Лекц 16

Корреляцийн шинжилгээний гол зорилт судалж байгаа

хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаарлын хүчийг

тодорхойлох юм.

Зарим үзүүлэлтүүд хоорондоо маш нягт хамааралтай

байхад зарим нь их сул байх тохиолдол байдаг.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын

статистик хамааралд хоѐр үндсэн шаардлага

биелэгдсэн нөхцөлд корреляцийн шинижлгээг

явуулдаг

− Хувьсах хэмжигдэхүүн бүр санамсаргүй байх

− Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь хамтын хэвийн

тархалттай байх

Өх туршилт ба ажиглалтын утгууд нь олон хэмжээст

хэвийн тархалттай эх олонлогоос санамсаргүй

хэмжигдэхүүн байх тохиолдолд корреляцийн

шинижлгээний аргуудыг хэрэглэнэ.

Корреляцийн хамаарлыг илрүүлэхдээ корреляцийн

хүснэгт зохиох, корреляцийн талбай байгуулах зэрэг

энгийн аргуудыг ашигладаг.

Корреляцийн талбай байгуулахдаа тэгш өнцөгт

координатын системийг ашиглан байгуулдаг.

Нийгэм эдийн засгийн аливаа үзэгдлүүдийн хоорондын

хамаарлыг корреляцийн аргаар шинжлэхдээ тоон

мэдээллийг тодорхой хэмжээгээр үнэлэхдээ

түүвэрлэн авч байгаа учраас судалгааны үр дүнг

үнэлэхдээ гипотез дэвшүүлэн дүгнэлт хийдэг.

− Тоон өгөгдлийн хамаарлын хүчийг үнэлэх

− Чанарын өгөгдлийн хамаарлын хүчийг үнэлэх

1. Корреляцийн шугаман коэффициент

2. Муруй шугаман хамааралтай бол

3. Спирмений рангийн корреляцийн коэффициент

4. Олон хүчин зүйлийн корреляцийн коэффициент

5. Корреляцийн хэсгийн коэффициент

6. Фехнерийн тэмдгийн корреляцийн коэффициент

7. Конкордацийн коэффициент

(Х,Y) гэсэн хоѐр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний

(Х) ба (Y) - ийн хоорондох холбооны хамаарлын

хүчийг илэрхийлэх үндсэн шинж нь Kxy - ковариац

буюу корреляцийн момент болдог.

Kxy=0 бол (Х) ба (Y) -ийн хоорондох шугаман корреляци

хамаарал байхгүй.

Kxy>0 бол (Х) ба (Y) -ийн хоорондох шугаман корреляци

шууд хамааралтай.

Kxy<0 бол (Х) ба (Y) -ийн хоорондох шугаман корреляци

урвуу хамааралтай.

mx - (Х) санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик

дундаж mx=M(x)

my - (Y) санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик

дундаж my=M(y)

σx2=D(x) нь (Х) санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс

σy2=D(y) нь (Y) санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс

n

i

n

i

ii

n

i

n

i

ii

n

i

n

i

n

i

iiii

yynxxn

yxyxn

r

1

2

1

2

1

2

1

2

1 1 1

шугаман хамааралтай үед хамаарлын хүчийг дараах

томъѐогоор тодорхойлно.

n

i

n

i

ii

n

i

ii

yyxx

yyxx

r

1 1

22

1

))((

− Корреляцийн шугаман коэффициент хэмжилтийн нэгжээс

үл хамаарна.

− -1≤r≤1байна

− Шинж тэмдэг бүрийн бүх утгуудыг нэг ижил тоогоор юм уу

нэг ижил тоо дахин ихэсгэж багасгахад корреляцийн

коэффициент өөрчлөгдөхгүй

− r=±1 үед шинж тэмдэгүүдийн хооронд функцэн хамаарал

байгааг харуулдаг. Өх шинж тэмдэгүүд нь хоорондоо

статистик хамааралгүй бөгөөд тэдгээрийн хоорондын

хамаарал нь ердийн шугаман функцээр илэрхийлэгдэнэ.

Энэ үед бүрэн шугаман хамааралтай гэх ба (Х,Y)

ажиглалтын утгууд нь регрессийн муруй дээр оршдог.

− r=0 бол шинж тэмдэгүүд хоорондоо шугаман

хамааралгүй байна. Өөр хэлбэлзлийн хамаарал байж

болно.

− r>0 үед шууд хамааралтай эерэг корреляци гэнэ

− r<0 үед урвуу хамааралтай сөрөг корреляци гэнэ

Эерэг корреляцийн үед нэг санамсаргүй

хэмжигдэхүүний утга өсөхөд нөгөө санамсаргүй

хэмжигдэхүүн дундажаараа өснө, сөрөг корреляцийн

үед буурна.

Хэрэв корреляцийн коэффициент нь модулиараа их

байвал хувьсагчуудын хооронд шугаман хамаарал

байна. Корреляцийн коэффициент нь модулиараа 1-д

ойртох тусам хамаарлын хүч нь

сулаас→дунд зэрэг→мэдэгдэхүйц→нягт→маш нягт

чиглэлд өөрчлөгдөнө.

Мөн корреляцийн коэффициент нь хувьсагчаа

тодорхой сонгосон регрессийн загварын хувьд

ажиглалтын утгууд регрессийн шугамд хир ойр байх

нягтралын хэмжээг зааж өгдөг.

Жишээ : Хүүгийн өндөр нь түүний эцгийн өндрөөс

хамаардаг эсэхийг судлахаар түүвэр судалгаа

хийжээ. Корреляцийн шугаман коэффициентоор

хамаарлын хүчийг тооц

Эцгийн өндөр (инч) -xi

Хүүгийн өндөр (инч) –yi

1инч=2.54см

xi yi

65 68

63 66

67 68

64 65

68 69

62 66

70 68

66 65

68 71

67 67

69 68

71 70

xi yi xi*yi xi2 yi

2

65 68 4420 4225 4624

63 66 4158 3969 4356

67 68 4556 4489 4624

64 65 4160 4096 4225

68 69 4692 4624 4761

62 66 4092 3844 4356

70 68 4760 4900 4624

66 65 4290 4356 4225

68 71 4828 4624 5041

67 67 4489 4489 4489

69 68 4692 4761 4624

71 70 4970 5041 4900

800 811 54107 53418 54849

Эцэг ба хүүгийн өндөр нь хоорондоо мэдэгдэхүйц шууд

хамааралтай байна.

n

i

n

i

ii

n

i

n

i

ii

n

i

n

i

n

i

iiii

yynxxn

yxyxn

r

1

2

1

2

1

2

1

2

1 1 1

702.081154849128005341812

811800541071222

r

Жишээ - Далай ээж хүнсний захын алимны нийлүүлэлт

ба 1кг-ын дундаж үнийг 10 өдрийн турш ажиглаж

дараах мэдээг авав.

Нийлүүлэлтийн хэмжээ /кг/ - yi

Дундаж үнэ /төг/ - xi

n xi yi

1 2500 470

2 2800 450

3 3700 390

4 3700 380

5 4800 320

6 5000 300

7 4300 350

8 3600 390

9 3200 420

10 2400 480

нийт 36000 3950

n yi xi xi-x yi-y (xi-x)(yi-y) (xi-x)2 (yi-y)2

1 2500 470 75 -1100 -82500 5625 1210000

2 2800 450 55 -800 -44000 3025 640000

3 3700 390 -5 100 -500 25 10000

4 3700 380 -15 100 -1500 225 10000

5 4800 320 -75 1200 -90000 5625 1440000

6 5000 300 -95 1400 -133000 9025 1960000

7 4300 350 -45 700 -31500 2025 490000

8 3600 390 -5 0 0 25 0

9 3200 420 25 -400 -10000 625 160000

10 2400 480 85 -1200 -102000 7225 1440000

нийт 36000 3950 0 0 -495000 33450 7360000

дундаж 3600 395

Дундаж үнэ ба нийлүүлэлт хоѐр нь хоорондоо маш нягт

урвуу хамааралтай байна.

997.0

736000033450

495000))((

1 1

22

1

n

i

n

i

ii

n

i

ii

yyxx

yyxx

r

Муруйн хувьд хамаарлын хүчийг корреляцийн

харьцаагаар тодорхойлно.

0<r<1 байна. 1 уруу дөхөх тусам хамаарлын хүч сайн.

2

2

2

)(

)ˆ(1 R

yy

yyr

i

ii

Жишээ : Ажилласан жил ба хөдөлмөрийн бүтээмжийн

хооронд муруй хамаарал бий гэж үзээд II эрэмбийн

параболоор тэгшитгэ.

Ажилласан жилийг xi

Хөдөлмөрийн бүтээмж yi

n xi yi

1 1 7

2 3 17

3 6 16

4 8 29

5 12 26

30 95

n xi yi xi2 xi

3 xi4 xi*yi xi

2*yi ŷ i (yi- y)2 (ŷi-y)2

1 1 7 1 1 1 7 7 7.69 144 127.87

2 3 17 9 27 81 51 153 14.32 4 21.91

3 6 16 36 216 1296 96 576 21.61 9 6.83

4 8 29 64 512 4096 232 1856 24.71 100 32.60

5 12 26 144 1728 20736 312 3744 26.67 49 58.77

30 95 254 2484 26210 698 6336 95 306 247.98

6336

698

95

262102484254

248425430

254305

3

2

1

b

b

b

21765.002.485.3ˆiii

xxy

1765.0

02.4

85.3

3

2

1

b

b

b

хөдөлмөрийн бүтээмж нь ажилласан жилээс нягт

хамааралтай байдаг байна.

195

95

n

yy

3062

1

n

i

iyySST 98.247ˆ

2

1

n

i

iyySSR

81.0306

98.24712

SST

SSE

SST

SSRR

9.081.0)(

)ˆ(1 2

2

2

Ryy

yyr

i

ii

Шинж тэмдэгийг тодор нь тоон ба чанарын гэж

ангилдаг. Тоон шинж тэмдэг нь шууд тоогоор

илэрхийлэгддэг, чанарын шинж тэмдэг нь шууд

тоогоор илэрхийлэгддэггүй.

Спирмений рангийн коэффициентийг тоон болон

чанарын аль ч шинж тэмдэгийн хамаарлыг судлахад

ашигладаг.

Юмс үзэгдлийг судалж байх явцад тэдгээрийн шинж

тэмдэг нь хэмжигдэхүүнгүй байх тохиолдол байдаг.

Эсвэл онолын хувьд хэмжиж болох ч бодит байдал

дээр энэ нь биелэхгүй байх тохиолдол байдаг. Энэ

үед зохих хэмжигдэхүүнийг тодорхойлохын тулд

өгөгдлийг эрэмбэлж цэгцлэх хэрэгтэй болдог.

Өх шинж тэмдэг тус бүрийг ихээс нь юмуу багаас нь

эхлэн 1-ээс n хүртэл дэс дугаар оноодог. Энэ дугаар

дээр үндэслэн хоѐр шинж тэмдэгийн хоорондох

хамаарлын хүчийг Спирмений рангийн корреляцийн

коэффициентоор тооцдог.

Хэрэв нэг шинж тэмдгийн ижил хэмжигдэхүүнүүд нь нэг

ижил эрэмбэтэй байх бөгөөд энд харгалзах

рангуудын арифметик дундажаар тооцон олдог.

(Х) ба (Y) утгуудыг өсөх /эсвэл буурах/ дарааллаар

эрэмбэлж дугаарлах замаар рангийг тодорхойлдог.

di- i -рт харгалзаж байгаа xi,yi -ийн рангуудын ялгавар

di=ρx-ρy

n –түүврийн тоо

ρ- ранг

;)1(

6

12

1

2

nn

d

r

n

i

i

s

(Х) ба (Y) рангууд тохирч байвал ∑di2=0 болж rs=1

болно

Корреляцийн шугаман коэффициентоос шинж

тэмдэгийн утга холболтыг заавал мэдэх

шаардлагагүйгээрээ давуу талтай. -1ээс +1 –ийн

хооронд оршдог ба 1рүү дөхөх тусам хүчтэй

хамааралтай байдаг.

Жишээ – 7 оюутны эдийн засгийн математик (х) ба ЭЗО

(у)-ын хичээлээр авсан дүнгийн дундаж онооны

тусламжтай хамаарлын хүчийг тооц

Оюутан xi yi

А 3.8 3.2

В 3.0 2.8

С 3.5 4.0

D 4.0 5.0

Е 5.0 4.5

F 3.4 3.0

G 2.0 2.4

Оюутан xi yi ρx ρy di di2

А 3.8 3.2 5 4 1 1

В 3 2.8 2 2 0 0

С 3.5 4 4 5 -1 1

D 4 5 6 7 -1 1

Е 5 4.5 7 6 1 1

F 3.4 3 3 3 0 0

G 2 2.4 1 1 0 0

4

эдийн засгийн математик ба эдийн засгийн онолын

хичээлүүдийн дүнгийн хооронд шууд, нягт хамаарал

байна.

Тухайн хичээлүүд хоорондоо холбоотойг харуулж

байгаа бөгөөд 2 хичээлийн программын агуулгыг

хооронд нь сэдвийн хувьд уялдуулах хэрэгтэй

93.0

1497

461

)1(

6

12

1

2

nn

d

r

n

i

i

s

Жишээ - Эдийн засгийн коллежийн 10 оюутныг

санамсаргүйгээр сонгож 7 хоногт дундажаар хичээл

давтдаг цаг ба сурлагын дундаж дүн хоѐрыг судалж

үзэхэд дараах байдалтай байв.

Дундаж дүн (хi)

Хичээл давтдаг цаг (уi)

хоѐрын хоорондын хамаарлын хүчийн рангийн

корреляцийн коэффициентоор тооц

Оюутан xi yi

1 4.6 25

2 4.3 22

3 3.8 9

4 3.8 15

5 4.2 15

6 4.3 30

7 3.8 20

8 4.0 30

9 3.1 10

10 3.9 17

Оюутан xi yi ρx ρy di di2

1 4.6 25 10 8 2 4

2 4.3 22 8.5 7 1.5 2.25

3 3.8 9 3 1 2 4

4 3.8 15 3 3.5 -0.5 0.25

5 4.2 15 7 3.5 3.5 12.25

6 4.3 30 8.5 9.5 -1 1

7 3.8 20 3 6 -3 9

8 4.0 30 6 9.5 -3.5 12.25

9 3.1 10 1 2 -1 1

10 3.9 17 5 5 0 0

46

Хичээл давтдаг цаг ба дундаж дүн хоѐр хоорондоо

мэдэгдэхүйц эерэг хамааралтай байна.

73.0

110010

4661

)1(

6

12

1

2

nn

d

r

n

i

i

s

Корреляцийн коэффициентийг үр дүнгийн шинж тэмдэг

ба хоѐр болон түүнээс дээш тооны хүчин зүйлийн

шинж тэмдэгүүдийн хоорондын шугаман хамаарлын

хүчийг тодорхойлоход ашигладаг.

Үр дүнгийн шинж тэмдэг (Y)-т үзүүлэх (x1,x2) шинж

тэмдэгүүдийн нөлөөллийн хэмжээг дараах байдлаар

тодорхойлдог.

ryx1,ryx2,rx1x2 - хосын корреляцийн коэффициентууд

2

21

2121

2

2

2

1

)2,1(

1

2

xx

xxyxyxyxyx

xxy

r

rrrrrR

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

yx

yynxxn

xyyxn

r

1

2

1

2

1

2

1

1

2

1

1 1

1

1

1

1

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

yx

yynxxn

xyyxn

r

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

1 1

2

1

2

2

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

xx

xxnxxn

xxxxn

r

1

2

1

2

2

2

1

2

1

1

2

1

1 1

21

1

21

21

Олон хүчин зүйлийн корреляцийн коэффициент 0-ээс

1-ийн хооронд байна. 1-д ойртох тусам хүчтэй

хамааралтайг илэрхийлнэ.

Хэрэв судалж байгаа хүчин зүйлсийн тоо 3-аас дээш

байвал үр дүнгийн шинж тэмдэг ба 2,3,...,n-р шинж

тэмдэгүүдийн хоорондох хүчин зүйлийн корреляцийн

коэффициент нь

2/1

,...,3,21

nR

rij - хосын корреляцийн шугаман коэффициент.

тодорхойлогчийг тодорхойлогчийн эхний мөр

ба эцсийн баганыг дарж гаргахын зэрэгцээ энэхүү

тодорхойлогчийн корреляцийн коэффициентүүд гол

диагоналийн хувьд тэгш хэмтэй байна.

11

1

1

0

22

31332

21222

11312

rnrr

rrr

rrr

rrr

nn

n

n

n

122

3132

2321

rnrn

nrr

nrr

Үр дүнгийн шинж тэмдэг (y) нь хэд хэдэн тооны хүчин

зүйлийн шинж тэмдэгээс хамаарах хамаарлыг судлах

явцад хүчин зүйлийн шинж тэмдэг нь тус тусдаа үр

дүнгийн шинж тэмдэгт ямар хамааралтайг тооцох

шаардлага гардаг.

Энэ үед корреляцийн хэсгийн коэффициентийг

ашигладаг.

Үр дүнгийн шинж тэмдэг (y) -т үзүүлэх (x1,x2) ийн тус

бүрийн нөлөөллийг тооцоход хэрэглэнэ.

Шулуун шугамын хамааралтай үед (x2)-ийг тогтмол

байхаар бодож (x1) ба (y) -ийн хоорондын хамаарлын

корреляцийн хэсгийн коэффициентийг дараах

томъѐогоор олно.

2

21

2

2

2121

21

11xxyx

xxyxyx

yx

rr

rrrxr

(x1)-ийг тогтмол байхаар бодож (x2) ба (y) -ийн

хоорондын хамаарлын корреляцийн хэсгийн

коэффициентийг дараах томъѐогоор олно.

2

21

2

1

2112

12

11xxyx

xxyxyx

yx

rr

rrrxr

Жишээ - Монголын дотоодын нийт бүтээгдэхүүний

бүтцээс экспортод хөрөнгө оруулалт, хэрэглээ хоѐр

хэрхэн нөлөөлдгийг авч үзсэн. /хувиар/

x1 – хэрэглээ

x2 - хөрөнгө оруулалт

y – экспорт

n х1 х2 y

1 0.843 0.485 0.271

2 0.808 0.564 0.308

3 0.863 0.574 0.383

4 0.867 0.457 0.305

5 0.862 0.521 0.275

6 0.867 0.460 0.248

7 0.92 0.342 0.210

8 0.909 0.356 0.229

9 0.761 0.293 0.420

10 0.879 0.277 0.510

11 0.987 0.248 0.101

n х1 х2 y yх1 х12 y2 х2

2 yх2 х1*х2

1 0.843 0.485 0.271 0.23 0.71 0.07 0.24 0.13 0.41

2 0.808 0.564 0.308 0.25 0.65 0.09 0.32 0.17 0.46

3 0.863 0.574 0.383 0.33 0.74 0.15 0.33 0.22 0.50

4 0.867 0.457 0.305 0.26 0.75 0.09 0.21 0.14 0.40

5 0.862 0.521 0.275 0.24 0.74 0.08 0.27 0.14 0.45

6 0.867 0.46 0.248 0.22 0.75 0.06 0.21 0.11 0.40

7 0.92 0.342 0.21 0.19 0.85 0.04 0.12 0.07 0.31

8 0.909 0.356 0.229 0.21 0.83 0.05 0.13 0.08 0.32

9 0.761 0.293 0.42 0.32 0.58 0.18 0.09 0.12 0.22

10 0.879 0.277 0.51 0.45 0.77 0.26 0.08 0.14 0.24

11 0.987 0.248 0.101 0.10 0.97 0.01 0.06 0.03 0.24

9.57 4.58 3.26 2.79 8.35 1.09 2.04 1.36 3.95

64.0

1

2

1

2

1

2

1

1

2

1

1 1

1

1

1

1

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

yx

yynxxn

xyyxn

r

06.0

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

1 1

2

1

2

2

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

yx

yynxxn

xyyxn

r

389.0

1

2

1

2

2

2

1

2

1

1

2

1

1 1

21

1

21

21

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

xx

xxnxxn

xxxxn

r

/мэдэгдэхүйц/

/бараг нөлөөлдөггүй/

675.01

22

21

2121

2

2

2

1

)2,1(

xx

xxyxyxyxyx

xxy

r

rrrrrR

675.011 2

21

2

2

2121

21

xxyx

xxyxyx

yx

rr

rrrxr

267.011 2

21

2

1

2112

12

xxyx

xxyxyx

yx

rr

rrrxr

Хүчин зүйлийн ба үр дүнгийн үзүүлэлтүүдийн утга тус

бүрийн дундажаасаа ихийг нь нэмэх, багыг нь хасах

тэмдэгээр ялгаж (x-x)(y-y) хоѐр хэмжигдэхүүний

тохирсон ба тохироогүй тохиолдлыг тодорхойлдог.

-1 ээс +1-ийн хооронд тодорхойлогдоно.

D- x,y –ын дундажаасаа хэлбэлзэх хэлбэлзлийн

давхацсан тэмдэгийн тоо

V- x,y –ын дундажаасаа хэлбэлзэх хэлбэлзлийн

давхацаагүй /үл давхацсан / тэмдэгийн тоо

D>V байвал rФ>0 шууд хамааралтай

D<V байвал rФ<0 урвуу хамааралтай

D=V байвал rФ=0 хамааралгүй.

VD

VDrФ

Жишээ – төмс хүнсний ногоо тариалдаг 9 компанийн

га-гаас авсан ургац, хийсэн минералын бордооны

хоорондын хамаарлыг Фехнерийн тэмдгийн

корреляцийн коэффициентээр тодорхойл

№ Бордоо

(кг/га)

Га-гаас авсан

ургац (цн)

1 140 128

2 262 179

3 289 221

4 191 136

5 202 164

6 197 183

7 246 204

8 276 195

9 253 192

Дүн 2056 1602

№ x y x-x y-y Давхацсан ба үл

давхацсан

1 140 128 - - Д

2 262 179 + + Д

3 289 221 + + Д

4 191 136 - - Д

5 202 164 - - Д

6 197 183 - + ҮД

7 246 204 + + Д

8 276 195 + + Д

9 253 192 + + Д

Дүн 2056 1602

Дундаж 228.4 178

Га-д хийсэн бордоо, га-гаас авсан ургацын хооронд

нийлээн өндөр хамаарал байна.

78.018

18

VD

VDrФ

Гурав ба түүнээс дээш тооны шинж тэмдгийн

хамаарлын хамтын хүчийг Конкордацийн

коэффициентоор хэмждэг.

nnm

Rr

k

32

12

n

PPR

i

i

2

2

R- рангуудын квадрат дундаж хэлбэлзэл

Pi - хамаарлын хүчин зүйл бүрийн рангуудын нийлбэр

m- шинж тэмдэгийн тоо

n - ажиглалтын нэгж

Спирмений рангийн коэффициентийн нэгэн адил шинж

тэмдэгүүдийн утгуудад дэс дугаар буюу ранг өгдөг.

Жишээ - Аж ахуйн нэгжүүдийн бүтээгдэхүүн

үйлдвэрлэлт, үндсэн хөрөнгө, эргэлтийн хөрөнгө,

ажиллагсдын тоо гэсэн шинж тэмдгүүдийн хамтын

хамаарлын хүчийг хэмж

№ Бүтээгдэхүүн

үйлдвэрлэлт

Үндсэн

хөрөнгө

Эргэлтийн

хөрөнгө

Ажилчдын

тоо

1 32 24 28 43

2 45 186 39 47

3 69 58 40 73

4 109 47 70 92

5 34 83 36 49

6 51 253 29 69

7 115 93 75 113

8 46 137 23 38

9 156 51 47 97

Сая төгрөгөөр Рангууд

№ y x1 x2 x3 РУ Рх1 Рх2 Рх3 Рi Рi2

1 32 24 28 43 1 1 2 4 8 64

2 45 186 39 47 3 8 5 2 18 324

3 69 58 40 73 6 4 6 7 23 529

4 109 47 70 92 7 2 8 8 25 625

5 34 83 36 49 2 5 4 3 14 196

6 51 253 29 69 5 9 3 6 23 529

7 115 93 75 113 8 6 9 9 32 1024

8 46 137 23 38 4 7 1 1 13 169

9 156 51 47 97 9 3 7 5 24 576

Дүн - - - - - - - - 180 4036

436

9

1804036

22

2

n

PPR

i

i

454.0

994

43612123232

nnm

Rr

k

Спирмений рангийн коэффициент нь чанарын

өгөгдлийн хамаарлын хүчийг үнэлэхэд тохиромжтой

байдгаас гадна бусад коэффициентууд байдаг.

Чанарын шинж тэмдэгүүдийн хамтдаа илрэх

давталтанд үндэслэгдсэн байдаг.

− Хоѐр варианттай хоѐр шинж тэмдэг өгөгдсөн

− Хоѐроос дээш варианттай хоѐр шинж тэмдэг өгөгдсөн

2-р шинж

тэмдэгийн утга1-р шинж тэмдэгийн утга

нэг нэг хоѐр дүн

хоѐр a b a+b

дүн c d c+d

a+c b+d n

a,b,c,d – шинж тэмдэгүүдийн давталт

n- давталтын нийт тоо /n=a+b+c+d/

Хамаарлын хүчийг ассоциацийн /ras/ ба контингенцийн

/rcon/ коэффициентоор тооцдог.

0≤ras<rcon<1 завсарт тодорхойлогддог.

rcon<ras контингенцийн коэффициент нь ассоциацийн

коэффициентоос илүү тохиромжтой байдаг.

Ажиглалтын тоо хангалттай үед ras=0.5, rcon=0.3 тус

тус бага биш бол хамаарлыг мэдэгдэхүйц гэж үздэг.

bcad

bcadr

as

dbcadcba

bcadr

con

Жишээ – Ажилчдын хүйс ба нормын биелэлтийн зэрэг

гэсэн 2 шинж тэмдэгийн хослол өгөгдөв.

Хүйс

Нормын биелэлтийн зэрэг

Нормоо

биелүүлсэн

Нормоо

бикелүүлээгүй

Дүн

Эрэгтэй 65 5 70

Эмэгтэй 26 4 30

Дүн 91 9 100

Коэффициентуудаас харвал хүйс ба нормын

биелэлтийн зэрэг хоѐр сул хамааралтай байна.

333.0265465

265465

bcad

bcadr

as

099.0

452665426565

265465

dbcadcba

bcadr

con

Хамаарлын хүчийг Пирсоны /rП/ ба Чупровын /rЧ/коэффициентоор тооцдог.

k1- вариантын тоо баганаар

k2- вариантын тоо мөрөөр

Ф2- хүснэгтийн харилцан нөлөөллийн үзүүлэлт /тооцожгаргана/

2

2

1

Пr

1121

2

kkrЧ

− Хүснэгтийн нүд бүхэн дээр давталтуудыг байрлуулна

− Давталтыг квадрат зэрэгт дэвшүүлж доод талд ньхаалтанд бичнэ

− Квадрат зэрэг дэвшүүлээд гарсан тоог тухайнбаганых нь дүнд хувааж доод талд нь бичнэ

− Дээрх хуваасан утгуудыг мөрийн дагуу нэмж дүндбичнэ.

− Дээрх нэмсэн утгуудаа мөр бүрийн дүнд хуваана

− Нийт дүнгийн нүдэнд дээрх хуваасан утгуудыннийлбэрийг бичнэ

− Харилцан нөлөөллийн үзүүлэлт Ф2-г дээрхнийлбэрээс нэгийг хасч тодорхойлно.

Жишээ - Ф2-г тооцож гаргах

Эдийн засгийн сургуулийн 100 оюутны спортоор

хичээллэдэг идэвхи болон сурлагын байдал хоѐрын

хамаарлыг авч үзье. k1=3, k2=3

Спортоор хичээллэдэг

идэвхиэр бүлэглэхэд

Сурлагын байдлаар бүлэглэхэд

Сул Дунд Сайн Дүн

Огт хичээллэдэггүй 2 13 15

Бага зэрэг хичээллэдэг 8 27 10 45

Идэвхитэй хичээллэдэг 15 25 40

Дүн 10 55 35 100

Спортоор хичээллэдэг

идэвхиэр бүлэглэхэд

Сурлагын байдлаар бүлэглэхэд

Сул Дунд Сайн Дүн

Огт хичээллэдэггүй

2 13 15

4 169 3.47

0.4 3.073 0.232

Бага зэрэг хичээллэдэг

8 27 10 45

64 729 100 22.51

6.4 13.255 2.857 0.500

Идэвхитэй хичээллэдэг

15 25 40

225 625 21.95

4.091 17.857 0.549

Дүн10 55 35 100

1.280

хоѐр шинж тэмдгийн хооронд мэдэгдэхүйц хамаарач

байгаач энэ нь тийм ч хүчтэй биш учраас спортоор

хичээллэх нь сурлагын байдалд мэдэгдэхүйцээр

нөлөөлдөггүй байна.

28.0128.12

47.028.1

28.0

1 2

2

П

r

265.0

1313

28.0

1121

2

kk

rЧ

− Регрессийн тэгшитгэлд ямар нэг чанарын

үзүүлэлтийг хүчин зүйлийн шинж тэмдгээр сонгосон

тохиолдолд dummy хувьсагч оруулж ирдэг.

− Тухайлбап хүйсийн ялгаа, улирлын нөлөөлөл,

бүтцийн хувьд тогтвортой бус байдал үүссэн нөхцөлд

гэх мэт тоогоор илэрхийлэгдэх боломжгүй чанарын

үзүүлэлтийн хувьд оруулдаг хувьсагч юм.

− Dummy хувьсагч нь зөвхөн 0 ба 1 гэсэн тоогоор

илэрхийлэгддэг.

Энэ хувьсагчийг регрессийн тэгшитгэлд

− тогтмол коэффициентоороо ялгагдах

− тогтмол ба өнцгийн коэффициентоороо ялгагдах

гэсэн 2 хэлбэрээр тодорхойлдог.

a) Тогтмол коэффициентоороо ялгагдах хувьсагчтай

регрессийн шугаман тэгшитгэл

d={0,1}

d=0

d=1

y, x, d - хувьсагчууд

dbxbbyii

321

ˆ

iixbby

21ˆ

321ˆ bxbby

ii

загварын хувьд түүний параметрүүдийг үнэлэхийн тулд

x1i=xi, x2i=di орлуулга хийвэл болж нормаль тэгшитгэл

нь

iiixbxbby

23121ˆ

n

i

ii

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

yx

yx

y

b

b

b

xxxx

xxxx

xxn

1

2

1

1

1

3

2

1

1

2

2

1

12

1

2

1

21

1

2

1

1

1

1

2

1

1

b) Тогтмол ба өнцгийн коэффициентоороо ялгагдах

dummy хувьсагчтай регрессийн шугаман тэгшитгэл.

d={0,1}

d=0

d=1 ii

xdbbdbby4321

ˆ

iixbby

31ˆ

ii

xbbbby 4321

ˆ

Загварын хувьд түүний параметрүүдийг үнэлэхийн тулд

x1i=di, x2i=xi , x3i=dixi орлуулга хийвэл

нормаль тэгшитгэл нь

iiiixbxbxbby

3423121ˆ

n

i

ii

n

i

ii

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

ii

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

ii

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

yx

yx

yx

y

b

b

b

b

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxxn

1

3

1

2

1

1

1

4

3

2

1

1

2

3

1

23

1

13

1

3

1

32

1

2

2

1

12

1

2

1

31

1

21

1

2

1

1

1

1

3

1

2

1

1

− Ажиглалтын тоо их үед үр дүнгийн ба хүчин зүйлийн

шинж тэмдэгүүдийг бүлэглэх замаар корреляцийн

хүснэгтийг гаргаж авдаг.

− Корреляцийн хүснэгт нь хоѐр шинж тэмдгийн

тархалтыг цугт нь харуулсан хосолсон (хамтын

тархалтын) хүснэгт юм.

− Хүснэгтийн мөрөнд хүчин зүйлийн шинж тэмдгийг,

багананд үр дүнгийн шинж тэмдгийг байрлуулдаг

бөгөөд эдгээрийн огтлол буюу хүснэгтийн нүднүүдэд

х,у шинж тэмдгийг агуулсан тоон утгыг (давталтыг)

бичнэ.

Жишээ - 200 ажилчны ажилласан жил, цагийн тарифт

хөлсний хамаарлыг корреляцийн хүснэгтийг ашиглан

тооц.

Цагийн тарифт хөлс (у)

Ажилласан

жил (x)

0.45-0.6

(0.525)

0.6-0.75

(0.675)

0.75-0.9

(0.825)

0.9-1.05

(0.975)

1.05-1.2

(1.125) Бүгд

0-6 (3) 4 18 3 25

6-12 (9) 6 53 11 70

12-18 (15) 11 44 5 60

18-24 (21) 2 12 11 25

24-30 (27) 7 13 20

4 24 69 74 29 200

Хаалтанд байгаа тоонууд нь арифметик дундаж бөгөөд

интерватын төв.

Корреляцийн хүснэгтэнд давталтууд бичигдсэн учраас

регрессийн шулууны параметрүүдийг

n

i

ii

n

i

ii

n

i

ii

n

i

i

n

i

ii

n

i

ii

n

i

iii

n

i

i

n

i

ii

n

i

ii

n

i

ii

n

i

i

n

i

ii

n

i

iii

n

i

ii

n

i

ii

fxfxfxf

fxfyfyxf

b

fxfxfxf

fxfyxfxfy

b

111

2

1

1111

2

111

2

1

111

2

1

1

2001

n

i

if 2670

1

n

i

iifx 180

1

n

i

iify

450001

2

n

i

iifx 05.2560

1

n

i

iiifyx

017.0

676.0

2

1

b

bii

xy 017.0676.0ˆ

Санамсаргүй алдаа буюу үлдэгдэл нь ui=yi-ŷi гэж

тодорхойлогддог.

Энэ үлдэгдэл дараах нөхцлүүдийг хангах ѐстой.

Е(ui)=0

var(ui) = var(uj)=σ2

ui ба uj хамааралгүй (бүх i≠j-ийн хувьд) буюу

cov(ui,uj)=0

ui -хэвийн тархалттай