Лекц 15

Хамаарлын хэлбэрүүд, үр дүнгийн ба хүчин

зүйлийн шинж тэмдэг

Үзэгдлүүдийн харилцан холбоо хамаарал нь янз

бүрийн хэлбэртэй бөгөөд хамаарлыг ерөнхий хоѐр

хуваадаг.

Функцийн

Статистикийн

Ямар нэгэн хэмжигдэхүүн өөр нэг хэмжигдэхүүнээс

бүрэн хамаарч байвал функцийн хамаарал гэнэ.

Энэ нь нэг хэмжигдэхүүний тодорхой нэг утганд нөгөө

хэмжигдэхүүний тодорхой нэг утга хамаарч

байдаг хамаарал юм.

y=f(x)

х нь у-ийг бүрэн тодорхойлох бөгөөд х-ийн утгаас у

бүрэн хамаарна.

х-хувьсагч у-хувьсагч

1 хүчин зүйлийн шинж

тэмдэг

үр дүнгийн шинж тэмдэг

2 үл хамааран хувьсагч Хамааран хувьсагч

3 Тайлбарлагч Тайлбарлагдагч

4 Экзоген Эндоген

Математикт х-функцийн аргумент,

у-функцийн утга

Хүчин зүйлийн буюу үл хамааран хувьсагчийн

өөрчлөгдөж байгаа утга бүхэнд үр дүнгийн шинж

тэмдэг буюу хамааран хувьсагчийн дундаж утга

тохирч байвал статистикийн буюу корреляцийн

хамаарал гэнэ.

хамаарлын хэлбэрийг тодорхойлох

хамаарлын хүчийг хэмжих

Хэрвээ хамааран хувьсагч у нь зөвхөн нэг л

тайлбарлагч хувьсагчаас хамаарах хамаарлыг

судалж байвал энгийн регресс

Хэд хэдэн х1 ,х2 ...хm (m>2) тайлбарлагч хувьсагчаас

хамаарах хамаарлыг судалж байвал олон хүчин

зүйлийн регрессийн шинжилгээ гэнэ.

Регрессийн шинжилгээний гол зорилго нь статистикхамааралтай үзэгдэлүүдээс ямар нэгэн хамаарлынхэлбэрийг тодорхойлох, энэ хамаарал нь өгөгдсөнэмпирик утгуудтай хэр зэрэг нийцэж байгааг тогтоосныүндсэн дээр түүний зүй тогтолын хуулийг тогтоож, прогнозболон бусад судалгаанд хэрэглэхэд оршино.

Регрессийн шинжилгээгээр хамаарлын хэлбэрийгилэрхийлэхийн тулд судалж байгаа зүйлдээ чанарынурьдчилсан судалгаа хийж, өөрчлөлтийн шинж чанарыгтанин мэдэх нь чухал байдаг.

Хамаарлын хэлбэрийг тодорхойлсны дараа тухайнсудалж байгаа хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондынхамаарлын хүчийг корреляцийн шинжилгээгээртодорхойлдог.

Хоёр, олон хүчин зүйлийн шугаман

регрессийн шинжилгээ

Статистик хамааралтай үзэгдлүүдээс функциональ

хамаарлыг илрүүлэхийн тулд эхлээд тэдгээрийн

хооронд ямар хэлбэртэй хамаарал байж болохыг

тодорхойлох хэрэгтэй болдог.

(yi,xi) үзүүлэлтүүдийн хоорондын хамаарлыг

тодорхойлбол

ох тэнхлэг дээр хүчин зүйлийн шинж тэмдэг буюу үл

хамааран хувьсагчийг, оу тэнхлэг дээр үр дүнгийн

шинж тэмдэг буюу хамаарах хувьсагчийг авч график

дээр өгөгдсөн цэгүүдийг байгуулж тэдгээрийг хамгийн

оновчтой илэрхийлэх функц буюу регрессийн

(загварыг) тэгшитгэлийг тодорхойлдог.

Ингэхдээ регрессийн тэгшитгэлийн параметрүүдийн

хамаарлыг илэрхийлэх статистик үзүүлэлт буюу

ажиглалтын утгууд (эмпирик)-ын тусламжтай тооцож

гаргана.

Параметрийг үнэлэхэд өргөн ашиглагддаг аргуудын

нэг нь хамгийн бага квадратын арга юм.

Энэ аргын мөн чанар нь ажиглалтын утгуудаас

регрессийн тэгшитгэлээр илэрхийлэгдэх муруй

хүртлэх шатаар авсан зайны квадратуудын

нийлбэрийг минимум байхаар регрессийн

тэгшитгэлийн параметрийг тодорхойлох юм.

b1,b2 – үл мэдэгдэх параметрүүд

(yi, xi) – өгөгдсөн ажиглалтын утгууд

ŷi -- xi утганд харгалзах регрессийн тэгшитгэлээр

тодорхойлогдох үнэлсэн утга буюу онолын утга

ui=yi-ŷi ба ū=0 ажиглалтын утга ба онолын утга хоѐрын

зөрөө болох ui-ийг санамсаргүй алдаа буюу үлдэгдэл

гэж нэрлэх ба дундаж нь тэгтэй тэнцүү.

iixbby

21ˆ

iiiyyu ˆ

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

yx

y

b

b

xx

xn

1

1

2

1

1

2

1

1

n 1 2 3 4 5

yi 1 2 3 4 5

xi 10 8 6 4 3

n xi yi xi2 xi *yi ŷi ui

1 10 1 100 10 0.9 -0.1

2 8 2 64 16 2 0

3 6 3 36 18 3.1 -0.1

4 4 4 16 16 4.2 -0.2

5 3 5 9 15 4.75 0.25

Нийт 31 15 225 75

21

21

2253175

31515

bb

bb

55.0

4.6

2

1

b

b

iixy 55.04.6ˆ

Үзэгдлүүдийн хувирч өөрчлөгдөх зүй тогтол нь олон

хүчин зүйлээс хамаарч болно.

Хэрвээ үр дүнгийн шинж тэмдэг у нь 2 ба түүнээс

дээш хүчин зүйлээс хамаарах хамаарлыг судалж

байвал олон хүчин зүйлийн регрессийн шинжилгээг

ашигладаг.

Олон хүчин зүйлийн регрессийн шинжилгээнд үр

дүнгийн шинж тэмдэгийг хамааран хувьсагч, хүчин

зүйлийн шинж тэмдэгүүдийг тайлбарлагч

хувьсагчид гэж нэрлэдэг.

уi нь m ширхэг х1i, х2i,...,хmi тайлбарлагч хувьсагчаас

хамаарах шугаман регрессийн тэгшитгэл

b1, b2,…, bk – үл мэдэгдэх параметрүүд

(yi, x1i,…, xmi) – өгөгдсөн ажиглалтын утгууд

k=m+1

ŷi -- (x1i,…, xmi) утганд харгалзах регрессийн

тэгшитгэлээр тодорхойлогдох үнэлсэн утга буюу

онолын утга

mikiixbxbby ...ˆ

121ni ,1

iiiyyu ˆ

Тэгшитгэл нь нийлбэрийн чанар ѐсоор

n

i

imi

n

i

mik

n

i

imi

n

i

mi

n

i

ii

n

i

miik

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

mik

n

i

i

yxxbxxbxb

yxxxbxbxb

yxbxbbn

11

2

1

2

1

1

1

1

1

1

1

2

2

1

11

111

21

...

...

...

систем тэгшитгэлийг матрицан тэгшитгэл

n

i

imi

n

i

ii

n

i

ii

n

i

i

kn

i

mi

n

i

imi

n

i

imi

n

i

mi

n

i

mii

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

mii

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

mi

n

i

i

n

i

i

yx

yx

yx

y

b

b

b

b

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxxn

1

1

2

1

1

1

3

2

1

1

2

1

2

1

1

1

1

2

1

2

2

1

12

1

2

1

1

1

21

1

2

1

1

1

11

2

1

1

n

i

ii

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

ii

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

yxxbxxbxb

yxxxbxbxb

yxbxbbn

1

2

1

2

23

1

22

1

21

1

1

1

213

1

2

2

1

11

11

23

1

21

n

i

ii

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

yx

yx

y

b

b

b

xxxx

xxxx

xxn

1

2

1

1

1

3

2

1

1

2

2

1

12

1

2

1

21

1

2

1

1

1

1

2

1

1

он х1i х2i уi

1 0.5 60 600

2 0.65 140 1000

3 0.8 120 1200

4 0.85 100 700

5 1 100 1100

6 1.3 80 900

5.1 600 5500

Он х1i х2i уi х1i 2 х2i

2 х2i*x1i х1i*уi х2i*уi ŷi

1 0.5 60 600 0.250 3600 30 300 36000 573.4

2 0.65 140 1000 0.423 19600 91 650 140000 1086.1

3 0.8 120 1200 0.640 14400 96 960 144000 1017.2

4 0.85 100 700 0.723 10000 85 595 70000 916.7

5 1 100 1100 1.000 10000 100 1100 110000 964.1

6 1.3 80 900 1.690 6400 104 1170 72000 942.6

5.1 600 5500 4.725 64000 506 4775 572000 5500

57200064000506600

4775506725.41.5

55006001.56

321

321

321

bbb

bbb

bbb

572000

4775

5500

64000506600

506725.41.5

6001.56

3

2

1

b

b

b

iiixxy

2182.506.3164.66ˆ

Регрессийн тэгшитгэлээр гарган авч байгаа ŷi үнэлсэн

(онолын) утгуудын найдвартай эсэх нь ихэнхдээ

ререссийн шугамын ойролцоох ажиглалтын утгуудын

сарнилтаар тодорхойлогдоно.

Энэ сарнилтын их, багыг үзүүлж буй хэмжигдэхүүнийг

регрессийн тэгшитгэлийн стандарт алдаа гэж нэрлэх

ба дараах байдлаар торхойлогддог.

k- нь регрессийн тэгшитгэл дэх параметрийн тоо

kn

yyn

i

ii

2

1

ˆ

тэгшитгэлийн b1 ба b2 параметрийн стандарт

хазайлтууд дараах байдлаар тодорхойлогддог

iixbby

21ˆ

n

i

i

b

xx

x

nS

1

2

2

1

1

n

i

i

b

xx

S

1

2

2

1

Регрессийн шинжилгээнд дараах 3 квадратлаг

хэлбэрийг ашигладаг

(А)-бүтэн квадрат нийлбэр

(В)-регрессийн квадрат нийлбэр

(C) - үлдэгддийн квадрат нийлбэр

2

1

n

i

iyySST

2

1

ˆ

n

i

iyySSR

2

1

ˆ

n

i

iiyySSE

yi – ажиглалтын утга /анхны утга/

y – түүврийн дундаж

ŷi – регрессийн тэгшитгэлээр үнэлсэн (онолын) утга

SSESSRSST

SST

SSE

SST

SSR1

SST

SSE

SST

SSRR 12

R2 детертинацийн коэффициент гэж нэрлэдэг

/0<R2<1/

R2 1-рүү хэдий чинээ ойр байна, төдий чинээ уг

сонгож авсан загвар оновчтой байна.

Шугаман биш хамаарлууд практикт нилээд

тохиолддог.

Эдгээр хамаарлын хувирч өөрчлөгдөх зүй тогтолыг

муруй шугаман регрессийн тэгшитгэлээр шинжилнэ.

Муруйн хамаарал нь олон янзын хэлбэртэй байж

болно

жишээ нь парабол, гипербол, логарифм гэх мэт

Хэрэв түүврийн утгууд болох (yi, xi), i=1,n цэгүүдээр

график байгуулахад ямар нэгэн

парабол муруйн графиктай ойролцоо байвал энэ

параболын тэгшитгэлийн b1, b2, b3 параметрүүдийг

олохдоо хамгийн бага квадратын аргыг хэрэглэнэ.

2

321ˆ

iiixbxbby

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

yxxbxbxb

yxxbxbxb

yxbxbbn

1

2

1

4

3

1

3

2

1

2

1

11

3

3

1

2

2

1

1

11

2

3

1

21

n

i

ii

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

yx

yx

y

b

b

b

xxx

xxx

xxn

1

2

1

1

3

2

1

1

4

1

3

1

2

1

3

1

2

1

1

2

1

Ажилласан жил ба хөдөлмөрийн бүтээмжийн хооронд

муруй хамааралтай гэж үзээд II эрэмбийн

параболоор тэгшитгэ.

Ажилласан жилийг xi

Хөдөлмөрийн бүтээмж yi

n xi yi

1 1 7

2 3 17

3 6 16

4 8 29

5 12 26

n xi yi xi2 xi

3 xi4 xi*yi xi

2*yi ŷi

1 1 7 1 1 1 7 7 7.69

2 3 17 9 27 81 51 153 14.32

3 6 16 36 216 1296 96 576 21.61

4 8 29 64 512 4096 232 1856 24.71

5 12 26 144 1728 20736 312 3744 26.67

30 95 254 2484 26210 698 6336 95

6336262102484254

698248425430

95254305

321

321

321

bbb

bbb

bbb

6336

698

95

262102484254

248425430

254305

3

2

1

b

b

b

1765.0

02.4

85.3

3

2

1

b

b

b21765.002.485.3ˆiii

xxy

0

5

10

15

20

25

30

35

1 3 6 8 12

yi

ŷi

(yi- y)2 (ŷi-y)2

144 127.87

4 21.91

9 6.83

100 32.60

49 58.77

306 247.98

195

95

n

yy

3062

1

n

i

iyySST

98.247ˆ2

1

n

i

iyySSR

81.0306

98.24712

SST

SSE

SST

SSRR

Хэрэв түүврийн утгууд болох (yi, xi), i=1,n цэгүүдээр

график байгуулахад ямар нэгэн

гипербол муруйтай ойролцоо оршиж байвал энэ

гипербол тэгшитгэлийн b1, b2 параметрүүдийг

олохдоо хамгийн бага квадратын аргыг хэрэглэнэ.

i

i

x

bby 2

1ˆ

n

ii

i

n

ii

n

ii

n

i

i

n

ii

xy

xb

xb

yx

bnb

11

2

2

1

1

11

21

111

1

n

ii

i

n

i

i

n

ii

n

ii

n

ii

xy

y

b

b

xx

xn

1

1

2

1

1

2

1

1

111

1

Нэгж бүтээгдэхүүний өөрийн өртөг ба нийт

үйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүний хамаарлыг судлахад

гипербол муруйг ашигла

Жилд үйлдвэрлэх бүтээгдэхүүний хэмжээ(мян.ш)- xi

нэгж бүтээгдэхүүний дундаж өөрийн өртөг(төг)- yi

n xi yi

1 0.5 16.5

2 1.5 13.75

3 2.5 13.31

4 3.5 12.5

5 4.5 13.52

6 5.5 12.75

7 6.5 12.3

8 7.5 12.83

9 8.5 12.28

10 9.5 12.34

50 132.08

n xi yi 1/xi 1/(xi2) y*(1/xi) ŷi

1 0.5 16.5 2.00 4.00 33.00 16.54

2 1.5 13.75 0.67 0.44 9.17 13.72

3 2.5 13.31 0.4 0.16 5.324 13.15

4 3.5 12.5 0.29 0.08 3.57 12.91

5 4.5 13.52 0.22 0.05 3.00 12.78

6 5.5 12.75 0.18 0.03 2.32 12.69

7 6.5 12.3 0.15 0.02 1.89 12.63

8 7.5 12.83 0.13 0.02 1.71 12.59

9 8.5 12.28 0.12 0.01 1.44 12.55

10 9.5 12.34 0.11 0.01 1.30 12.53

50 132.08 4.27 4.83 62.73 132.08

73.6283.427.4

08.13227.410

21

21

bb

bb

12.2

3.12

2

1

b

b

i

i

xy

12.23.12ˆ

10

11

12

13

14

15

16

17

0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5

yi

ŷi

Зарим хамаарал харьцангуй өөрчлөлтийг агуулсан

байдаг. Нэг хэмжигдэхүүн тодорхой хувиар өсөхөд

нөгөө нь дорхой хувиар өсч, эсвэл буурч болно.

Жишээ нь хүнсний хэрэглээний түвшин орлогоос

хамаардаг. Ийм хамаарлыг шулуунаар илэрхийлж

болохгүй. Шулуун нь тогтвортой абсолют өсөлтийг

илэрхийлдэг. Ийм төрлийн хамаарлыг логарифм

функцээр илэрхийлж болно.

логарифмчилбал

2

1

b

iixby

iixbby lglglg

21

Логарифм функцийн параметр b1, b2 -ийн утгийг олох

хамгийн бага квадратын аргын тусламжтай гаргаж

авсан тэгшитгэлийн систем нь дараах хэлбэртэй

болно.

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

yxxbxb

yxbbn

11

2

2

1

1

11

21

lglglglglg

lglglg

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

xxxn

xyyxn

b

xxxn

xyxxy

b

111

2

111

2

111

2

111

2

1

1

lglglg

lglglglg

lglglg

lglglglg

lg

Өрхийн төсвийн судалгаагаар гаргаж авсан өрхийн

орлогийн хэмжээ ба хүнсэнд зарцуулсан зардлын

хувийн жин хоѐр өгөгдсөн.

Жилийн орлогийн хэмжээ

(нэгжээр) xi

Хүнсний бүтээгдэхүүнд

зориулсан зардал(%) yi

26 52

31 44

32 49

34 46

36 41

40 44

44 43

xi yi lgxi lgyi (lgxi)2 lgxi*lgyi lgŷi ŷi

26 52 1.41 1.72 2.00 2.43 1.70 50.07

31 44 1.49 1.64 2.22 2.45 1.67 47.07

32 49 1.51 1.69 2.27 2.54 1.67 46.55

34 46 1.53 1.66 2.35 2.55 1.66 45.57

36 41 1.56 1.61 2.42 2.51 1.65 44.66

40 44 1.60 1.64 2.57 2.63 1.63 43.04

44 43 1.64 1.63 2.70 2.68 1.62 41.63

243 319 10.74 11.60 16.53 17.80 11.60 318.59

351.074.1074.1053.167

74.106.118.177

196.274.1074.1074.107

74.108.1753.166.11lg

2

1

b

b

8.1753.16lg74.10

6.1174.10lg7

21

21

bb

bb

iixy lg351.0196.2lg

351.005.157 ii

xy

40

42

44

46

48

50

52

54

26 31 32 34 36 40 44

yi

ŷi

Үйлдвэрлэлийн функцийн тухай ойлголтыг анх удаа

1929 онд Америкийн эрдэмтэн Ү.Кобба П.Дуглас нар

оруулсан.

Тэд Америкийн эдийн засгийн хөгжлийн 1899-1922

оны хоорондох үйлдвэрлэлийн статистик

өгөгдлүүдийг ашиглан үйлдвэрлэлийн фонд болон

хөдөлмөр зарцуулалтаас бүтээгдэхүүний гарц хэрхэн

хамаарч байгааг тодорхойлсон функцийг байгуулсан

Энэ функцийг Кобба - Дугласын үйлдвэрлэлийн

функц гэж нэрлэдэг.

Үйлдвэрлэлийн функцийг байгуулах үндсэн хандлага

гэсэн хамаарлыг авч үздэг.

у - бүтээгдэхүүний хэмжээ

x1,…,xm - үйлдвэрлэлийн үндсэн хүчин зүйлүүд буюу

түүхий эдүүдийн үйлдвэрлэлд оролцсон хэмжээ

m

xxfy ,...,1

Практикт хамгийн өргөн ашиглагддаг 2 хүчин зүйлийн

Кобба - Дугласын үйлдвэрлэлийн үндсэн функц нь

Y- үндэсний орлого эсвэл нийт бүтээгдэхүүн

К - үйлдвэрлэлийн үндсэн фонд

L- хөдөлмөр зарцуулалт буюу ажилчдын тоо

Энэ функцийн параметрүүд b0,α,β-г үнэлэхийн тулд

дараах хувиргалт ба орлуулгыг хийдэг.

LKbY0

00b 1,0

Функцийн хоѐр талаас натурал логарифм авбал дараах

шугаман хэлбэрт шилжинэ.

дараах орлуулгыг хийвэл

LKbY lnlnlnln0

iyY ln

10ln bb

2b

3b

ixK

1ln

ixL

2ln

iiixbxbby

23121ˆ

n

i

ii

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

yx

yx

y

b

b

b

xxxx

xxxx

xxn

1

2

1

1

1

3

2

1

1

2

2

1

12

1

2

1

21

1

2

1

1

1

1

2

1

1

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

YL

YK

Yb

LKLL

LKKK

LKn

1

1

10

1

2

11

11

2

1

11

lnln

lnln

lnln

lnlnlnln

lnlnlnln

lnln