Analītiska ģeometrija

Vektors

• Vektors — orientēts taisnes nogrieznis, t.i., tāds taisnes nogrieznis, kurš savieno divus punktus  un  un ir norādīts, kuru no šiem punktiem uzskatīt par nogriežņa sākumu un kuru par gala punktu.

• Tam ir dots sākumpunkts un galapunkts.

Nullvektors

• Par nullvektoru sauc tādu vektoru, kura modulis ir vienāds ar nulli. Ģeometriski nullvektors attēlo nogriezni, kas deģenerējies punktā. Nullvektora virziens ir nenoteikts.

Kolineāri vektori

• Kolineāri vektori — divi vai vairāki vektori, ja to pamati ir savstarpēji paralēli vai sakrīt. Ja kolineāriem vektoriem ir kopīgs sākumpunkts, tad tie atrodas uz vienas taisnes. Tie var būt ar vienādu vērsumu vai savstarpēji pretim vērsti.

Komplanāri vektori

• Vektorus, kuri ir paralēli vienai plaknei vai arī atrodas vienā plaknē, sauc par komplanāriem.– Jebkuri divi vektori ir komplanāri.– Jebkuri kolineāri vektori ir komplanāri.– Jebkuri trīs vektori, no kuriem divi ir

kolineāri, ir komplanāri.– Triju vektoru a, b un c komplanaritātes

nosacījums:0 cba Lineāras

atkarības nosacījums

D Divus vektorus sauc par kolineāriem, ja tie ir lineāri atkarīgi.Trīs vektorus sauc par komplanāriem, ja tie ir lineāri atkarīgi.

Dažādas situācijas,kad 3 vektori ir komplanāri

Viens vektors ir lineāri atkarīgs tad un tikai tad, ja tas ir nullvektors. Divu un trīs vektoru lineārajai atkarībai ieviesti īpaši, daiļi vārdi:

Kolineāri un komplanāri vektori

Vektoru iedalījums

• Brīvie vektori. – drīkst pārnest paralēli sev

jebkurā telpas punktā.• Slīdošie vektori.

– drīkst pārnest tikai pa pamatu.• Saistītie vektori.

– vektora sākuma punktu nedrīkst nekādā veidā pārvietot.

Attālums starp diviem punktiem

Vektora modulis

212

212 yyxxd

• Dots: • punkti E (x1; y1; z1)

un F (x2; y2; z2).

212

212

212 zzyyxxd

1r

2r222 zyxd

Vektoru vienādība

• Divi vektori a un b ir vienādi, ja tie ir kolineāri, vienādi vērsti un tiem ir vienādi moduļi.

Darbības ar vektoriem

• Trijstūra likums• Paralelograma likums• Daudzstūra likums

Vektoru summas īpašības

• Komutatīvā īpašība:• a + b = b + a 

            • Asociatīvā īpašība:

• (a + b) + c = a + (b + c)             

Komutativitāte

abba

b

ba a

ccb

O

BA

C OCACOA

BCOB

Nullvektors

aa0

Asociativitāte

)()( cbacba

Pretējais vektors

0aa )(

O A

B C

a

b b

a

OCBCOB

ACOA

A

B ABABAA

B

A

AABAAB

A

A

A

A

Aksiomu ilustrācijas - I

T

))(( 4321 aaaa )()( 4321 aaaa

+

+

+a1

a2

a3 a4

+

+

+

a1 a2 a3 a4

Katram kokam atbilstkāda izteiksme ariekavām un otrādi: katrai izteiksmei atbilst koks.

Saskaitīšanas asociativitāte

Vektora reizināšana ar skaitli

• Par vektora a reizinājumu ar skaitli k sauc vektoru, kura garums vienāds ar vektora a garuma reizinājumu ar skaitļa k moduli, bet vērsums vienāds ar dotā vektora vērsumu, ja k > 0, un pretējs, ja k < 0.

• Vektori  ir kolineāri.

Vektora reizinājuma īpašības:

• Asociatīvā īpašība:• k(ma) = m(ka) = (km)a

        • Distributīvās īpašības

• (k + m)a = ka + ma        

• 3.Nulles īpašība:• k(a + b) = ka + kb

        

a a23

a

23

Vektors ir k reizes garāks par a, paralēls a, vērsts tāpat kā a (k>0), vai pretēji a (k<0).

,, Ra kk

Distributivitāte1

aaa lklk )(Operatoru asociativitāte

)()( aa lkkl

Distributivitāte2

baba kkk )(Reizināšana ar 1: aa 1 a

b

ak

bk

D

A

A

A

A

Aksiomu ilustrācijas - II

Vektoru skalārais reizinājums

• Par divu vektoru skalāro reizinājumu sauc šo vektoru garumu reizinājumu ar kosinusu no leņķa starp vektoriem.                             

cosbaba

Leņķis starp vektoriem

ba

ba

cos

222222cos

zyxzyx

zzyyxx

bbbaaa

bababa

Divu vektoru vektoriālais reizinājums

• Par divu vektoru a un b vektoriālo reizinājumu sauc vektoru c, kuram ir šādas īpašības:– Vektora c modulis ir vienāds ar abu vektoru a un b

moduļu un šo vektoru veidotā leņķa sinusa reizinājumu

– Vektors c ir perpendikulars plaknei, ko nosaka vektori a un b

– Vektora c vērsums izvēlēts uz to pusi, no kuras skatoties pirmo reizinātāju a ar otru reizinātāju b redz sakļaujamies pa īsāko ceļu pozitīvajā virzienā.

Labās rokas likums

i j

k

i, j, k – asu vienības vektoria = OM – punkta M rādiusvektors

0abc

0abc

0abc

Ja vektoriem ir labā orientācija

Ja vektoriem ir krejsā orientācija

Ja vektori ir komplanāri.ba

c

Jauktais reizinājums

Vektora sadalījums ortogonālajās komponentēs

kajaiaa zyx ax, ay, az – vektora koordinātasi, j, k – koordinātu ass vienības vai orti

222zyx aaaa

coscoscos

aaaaaa

z

y

x

aa

aa

aa

z

y

x

cos

cos

cos

Vektora projekcija uz x ass

• Vektora AB projekcija uz Ox ass ir skaitlis, kuru iegūst šādi:

• No vektora AB galapunktiem novelk perpendikulus pret Ox asi, iegūstot nogriezni AxBx.

•  ir skaitlis, kurš vienāds ar AxBx garumu, ja vektors  ar Ox asi (pozitīvo virzienu) veido šauru leņķi un nogriežņa AxBx garumam pretējs skaitlis, ja vektors  ar Ox asi (pozitīvo virzienu) veido platu leņķi.

• Vektora projekcija uz ass ir vienāda ar vektora moduļa reizinājumu ar tā leņķa kosinusu, ko vektors veido ar asi.

cosaaproju

Pa tiešo

xyyxzxxzyzzy

zyx

zyx

babababababababbbbaaaa

,,,,,,

Ar determinanta palīdzību

zyx

zyx

zyx

zyx

bbbaaakji

ba

bbbbaaaa

,,,,

Ar matricu palīdzību

z

y

x

xy

xz

yz

bbb

aaaaaa

00

0

Ar summas palīdzību

3

1

3

1

3

1i j kkjiijk baeba

Triju vektoru jauktais reizinājums

zyx

zyx

zyx

cccbbbaaa

cba

Ģeometriskā interpretācija – uz trīs vektoriem konstruētā paralēlskaldņa tilpums.