Analītiska ģeometrija telpā

Virsmu un līniju vienādojumi

Virsma – punktu kopa, kuriem piemīt ģeometriska īpašība, tas ir, virsmas vienādojumu var uzrakstīt

F(x, y, z) = 0

Līnija – divu virsmu šķēlums

0,,

0,,

2

1

zyxF

zyxF

Plaknes vektoriālais vienādojums

CBAn ,,

Plaknes stāvoklis ir pilnīgi noteikts, ja ir dots punkts M0(x0, y0, z0), caur kuru tā iet, un plaknei perpendikulārs vektors

kuru sauc par normālvektoru.

M0

0r

rn

00

0

00

rrn

nMM

rrMM

Vienādojums plaknē, ja dots normālvektors un punkts

00 rrn

0000 ;; zzyyxxrr

CBAn ,,

0000 zzCyyBxxA

Plakne caur trim punktiem Dots: M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) M (x, y, z) – brīvi izraudzīts punkts.

0

131313

121212

111

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxx

Pēc komplanaritātes nosacījuma

Plaknes vienādojums asu nogriežņos K(a; 0; 0) L(0; b; 0) N(0; 0; c)

a

b

c

K

L

N

0

0

0

ca

ba

zyax

1c

z

b

y

a

x

Normālvienādojums cos;cos;cos0 n normālvektors

0coscoscos pzyx Pēc skalārā reizinājuma

pDCBA coscoscos

222

1

CBA

Normējošais reizinājums

Taisnes vienādojumi telpā

Taisnes parametriskie vienādojumi

O

x

y

z

0rr

s

M0

M

stMM 0

strr 0

ptzz

ntyy

mtxx

0

0

0

0000 ;;

;;

zyxr

zyxr

Taisnes kanoniskie jeb simetriskie vienādojumi

ptzz

ntyy

mtxx

0

0

0

p

zz

n

yy

m

xx 000

coscoscos000 zzyyxx

, , - vektora s virziena kosinusi

Taisne, kas iet caur diviem punktiem

12

1

12

1

12

1

zz

zz

yy

yy

xx

xx

coscoscos000 zzyyxx

, , - vektora s virziena kosinusi

0,,

0,,

2

1

zyxF

zyxF

0

0

2222

1111

DzCyBxA

DzCyBxA

22221111 ;;;; CBAnCBAn

222

11121

CBA

CBA

kji

nns m, n, p - pirmās rindiņas elementu i, j, k papildinājumi

Krustpunktu atrašana

Meklē krustpunktu:› trim plaknēm;› plaknei un taisnei

0

00

3333

2222

1111

DzCyBxA

DzCyBxADzCyBxA

Attāluma aprēķināšana no punkta līdz plaknei

0 0 0

2 2 2

Ax By Cz Dd

A B C

Leņķu noteikšana starp plaknēm

22

22

22

21

21

21

212121

21

21cosCBACBA

CCBBAA

nn

nn

Paralelitātes nosacījums

2

1

2

1

2

1

C

C

B

B

A

A

Perpendikularitātes nosacījums 0212121 CCBBAA

0

0

2222

1111

DzCyBxA

DzCyBxA

Leņķis starp divām taisnēm

22

22

22

21

21

21

212121

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

cospnmpnm

ppnnmmp

zz

n

yy

m

xxp

zz

n

yy

m

xx

Leņķis starp plakni un taisni

222222

0

0

0

0

0

cos

0

pnmCBA

pCnBmAp

zz

n

yy

m

xxDCzByAx