آموزش روش های حل روابط بازگشتی - بخش چهارم

روابط بازگشتیfaradars.org/fvsft120

:مدرس

فرشید شیرافکن

دانشجوی دکتری دانشگاه تهران (بیو انفورماتیک: دکتری( )کامپیوتر نرم افزار: کارشناسی و کارشناسی ارشد )

روابط بازگشتی

1

فرادرس

FaraDars.org


: چهارمفصل رابطه های بازگشتی همگن

2

فرادرس

FaraDars.org


T(n 2) 4T(n 1) 4T(n)

3

T(n) T(n 1) 2T(n 2) :2مرتبههمگنبازگشتیرابطه

رابطه های بازگشتی همگن

):3مرتبههمگنبازگشتیرابطه ) 5 ( 1) 8 ( 2) 4 ( 3)T n T n T n T n

T(n) T(n 1) 2T(n 2) n :همگننابازگشتیرابطه

فرادرس

FaraDars.org


.کنیممیپیداراآنمشخصهمعادلهابتداثابت،ضرایببادوممرتبههمگنبازگشتیروابطحلبرای

:داشتنفرضبامعادلهاینحلازبعدجواب

:,مجزایجوابدو-الف

:مضاعفحقیقیریشهیک-ب

n n1 1 2 2c r c r

n n1 2c r c nr

1r2r

4

r

فرادرس

FaraDars.org


5

مثالT(n) T(n 1) 2T(n 2) T(0) 2

T(1) 7

2r r 2 0

n:کلیجواب n1 2T(n) c 2 c ( 1)

T(n) T(n 1) 2T(n 2) 0

0 01 2T(0) 2 2 c 2 c ( 1) 1 2c c 2

1 11 2T(1) 7 7 c 2 c ( 1) 1 22c c 7

1 2c 3,c 1

n nT(n) 3 2 ( 1)

1 2r 2,r 1 فرادرس

FaraDars.org


6

مثالT(n 2) 4T(n 1) 4T(n) T(0) 1

T(1) 3

2r 4r 4 0

n n1 2T(n) c 2 c n2 :کلیجواب

T(n 2) 4T(n 1) 4T(n) 0

0 01 2T(0) 1 c 2 c 0 2 1

1 11 2T(1) 3 c 2 c 1 2 3

1c 1

1 22c 2c 3

1 21

c 1,c2

n n 1T(n) 2 n2

1 2r 2,r 2 فرادرس

FaraDars.org


7

مثالT(n 1) 3T(n) 2T(n 1) T(1) 3,T(0) 2

T(n 1) 3T(n) 2T(n 1) 0

2r 3r 2 0 1 2r 1,r 2

n n1 2T(n) c 1 c 2

1 2T(0) 2 c c 2

1 2T(1) 3 c 2c 3

1 2c 1,c 1

n n nT(n) 1 2 2 1

فرادرس

FaraDars.org


8

مثال)3(4)2(8)1(5)( nTnTnTnT T(0) 0

T(1) 1

T(2) 2

0485 23 xxx

n n1 2 3T(n) c 2 c n2 c

( ) 5 ( 1) 8 ( 2) 4 ( 3) 0T n T n T n T n

1 2 3c 2,c 1 / 2,c 2

n 1 n 1T(n) 2 n2 2

1 2 3r 1,r 2,r 2 فرادرس

FaraDars.org


است؟چقدرازایبهزیرتابعمقدار n 2

9

مثال

f (n) 5f (n 1) 6f (n 2)

f (n) 5f (n 1) 6f (n 2) 0

f(n){if (n<=1)f = n;

else f = 5*f(n-1)–6*f(n-2);}

n n1 2f (n) c 3 c 2

0 01 2 1 2

1 21 1

1 2 1 2

c 3 c 2 0 c c 0c 1,c 1

c 3 c 2 1 3c 2c 1

n nf (n) 3 2

f(0)=0

f(1)=1

21 2r 5r 6 0 r 2,r 3

فرادرس

FaraDars.org


10

مثالn n

T(n) 5T( ) 6T( )2 4

kn 2

k k 1 k 2T(2 ) 5T(2 ) 6T(2 )

S(k) 5S(k 1) 6S(k 2)

21 2r 5r 6 0 r 2,r 3

k k1 2S(k) c 2 c 3

lgn lg 31 2 1 2T(n) c n c 3 c n c n

S(k) 5S(k 1) 6S(k 2) 0

kS(k) T(2 )فرادرس

FaraDars.org


11

مثال

T(n) 3T(n 1) 4T(n 2)

T(n) 3T(n 1) 4T(n 2) 0

T(0) 0

T(1) 1

2r 3r 4 0

n n1 2T(n) c 4 c ( 1)

nT(n) (4 )

1 2r 4,r 1

فرادرس

FaraDars.org


12

مثالF(n) F(n 1) F(n 2)

F(0) 0

F(1) 1

2r r 1 0 1 21 5 1 5

r ,r2 2

n n1 2

1 5 1 5F(n) c ( ) c ( )

2 2

فیبوناچیدنباله

0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , ...

1 21 1

c ,c5 5

F(n) F(n 1) F(n 2) 0

n n1 1 5 1 5F(n) (( ) ( ) )

2 25

n^n

F(n)5

فرادرس

FaraDars.org


13

در بررسی روابط بازگشتی همگن برای سادگی می توان از

.استفاده کردT(n)به جای

na

فرادرس

FaraDars.org


14

4321 253 nnnnn aaaaa

مثال

0253 4321 nnnnn aaaaa

0253 234 xxxx 0)2()1( 3 xx

nnnn

n cncncca 2)1()1()1( 4

2

321

5n

فرادرس

FaraDars.org


15

فرادرسرابطه های بازگشتی ناهمگن

FaraDars.org


16

naa nn 23 1 31 a

dcnap

n )(

ndncdcn 2))1((3

02333 ndccndcn

2

3,1 dc

nh

n ca 31

)(

nh

n

p

nn cnaaa 32

31

)()(

6

1133

2

31 11 cc

n

n na 36

11

2

3

2

3)( na

p

n

303

033 11

xx

aaaa nnnn

مثال

0)23()22( dcnc

فرادرس

FaraDars.org


17

21321 nnaaa nnn 20 a 31 a

103)(

nap

n

dcnap

n )(

مثال

13)2()1( ndncdncdcn

0132 ndccndccndcn

10,3 dc

0)13()3( dcnc

فرادرس

FaraDars.org


18

222 21 naaa n

nnn

2

1

1

0

a

a

np

na 2.4)(

dca np

n 2.)(

مثال

nnnn dcdcdc 2)2()2.(22 21

02222.22 21 nnnn dcdcdc

0)22(2)444( 2 ddccc n

0,4 dc

فرادرس

FaraDars.org


19

متداولوخاصموردیک

استثابتیکbوdدرجهازایجملهچندیکp(n)آندرکهزیرهمگنغیربازگشتیرابطه

:بگیریدنظردررا

)(...110 npbahahah n

knknn

:شودتبدیلزیرصورتبهمشخصهمعادلهباهمگنخطیبازگشتیرابطهیکبهتواندمیرابطهاین

0))(...( 101

10 d

k

kk brrhrhrh

فرادرس

FaraDars.org


20

مثال

1)12(43 1 nnaa n

nn 00 a

121 a

0)4)(3( 11 rr

nnn

n nccca 443 321

4,4,3 321 rrr فرادرس

FaraDars.org


21

مثال

011 nnaa nn 00 a

)1(11 naa n

nn

0)1(0)1)(1( 32 rrr

nnn

n ncncca 111 2

321

2

321 ncnccan 2

)1(

nnan

1,1,1 321 rrr

فرادرس

FaraDars.org


22

فرادرسچند مسئله معروف

FaraDars.org


زاد و ولد خرگوش ها

23

:استزیرصورتبههاخرگوشجمعیترشدمدلوداردوجودنوزادمادهونرخرگوشجفتیکجزیرهیکدر.رسندمیبلوغسنبهتولدازپسماهیکهاخرگوش(1).استماهیکباردایدوران(2).شودمیباردارحتمارسدمیبلوغسنبهمادهخرگوشکههنگامی(3).آوردمیدنیابهمادهخرگوشیکونرخرگوشیکبارداری،هردرمادهخرگوش(4).میرندنمیهرگزهاخرگوش(5)

؟دهدنشانامnماهشروعدرراهاخرگوشتعدادکهبنویسیدبازگشتیرابطه

فرادرس

FaraDars.org


24

بااستبرابرامnماهشروعدرهاخرگوشجفتتعداد:زیرمقداردومجموع

.قبلماههایخرگوشجفتتعداد-الفجفتتعدادبااستبرابرکه)نوزادانجفتتعداد-ب

کلبااستبرابرهمآنکهقبلماهبالغهایخرگوش(قبلماهدوهایخرگوش

21 nnn aaa

,...233,144,89,55,34,21,13,8,5,3,2,1,1

1,1 21 aa

فرادرس

FaraDars.org


nباشد که مجموع رقم هایشان برابر 4و2و1فرض کنید تعداد اعداد طبیعی با رقم های :بازگشتی رابطه . باشد

:حالت های ممکن

:شروع شود، جمع رقم های بعدی برابر است با1اگر رقم با

:جمع رقم های بعدی برابر است باشروع شود، 2بااگر رقم

:جمع رقم های بعدی برابر است باشروع شود، 4اگر رقم با

25

na

421 nnnn aaaa

مثال

1na

2na

4na

فرادرس

FaraDars.org

روابط بازگشتیfaradars.org/fvsft120برج هانوی

26

12 n

na

1

12

1

1

a

aa nn11 1 nnn aaa

فرادرس

FaraDars.org


جایگذاریباتکرار-حدسروش-بازگشتیروابط:1فصل

بازگشتدرخت : 2فصل

(Master theorem)قضیه اصلی : 3فصل

روابط بازگشتی همگن و ناهمگن: 4فصل

09121972028: مستقیم با مدرس شیرافکن مشاوره

27

فرادرس

FaraDars.org


جایگذاریباتکرار-حدسروش-بازگشتیروابط:1فصل

بازگشتدرخت : 2فصل

تغییر متغیر-(Master theorem)قضیه اصلی : 3فصل

روابط بازگشتی همگن: 4فصل

09121972028: مشاوره مستقیم با مدرس شیرافکن

28

فرادرس

FaraDars.org


این اسالید ها بر مبنای نکات مطرح شده در فرادرس« آموزش روابط بازگشتی و روش های حل آنها»

.تهیه شده است

.برای کسب اطالعات بیشتر در مورد این آموزش به لینک زیر مراجعه نمایید

faradars.org/fvsft120

فرادرس

FaraDars.org

Education

آموزش روش های حل روابط بازگشتی - بخش چهارم