مقدمة في اإلحصاء 207ريض

المحاضرة السادسة

مثال

ل بالريال اليومية األجور تمثل التالية في 50البيانات عاملالتكراري مصنع الجدول كوني

10 21 43 46 53 75 55 40 36 4730 41 48 52 32 47 35 46 56 6662 61 21 63 22 37 15 57 25 2750 72 31 45 32 39 49 35 42 5442 44 51 32 44 48 23 79 18 65

نتبع التكراري الجدول لتكوين: التالية الخطوات

البيانات( .1 مدى نوجد

المدى69 = 10 – 79 =

الفئات( 2 عدد نحدد

أو التقدير نعتمد أن يمكن الفئات عدد لتحديدالقانون نستخدم

الفئات عددالفئات = 7عدد

الفئة( 3 طول نحدد

∆=𝟔𝟗𝟕

=𝟗 .𝟖𝟔≈𝟏𝟎

للبيانات( 4 قيمة أصغر يكون و فئة ألول األدنى الحد نحدد

األدنى 10= الحد = الفعلي األدنى 9.5 = 0.5 - 10الحد

طول( 5 بإضافة وذلك فئة ألول الفعلي األعلى الحد نحددالفعلي األدنى للحد الفئة

الفعلي األعلى 19.5=10+9.5= الحد = األعلى 19 = 0.5-19.5الحد

الحدود الفعلية للفئة

حدود الفئة

9.5 – 19.5 10 - 19

19.5 – 29.5 20 – 29

29.5 – 39.5 30 – 39

39.5 – 49.5 40 - 49

49.5 – 59.5 50 - 59

59.5 – 69.5 60 - 69

69.5 – 79.5 70 - 79

∑

مركز الفئة

14.5

24.5

34.5

44.5

54.5

64.5

74.5

التكرار

3

6

10

15

8

5

3

50

التكرار النسبي

0.06

0.12

0.2

0.3

0.16

0.1

0.06

1

التكرار المئوي

%

6

12

20

30

16

10

6

100

التكرارالمتجمع

3

9

19

34

42

47

50

من أقلالحد

األعلى الفعلي

من أقل19.5

من أقل29.5

من أقل39.5

من أقل49.5

من أقل59.5

من أقل69.5

من أقل79.5

التكرارالمتجمع النسبي

0.06

0.18

0.38

0.68

0.84

0.94

1

التكرارالمتجمع المئوي

6

18

38

68

84

94

100

مقاييس النزعة المركزية

تتمركز التي القيمة هو المركزية النزعة مقياستتوسطها التي القيمة أو البيانات معظم حولها

من غيرها من أكثر المجتمع تمثل فهي بالتالي والقيم

تنقسم الوسط 1(إلى

الحسابيالوسط 2(

الهندسيالوسط 3(

التربيعيالوسيط4(المنوال5(

النزعة مقياس يعتبر متىمقبوًالP؟ المركزية

P تعريفا Pمعرفا المتوسط كان إذاRدقيقا

المشاهدات جميع على Pمبنيا كان إذا.) القيم) جميع حسابه في تدخل

. التفسير و الفهم سهل كان إذا سرعة و بسهولة حسابه أمكن إذا

معقولتين.. بسهولة الجبرية للعمليات يخضع. الشاذة و المتطرفة بالقيم يتأثر ًال المجتمع عينات باختالف يتأثر ًال

الواحد.

الوسط( 1الحسابي

لدينا كان الوسط nإذا فإن القيم منهو لها الحسابي

مثال

في الطالبات درجات تمثل التالية البياناتالعربية اللغة مادة

37 ,43 ,42 ,46 ,37 ,44 ,38 ,39 ,37 ,42 ,38 ,45 ,38 ,48 ,43

للدرجات الحسابي الوسط أوجدي

𝒙=∑𝒊=𝟏

𝟏𝟓

𝒙 𝒊

𝟏𝟓=𝟔𝟏𝟕

𝟏𝟓=𝟒𝟏 .𝟏𝟑

مادة في الطالبات درجات تمثل التالية البياناتالعربية اللغة

37 ,43 ,42 ,46 ,37 ,44 ,38 ,39 ,37 ,42 ,38 ,45 ,38 ,48 ,43

للدرجات الحسابي الوسط التكرارأوجدي العالمات الدرجة

373839404142434445464748∑

مثال

التكرار

331002211101

n=15

1111143900

84464445464748

617

𝑿=𝟔𝟏𝟕𝟏𝟓

=𝟒𝟏 .𝟏𝟑

على حصلنانفس

ألننا النتيجةأية نفقد لم

معلومات عمل عندالتوزيع التكراري

الوسط ايجادفي الحسابي

التوزيعات حالالتكرارية

فئاته عدد تكراري توزيع لدينا كان و hإذاهي الفئات مراكز كانت

هي لها المقابلة التكرارات كانت و: يكون الحسابي الوسط فإن

مادة في الطالبات درجات تمثل التالية البياناتالعربية اللغة

37 ,43 ,42 ,46 ,37 ,44 ,38 ,39 ,37 ,42 ,38 ,45 ,38 ,48 ,43

للدرجات الحسابي الوسط أوجدي

توزيع ذو تكراري

فئات

البيانات • مدى نوجدالفئات = • عدد 4نحددالفئة • طول نوجداألولى = • للفئة األدنى 37الحداألولى = • للفئة الفعلي األدنى 36.5الحداألولى = • للفئة الفعلي األعلى 39.5الحداألولى = • للفئة األعلى 39الحدالتكراري • التوزيع جدول نكون

التكرارالعالما

تمراكز الفئات

الحدود الفعلية

حدود الفئات

7 38 36.5 – 39.5 37 - 39

2 41 39.5- 42.5 40 - 42

4 44 42.5 – 45.5 43 – 45

2 47 45.5 – 48.5 46 - 48

15 ∑

266

82

176

94

618

𝑿=𝟔𝟏𝟖𝟏𝟓

=𝟒𝟏 .𝟐

يحصل قدفي اختالف

قيمة الوسط

الحسابي حال في

القيم كونفي موزعة

فئات

الوسط الحسابي المرجح

الحسابي ووسطها القيم من ذات مجموعة لدينا كان إذاالحسابي ووسطها القيم من ذات ثانية مجموعة و

دمج من الناتجة للمجموعة الحسابي الوسط فإنعناصرها عدد التي و Pمعا الوسط المجموعتين يسمى

: بالعالقة يعطى و الموزون أو المرجح

من ألكثر المرجح الوسط تعميم يمكنمجموعتين

مثال

فكان جامعية دفعات ثالث معدًالت على دراسة أجريتذات األولى الدفعة معدًالت هو 150متوسط و, 3طالبة

ذات الثانية الدفعة معدًالت هو 250متوسط طالبةذات, 3.14 الثالثة الدفعة معدل متوسط طالبة 100و

.4هو الثالث للدفعات المرجح الوسط أوجدي

أن حيث السابق القانون : نستخدم

أحدى لدرجات المرجح الوسط اوجديكانت حيث مقررات ثالثة في الطالبات

هي الساعات 40 , 70 , 50الدرجات كانت وهي الترتيب 2, 3, 4المعتمدة على

عدد في درجة كل نضرب للدرجات المرجح الوسط إليجادالساعات

القيم كانت إذا Pأيضا المرجح الوسط يستخدمالوزن في مختلفة المعطاة

المجموع نقسم و وزنها في قيمة كل فنضرباألوزان مجموع على

مثال

الوسط( 2الهندسي

الموجبة األعداد من لدينا كان إذابالمعادلة يعرف الهندسي وسطها فإن

اللوغاريتم باستخدام تعريفه يمكن و

الحسابي الوسطتلك للوغاريتمات

األعداد

حالة فيالتوزيعات

ذات التكراريةالفئات

المراكز لها التي الفئات من لدينا كان إذاالقيمة الموجبةالتكرارات لها و

بالمعادلة : يعرف الهندسي الوسط فإن

( التكرارات حيث(مجموعاللوغاريتم باستخدام تعريفه يمكن و

هو التالية األعداد من األوسط أي ؟العدد2 ,4,10 ,6 ,8,1 ,5

P تنازليا أو Pتصاعديا األعداد ترتيب نعيد1 ,2 ,4 , 5 , 6 , 8 , 10

يسمى الوسيط

هو التالية األعداد من األوسط أي ؟العدد2 ,4,10 ,8,2 ,5

P تنازليا أو Pتصاعديا األعداد ترتيب نعيد2 ,2 ,4 , 5 , 8 , 10

الوسط نأخذللعددين الحسابي

الوسيط( 3

األعداد من مجموعة يتوسط الذي العدد هوعددها كان إذا Pتنازليا أو Pتصاعديا المرتبة

.P فردياإذا األوسطين للعددين الحسابي الوسط و

. P زوجيا عددها كان

العنصر هو الوسيط فإن

كان إذاعدد

القيم N

فردي

الحسابي الوسط هو الوسيط فإنللعددين العدد أي

كان إذاعدد

القيم N

زوجي

حساب في الوسيطالتوزيع حالذو التكراري

الفئات

المتجمع تكرارها يزيد فئة أول هيعن

مجموع , هو حيث يساويه أوالتكرارات

الفئة الوسيطية

الوسيط إليجاد

التكرار المتجمع

التكرارالحدود الفعلية للفئات

الفئات

(1فئة )

(2فئة )

(3فئة )

(kفئة )

(hفئة )

∑المجموع

∑

طول الفئة =

=∆الحد

األدنى - 2للفئة

الحد األدنى

1للفئة

الفئة الوسيطية

التكرار المتجمع

التي للفئةتسبق الفئة

الوسيطية

𝑀=𝑎+( 𝑁2 −𝑁 ′

𝑓 𝑘 )∆تكرار الفئة الوسيطية

الحد األدنى الفعلي للفئة الوسيط

ية

اللغة مادة في الطالبات درجات يبين التالي الجدولالعربيةالدرجات وسيط أوجدي

مثال

التكرار المتجمع

من أقلالحد

األعلى الفعلي

للفئة

التكرارالحدود الفعلية

حدود الفئات

من أقل39.5

7 36.5 – 39.5 37 - 39

من أقل42.5

2 39.5- 42.5 40 - 42

من أقل45.5

4 42.5 – 45.5 43 – 45

من أقل48.5

2 45.5 – 48.5 46 - 48

15 ∑

𝑁2

=152

=7 .5

𝒂=𝟑𝟗 .𝟓

𝑵 ′=𝟕∆=𝟒𝟎−𝟑𝟕=𝟑7

9

13

15

الفئة الوسيطي

ة

𝒇 𝒌=𝟐

المنوال( 4

أي غيرها من أكثر تتكرر التي القيمة هوالتوزيع في تكرار أكبر يقابلها التي القيمة

التكراري.

مثال

لثالث األسرة أفراد عدد تمثل التالية البياناتمختلفة عينات

7, 4, 6, 2, 13 , 10, 8, 3, 5, 6, 6,7, 5, 3, 2( 1العينة )4,6, 3, 2, 5 , 2 , 3( 2العينة )10, 9, 8, 7, 6, 5, 1( 3العينة )

. عينة كل منوال أوجدي

العينة ) 6( = 1منوالالعينة ) 3 , 2( = 2منوالالعينة ) ليس( = 3منوال

منوال لها

أحادية المنوال

المنوال ثنائية

عديمة المنوال

درجات يبين المقابل في 15الجدول طالبةالعربية اللغة مادة

الدرجات منوال أوجدي

التكرار الدرجة

3 373 381 390 400 412 422 431 441 451 460 471 48

n=15 ∑

38, 37المنوال =

أكبر تكرار

في المنوالالتوزيعات التكرارية

فئات بدون

أكبر لها التي القيمة المنوال يكونالجدول في تكرار

ثنائية المنوال

ظةمالح

التوزيعات في المنوال يعرف قدلها التي القيمة بأنه التكرارية

حولها . التي القيم من أكبر تكرارلها و منوال من أكثر يوجد قد أي

. مختلفة تكرارات

عدد ) التكرارالطالب(

األخطاء عدداإلمالئية

12 0

10 1

15 2

6 3

3 4

13 5

8 , 2المنوال = 65

P هندسيايمثل المنوال

العظمى القيمالمحلية

منوال

في المنوالالتوزيعات

ذات التكراريةالفئات

تكون ) قد تكرار أكبر يقابلها التي الفئة) فئة من أكثر

الفئة المنوال

ية

عدة ) توجد قد المنوالية الفئة مركز) تقريبية منواًالت

المنوال

التقريبي

التكرارالحدود الفعلية

حدود الفئات

7 36.5 – 39.5 37 - 39

2 39.5- 42.5 40 - 42

4 42.5 – 45.5 43 – 45

2 45.5 – 48.5 46 - 48

15 الفئة = ∑ مركز التقريبي المنوالالمنوالية =

أكبر تكرار

الطالبات درجات يبين التالي التكراري الجدولالعربية اللغة مادة فيالدرجات منوال أوجدي

توزيع ذو تكراري

فئات

الفئة المنوالي

ة

تمرييدخلها ن التي البيانات عدد تمثل التالية البيانات

ساعة 50 خالل موظف

44 48 27 32 48 24 42 29 33 46

23 46 25 35 37 48 41 36 23 49

36 39 47 43 41 43 41 33 48 43

48 26 36 46 38 47 28 22 34 32

38 33 39 24 24 43 23 44 46 45

ذي 1( Pتكراريا Pتوزيعا .6كوني فئات التكراري 2( المضلع و التكراري المدرج ارسمي

.) واحد) رسم فيالمنوال 3( و الوسيط و الحسابي الوسط أوجدي

لبيانات.

عالقة تجريبية بين المتوسطات

في التوزيعات

أحادية المنوال الملتوية

التواء بسيط

المنوال و الحسابي الوسط بين يقع الوسيط

- ≈ الوسيط الحسابي الوسط

مثالنا السابق

أخرى مرة

الحسابي = 41.13الوسط40.25الوسيط =

38المنوال =

التوزيعات المتماثلة

أحادية المنوال

. منطبقة الثالثة المتوسطات تكون. الجرسي التوزيع مثل

التوزيعات الملتوية

التواء شديد

. السابقة المعادلة تتحقق ًال

. ل توزيع مثل

المتوسط تعريفه إيجاده

مدى استخدام

ه

اعتماده على جميع القيم

تأثره بالقيم المتطرفة

وعيوبه مميزاته

الوس

ط الحسا

بي

البيانات مجموععلى 4 مقسوما

عددها

الوسي

ط

التي القيمةالقيم تتوسط

المنوا

ل

األكثر القيم

تكرارا

مميزات و عيوب المتوسطات

إيجاده

دائما

دائما

ال أحيانايوجد

وأحيانا من أكثرواحد

مدى استخدام

ه

األكثر استخداما

غالبا

أحيانا

اعتماده على جميع القيم

نعم

ال

ال

تأثره بالقيم المتطرفة

نعم

ال

ال

وعيوبه مميزاته

مع • بكفاءة يعملالطرق جميع

اإلحصائية.عند • 4 ثباتا األكثر

العينات تغيير

يستخدم ما غالباقيم وجود حالة في

عند أو متطرفةترتيب معرفة

دون المفردات. قيمها معرفة

اختيار بطريقة يتأثرالفئات

, تغيير عند

إضافة , حذف

القيم بعض

, تغيير عند

إضافة , حذف

القيم بعض

قيمته تتغير

ال قد و تتغير قدتتغير

ال قد و تتغير قدتتغير

مميزات أخرى

للوسط الحسابي

يساوي الحسابي وسطها عن البيانات قيم انحرافات مجموعأي : صفر

التكرار مراكز الفئات

الحدود الفعلية

حدود الفئات

7 38 36.5 – 39.5

37 - 39

2 41 39.5- 42.5

40 - 42

4 44 42.5 – 45.5

43 – 45

2 47 45.5 – 48.5

46 - 48

15 ∑

𝑿=𝟒𝟏 .𝟐

-3.2

-0.2

2.8

5.8

-22.4

-0.4

11.2

11.60

مميزات أخرى

للوسط الحسابي

للوسط المساوية البيانات من عدد أي أضفنا إذايتغير ًال فإنه الحسابي

6 , 3, 4, 5 , 10 , 2

6 , 3, 4, 5 , 10 , 2 ,5 ,5 , 5 , 5

مثال

الحسابي الوسط استخدام يفضلعندما :

•. P متماثال التوزيع يكونلجميع • العددية القيمة على Pمنصبا اًالهتمام يكون

البيانات.

عندما : الوسيط استخدام يفضل

•. P ملتويا التوزيع يكونأو • النموذجية القيمة على Pمنصبا اًالهتمام يكون

للبيانات الممثلة• . ترتيبها معرفة مع البيانات بعض تفقد

عندما : المنوال استخدام يفضل

استخدام • تقبل الدراسة و المنوال متعدد يكون. المتعدد المقياس