10 hpt bai giang lopluyenthi

HPT – PP HỒNG TRÍ QUANG

1

HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI I

Là hệ khi đổi chỗ x và y cho nhau thì mỗi phương trình vẫn không thay đổi

PP giải: Đặt: x y S

xy P

Chú ý: 2 2 24 0x y xy x y nên 2 4S P

Bài 1. Giải hệ phương trình 2 2

3 3

30

35

x y y x

x y

Bài giải

Biến đổi pt đã cho: 2 2

xy(x+y) 30

( )( ) 35x y x xy y

Đặt x y S

xy P

, điều kiện: 2 4S P . Từ đó: 2 2 2 2( ) 3 3x xy y x y xy S P

Thay vào pt đã cho ta có: 2

PS 30

( 3 ) 35S S P

3

PS 30

3 35S PS

3

PS 30

3.30 35S

3

PS 30

125S

P 6

5S

Từ đó: xy 6

5x y

xy 6 (1)

5 (2)y x

. Thay từ pt (2) vào (1) có: (5 ) 6x x

2

3

x

x

3

2

y

y

Vậy hệ pt có nghiệm (x; y) là (2; 3), (3; 2)

Chú ý.

- Nếu hệ pt có nghiệm là ( ; )x y thì do tính đối xứng, hệ cũng có nghiệm là ( ; )y x . Do vậy, để

hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là x y .

- Không phải lúc nào hệ đối xứng loại I cũng giải theo cách trên. Đôi khi việc thay đổi cách nhìn

nhận sẽ phát hiện ra cách giải tốt hơn.

Bài 2. Giải hệ phương trình 2 2 18

( 1)( 1) 72

x y x y

xy x y

Phân tích. Đây là hệ đối xứng loại I

- Hướng 1. Biểu diễn từng pt theo tổng x y và tích xy , tuy nhiên hướng này làm cho phương

trình đơn giản đi không đáng kể


2

- Hướng 2. Biến đổi hpt về dạng:

2 2

2 2

( ) ( ) 18

( )( ) 72

x x y y

x x y y

Biểu diễn từng pt theo 2x x và

2y y . Rõ ràng hướng này tốt hơn.

S = (2;3); (2; 4); ( 3;3); ( 3; 4); (3;2); ( 4;2); (3; 3); ( 4; 3)

Đặt ẩn phụ đưa về hpt đối xứng loại I

Sau khi đặt ẩn phụ, đưa về hệ đối xứng loại I nhưng ta không nhất thiết đặt tổng - tích

Bài 3. Giải hệ phương trình: x+1+ y 4

7x y

Bài giải

Điều kiện: 1; 0x y

Biến đổi hệ đã cho:

x+1+ y 4

1 8x y

Đặt: x+1; yu v . Khi đó ta có hệ: 2 2

u+v 4

8u v

Thế từ pt (1) vào pt (2) ta có: 2 2(4 ) 8u u 2 216 8 8u u u 2u 2v

Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (3; 4)

Bài tự luyện

Bài 4. Bài tự luyện Giải hệ phương trình

1) 2 2

1

7

x y xy

x y xy

2)

2 2

5

7

x y xy

x y xy

3)

2 2 1

3

x xy y

x y xy

Đs 1) ( 1;2); (2; 1); ( 1; 3); ( 3; 1)

Bài 5. Biến đổi các hệ phương trình sau về dạng18

72

u v

uv

1)

2 2

2 2

18

( ) 72

x y

xy x y

2)

2 2 18

( 1)( 1) 72

x y x y

xy x y

; 3)

2 2

2 2

18

( ) 72

x y

xy x y


3

4)

2 4 18

( 2)(2 ) 72

x x y

x x x y

5)

2 2 18

( 2 )( ) 72

x y xy

xy x y y x

Bài 6. Biến đổi các hệ phương trình sau về dạng 2 2

7

21

a b

a b

1)

2 2

4 4 2 2

7

21

x y xy

x y x y

2)

2 2

2 2

1 17

1 121

x yx y

x yx y

3) 2 2 2

1 7

( 1) 21

xy x y

xy x y

4) 2 2 2

( ) 1 9

( 2) 21 1

x y y y

x y y y

5)

2 2

4 4 2 2

4 7

4 ( ) 21

x y x

x y x x y

Bài 7. D – 2009. Giải hệ phương trình: 2

2

x(x y 1) 3

5(x y) 1

x

Bài 8. Giải hệ phương trình:

𝑎) {√𝑥2 + 𝑦2 + √2𝑥𝑦 = 8√2

√𝑥 + √𝑦 = 4 𝐷𝑆 (4; 4); 𝑏) {

𝑥 + 𝑦 − √𝑥𝑦 = 3

√𝑥 + 1 + √𝑦 + 1 = 4

2 2 2 2 3)

2 1

x xy y x yc

xy x y

(đặt x + 1 = u)

2 2 213 1 0)

3 2 9 3 0

x y yd

xy x y

Bài 9. Giải hpt

3 3

2 2

19

8 8 2

x y

x y xy x y

(gợi ý đặt z = -y)

HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI II

Là hệ gồm 2 phương trình mà khi ta thay x bởi y và y bởi x thì phương trình trên trở thành phương

trình dưới và phương trình dưới trở thành phương trình trên.

Cách giải: Lấy vế trừ vế làm xuất hiện phương trình tích: ( ). ( , ) 0( ; ) 0

x yx y F x y

F x y

Bài 10. Giải hệ phương trình saux 9 y 7 4

x 7 y 9 4

Bài giải


4

Điều kiện: 9 x 7 ; 9 y 7

Xét hiệu 2 pt ta có: x 9 y 7 x 7 y 9 0

x 9 y 9 y 7 x 7 0

x y y x0

x 9 y 9 y 7 x 7

x y

1 10

x 9 y 9 y 7 x 7

x y

x 9 y 9 y 7 x 7

TH1: x = y thay vào pt (1) ta có: x 9 x 7 4

x 9 4 x 74 x 7 0

x 9 16 8 x 7 x 7

4 x 7 0

0 8 x 7x 7

Hệ có nghiệm (x; y) = (7; 7)

TH2: x 9 y 9 y 7 x 7

Dễ dàng nhận thấy: x 9 x 7

y 9 y 7VT VP

Bài 11. Giải hệ phương trình sau

2

2

12x y

y1

2y xx

Bài tương tự

Bài 12. Giải hệ phương trình

a)

2

2

5 4 0

5 4 0

x y

y x

b)1 2 3

( 1; 1), (2;2)2 1 3

x y

x y


22

32

22

32

yy

x

xx

y

Dạng gần đối xứng


5

Bài 14. Giải hệ phương trình 2

1 1x y (1)

x y2x xy 1 0 (2)

Bài 15. (A – 2003) Giải hệ phương trình

3

1 1(1)

2 1 (2)

x yx y

y x

Bài 16. Giải hệ phương trình 2

1 1x y (1)

x y2x xy 1 0 (2)

ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA PT VÔ TỈ VỀ HỆ ĐỐI XỨNG

Dạng 1. Phương trình: √𝑎 − 𝑓(𝑥)𝑛 ± √𝑏 + 𝑓(𝑥)𝑚 = 𝑐.

Đặt: 𝑢 = √𝑎 − 𝑓(𝑥)𝑛 , 𝑣 = √𝑏 + 𝑓(𝑥)𝑚. Ta có hệ: {

𝑢 ± 𝑣 = 𝑐𝑢𝑛 + 𝑣𝑚 = 𝑎 + 𝑏

Bài 17. Giải phương trình: √1 − 2𝑥3

+ √1 + 2𝑥3

= 2

Bài giải

Đặt 3

3

1 2

1 2

u x

v x

; thay vào pt đã cho ta có: 2u v

Mặt khác

3

3

1 2

1 2

u x

v x

3 3 2u v

Mà: 3 3u v 2 2( )( )u v u uv v 2( ) ( ) 3u v u v uv

22(2 3 )uv =2 1uv

Thế u = 2 – v vào ta có: (2 ) 1v v 2 2 1 0v v 1v 1 2 1x 0x

Bài tương tự Giải phương trình: √𝑥4

+ √17 − 𝑥4

= 3

Dạng 2. Phương trình: 𝑥𝑛 + 𝑏 = 𝑎 √𝑎𝑥 − 𝑏𝑛

.

Đặt 𝑦 = √𝑎𝑥 − 𝑏𝑛

. Ta có hệ: {𝑥𝑛 + 𝑏 = 𝑎𝑦𝑦𝑛 + 𝑏 = 𝑎𝑥

Bài 18. Giải phương trình sau: 3 31 2 2 1x x

Bài giải

So sánh với dạng trên, ta thấy b = 1, a = 2. Từ đó đặt: 3 2 1y x 3 2 1y x 3 1 2 (1)y x

Thay vào pt ta có: 3 1 2 (2)x y

Từ (1) và (2) ta có hệ:

3

3

1 2

1 2

y x

x y

Trừ 2 pt cho nhau ta có: 3 3 2 2y x x y 2 2( )( ) 2( ) 0y x y xy x y x

2 2 2 0

y x

y xy x

x y Vì 2 2 2y xy x

2

232

2 4

xy x

> 0

Với x = y thay vào pt (1) có: 3 1 2x x

1

1 5

2

x

x

Bài tương tự 1) 2 2 2 2 1x x x Đs 2 2x


6

2) 22 6 1 4 5x x x Đs {1 2; 1 3}

HỆ ĐẲNG CẤP

Bài 19. Giải hệ phương trình: {𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 3𝑦2 = 9 (1)

𝑥2 − 4𝑥𝑦 + 5𝑦2 = 5 (2)

Sử dụng phép biến đổi để đưa về pt đăng cấp


yxyx

xyyx

3

133

22

.

Bài 21. Giải hệ phương trình: {2𝑦2 − 𝑥2 = 1

2𝑥3 − 𝑦3 = 2𝑦 − 𝑥

Bài 22. Vòng 2 – chuyên toán Sư Phạm 2013

Tìm tất cả các cặp số hữu tỉ thỏa mãn hệ

3 3

2 2

2 4

6 19 15 1

x y x y

x xy y

PHƯƠNG PHÁP THẾ

Rút một biến và thay vào pt còn lại


2 3 5 (1)

3 2 4 (2)

x y

x y y

Thế một biểu thức vào pt còn lại

PP này có thể giải một số bài bằng chia rồi đặt ẩn phụ

Mục đích khi thế một biểu thức là đưa một pt về một ẩn hoặc pt dạng cơ bản

Bài 24. (D – 2009 ) Giải hệ : 2

2

( 1) 3 0

5( ) 1 0

x x y

x yx

.


2 2

3 3 2

3 0

2 2 5 0

x y xy

x y x xy x y

Bài 26. (ĐT 2011) Giải hệ: 2 2 2

( 5) 1 0

2 ( 1)

x y y

y x xy

Bài 27. (Thử ĐT2012) Giải hệ :

2 2

2 2

1 4

( ) 2 7 2

x y xy y

y x y x y

.

Bài 28. B - 2008 *Giải hệ phương trình {𝑥4 + 2𝑥3𝑦 + 𝑥2𝑦2 = 2𝑥 + 9

𝑥2 + 2𝑥𝑦 = 6𝑥 + 6(𝑥; 𝑦) ∈ 𝑅

PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI THÀNH TÍCH

Dạng 2.Phân tích thành tích dựa vào tam thức bậc hai


7

Bài 29. D – 2008 Giải hệ phương trình{𝑥𝑦 + 𝑥 + 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑦2

𝑥√2𝑦 − 𝑦√𝑥 − 1 = 2𝑥 − 2𝑦

HD: Coi phương trình (1) là phương trình bậc 2 đối với x, ta có: 𝑥2 − 𝑥(𝑦 + 1) − (2𝑦2 + 𝑦) = 0

Khi đó Δ = (𝑦 + 1)2 + 4(2𝑦2 + 𝑦) = 9𝑦2 + 6𝑦 + 1 = (3𝑦 + 1)2

Nên phương trình có hai nghiệm 𝑥 = −𝑦; 𝑥 = 2𝑦 + 1

Thế từng trường hợp với pt (2) ta có nghiệm (x; y) = (5;2)

→ (2): (𝑦 + 1)(√2𝑦 − 2) = 0; (𝑥; 𝑦) = (5; 2).

Bài 30. Giải hệ:

3 2

2

3 (6 ) 2 0

3

x y x xy

x x y


2 2

2 3 2

3

x xy y y

x y

Đs 2

1

x

y


2

2

6 3 1

3 3 2

x xy x y

x y x y

Phân tích 1pt thành tích

Bài 33. D – 2012 Giải hệ phương trình 3 2 2 2

2 0

2 2 0

xy x

x x y x y xy y

(x, y R)

Bài 34. (A – 2011 ) Giải hệ PT :

2 2 3

2 2 2

5 4 3 2( ) 0 (1)

( ) 2 ( ) (2)

x y xy y x y

xy x y x y

Luyện tập

Bài 35. Giải hệ phương trình: .


Bài 37. *Giải hệ phương trình

13 1 2

17 1 4 2

xx y

yx y

PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Đặt ẩn phụ đưa về pt, hpt cơ bản

x 2y xy 0

x 1 2y 1 1

2 xy y x y 5

5 x 1 y 1


8

Bài 38. Giải hệ phương trình: 2 2

2 2 3 2 (1)

2 2 (2)

x y x y

x xy y

Cao đăng khôi A năm 2010


2 3

2 2

12 (1)

6 (2)

x x

y y

x y xy


2 2 41 (1)

2 1 (2)

x y

x y x y

.

Bài 41. Giải hệ phương trình: 3

(3 ) 2 2 2 1 0 (1)

2 2 (2 1) 1 (2)

x x y y

x y

Bài 42. Giải hệ phương trình: 3 2 4

2 1 1

x y

x y x y

BIẾN ĐỔI ĐỂ XUẤT HIỆN ẨN PHỤ

Biến đổi từng phương trình hoặc kết hợp cả 2 phương trình để đưa về pt hoặc hpt cơ bản

(Pt bậc 2, bậc 3. Hệ đối xứng loại I, loại II, đẳng cấp, hoặc dùng pp thế)


2 2

4 2 2

2 3 15 0

2 4 5 0

x y x y

x y x y


4 2

2 2

2 3

3

x x y

x y y

Bài 45. A – 2008 Giải hệ phương trình:

2 3 2

4 2

5

4

51 2

4

x y x y xy xy

x y xy x

Bài 46. Giải hệ phương trình: 3 3 1

( , )5 3 5 3 4

x y xyx y

x y

Bài 47. Giải hệ phương trình: 12 3 4 16

4 5 5 6

x y xy

x y

CHIA HAI VẾ ĐỂ ĐƯA ĐỂ ĐẶT ẨN PHỤ

Chú ý một số hệ thức:

2

2

2

1 12x x

x x


9

2

2

2

1 1x xx x

y y y y

Sau khi chia xong ta thường xuất hiện tổng, tích của 2 biểu thức để đặt ẩn phụ

Bài 48. Giải hệ phương trình: 2

2

1

1)( 2)

( ) 4, .

( x

x y y x yx y R

x yy


Bài 50. B – 2009 Giải hệ phương trình 2 2 2

1 7, .

1 13

xy x yx y R

x y xy y

HỆ BA ẨN

Giải các đại lượng chung

Hệ dạng:

x

xy a

yz b

z c

hoặc

x

x y a

y z b

z c

Phương pháp: Cộng tương ứng ba phương trình, để tìm tổng hoặc tích


3 (1)

5 (2)

4 (3)

x y

y z

x z


2

6

3

xy

yz

zx


12

5

18

5

36

13

xy

x y

yz

y z

xz

x z

Bài 54. Giải hệ

1

2

5

x y zy

x z xz

y z yz

2 2

2 2

x y 1 xy

x y1

y 1 x 1


10


xyz x y z

yzt y z t

ztx z t x

txy t x y

HD a) Lấy nghịch đảo; b) Chia

Bài 56.

Education

10 hpt bai giang lopluyenthi