xy

m

xxmyy

)2,2(

E

y A

D

C

x

B )5,1(

Dנקודה

2

1231

32

35

31

34

34

34

3

5

34

31

x

x

xx

xx

yy ADDE

)2,2(

2

)2(

2

34

31

34

31

D

y

y

x

xy

Bנקודה

1

33

38

83

21

21

21

29

29

21

x

x

xx

xx

yy ABBC

)5,1(

5

8)1(3

1

83

B

y

y

x

xy

3

14

2

)1(2

2

2

2

2

21

x

x

x

xxxM

1

54

2

)5(2

2

2

2

2

21

y

y

y

yyyM

)1.3( C

11 ,

)5,1(

yx

),( 22 yx

MM yx ,

)2,2(

C D B



31

31

תשס"ו 2332מועד ב' 03330מבחן בגרות : 12שאלה מספר

דקודיו הם:נתון משולש ששניים מק

)12,0()6,6( BוA

CD הוא הגובה לצלעAB ו .– BE הוא הגובה לצלעAC.

CD ו– BE 3,3(בנקודה נפגשים(F.

()ראה ציור

.CDמצא את משוואת הגובה א.

.BEמצא את השיפוע של הגובה ב.

.Cדקוד מצא את השיעורים של הקג.

פתרון:

.CDמצא את משוואת הגובה )א( .CDוממנו נמצא את השיפוע של ABנחשב את השיפוע של

.BEמצא את השיפוע של הגובה )ב(

ABשיפוע

36

18

)6()0(

)6()12(

),(),(

)12,0()6,6(

12

12

2211

ABm

xx

yym

yxyx

BA

.CDשיפוע

3

13 CDAB mm

ע הופכי נגדישיפו

CDמשוואת

4

31

)3(3

)3,3(

)(

31

31

31

31

11

xy

xy

xy

m

xxmyy

BFשיפוע הגובה

33

9

)3()0(

)3()12(

),(),(

)12,0()3,3(

12

12

2211

BFm

xx

yym

yxyx

BF

C

B

D

A

E

F

)12,0(

)6,6(

)3,3(

C

B

D

A

E

F

)12,0(

)6,6(

)3,3(



32

32

.AC צלעמצא את משוואת ה)ג(

.Cמצא את השיעורים של הקדקוד (ד)


4)א( 31 xyCD )ב( 3BEm )4)ג

31 xyAC

C)0,12()ג(

ACמשוואת

4

62

)6(6

)6,6(

)(

31

31

31

31

11

xy

xy

xy

m

xxmyy

.ACשיפוע

3

13 ACBE mm


Cנקודה

12

8

44

44

32

31

31

31

31

x

x

xx

xx

yy CDAC

)0,12(

0

4)12(

12

4

31

31

C

y

y

x

xy

C

B

D

A

E

F

)12,0(

)6,6(

)3,3(

3BEm

C

B

D

A

E

F

)12,0(

)6,6(

)3,3(



33

33

.3231 חצב ברק תש"עמועד 30803מבחן בגרות :17שאלה מספר

שקדקודיו הם: ABCנתון משולש

)4,9()3,8(1,14 ABC

AE וCF הם הגבהים לצלעותBC ו– AB .בהתאמה

)ראה ציור(

שוקיים.-)א(. הוכח שהמשולש שווה

BC( חשב את השיפוע של הצלע 1)ב(. )

.AEמצא את משוואת הגובה (2)

היא נקודת מפגש של הגבהים במשולש . H)ג(

. CF( מצא את משוואת הגובה 1)

H( מצא את שיעורי נקודה 2)

תשובה סופית

50 שוקיים-שווה כןהמשולש )א( ABAC dd ( 1)ב3

1BCm 313( 2)ב xyAE

1( 1)ג 71 xyCF

(2)ג

)2

1,

2

110( H



34

34

מועד א' תש"ע . 03830מבחן בגרות : 18שאלה מספר

33נתון ישר שמשוואתו x y.

)ראה ציור ( . Bבנקודה y –ואת ציר ה ,Aבנקודה x -הישר חותך את ציר ה

.Bואת השיעורים של הנקודה Aשל הנקודה השיעורים מצא את (א)

העבירו אנך לישר הנתון. Aדרך הנקודה

. ) ראה ציור( Cהעבירו ישר החותך את האנך בנקודה Bודרך נקודה

.ACמצא את משוואת האנך (ב)

הוא BCנתון כי השיפוע של (ג)7

1 .Cנקודה . מצא את השיעורים של ה

33נמצאת על הישר Dנקודה (ד) x y

DCBC הוא משולש שווה שוקיים BCDכך שהמשולש .)ראה ציור(

.מצא את השטח של משולש זה

פתרון:

.Bואת השיעורים של הנקודה Aמצא את השיעורים של הנקודה (א)

.ACמצא את משוואת האנך (ב)

Aנקודה

)0,1(

1

33

330

0

33

A

x

x

x

y

xy

Bנקודה

)3,0(

3

3)0(3

0

33

B

y

y

x

xy

.ACשיפוע

3

13 ACAB mm

נגדישיפוע הופכי

ACמשוואת

3

1

3

1

)1(0

)0,1(

)(

31

31

11

xy

xy

m

xxmyy

),0( y

)0,(x A

D

C

B

x

y

)3,0(

)0,1( A

D

C

B

x

y



35

35

הוא BCנתון כי השיפוע של ( ג)7

1 .C. מצא את השיעורים של הנקודה

33נמצאת על הישר Dנקודה (ד) x y כך שהמשולשBCD הוא משולש שווה שוקיים

DC=BC השטח של משולש זה)ראה ציור(. מצא את


)3,0(. (א) B )0,1(A (ב) 3

1

3

1 xyAC

)2,7( (ג) C (ד) 20BCDS

ACמציאת אורך הקטע

32.6

40

)02()17(

)()(

),(),(

)2,7()0,1(

222

2

12

2

12

2

2211

AC

AC

d

d

d

yyxxd

yxyx

CA

BCDשטח משולש

20

2

32.632.6

22

BCD

BCD

a

S

S

ACBDhaS

BDמציאת אורך הקטע

32.6

16.322

BD

ABBD

d

dd

BAמציאת אורך הקטע

16.3

16.310

)03()10(

)()(

),(),(

)3,0()0,1(

222

2

12

2

12

2

2211

AB

AB

d

d

d

yyxxd

yxyx

BA

BCמשוואת

37

1

)0(3

)3,0(

)(

71

71

11

xy

xy

m

xxmyy

Cנקודה

7

3

3

3

31

2110

31

31

71

31

31

71

x

x

xx

xx

yy ACBC

)2,7(

2

3)7(

7

3

71

71

C

y

y

x

xy

)3,0(

)0,1( A

D

C

B

x

y

7

1m



36

36

מועד חצב ברק תשס"ח 03330מבחן בגרות : 19לה מספר שא

ABC (090ABC∢ ) וית ובמשולש ישר ז

מונח על הישר ACהיתר 4

1

4

3 xy

. מונח על הישר BCוהניצב 7

8

7

1 xy

) ראה ציור ( x –מונח על ציר ה Bקדקוד

Bצא את שיעורי הקדקוד מ (1) א.

.BAמצא את משוואת הישר שעליו מונח הניצב (2)

ACהישר שעליו מונח היתר ב.

Dבנקודה x –חותך את ציר ה

. BDמצא את אורך הקטע (1)

ADB מצא את שטח המשולש (2)

פתרון:.

Bמצא את שיעורי הקדקוד (1א)

.AB מצא את משוואת הישר שעליו מונח הניצב (2א)

. BDמצא את אורך הקטע Dבנקודה x –חותך את ציר ה ACהישר שעליו מונח היתר .(1ב)

Bנקודה

)0,8(8

0

0

78

71

78

71

78

71

Bx

x

x

y

xy

BAמשוואת

567

)8(70

7)0,8(

)( 11

xy

xy

m

xxmyy

ABשיפוע

77

1 ABCB mm


Dנקודה

)0,(

0

0

31

31

41

43

41

43

41

43

Dx

x

x

y

xy

BDרך הקטע או

31

31 88

)0,8()0,3(

d

BD

A

C

B D x

y

A

C

B D )0,8(

x

y

)0,(31

A

C

B D )0,8(

x

y



37

37

.ADBמצא את שטח המשולש (2ב)

Aנחשב את נקודה

.ADBאת שטח המשולש נחשב ה במשולש הוא גובה חיצוניהגוב

7והוא Aהיורד מנקודה


567( 2)א B)0,8(( 1)א xyBA ( 1)ב318BD ( 2)ב

6129ADBS

61

31

29

2

78

22

ADB

ADB

a

S

S

BDAHhaS

Aנקודה

9

656

756

567

41

41

43

41

41

43

x

x

xx

xx

yy ABAC

)7,9(

7

56)9(7

9

567

A

y

y

x

xy

)0,(31

A

C

B D )0,8(

x

y



38

38

2311יץ ק גנוז 03830מבחן בגרות :23שאלה מספר

)14,7()2,11()12,1( נתונות הנקודות: CBA .)ראה ציור(

.ABהשיעורים של אמצע הקטע מצא את ( 1א. )

.ABמצא את משוואת האנך האמצעי לקטע (2)

)ראה ציור( ABעובר ישר מקביל לקטע Cדרך הנקודה ב.

מצא את משוואת הישר המקביל.

)ראה ציור( Dהישר המקביל והאנך האמצעי נפגשים בנקודה ג.

ישר זווית (1) הוא: DABהראה כי המשולש

שוקיים. –שווה (2)

פתרון:

.ABמצא את השיעורים של אמצע הקטע . (1א)

.ABלקטע מצא את משוואת האנך האמצעי (2א) DMמצא את משוואת : משמעות

DMמשוואה

5

83

)9(8

)8,9(

)(

31

31

31

31

11

xy

xy

xy

m

xxmyy

ABשיפוע

3

34

12

)7()11(

)14()2(

),(),(

)2,11()14,7(

12

12

2211

AB

AB

m

m

xx

yym

yxyx

BA

.DMשיפוע

3

13 DMAB mm


8

2

)2()14(

2

21

M

M

M

y

y

yyy

)8.9(E

),( MM yx

B M A

11 ,

)14,7(

yx

22 ,

)2,11(

yx

9

2

)11()7(

2

21

M

M

M

x

x

xxx

A

D

C )12,1(

B )2,11(

)14,7(

M )8,9(

A

D

C )12,1(

B )2,11(

)14,7(

M



39

39

מצא את משוואת הישר המקביל. )ראה ציור( ABעובר ישר מקביל לקטע Cדרך הנקודה .(ב)

BDמצא את משוואת : משמעות

הוא: DABר( הראה כי המשולש )ראה ציו Dהישר המקביל והאנך האמצעי נפגשים בנקודה .)ג(

שוקיים. –( שווה 2( ישר זווית )1)

Dנמצא את נקודה

( הוכחה למשולש ישר זווית1)ג

BDו ADנמצא את השיפוע של הקווים

BDשיפוע

2

1

8

4

)11()3(

)2()6(

),(),(

)6,3()2,11(

12

12

2211

BD

BD

m

m

xx

yym

yxyx

DB

ADשיפוע

2

4

8

)7()3(

)14()6(

),(),(

)6,3()14,7(

12

12

2211

AD

AD

m

m

xx

yym

yxyx

DA

2

12 BDAD mm


לכן המשולש ישר זווית

CDשיפוע

33 CDAB mm


זהיםשיפוע

BDואת משו

153

1233

)1(312

3)12,1(

)( 11

xy

xy

xy

m

xxmyy

Dנקודה

3

310

3515

5153

31

31

31

x

x

xx

xx

yy EDCD

)6,3(

6

15)3(3

3

153

D

y

y

x

xy

A

D

C )12,1(

B )2,11(

)14,7(

E )8,9(

)6,3(

A

D

C )12,1(

B )2,11(

)14,7(

M

)8,9(

A

D

C )12,1(

B )2,11(

)14,7(

M )8,9(



41

41

( הוכחה למשולש שוקיים2)ג

ADו BDהצלעות מציאת אורכי : אפשרות ב'

94.8 BDAD dd משולש שווה שוקיים.לכן ה

הוא משולש שווה שוקיים. : משולש בו הגובה והתיכון נפגשיםאפשרות א'


5 (.2א) )8,9( (.1)א3

1 xy (ב.) 153 xy (ג.) ותהוכח

ADאורך קטע

94.8

80

)146()73(

)()(

),(),(

)6,3()14,7(

222

2

12

2

12

2

2211

AD

AD

d

d

d

yyxxd

yxyx

DA

BDאורך הקטע

94.8

80

)26()113(

)()(

),(),(

)6,3()2,11(

222

2

12

2

12

2

2211

BD

BD

d

d

d

yyxxd

yxyx

DB



41

41

מועד א' תשס"ט 03830מבחן בגרות :21שאלה מספר

(.-3, 6הם ) Aדקוד שיעורי הק ABCבמשולש

) ראה ציור ( ABהיא אמצע הצלע E( 4, 7הנקודה )

.Bדקוד מצא את שיעורי הק א.

11x( , x, 1הם ) Cדקוד שיעורי הק

.11הוא BCאורך הצלע

.Cדקוד של ק x –מצא את שיעור ה ב.

. BCמאונכת לצלע ACהוכח כי הצלע ג.

פתרון

.Bמצא את שיעורי הקדקוד )א(

ABהיא אמצע הצלע E)7,4(הנקודה

.13הוא BCאורך הצלע 11x( , x, 3הם ) Cשיעורי הקדקוד

.Cשל קדקוד x –מצא את שיעור ה (ב)

175

116116

1136

)11(36

)11(64100

64)11(100

)80()11(10

)()(

),(),(

10)0,()8,11(

21

21

2

2

2

222

2

12

2

12

2

2211

xx

xx

x

x

x

x

x

yyxxd

yxyx

dxCB

11

38

2

)3(4

2

2

2

2

21

x

x

x

xxxM

8

614

2

)6(7

2

2

2

2

21

y

y

y

yyyM

)8.11(B

11 ,

)6,3(

yx

),( 22 yx

MM yx ,

)7,4(

B E A

)0,5(

115

1117

1

2

C

xx

xx

A

E

C

)6,3(

B )7,4(

)0,(x

y

x

A

E

C

)6,3(

B )8,11(

)7,4(

)0,(x

10d

y

x



42

42

.BCמאונכת לצלע ACהוכח כי הצלע ( ג)


הוכחה (ג) C)0,5( ( ב) B)8,11( ( א)3

4BCm ל הופכי נגדי-

4

3ACm

BCשיפוע

3

4

6

8

6

8

)11()5(

)8()0(

),(),(

)0,5()8,11(

12

12

2211

BC

BC

m

m

xx

yym

yxyx

CB

ACשיפוע

4

3

8

6

)3()5(

)6()0(

),(),(

)0,5()6,3(

12

12

2211

AC

AC

m

m

xx

yym

yxyx

CA

3

4

4

3 BCAC mm


BCמאונכת לצלע ACהצלע

A

E

C

)6,3(

B )8,11(

)7,4(

)0,5(

y

x



43

43

תשס"ו 2332מועד מיוחד אוקטובר 03330מבחן בגרות : 22שאלה מספר

.7yנמצאת על הישר B , הנקודה D)11,2(נתונה הנקודה

.Cבנקודה y -חותך את ציר ה 7yהישר

Dמנקודה Bשווה למרחק הנקודה Cמהנקודה Bמרחק הנקודה

. Cמה הם שיעורי הנקודה (1) (א)

.Bחשב את שיעורי הנקודה ( 2)

.BDנמצאת על המשך הקטע Aהנקודה (ב)

.Aנקודה . חשב את שיעורי ה ABהיא אמצע הקטע D –כך ש

.ABC משולשה שטח חשב את (ג)

פתרון:

. Cמה הם שיעורי הנקודה (1א) C(7,1לכן הנקודה היא ) x= 1משמעות yעל ציר ה Cנקודה

.Bחשב את שיעורי הנקודה ( 2א)

Dמנקודה Bשווה למרחק הנקודה Cמהנקודה Bמרחק הנקודה

.BDנמצאת על המשך הקטע Aנקודה ה (ב)

. ABהיא אמצע הקטע D –כך ש

.Aחשב את שיעורי הנקודה

A

D

C

B

x

y

BCאורך הקטע

22

222

2

12

2

12

2

2211

)77()0(

)()(

),(),(

)7,()7,0(

xd

xd

yyxxd

yxyx

xBC

BDאורך הקטע

25)2(

)117()2(

)()(

),(),(

)7,()11,2(

22

222

2

12

2

12

2

2211

xd

xd

yyxxd

yxyx

xBD

)7,5(

5

204

16422

16)2()2(

22

2

B

x

x

xxxx

xxx B

1

54

2

)5(2

2

2

2

2

21

x

x

x

xxxM

)15.1(A

11 ,

)7,5(

yx

),( 22 yx

MM yx ,

)11,2(

A D B

15

722

2

)7(11

2

2

2

2

21

y

x

y

yyyM

7y

)11,2(

A

D

C

B )7,0(

d

)7,(x

x

y

d

7y

)11,2(

A

D

C

B )7,0( )7,5(

x

y



44

44

.ABC משולשה שטח חשב את (ג)

הגובה במשולש הוא גובה חיצוני

8715והוא Aהיורד מנקודה

: פיתסו תשובה

20ABCS)ג( A)15,1( )ב( B)7,5( (2)א C)7,0(( 1)א

20

2

85

22

ABC

ABC

a

S

S

AHCBhaS

)7,(x 5d

)11,2(

A

D

C

B )7,5(

)15,1(

8

715

d

d

H )7,0(



45

45

.2312 קיץ תשע"ב מועד 30803מבחן בגרות :20שאלה מספר

)6,1(,)4,1()0,9( קודקודי משולש הם : ABC

.ABהיא אמצע הצלע Eהנקודה

. ABמצא את משוואת התיכון לצלע )א(

. ABמצא את משוואת הגובה לצלע )ב(

( AC =BCהוא שווה שוקיים ) ABCהראה שהמשולש )ג(

אפשר להסתמך על התוצאות בסעיפים הקודמים(

. ABCמצא את שטת המשולש )ד(

פתרון:

. ABמצא את משוואת התיכון לצלע )א(

.CEמשמעות יש למצוא את משוואת הצלע

E. מציאת נקודה 1

5

2

)9()1(

2

21

M

M

M

x

x

xxx

2

2

)0()4(

2

21

M

M

M

y

y

yyy

)2.5( E

11 ,

)4,1(

yx

),( MM yx

22 ,

)0,9(

yx

A E B

CEשיפוע התיכון

24

8

)1()5(

)6()2(

),(),(

)2,5()6,1(

12

12

2211

CEm

xx

yym

yxyx

EC

EC התיכון משוואת

82

622

)1(26

2)6,1(

)( 11

xy

xy

xy

m

xxmyy

)2,5(

A

C

B

)6,1(

E

)4,1(

)0,9(

x

y

A

C

B

)6,1(

E

)4,1(

)0,9(

x

y



46

46

. ABמצא את משוואת הגובה לצלע )ב(

93ויוצר ABלצלע Cיש למצוא את משוואת הצלע היורד מנקודה : משמעות 3

( AC =BCהוא שווה שוקיים ) ABCהראה שהמשולש )ג(

אפשר להסתמך על התוצאות בסעיפים הקודמים(

. BCוצלע ACלמצוא את אורך הצלע -לפי נוסחה : 'אאפשרות

ס"מ 13אורך הצלעות :

הוא שווה שוקיים אם התיכון והגובה מתלכדים המשולש -: לפי המשפט 'באפשרות

. ABCמצא את שטת המשולש )ד(


82)א( xyCE )82 )ב xyCE )10)ג ACBC dd

40ABCS)ד( ) אפשר גם לפי המשפט: אם התיכון והגובה מתלכדים המשולש הוא שווה שוקיים(

הגובהשיפוע

22

1 ABגובה mm


ABשיפוע

2

1

8

4

)9()1(

)0()4(

),(),(

)4,1()0,9(

12

12

2211

ABm

xx

yym

yxyx

BA

הגובהמשוואת

82

622

)1(26

2)6,1(

)( 11

xy

xy

xy

m

xxmyy

BCאורך הקטע

10

100

)11()46(

)()(

),(),(

)6,1()4,1(

222

2

12

2

12

2

2211

BC

BC

d

d

d

yyxxd

yxyx

CB

ACרך הקטע או

10

10100

)91()06(

)()(

),(),(

)6,1()0,9(

222

2

12

2

12

2

2211

AC

AC

d

d

d

yyxxd

yxyx

CA

משולש שווה שוקיים

10 ACBC dd

ABאורך הבסיס

94.8

80

)40()19(

)()(

),(),(

)0,9()4,1(

222

2

12

2

12

2

2211

AB

AB

d

d

d

yyxxd

yxyx

AB

ECאורך הגובה

94.8

80

)26()51(

)()(

),(),(

)6,1()2,5(

222

2

12

2

12

2

2211

ECd

d

d

yyxxd

yxyx

CE

ABCשטח המשולש

40

2

94.894.8

22

ABC

ABC

a

S

S

CEABhaS

Education

פרק 3א גיאומטריה אנליטית ישרים מאונכים ומקבילים