МЕТОД СЛЕДА

Задача 1.

Дано: N, K, T - точки, по которым секущая плоскость пересекает ребра тетраэдра,

Построить сечение.

B

C

D

MN

K

А

A

B

C

D

MN

K

•Точки N и K лежат в плоскости ADС, следовательно секущая плоскость пересекает ADC по прямой NK.

•Аналогично, секущая плоскость пересекает ABC по прямой KM,а плоскость ADB по прямой NM

Плоскость NKM - искомая.

Чаще встречаются ситуации, когда известных точек не хватает, чтобы построить сечение.

Задача 2.

Дано: А, В, С -точки, по которым секущая плоскость пересекает ребра тетраэдра.Построить сечение.

А

ВС

S

N

MK

В

А

С

Если мы соединим попарно 3 точки, как мы это делали в предыдущей задаче,то сечение не будет построено, т.к. отрезок ВС проходит внутри тетраэдра.

Вывод: Правило 1. При построении сечения имеет смысл соединять только те точки, которые лежат в одной плоскости.

S

N

M

K

Посмотрим заново на условие задачи 2.

А

ВС

Согласно правилу 1, мы можем провести отрезки АВ и АС, т.к. точки А и В лежат в плоскости KSM, а точки A и C - в плоскости KSN.

S

N

MK

Нам осталось построить линии пересечения секущей плоскости с гранями SMN и MKN.

А

У нас уже есть точка В - общая точка секущей плоскости и плоскости SMN. Но для того, чтобы провести прямую нам нужно две точки. Будем искать вторую.

ВС N

MK

S

Больше ничего провести нельзя. Нет и дополнительных условий.

А

S

ВС N

MK

АВ и КМ - прямые, лежащие в плоскости KSM. Значит, если мы мы их продлим, то они пересекутся.

Т

Рассмотрим точку их пересечения Т. Она лежит на прямой КМ, а значит и в плоскости основания KMN; кроме того, она лежит на прямой АВ, а значит и в секущей плоскости АВС .

Но в плоскости основания у нас уже есть одна точка, принадлежащая плоскости сечения - точка С. Значит, мы можем их соединить.

Т.к. прямая ТС лежит в плоскости основания, то она пересечет прямую MN (в точке F).

Отрезок FC принадлежит сечению.

Кроме того, у нас теперь есть 2 точки на плоскости MSN: точки B и F. Мы можем их соединить.

А

KM

N

S

Т

СВ F

А

KM

N

S

Т

СВ F

CABF - искомое сечение.

А

KM

N

S

Т

СВ F

1. Построение.1) AC

2) AB

3) В плоскости KSM AB KM = T

4) В плоскости KMN TC MN = F

5) В плоскости MNS FB

Докажем, что CABF – искомое сечение.

Итак:

А

KM

N

S

Т

СВ F

2. Доказательство.

1) A (KSN), C (KSN) => AC (KSN) 2) A (KSM), B (KSM) => AB (KSM)

3) AB (KSM), KM (KSM) следовательно, они пересекутся.4) T KM; KM (KMN) => T (KMN)

5)T (KMN), C (KMN) => TC (KMN), следовательно они пересекутся; TC MN = F

Следовательно, CABF – искомое сечение.

6) B (SMN), F (SMN) => BF (SMN)7 ) Сечение проходит через точки A, B, C.

Задание 4.

Построить сечение, проходящее через указанные точки.

1.

2. 3.

R

KT

Q

T

M

MK

L

A

A

A1

A1

B

B

B1

B1

C1

C1

C

C

D1

D1

D

D

М ABC

М

М

К

M (DD1C1), K (AA1D1)

4. 5.

6.

SK

S

T

T

TA

A

A

A1

A1

A1

BB

B

B1

B1

B1

C1

C1C1

C

CC

D1

D1D1

D

DD