планіметрія 8 клас

Геометрія 8 клас

ЧотирикутникиЧотирикутники – багатокутники, які мають чотири вершини і чотири сторони.

Чотирикутники можуть бути опуклими та неопуклимиABCD – опуклий чотирикутник FRLK – неопуклий чотирикутник .

Відрізок, який сполучає дві протилежні вершини називають діагоналлю. AC, BD – діагоналі чотирикутників ABCDRK, FL - діагоналі чотирикутника FRLK

ЧотирикутникиДіагоналі чотирикутників

ЧотирикутникиВластивості кутів опуклого чотирикутника

Властивість 1: сума внутрішніх кутів опуклого чотирикутника дорівнює 360 градусів.

Властивість 2: сума зовнішніх кутів опуклого чотирикутника , узятих по одному при кожній вершині чотирикутника, дорівнює 360 градусів.

ЧотирикутникиВластивість сторін опуклого чотирикутника

Властивість: Кожна сторона опуклого чотирикутника менша за суму трьох інших його сторін. AB<AD+DC+BC AD<AB+DC+BC DC<AB+AD+BC BC<AB+AD+DC

Чотирикутники Вписані чотирикутникиЧотирикутник називається вписаним, якщо його вершини належать колу.

Центром описаного, навколо чотирикутника, кола є точка перетину серединних перпендикулярів всіх сторін чотирикутника. Якщо всі серединні перпендикуляри сторін перетинаються в одній точці, то навколо цього чотирикутника можна описати коло.

Теорема Сума протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнює 180 гр.

Теорема(обернена) Якщо сума двох протилежних кутів чотирикутника дорівнює 180 гр., то навколо нього можна описати коло.

Чотирикутники Описані чотирикутникиЧотирикутник називається описаним навколо кола (коло вписане), якщо всі його сторони дотикаються цього кола. Центром вписаного кола є точка перетину

бісектрис всіх внутрішніх кутів. Якщо бісектриси всіх кутів чотирикутника перетинаються в одній точці, то в такий чотирикутник можна вписати коло.

Теорема Суми протилежних сторін чотирикутника, описаного навколо кола, рівні.Теорема (обернена) Якщо в чотирикутнику суми протилежних сторін рівні, то в нього можна вписати коло.

Чотирикутники

опукліНеопуклі

вільні

трапеції

паралелограми

ромбипрямокутники

квадрати

ЧотирикутникиЗавдання

1. В заданому опуклому чотирикутнику ABCD (мал 1.) AB=AD, BC=DC. Довести, що кути B и D однакові.

2. В заданому опуклому чотирикутнику ABCD (мал 2.)Довести, що AB=BC, AD=CD

3. Можна задати чотирикутник з вказаними кутами (рис 3.)? Які треба задати кути, щоб сторони BC и AD були паралельні?

ПаралелограмПаралелограм – чотирикутник у якого попарно паралельні протилежні сторони

Висотою паралелограма називається перпендикуляр, проведений з вершини до протилежної сторони.

ПаралелограмВластивості паралелограма

Властивість 1 В будь-якому паралелограмі протилежні кути рівні, а сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює 180 гр.

Властивість 2Діагональ паралелограма ділить його на два рівні трикутники

Наслідок: Протилежні сторони паралелограма рівні

ПаралелограмВластивості паралелограма

Властивість 3. Діагоналі паралелограма діляться точкою їх перетину навпіл.

AO=OCBO=OD

Властивість 4. Бісектриси сусідніх кутів паралелограма перетинаються під прямим кутом

ПаралелограмОзнаки паралелограма

Ознака 1:Якщо протилежні сторони чотирикутника рівні, то він єпаралелограмом

Ознака 2:Якщо дві протилежні сторони чотирикутника паралельні та рівні, то він є паралелограмом

Ознака 3:Якщо діагоналі чотирикутника поділяються точкою їх перетину навпіл, то він є паралелограмом

Означення та ознака паралелограма Довести, що АВСD - паралелограм

А

D

В

С1

2

3

4

А D

В С

А D

В С1

2

С

А

В

D

1

2

3

4

А∆АBC = ∆CDA

D

В С

D

В1

23

4

А

С

Означення та ознака паралелограма Довести, що АВСD - паралелограм

А

В С

D

O

С

А

В

D

O

1

2

А

В С

D

O

1

2

Паралелограм Знайти кути паралелограма АВСD.

A

B C

DA : В = 1 : 3

A

B C

DО

АО = ВО = СО = DO B - A = 300A

B C

D

A

B C

D0А = 90

A

B C

D

AB = AD OAB = 300

O

A

B C

D

O

BAO = OAD OAD : ODA = 1 : 2

A

B C

D

O

ВОС = 90 OAD : ODA = 1 : 2

0

Паралелограм Знайти сторони паралелограма АВСD, якщо його периметр дорівнює 24см.

АD - AB = 3смA

B C

D A

B C

DAВ:ВС = 1 : 2

A

B C

D

М

МС – МВ = 3 см

A

B C

D A

B C

D A

B C

D

O

Окремі види паралелограма

Прямокутник

Властивості: (наслідує властивості паралелограма)

•протилежні сторони рівні;•діагоналі у точці перетину діляться навпіл;•діагональ поділяє прямокутник на два рівні трикутники.

Властивість прямокутника:Властивість 1 :Діагоналі прямокутника рівні.Наслідок.Діагоналі прямокутника поділяють його на чотири рівнобедрених трикутникі.

Прямокутник – паралелограм, у якого всі кути прямі.


Ознаки прямокутника:Ознака 1. Якщо у паралелограма один кут прямий, то він – прямокутник.

Ознака 2. Якщо діагоналі паралелограма рівні, то він – прямокутник.


Теорема(властивість)Навколо будь якого прямокутника можна описати коло.

(серединні перпендикуляри сторін перетинаються в одній точці;сума протилежних кутів дорівнює 180 гр.)

Центром описаного кола є точка перетину діагоналей.

Ознака прямокутника:Якщо навколо паралелограма можна описати коло, то він є прямокутником.

РомбРомб – паралелограм у якого всі сторони рівні.

Властивості: (наслідує властивості паралелограма)•протилежні кути рівні;•сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює 180 гр;•діагоналі в точці перетину діляться навпіл;

Властивість ромба: В ромбі діагоналі взаємно перпендикулярні і є бісектрисами його кутів.

Якщо ABCD ромб, то:

1 2

34

Ромб

Ознаки ромба:

Ознака1 Паралелограм ,у якого дві сусідні сторони рівні, - ромб.

Ознака 2 Паралелограм ,у якого діагоналі перетинаютья під прямим кутом, - ромб.

Ознака 3 Паралелограм, діагоналі якого є бісектрисами кутів, - ромб.

Ромб

Теорема(властивість)В будь-який ромб можна вписати коло, діаметр якого дорівнює висоті ромба

Ознака ромбаПаралелограм, в який можна вписати коло, - ромб.

Квадрат

Квадрат – прямокутник, у якого всі сторони рівні.

Квадрат одночасно є і ромбом і прямокутником, тому має їх властивості:•діагоналі у точці перетину діляться навпіл;•діагоналі взаємно перпендикулярні;•діагоналі є бісектрисами його кутів;•діагоналі рівні;•навколо квадрата завжди можна описати коло;•у будь-який квадрат можна вписати коло.Ознаки квадрата:•Прямокутник, у якого діагоналі перпендикулярні, є квадратом. •Прямокутник, у якого діагональ є бісектрисою кутів, є квадратом. •Ромб, в якого один кут прямий, є квадратом. •Ромб, в якого діагоналі рівні, є квадратом.

Властивості паралелограма Знайти периметр паралелограма

A

B C

D

3см

5см

Паралелограм

F

C D

EK6006м

м

F

K

L

E

6005м

M

N P

K450

1дм

А

В

С

D

K300

2cм

6см

F

C D

E8мм

Квадрат

E

F

K

L

2м

Ромб

N

P K

M4дм

6дм


Властивості паралелограма Знайти всі невідомі кути. Квадрат

C

F

D

E

N P

KM

EC D

F E

O

F

E K

L

Паралелограм

А

В С

D

200

400


M

N P

K

200

Ромб

K

L

E

F

400

B C

A D

200

Трапеція (не є паралелограмом)Трапеція – чотирикутник, у якого дві протилежні сторони паралельні.

Сторони, що лежать на паралельних прямих називають основами (BC і AD), інші сторони – бічними сторонами (AB і CD).

Якщо бічна сторона трапеції перпендикулярна основі, то така трапеція називається прямокутною.

Якщо бічні сторони трапеції рівні між собою, то така трапеція називається рівнобічною. Висотою (ВК) трапеції називається перпендикуляр, проведений з вершини до однієї з основ трапеції.

Середня лінія трапеції (LM) – відрізок, який сполучає середини її бічних сторін.

Трапеція Властивість 1.Сума кутів, прилеглих до однієї бічної сторони, дорівнює 180 гр.

Властивість 2.Середня лінія трапеції паралельна її основам і дорівнює півсумі цих основ.

Рівнобічна трапеція Властивості рівнобічної трапеції

У рівнобічної трапеції:

•Кути, прилеглі до однієї основи рівні.•Сума противолежних кутів дорівнює 180 гр.•Диагоналі рівні.•Відрізки діагоналей трапеції, що сполучають точку їх перетину з кінцями однієї основи, рівні між собою.•Навколо рівнобічної трапеції завжди можна описати коло.

Ознаки рівнобічної трапеції:Якщо в трапеції виконується одне з таких тверджень: •Кути, прилеглі до однієї основи, рівні•Сума протилежних кутів дорівнює 180 гр•Діагоналі рівні•Трапеція – вписана,то така трапеція є рівнобічною.

Трапеція Завдання

Теорема Фалеса

Фалес Мілетский (VI ст. до н.е.) був першим із «семи наймудріших» філософів Греції.

Фалес був не тільки вченим, а ще й державним діячем, філософом і астрономом.

Теорема Фалеса

Якщо паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на одній його стороні рівні відрізки, то вони відтинають рівні між собою відрізки і на іншій стороні кута.

Теорема обернена до теореми ФалесаЯкщо прямі відтинають на одній стороні кута рівні між собою відрізки і на другій стороні кута рівні між собою відрізки, то такі прямі пралельні.

Теорема Фалеса Завдання

Середня лінія трикутника і трапеції

Середньою лінією трикутника называється відрізок, який сполучає середини двох сторін цього трикутника.

Властивість: Средня лінія трикутника паралельна стороні трикутника, яку вона не перетинає ,і дорівнює половині цієї сторони.

Властивість. Середня лінія трапеції паралельна її основам і дорівнює півсумі цих основ.

Середня лінія трикутника Дано: АВС, АК = КВ, КZ || AC, ZM || AB, P = 15 cм.

Знайти: Р .

A

B

C

K

Z

M

KZM

АВС

Середня лінія трикутника Дано: АВСD -

паралелограм, M, N, Q, P – середини сторін. Вказати вид

чотирикутника MNQP .

D

B

CA

N M

Q P

Середня лінія трапеції Дано: АВСD - трапеція, BM = МP = RP =

RA, MN||PQ||RS||AD,BC = 15см, AD = 23м.

Знайти: МN, PQ, RS.

D

B C

A

NM

Р

R

Q

S

Середня лінія трапеції Дано: АВСD -

трапеція, АM = МВ = СN= ND, BК АD, АК = 3, ВС =

7. Знайти: МN.

D

B C

A

NM

К

Узагальнена теорема Фалеса

Теорема про пропорційні відрізки

Паралельні прямі, що перетинають

сторони кута, відтинають на його

сторонах пропорційні відрізки.

Подібність трикутників

Подібні трикутникі

Два трикутника називаються подібними, якщо в них, відповідно, рівні кути, а проти рівних кутів лежать пропорційні сторони. Дві сторони подібних трикутників, які лежать проти рівних кутів називаються відповідними сторонами.

Вершини рівних кутів, подібних трикутників, називаються

відповідними вершинами.

Рівні кути подібних трикутників називаються відповідними кутами.

Властивості подібних трикутників.

Дано: АВС подібний А1В1С1.

Знайти: х, у, z.

А1В1:АВ =2.

А

В

С8см

6см 7смА1

В1

С1

х у

z


РABC = 105см.Дано: АВС подібний А1В1С1.

Знайти: х, у, z.

6см7см

8см

А1

В1

С1хсм

усм

zсм



Знайти: х, у, z.b:c:а = 6:7:8.

А

В

С

А1

В1

С1

Р = 42см.

с а

b

х у

z



Знайти: х, у, z.c:а:b = 8:6:7, х + у = 70м.

А

В

Сс

а

b

А1

В1

С1х

у

z

Перша ознака подібності трикутника.

Теорема.

Якщо кут одного трикутника дорівнює куту другого трикутника , а сторони, що утворюють цей кут в одному трикутнику, пропорційні відповідним сторонам другого трикутника, то такі трикутники подібні.

Друга ознака подібності трикутників.

Теорема.

Якщо два кути одного трикутника дорівнюють, відповідно, двом кутам другого трикутника, то такі трикутники подібні.

Третя ознака подібності трикутників.

Теорема.

Якщо три сторони одного трикутника пропорціональні, відповідно, трьом сторонам другого трикутника , то такі трикутники подібні.

Подібність трикутників.

Дано: АВС, MN || AC

Знайти: х.

AB = 16мА

12м

С

МN

B

xм

3м


Дано: АВС, MN || AC

Знайти: х.

А

М

В

15м

5мN

C15м

хм


Дано: АВС, MN || ACЗнайти: х, у.

А

М

В

N

С10

х

3у

3 2


Дано: АВС, ADEF – паралелограм, АВ = 20см, АС = 25см, АD:DE = 6:5.

Знайти: AD i DE.

A C

B

D E

F

Кути, пов'язані з колом

Центральний кут-це кут з вершиною в

центрі кола.

О

Дуга кола, яка відповідає центральному куту -

це частина кола, яка міститься всередині цього центрального кута

Градусна міра дуги кола дорівнює градусній мірі відповідного їй

центрального кута.

А

В

АВ

АВ = АОВ

О

Вписаний кут -це кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають це коло.

С

А

В

С

А

В

Теорема про вписаний кут

Кут, вписаний в коло, дорівнює половині відповідного йому центрального кута.

Кут, вписаний в коло, дорівнює половині дуги, на яку він спирається.

СА

В

О

Теорема про вписаний кут

Кут, вписаний в коло, дорівнює половині відповідного йому центрального кута.

Кут, вписаний в коло, дорівнює половині дуги, на яку він спирається.

СА

В

О

Усні вправи

x

145

№1215

О

О110

х№255

60

100x

№3100

x№4

36

Метричні співвідношення в колі.

Теорема (про пропорційність відрізків хорд)

Добутки відрізків хорд,

що перетинаються,

рівні.

АМ · МВ = СМ · МD.

A

C B

DO

М

CA

D

B

O

Теорема (про пропорційність відрізків січної і дотичної)

Добуток січної на її зовнішню частину дорівнює квадрату відрізка дотичної, проведеної з тієї самої точки.

CB · CA = CD2

Наслідок. Добуток січної на її зовнішню

частину для даного кола і даної точки, поза ним, є сталим.

РА ·· РВ = РС РВ = РС ·· Р РDD

Розв’яжіть задачуДано: СD - дотична, СВ – січна, АВ = 5см, СВ = 8см.

Знайти: СD.

CA

D

B

O

Розв’яжіть задачу:

При перетині з діаметром кола, хорда ділиться на відрізки завдовжки 3 см і 4 см, а діаметр — у відношенні 1 : 3. Знайдіть радіус кола.

Метрічні співвідношення в прямокутному трикутнику.


Теорема. Висота, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, ділить його на два подібні трикутники.

Кожний з цих трикутників подібний до заданого прямокутного трикутника.

Наслідок. У прямокутному трикутнику виконуються такі співвідношення:


C

A

Ba

bc


Теорема Піфагора. У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів:

Теорема обернена до теореми Піфагора. Якщо у

трикутнику, зі сторонами а, в, с, виконується рівність

то такий трикутник прямокутний, у якому а та b –

катети, с – гіпотенуза.

C

A

B

Cинусом гострого кута називається відношенняпротилежного катета до гіпотенузи.

caA sin

cbA cos

baAtg

a

bc

Косинусом гострого кута називається відношенняприлеглого катета до гіпотенузи.

Тангенсом гострого кута називається відношення протилежного катета до прилеглого.

Котангенсом гострого кута називаєтьсявідношення прилеглого катета до протилежного.

abActg

Співвідношення між сторонами та кутами у прямокутному трикутнику.

хсм

5см

1см

м6хм

1м

х

аb

х

a

2a

хм

5м

α

Знайти х.

Співвідношення між сторонами та кутами у прямокутному трикутнику.

αхсм

4см

3см

хсм

α

хдм

2дм

α

хм

α

1м

1мхм

450

хм

2м

450

Знайти х.

Теорема ПіфагораЗнайти х.

ABCD - квадрат

В С

хсм6 см2

DА

B

хсм

ВD = 8смАС = 6см

СА

D

Теорема ПіфагораЗнайти х.

ABCD - паралелеограм

DА

В С

К

900

450

4см

хсм

ABCD - трапеція

DА

В С

К

2см

900

хсм300

Теорема Піфагора. Пропорційні відрізки в прямокутному трикутнику

Знайти невідомі сторони трикутника АВС, якщо кут С прямий.

В

С

DА

4,8cм 6смА

С

ВD

4,8м

АВ = 10м

Теорема Піфагора. Пропорційні відрізки в прямокутному трикутнику

Знайти невідомі лінійні елементи прямокутних трикутників ( С = 900).

35см

12см

А

С

В

D

A

C

BD

5м 12м

Площі чотирикутників та

трикутника

Площа прямокутника

a

bS=ab

a

aS=a2

Вкажіть правильні твердження:•якщо діагоналі двох квадратів рівні, то квадрати рівні;•два рівновеликі прямокутники рівні;•два рівновеликі квадрати рівні.

Площа паралелограма

ha

aaahS

bhb

A

B C

D

A

B C

D

S = bhb

1. Знайти площу прямокутника, якщо АК – бісектриса кута А,

2. Знайти площу прямокутника, якщо

.7,5 смКСсмВК

.5,60 смCDCОD

.23 см

3. У прямокутнику перпендикуляр, опущений з вершини на діагональ, поділяє її на відрізки завдовжки 9 см і 1 см. Знайдіть площу прямокутника.

4. Знайти площу квадрата з діагоналлю

5. Обчисліть площу чотирикутника, сторони АВ і CD якого паралельні вісі Оу.

6. Знайти площу паралелограма, сторона якого дорівнює 6см, а висота, проведена до неї – 7 см.

7. Периметр паралелограма ABCD дорівнює 40 см.Знайдіть площу ABCD, якщо

8. Сусідні сторони паралелограма дорівнюють 12 см і 8 см, а тупий кут становить 150°. Знайдіть площу паралелограма.

.8,4,,

смCDсмBMCDBNADBM

9. Висота ВК паралелограма ABCD ділить сторону AD на відрізки AK=3 см, KD=7см,AB=5 см. Знайдіть площу паралелограма. 10. Знайти площу паралелограма, якщо АN – бісектриса кута

.10,6

,15

смADсмВN

NAD

Площа трикутника дорівнює половині

добутку його сторони на висоту, яка проведена до

цієї сторони.

А

С

ВD

SABC = AD·CB

Площа трикутника

В

С

А

ВА С

а а

а

2baS

4

32

aS

a

b

Площа ромба

в

с

𝘋

А

1d

2d

2

221

BDACS

ddS

В

За даними рисунка знайди площу трикутника 𝘈𝘉𝘊 .

4

А С

А

В

С

А с4

6

8

10

4B

44

1. Знайди висоту трикутника, якщо сторона, до якої проведена ця висота, дорівнює 35 см, а площа – 175 см2 .

2. Знайди площу ромба, якщо його діагоналі дорівнюють 4 см і 6 см.

Усні вправи.

Які довжини мають висоти трикутника зі сторонами 10 см, 10 см і 12 см?

Розв´яжи задачу

Площа трапеціїПлоща трапеції дорівнює добутку

півсуми її основ на висоту

hbaS )(21

Площа трапеції

А

В С

DH

a

b

h hb)(aS 2

1

Розв’яжи задачі

1. Знайди площу трапеції, якщо a = 4,5 см; b = 8см;

h = 6см.

Для тих, хто хоче знати більше …

Цього міцного хлопця з упертою шиєю і коротким носом, справжнього забіяку, судді однієї з перших в історії олімпіад не хотіли допускати до змагання, докоряли маленьким зростом. Він пробився і переміг всіх супротивників. Трапилось таке яких-небудь 2530 років опісля і газети

всього світу вийшли б із заголовками: «Нікому не відомий Піфагор завоював золоту медаль в кулачних боях».

Життя Піфагора навіть не легенда, а нашарування багатьох легенд. Чого тільки не розповідали про нього! Говорили, наприклад, що у нього стегно із золота, що він володіє чудовою здатністю одночасно знаходитися в різних місцях. Напевно, серед найдивовижніших і суперечливих домислів є крупиці істини. Розповідають також що, коли Піфагор довів свою знамениту теорему, віддячив богам, принісши їм в жертву 100 биків. Деякі вважали його перевтіленим богом Аполоном.

Піфагор Самоський - філософ, математик, релігійний і політичний діяч, народився в VI столітті до н.е. в м. Регія на острові Самос (острів в Егейському морі - територія Греції). За багатьма античними свідченнями, хлопчик, що народився, бувказково красивий, а незабаром проявив і свої неабиякі здібності. Піфагор був учнем Анаксімандра - давньогрецького філософа, представника Мілетської школи. З юного віку Піфагор тягнувся до знань і подорожей. У 18 років він покинув рідний острів і відправився в чужі краї. Він побував на Сході в Єгипті, Вавилоні і Фінікії. У самому Єгипті він прожив близько 22 років. Там він вивчав астрономію, математику і інші науки. Спеціально для цього Піфагор вивчив єгипетську мову. На 50-му році життя він нарешті повернувся в рідну вітчизну на острів Самос. На жаль, там його чекали погані новини: на острові владу захопив тиран Полікрат. Тоді йому довелося покинути рідне місто і віддалитися до Південної Італії - м. Кротон. Саме тут Піфагор став таким знаменитим, зробив свої відкриття, заснував Піфагорійську школу, в якій було близько 1900 учнів і послідовників його вчення.

«…він розташував до себе все місто як людина, що багато мандрувала, незвичайний і за своєю природою багато обдарований долею, - бо він володів величавою зовнішністю і великою красою, благородством мови, вдачі і всього іншого...»

Після багатьох подорожей в Кротоні Піфагор заснував щось нібирелігійно - етичного братства або таємного чернечого ордена. Школа Піфагора була одночасно філософською школою, політичною партією і релігійним братством, під назвою«Піфагорійський союз».

Всього налічується 325 заповідей, але найцікавіші:

- Знайди собі вірного друга і тоді ти можеш обійтися без богів.

- Хлопець! Якщо ти бажаєш собі життя довготривалого, то стримай себе від перенасичення і всякої надмірності.

- Юні дівчата! Пам'ятайте, що особа лише тоді буває прекрасною, коли вона зображає витончену душу.

- Не ганяйся за щастям: воно завжди знаходиться в тобі самому. - Не печися про здобуття великого знання: зі всіх знань

етична наука, мабуть, є найпотрібніша, але їй не навчаються.

Школа Піфагора зіграла велику роль в розвитку науки.

Через тисячі років великий учений Альберт Ейнштейн писав: «Дивовижним, надзвичайним здавався сам факт, що людина здатна досягти такого ступеня надійності і чистоти у відвернутому мисленні, яку нам вперше показали Греки в геометрії»

Піфагор не записав свого учення, воно відоме в переказах Арістотеля і Платона.

«Хто знає! Хто знає! Можливо, душа Піфагора переселилася в бідолаху кандидата, який не зміг довести теорему Піфагора і провалився через це на іспитах, тоді як в його екзаменаторах мешкають душі тих биків, яких Піфагор, обрадуваний відкриттям своєї теореми, приніс в жертву безсмертним богам».

Во мгле веков пред нашим взоромБлеснула истина. Она,Как теорема Пифагора,До наших дней еще верна. Найдя разгадку, мудрый старец Был благодарен небесам; Он сто быков велел зажарить И в жертву принести богам.С тех пор быки тревожно дышат,-Они, кляня дары богов,О новой истине услышавУжасный поднимают рев. Их старца имя потрясает, Их истины лучи слепят: И, новой жертвы ожидая, Быки, зажмурившись, дрожат.

Площа квадрата побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника дорівнює сумі площ квадратів побудованих на його катетах.

cа

b

У III столітті до н.е. давньогрецький вчений Евклід написав книгу «Начала». У ній він підсумував накопичені геометричні

знання, які розташував по 13 книгам. Перша книга закінчується теоремою Піфагора.

Ви бачите креслення, яке застосовувалося при

доведенні теореми в книзі Евкліда.

У перебігу довгого часу це креслення

вважалося символом математичної

науки. Жартома його називають

«Піфагорові штани».

а в

ва

а

а

в

в

с

с

с

с

с2

в

вв

в

а

а а

а

в2

а2

c2 = (a + b)2 - 2ab = = a2 + 2ab + b2 – 2ab = a2 + b2

c2= a2 + b2

Історичний огляд почнемо із стародавнього Китаю. Тут особливу увагу привертає математична книга Чу-пей. У цьому творі так мовиться про піфагоровий трикутник із сторонами 3,4 і 5:«Якщо прямий кут розкласти на складові частини, то лінія, що сполучає кінці його сторін, буде 5, коли підстава є 3, а висота 4».

З давніх часів відомий дуже простий спосіб

побудови прямих кутів на

місцевості.

А

В

С

Цей спосіб застосовувався тисячоліття

назад будівельниками єгипетських пірамід.

Кантор вважає, що рівність 32 + 42 = 52 було відомо вже єгиптянам ще біля 2300г. до н.е., за часів царя Аменемхета І (згідно папірусу 6619 Берлінського музею). Дещо більше відомо про теорему Піфагора у вавилонян. У одному тексті приводиться наближене обчислення гіпотенузи прямокутного трикутника. Звідси можна зробити висновок, що в Дворіччі уміли проводити обчислення з прямокутними трикутниками (в деяких випадках). Геометрія у індусів, як і у єгиптян і вавилонян, була тісно пов’язана з культом. Мабуть, що теорема про квадрат гіпотенузи була відома в Індії вже близько 18 століття до н.е.

Історія теоремиІсторія теореми

У Евкліда ця теорема свідчить(дослівний переклад):«В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол».Латинський переклад арабського текста Аннаирици (близько 900 р. до н.е.), зроблений Герхардом Клемонським (початок 12 ст.), в перекладі на російський свідчить:«Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол».В першому російському перекладі евклідових «Початків», зробленим Ф.І.Петрушевським, теорема Піфагора викладена так:«В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол».

Таким чином відомо, що ця теорема не була відкрита Піфагором. Проте одні вважають, що Піфагор першим дав її повноцінне доведення, а інші відмовляють йому і в цій заслузі. Деякі приписують Піфагору доведення, яке Евклід приводить в першій книзі своїх «Початків». З іншого боку, Прокл стверджує, що доведення в «Початках» належать самому Евкліду. Як ми бачимо, історія математики майже не зберегла достовірних данних про життя Піфагора ті його математичну діяльність. Ван-дер-Варден (голандський математик) говорив:«Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но её систематизация и обснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку».

Education

планіметрія 8 клас